第5章 一元函数的导数及其应用 章末总结-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（人教A版2019）

数学 选择性必修　第二册[RJ] 堵点自记： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．导数的概念 导数的概念，要注意结合实例理解概念的实质，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，要注意当切线平行于y轴时，导数不存在，此时的切线方程为x＝x0. 2．基本初等函数的导数公式 利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，应熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键． 3．复合函数的求导 对复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要把中间变量换成自变量的函数．在学习复合函数的导数(高考要求f(ax＋b)的形式)的过程中不要无限制地拔高． 4．利用导数判断函数的单调性应注意的几点 (1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间； (2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义域上的不连续点或不可导点； (3)f′(x)>0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件，因为当f(x)在(a，b)内为增函数时，f′(x)≥0，如f(x)＝x3.由于f′(x)≥0时，f′(x)可能恒为0，则f(x)为常函数，所以由f′(x)≥0不能得到f(x)为增函数．因此，课本上关于单调性的结论在解题时要注意，它并非充要条件． 5．利用导数研究函数的极值应注意的几点 (1)可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要不充分条件； (2)极值点也可能是不可导的，如函数f(x)＝|x|在极小值点x0＝0处不可导； (3)求一个可导函数的极值时，常常把使f′(x0)＝0的点x＝x0附近的函数值的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然． 6．极值与最值的区别 (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念； (2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间上的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值； (3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有极值． 7．导数的实际应用 利用导数研究实际问题的最值的关键在于建立数学模型，因此要认真审题，分析各个量的关系，列出函数式y＝f(x)，然后利用导数求出函数f(x)的最值，求函数f(x)的最值时，若f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，要根据实际意义判断是最大值还是最小值，不必再与端点的函数值比较． 8．函数图象陡峭程度的判断 可导函数的图象的陡峭程度与|f′(x)|有关，即|f′(x0)|越大，图象在x＝x0附近越陡峭，否则越平缓． 9．用导数解题的步骤 (1)确定y＝f(x)的定义域； (2)求导、化简导函数、令f′(x)＝0得导函数的零点(特别地，当f′(x)＝0无解或解是定义域区间的端点时，要么f′(x)≥0，要么f′(x)≤0)； (3)列表、计算、判断(通常可先作出导函数f′(x)的图象，再作出f(x)的图象来判断)． 10．导数在解题中的几个应用 (1)求曲线的切线方程，步骤为设出切点坐标，并用切点坐标写出切线的点斜式方程(过某点作曲线的切线不一定只有一条)； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的极值、最值； (4)由含参数的不等式恒成立或有解求参数的范围； (5)证明不等式； (6)作出复合函数的图象或结合零点存在定理判断函数零点的个数． 一、导数几何意义的应用 利用导数求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程时，应注意： (1)若点P(x0，y0)为切点，则曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率为f′(x0)，切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)； (2)若点P(x0，y0)不是切点，则设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得 y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，① 又y1＝f(x1)，② 由①②求出x1，y1的值， 即可求出过点P(x0，y0)的切线方程． 已知曲线f(x)＝x3－2x2＋x. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，2)处的切线方程； (2)求曲线y＝f(x)过原点O的切线方程． [解]　(1)由题意，得f′(x)＝3x2－4x＋1，f′(2)＝5，f(2)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(2，2)处的切线方程为y－2＝5(x－2)，整理得5x－y－8＝0. (2)令切点为(x0，y0)，因为切点在曲线f(x)上，所以y0＝x－2x＋x0，f′(x0)＝3x－4x0＋1，所以曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为y－(x－2x＋x0)＝(3x－4x0＋1)·(x－x0)． 因为切线过原点，所以0－(x－2x＋x0)＝(3x－4x0＋1)(0－x0)，解得x0＝0或x0＝1. 当x0＝0时，切点为(0，0)，f′(0)＝1，切线方程为y＝x； 当x0＝1时，切点为(1，0)，f′(1)＝0，切线方程为y＝0. 故所求切线方程为y＝x或y＝0. 二、求函数的单调区间 准确求出导函数并在函数的定义域内准确地解不等式f′(x)>0或f′(x)<0是求函数单调区间的基础，如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”“或”连接，而只能用逗号“，”或者“和”字隔开． 已知函数f(x)＝(2－a)x－ln x－1，a∈R. (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若a<0，设g(x)＝f(x)＋ax2，求函数g(x)的单调区间． [解]　(1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x－1(x>0)，则f′(x)＝1－＝， 当x>1时，f′(x)>0， ∴函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)． (2)g(x)＝ax2＋(2－a)x－ln x－1(a<0)，其定义域为(0，＋∞)， ∴g′(x)＝2ax＋2－a－ ＝ ＝(a<0)， 令g′(x)＝0，得x1＝，x2＝－>0， ①当－>，即－2<a<0时， 当0<x<或x>－时，g′(x)<0； 当<x<－时，g′(x)>0， ∴g(x)的单调递减区间为，，单调递增区间为； ②当－＝，即a＝－2时，g′(x)≤0，g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； ③当0<－<，即a<－2时， 当0<x<－或x>时，g′(x)<0； 当－<x<时，g′(x)>0， ∴g(x)的单调递减区间为，，单调递增区间为. 综上，当－2<a<0时，函数g(x)的单调递减区间为，，单调递增区间为； 当a＝－2时，函数g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当a<－2时，函数g(x)的单调递减区间为，，单调递增区间为. 三、求函数的极值与最值 设f(x)是在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导的函数，则求f(x)在闭区间[a，b]上最值的步骤如下： (1)求f′(x)＝0在区间(a，b)内的根，即导数为0的点．导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的f′(x)的符号．若左正右负，则该点为极大值点；若左负右正，则该点为极小值点；若符号相同，则为非极值点．求出这些导数为0的点的函数值； (2)求f(x)在闭区间[a，b]两端点处的函数值，即f(a)与f(b)； (3)将导数为0的点的函数值与两端点处的函数值进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值． 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在x＝－1处取极小值，在x＝处取极大值． (1)求曲线y＝f(x)在x＝－2处的切线方程； (2)求函数f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值． [解]　(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b. 因为－1，分别是函数f(x)的极小值点、极大值点， 所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根． 所以a＝－1＋，－＝(－1)×， 于是a＝－，b＝2，经检验知符合题意， 则f(x)＝－x3－x2＋2x，f′(x)＝－3x2－x＋2， 当x＝－2时，f(－2)＝2，f′(－2)＝－8， 故所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)， 即8x＋y＋14＝0. (2)当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －2 (－2，－1) －1 1 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 2 单调递减 － 单调递增 单调递减 则函数f(x)在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－. 四、导数与函数零点(方程根)问题 函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，利用数形结合的思想方法直观求解． 已知函数f(x)＝ax3－9x＋1，a∈R. (1)若a＝3，求函数f(x)的极值； (2)若函数f(x)恰有三个零点，求实数a的取值范围． [解]　(1)因为a＝3，所以f(x)＝3x3－9x＋1，f′(x)＝9x2－9＝9(x－1)(x＋1)， 所以当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0， 所以f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)内单调递减， 所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝7，极小值为f(1)＝－5. (2)f′(x)＝3ax2－9＝3(ax2－3)， 当a≤0时，f′(x)＝3(ax2－3)<0恒成立，f(x)在R上单调递减， f(x)至多有一个零点，不符合题意； 当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝±， 所以当x<－或x>时，f′(x)>0； 当－<x<时，f′(x)<0， 所以f(x)在和上单调递增，在内单调递减， 所以f(x)的极大值为f＝6＋1，极小值为f＝－6＋1， 又f(x)恰有三个零点，所以 解得0<a<108. 综上，实数a的取值范围为(0，108)． 五、导数与不等式 对于某些不等式恒成立、能成立或不等式的证明问题，常常通过构造函数，利用导数的性质讨论函数的单调性进行求解．这种构造转换的过程与方法体现了化归与转化思想． “构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用构造思想解题的关键：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合． (2023·全国甲卷)已知f(x)＝ax－，x∈. (1)若a＝8，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)＜sin2x恒成立，求a的取值范围． [解]　(1)f′(x) ＝a－ ＝a－＝a－. 令cos2x＝t，则t∈(0，1)， 则f′(x)＝g(t)＝a－＝. 当a＝8时，f′(x)＝g(t)＝＝. 当t∈，即x∈时，f′(x)＜0； 当t∈，即x∈时，f′(x)＞0. 所以f(x)在内单调递增，在内单调递减． (2)设h(x)＝f(x)－sin2x， h′(x)＝f′(x)－2cos2x＝g(t)－2(2cos2x－1) ＝－2(2t－1)＝a＋2－4t＋－， 设φ(t)＝a＋2－4t＋－， φ′(t)＝－4－＋＝＝－＞0， 所以φ(t)＜φ(1)＝a－3. ①若a∈(－∞，3]，h′(x)＝φ(t)＜a－3≤0， 即h(x)在内单调递减，所以h(x)＜h(0)＝0. 所以当a∈(－∞，3]时，f(x)＜sin2x，符合题意． ②若a∈(3，＋∞)， 当t→0时，－＝－3＋→－∞， 所以φ(t)→－∞. φ(1)＝a－3＞0， 所以∃t0∈(0，1)，使得φ(t0)＝0，即∃x0∈，使得h′(x0)＝0. 当t∈(t0，1)时，φ(t)＞0，即当x∈(0，x0)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增． 所以当x∈(0，x0)时，h(x)＞h(0)＝0，不符合题意． 综上，a的取值范围为(－∞，3]． 已知函数f(x)＝ln x－bx＋a(a，b∈R)． (1)讨论函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性； (2)当b＝1时，若f＝f＝0(x1≠x2)，求证：x1>2－x2. [解]　(1)由题意，可知f′(x)＝－b，x∈(1，＋∞)， (ⅰ)当b≤0时，f′(x)＝－b>0恒成立， 所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增； (ⅱ)当b>0时，令f′(x)＝－b＝0，得x＝. ①当0<≤1，即b≥1时，f′(x)<0在(1，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减． ②当>1，即0<b<1时，在内，f′(x)>0，f(x)在内单调递增；在上，f′(x)<0，f(x)在上单调递减． 综上所述，当b≤0时，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增； 当b≥1时，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减； 当0<b<1时，函数f(x)在内单调递增，在上单调递减． (2)证明：当b＝1时，f(x)＝ln x－x＋a， 令g(x)＝f＝ln－＋a， 由题意可得g(x1)＝g(x2)＝0，不妨设0<x1<x2. 所以a＝＋ln x1＝＋ln x2，于是＝ln . 令t＝>1，ln t＝，则x1＝， x1＋x2＝x1(t＋1)＝，x1＋x2－2＝. 令h(t)＝－ln t(t>1)，则h′(t)＝>0，h(t)在(1，＋∞)上单调递增． 因为t>1，所以h(t)>－ln 1＝0， 又ln t>0， 所以x1＋x2－2>0，即x1>2－x2. 六、利用导数解决实际问题 1．利用导数求实际问题的最大(小)值的一般步骤 (1)设出恰当的未知量，并确定未知量的取值范围(即函数的定义域)； (2)依题意将所求最值的量表示为未知量的函数； (3)求出函数的导数，令导数等于0，得到导数为0的点； (4)通过单调性确定出函数的最值点以及最值． 2．利用导数求实际问题的最大(小)值时应注意的问题 (1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的值应舍去； (2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值． 两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和，记点C到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. (1)将y表示成x的函数； (2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由． [解]　(1)如图，由题意知AC⊥BC，BC2＝400－x2，y＝＋(0<x<20)，其中当x＝10时，y＝0.065， 所以k＝9，则y＝＋(0<x<20)． (2)y′＝－＋ ＝， 令y′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)． 当0<x<4时，y′<0； 当4<x<20时，y′>0. 所以函数在x＝4处取得最小值，为. 即弧上存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小，该点到城A的距离为4 km. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$