3.3 第1课时 二项式定理-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（人教B版2019）

数学 选择性必修 第二册[RJB] 第1课时　二项式定理 (教师独具内容) 课程标准：能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 教学重点：二项式定理的内容及其应用． 教学难点：二项展开式的规律的理解和掌握． 核心素养：1．通过二项式定理的学习培养数学抽象素养．2．通过利用二项展开式的通项公式求特定项培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　二项式定理及其相关概念 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n是正整数，k是满足0≤k≤n的自然数)称为二项式定理，等式右边的式子称为(a＋b)n的展开式，它共有n＋1项，其中Can－kbk是展开式中的第k＋1项(通常用Tk＋1表示)，C称为第k＋1项的二项式系数，我们将Tk＋1＝Can－kbk称为二项展开式的通项公式． [想一想]　二项展开式中第k＋1项的二项式系数与系数的概念相同吗？ 提示：二项展开式的第k＋1项的二项式系数是C，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第k＋1项的系数则是二项式系数C与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第2项的二项式系数是C，而第2项的系数则是C24． [注意]　当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数． 知识点二　二项展开式的特点 (1)各项的次数都等于二项式的幂指数n． (2)字母a按降幂排列，从第1项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第1项起，次数由零逐项增1直到n． 1．(求二项展开式)的展开式为________． 答案：1＋＋＋＋ 2．(求二项展开式的特定项)的展开式中的第4项是________． 答案：－560x10 3．(求二项展开式的特定项的系数)二项式(x＋y)5的展开式中，x2y3的系数是________． 答案：10 题型一　二项式定理的正用与逆用　 　(1)的展开式为________． [解析]　解法一：＝C()4＋C()3·＋C()2·＋C·＋C＝x2－2x＋－＋． 解法二：＝＝(2x－1)4＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋－＋． [答案]　x2－2x＋－＋ (2)若f(x)＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋4，则f(2024)－f(－2024)的值为________． [解析]　根据f(x)的解析式，逆用二项式定理，得f(x)＝[(x－1)＋1]4＋3＝x4＋3．显然f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以f(2024)－f(－2024)＝0． [答案]　0 感悟提升　二项式定理的双向功能 (1)正用：将二项式(a＋b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律． 　(1)用二项式定理展开． 解：解法一： ＝(3)4＋C(3)3＋C(3)2＋C(3)＋C ＝81x2＋108x＋54＋＋． 解法二：＝ ＝(1＋3x)4 ＝[1＋C(3x)＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4] ＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4) ＝＋＋54＋108x＋81x2． (2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC． 解：1＋2C＋4C＋…＋2nC＝C＋21C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n． 题型二　求二项展开式中的特定项　 　已知的展开式中第6项为常数项． (1)求n； (2)求x2的系数及二项式系数； (3)求展开式中所有的有理项． [解]　(1)由题意，得 Tk＋1＝C()n－k ＝(－1)kCx(k＝0，1，2，…，n)． ∴T6＝T5＋1＝(－1)5Cx． 又第6项为常数项， ∴＝0， ∴n＝10． (2)由(1)知Tk＋1＝(－1)kCx， 令＝2，得k＝2． ∴x2的系数为(－1)2C＝． 含x2的项的二项式系数为C＝45． (3)若Tk＋1为有理项，则为整数，其中0≤k≤10，k∈N， ∴10－2k＝0或10－2k＝6或10－2k＝－6， 解得k＝5或k＝2或k＝8． ∴有理项为T3＝(－1)2Cx2＝x2， T6＝(－1)5C＝－， T9＝(－1)8Cx－2＝x－2． 感悟提升　求解二项展开式的特定项问题的策略 求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0，1，2，…，n)． (1)第m项：此时k＋1＝m，求出k，代入通项． (2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程． (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程． 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． 　(1)(2024·天津高考)在的展开式中，常数项为________． 答案：20 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C·＝36－2kCx6(k－3)，k＝0，1，…，6，令6(k－3)＝0，可得k＝3，所以常数项为30C＝20． (2)若的展开式中x3的系数是－84，则a＝________． 答案：1 解析：展开式的通项为Tk＋1＝Cx9－k＝C(－a)k·x9－2k(0≤k≤9，k∈N)．令9－2k＝3，得k＝3，所以x3的系数为C(－a)3＝－84，解得a＝1． 题型三　求几个多项式和或积的特定项的系数　 　(1)(x＋y)5的展开式中，x3y3的系数为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 [解析]　因为(x＋y)5＝，要求展开式中x3y3的系数，即求(x2＋y2)(x＋y)5的展开式中x4y3的系数，展开式中含x4y3的项为x2·Cx2y3＋y2·Cx4y＝15x4y3，故(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为15． [答案]　C (2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，x的系数为(　　) A．10 B．－10 C．2 D．－2 [解析]　(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x的项是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为C(2x)0·C(－x)1＋C(2x)1·C(－x)0，其系数为C×C×(－1)＋C×2×C＝－4＋6＝2． [答案]　C (3)已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中x3的系数为－2，则a＝(　　) A．2 B．2 C．－2 D．－1 [解析]　(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中含x3的项为C(ax)3＋C(－x)3＝a3x3－10x3＝(a3－10)x3．由题意，得a3－10＝－2，解得a＝2．故选B． [答案]　B (4)求(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数． [解]　解法一：∵(1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝C(1＋2x)5＋C(1＋2x)4(－3x2)＋C(1＋2x)3(－3x2)2＋C(1＋2x)2(－3x2)3＋C(1＋2x)(－3x2)4＋C(－3x2)5， ∴x5的系数为CC·25＋CC·23·(－3)＋CC·2·(－3)2＝92． 解法二：∵(1＋2x－3x2)5＝[1＋(2x－3x2)]5，二项展开式的通项为Tk＋1＝C(2x－3x2)k，k＝0，1，2，3，4，5，则x5的系数由(2x－3x2)k确定． (2x－3x2)k的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)k－r(－3x2)r＝C2k－r(－3)rxk＋r，r＝0，1，…，k． 由k＋r＝5，得或或 ∴x5的系数为CC·25·(－3)0＋CC·23·(－3)＋CC·2·(－3)2＝92． 解法三：∵(1＋2x－3x2)5＝(1＋3x)5(1－x)5， 设(1＋3x)5的展开式的通项为Tk＋1＝C·(3x)k，k＝0，1，2，3，4，5，(1－x)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(－x)r，r＝0，1，2，3，4，5，令k＋r＝5， 则或或或或或 ∴x5的系数为C30·C(－1)5＋C3·C(－1)4＋C32·C(－1)3＋C33·C(－1)2＋C34·C(－1)＋C35·C(－1)0＝92． 解法四：(1＋2x－3x2)5相当于5个(1＋2x－3x2)相乘，因此要求展开式中x5的系数，只需借助二项式定理的原理求解即可．C(2x)5＋C(2x)3·C(－3x2)·1＋C(2x)·C(－3x2)2·12＝92x5．故展开式中x5的系数为92． 感悟提升　 1．求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并；也可利用二项式定理的推导过程来解． 2．求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解． 3．求三项展开式的特定项：(1)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形；(2)将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(3)利用二项式定理的推导过程来解． 　(1)(2022·新高考Ⅰ卷)·(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． 答案：－28 解析：展开式中含有x2y6的项为1·Cx2y6－·Cx3y5＝－28x2y6．故展开式中x2y6的系数为－28． (2)在(1－)7＋的展开式中，若x2的系数为19，则a＝________． 答案：2 解析：(1－)7＋的展开式中含x2的项为C(－)6＋C()5＝Cx2＋aCx2，由题意，得aC＋C＝19，解得a＝2． (3)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________． 答案：30 解析：解法一：(x2＋x＋y)5可看作5个(x2＋x＋y)相乘，从中选2个y，有C种选法；再从剩余的三个括号中选出2个x2，从最后一个括号中选出x，有CC种选法，所以x5y2的系数为CCC＝30． 解法二：因为(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，所以其展开式的通项为Tk＋1＝C(x2＋x)5－kyk，令k＝2，得T3＝C(x2＋x)3y2．而(x2＋x)3的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)3－rxr＝Cx6－r．再令6－r＝5，得r＝1．所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30． 1．若(2x－3)n＋3的展开式中共有15项，则自然数n的值为(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 答案：A 解析：因为(2x－3)n＋3的展开式中共有n＋4项，所以n＋4＝15，即n＝11．故选A． 2．二项式的展开式中的常数项为(　　) A．80 B．－80 C．40 D．－40 答案：B 解析：二项式的展开式的通项为Tk＋1＝C(x3)5－k＝(－1)k2kCx15－5k，令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝(－1)3×23×C＝－80．故选B． 3．(多选)在(1＋3x)n的展开式中，第3项的二项式系数为6，则下列说法正确的是(　　) A．n＝3 B．n＝4 C．第4项的系数为81 D．第4项的系数为108 答案：BD 解析：(1＋3x)n的展开式中的第k＋1项为Tk＋1＝C(3x)k，由C＝6，得n＝4，所以T4＝C(3x)3，故第4项的系数为C×33＝108．故选BD． 4．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________． 答案：70 解析：∵(1＋)5＝1＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝41＋29，∴a＝41，b＝29，∴a＋b＝41＋29＝70． 5．(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数为________． 答案：179 解析：(x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10，要求x10的系数，只要求(x＋2)10的展开式中x8及x10的系数．由Tk＋1＝Cx10－k·2k，取k＝2得x8的系数为C×22＝180，取k＝0得x10的系数为C＝1，因此所求展开式中x10的系数为180－1＝179． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 求二项展开式特定项的系数 二项式定理的逆用 求二项展开式特定项的二项式系数 求两个多项式积的特定项的系数 二项式定理的综合应用 根据二项展开式中特定项的系数求参数的值 根据二项展开式求系数 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 三项展开式求常数项 二项展开式的逆用化简 求两个多项式积的特定项的系数 二项展开式的逆用化简 根据二项展开式中特定项的系数求参数的值 求二项展开式的特定项 根据二项展开式中特定项的系数求参数的值 一、选择题 1．(2024·北京高考)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　) A．15 B．6 C．－4 D．－13 答案：B 解析：(x－)4的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4－k(－)k＝C(－1)kx4－(k＝0，1，2，3，4)，令4－＝3，解得k＝2，故x3的系数为C(－1)2＝6． 2．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC＝(　　) A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n 答案：C 解析：逆用二项式定理，将1看作公式中的a，－2看作公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n． 3．的展开式的中间一项的二项式系数为(　　) A．15 B．20 C．－15 D．－20 答案：B 解析：的展开式共7项，中间一项是第4项，其二项式系数是C＝20．故选B． 4．(x－2)6的展开式中x3的系数为(　　) A．－512 B．－172 C．－160 D．192 答案：B 解析：(x－2)6＝(x－2)6＋(x－2)6，因为(x－2)6的展开式的通项Tk＋1＝Cx6－k(－2)k，所以(x－2)6的展开式中含x3的项为Cx3(－2)3＝－160x3，其系数为－160，·(x－2)6的展开式中含x3的项为Cx3·(－2)1＝－12x3，其系数为－12，所以(x－2)6的展开式中x3的系数为－160－12＝－172．故选B． 5．(多选)已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列说法正确的是(　　) A．n＝10 B．展开式中的常数项为45 C．x5的系数为210 D．展开式中的有理项有5项 答案：ABC 解析：对于A，∵Tk＋1＝(－1)kCx2n－k，又第3项与第5项的系数之比为＝，∴n＝10，故A正确；对于B，令20－k＝0，得k＝8，∴常数项为第9项，是(－1)8C＝45，故B正确；对于C，令20－k＝5，得k＝6，故x5的系数为(－1)6C＝210，故C正确；对于D，若20－k为整数，则k可取0，2，4，6，8，10，共6项，故D错误．故选ABC． 二、填空题 6．已知的展开式中x3的系数为，则常数a的值为________． 答案：4 解析：通项Tk＋1＝Ca9－k(－1)k2－xk－9，令k－9＝3，得k＝8．依题意，得C(－1)8×2－4a9－8＝，解得a＝4． 7．若对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为________． 答案：6 解析：∵x3＝[2＋(x－2)]3＝C·23＋C·22(x－2)＋C·2(x－2)2＋C(x－2)3＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6． 8．的展开式中，常数项为________． 答案：13 解析：由于表示4个因式的乘积，故展开式中的常数项可能有以下几种情况：①所有的因式都取1；②有2个因式取，一个因式取1，一个因式取．故展开式中的常数项为1＋CC＝13． 三、解答题 9．化简下列各式： (1)C＋C6＋C62＋…＋C6n－1； (2)(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． 解：(1)原式＝(C＋C6＋C62＋C63＋…＋C6n－1)＝[(1＋6)n－1]＝(7n－1)． (2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1． 10．(1)求(x＋2y)(x－y)5的展开式中x2y4的系数； (2)求(1＋x)2(1－x)5的展开式中x3的系数． 解：(1)∵(x＋2y)(x－y)5＝x(x－y)5＋2y(x－y)5， ∴x2y4的系数为C(－1)4＋2C(－1)3＝－15． (2)∵(1＋x)2的展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，(1－x)5的展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCxr， 其中k∈{0，1，2}，r∈{0，1，2，3，4，5}． 令k＋r＝3，则有或或 ∴x3的系数为－CC＋CC－CC＝5． 11．(2024·辽宁大连第二十四中学质检)－＋－＋－＋＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：B 解析：易知－＋－＋－＋＝C(－1)6＋C(－1)5＋ C(－1)4＋C(－1)3＋C(－1)2＋C(－1)1＋C(－1)0＝＝＝．故选B． 12．设a≠0，n是大于1的自然数，的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn．若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图所示，则a＝________． 答案：3 解析：由题意，知A0(0，1)，A1(1，3)，A2(2，4)．故a0＝1，a1＝3，a2＝4．的展开式的通项为Tk＋1＝C(k＝0，1，2，…，n)．故＝3，＝4，解得a＝3． 13．二项式的展开式中： (1)求常数项； (2)有几个有理项？ (3)有几个整式项？ 解：展开式的通项为 Tk＋1＝(－1)kC()15－k ＝(－1)k2kCx(k＝0，1，2，…，15)． (1)令＝0，得k＝6， 即常数项为T7＝(－1)6×26C＝320320． (2)当＝5－k为整数时，k为6的倍数，又0≤k≤15，所以k可取0，6，12，共3个数，即共有3个有理项． (3)由5－k为非负整数， 得k＝0或6， 所以有2个整式项． 14．在二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为79． (1)求n的值； (2)若展开式中的常数项为，求实数a的值． 解：(1)二项式的展开式的前三项的二项式系数依次为C，C，C， 因为展开式中前三项的二项式系数之和为79， 所以C＋C＋C＝1＋n＋＝79， 即n2＋n－156＝0， 解得n＝12或n＝－13． 因为n>0，所以n＝12． (2)因为的展开式的通项为 Tk＋1＝Cx12－k＝Cx12－k， k＝0，1，…，12， 令12－k＝0，得k＝9， 所以常数项为C， 由已知，得C＝， 整理，得＝， 解得a＝2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$