第4章 数列 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（人教A版2019）

数学 选择性必修　第二册[RJ] 第四章　单元质量测评 基础题（占比50%）　中档题（占比30%）　拔高题（占比20%） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★ ★★ 对点 观察法求数列的通项公式 等比数列中基本量的计算 数列递推公式的应用 等差数列的实际应用 等差数列不连续n项和的性质及应用 等比数列连续n项和的性质及应用 等差、等比数列通项公式的综合应用 数列的新定义问题 等差数列的通项、性质及前n项和的最值 数阵问题——等差、等比数列的通项及前n项和的应用 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 数列递推公式的应用；数列前n项积的求解 等比数列的性质及应用 根据要求写数列的通项公式 由递推公式求通项公式；裂项相消法解决不等式问题 等差数列的通项公式；数列前n项和的最值 累乘法求通项公式；裂项相消法证明不等式 等比数列的实际应用 等比数列的通项公式；错位相减法在不等式恒成立问题中的应用 等差数列的通项公式；累加法求通项公式；与等差中项有关的探索性问题 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.数列1，－，，－，，…的通项公式可能是（　　） A.an＝（－1）n－1 B.an＝（－1）n C.an＝（－1）n－1 D.an＝（－1）n 答案：C 解析：将数列1，－，，－，，…变为，－，，－，，…，从而可知分母的规律为2n，分子的规律为n＋1，奇数项为正，偶数项为负，可知其通项公式可能为an＝（－1）n－1. 2.若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q＝（　　） A.1或2 B.1或－2 C.－1或2 D.－1或－2 答案：C 解析：依题意有2a4＝a6－a5，即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0，∴q2－q－2＝0，（q－2）（q＋1）＝0，∴q＝－1或q＝2. 3.已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝，且an＋1＝（n∈N*），则S201＝（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 答案：A 解析：因为an＋1＝（n∈N*），a1＝，所以a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝－4，a5＝＝＝a1，可知数列{an}是周期为4的周期数列，所以S201＝50（a1＋a2＋a3＋a4）＋a1＝50×＋＝2. 4.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额＝收入－成本），则n＝（　　） A.6 B.5 C.4 D.3 答案：B 解析：设该设备第n年的运营费用为an万元，则数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n，所以该设备使用n年的运营费用总和为Tn＝＝n2＋n.设n年的盈利总额为Sn万元，则Sn＝11n－（n2＋n）－9＝－n2＋10n－9＝－（n－5）2＋16，所以当n＝5时，盈利总额取得最大值为16万元.故选B. 5.已知等差数列{an}的公差为1，且S99＝99，则a3＋a6＋…＋a96＋a99的值是（　　） A.99 B.66 C.33 D.0 答案：B 解析：设A＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，B＝a2＋a5＋…＋a98，C＝a3＋a6＋…＋a99，则A＋B＋C＝S99，B－A＝33，C－B＝33，∴A＝C－66，故C－66＋C－33＋C＝S99＝99，∴C＝66. 6.（2023·新课标Ⅱ卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝（　　） A.120 B.85 C.－85 D.－120 答案：C 解析：解法一：设等比数列{an}的公比为q，若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，与题意不符，所以q≠1；由S4＝－5，S6＝21S2可得，＝－5，＝21×　①，由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，所以S8＝＝×（1＋q4）＝－5×（1＋16）＝－85.故选C. 解法二：设等比数列{an}的公比为q，因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否则S4＝0，从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，所以（－5－S2）2＝S2（21S2＋5），解得S2＝－1或S2＝.当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21，易知S8＋21＝－64，即S8＝－85；当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝（a1＋a2）（1＋q2）＝（1＋q2）S2>0，与S4＝－5矛盾，舍去.故选C. 7.数列{an}中，an＝3n－7（n∈N*），数列{bn}满足b1＝，bn－1＝27bn（n≥2且n∈N*），若an＋logkbn为常数，则满足条件的k值（　　） A.唯一存在，且为 B.唯一存在，且为3 C.存在且不唯一 D.不一定存在 答案：B 解析：依题意，bn＝b1·＝·＝，∴an＋logkbn＝3n－7＋logk＝3n－7＋（3n－2）logk＝n－7－2logk.∵an＋logkbn是常数，∴3＋3logk＝0，即logk3＝1，∴k＝3. 8.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2025积数列”，且a1>1，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为（　　） A.1011 B.1012 C.1011或1012 D.1012或1013 答案：B 解析：由题意，知a2025＝a1a2…a2025，∴a1a2·…·a2024＝1，又数列{an}的各项均为正数，∴a1a2024＝a2a2023＝a3a2022＝…＝a1011a1014＝a1012a1013＝1，q>0.∵a1>1，∴a1012>1，0<a1013<1，∴前n项积最大时n的值为1012.故选B. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－13，S3＝－33，则下列结论正确的是（　　） A.an＝2n－15 B.{an}是先递减后递增的数列 C.a12是a8和a48的等比中项 D.Sn的最小值为－49 答案：ACD 解析：由题意，得S3＝3a1＋3d＝－33，因为a1＝－13，所以d＝2.所以{an}的通项公式为an＝－13＋2（n－1）＝2n－15，A正确；由于d＝2>0，所以{an}为递增数列，B错误；通过计算可得，a8＝1，a12＝9，a48＝81，其中a＝a8a48，C正确；因为{an}为递增数列，且a7＝－1<0，a8＝1>0，故Sn在n＝7时取得最小值，S7＝7a4＝－49，D正确.故选ACD. 10.将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图： a11　a12　a13　…　a1n a21　a22　a23　…　a2n a31　a32　a33　…　a3n … an1　an2　an3　…　ann 该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m>0）.已知a11＝2，a13＝a61＋1，记这n2个数的和为S，则下列结论正确的是（　　） A.m＝3 B.a67＝17×37 C.aij＝（3i－1）×3j－1 D.S＝n（3n＋1）（3n－1） 答案：ACD 解析：由题意可得，a13＝a11m2＝2m2，a61＝a11＋5m＝2＋5m，所以2m2＝2＋5m＋1，解得m＝3或m＝－（舍去），所以A正确；又a67＝a61m6＝（2＋5×3）×36＝17×36，所以B不正确；又aij＝ai1mj－1＝[a11＋（i－1）×m]×mj－1＝[2＋（i－1）×3]×3j－1＝（3i－1）×3j－1，所以C正确；这n2个数的和S＝（a11＋a12＋…＋a1n）＋（a21＋a22＋…＋a2n）＋…＋（an1＋an2＋…＋ann）＝＋＋…＋＝（3n－1）·＝n（3n＋1）（3n－1），所以D正确.故选ACD. 11.正项数列{an}满足a1＝10，an＋1＝a，数列{bn}满足则（　　） A.an＝102n－1 B.b2n＝b2n－1 C.{an}的前n项积为102n－1 D.{bn}的前2n项积为102（2n＋3） 答案：ABC 解析：因为a1＝10，an＋1＝a，所以a2＝a＝102，a3＝a＝（102）2＝102×2＝1022，a4＝a＝（102×2）2＝102×2×2＝1023，可猜想an＝102n－1.当n＝1时，an＝102n－1成立，假设n＝k（k≥1，k∈N*）时ak＝102k－1，所以ak＋1＝a＝（102k－1）2＝102k－1×2＝102k也成立，所以an＝102n－1，故A正确；因为所以b2n＝＝an＝102n－1，b2n－1＝＝an＝102n－1，故b2n＝b2n－1，故B正确；a1·a2·a3·…·an＝1020·1021·1022·…·102n－1＝1020＋21＋22＋…＋2n-1，其中20＋21＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以a1·a2·a3·…·an＝102n－1，故C正确；b1·b2·b3·b4·b5·b6·…·b2n－1·b2n＝（b1·b2）·（b3·b4）·（b5·b6）·…·（b2n－1·b2n）＝（1020）2·（1021）2·（1022）2·…·（102n－1）2＝（1020＋21＋22＋…＋2n-1）2＝（102n-1）2＝102（2n－1），故D错误.故选ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在题中的横线上） 12.（2023·全国乙卷）已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝　　　　. 答案：－2 解析：设{an}的公比为q（q≠0），则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0，则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1，因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8，则q15＝（q5）3＝－8＝（－2）3，则q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2. 13.写出一个同时具有性质①②③的数列{an}的通项公式：①无穷数列；②0<an<1；③每一项都是正数，则an＝　　　　. 答案：（答案不唯一） 解析：根据题意，数列{an}的通项公式可以为an＝，为无穷数列，每一项都是正数，且0<an<1. 14.已知数列{an}中，a1＝1，an＝（n≥2），则数列{an}的通项公式为　　　　；若＋＋…＋<10，则n的最大值为　　　　. 答案：an＝　119 解析：∵a1＝1，an＝（n≥2），∴a－a＝1.∴数列{a}为等差数列，首项为1，公差为1.∴a＝1＋（n－1）＝n.又an>0，∴数列{an}的通项公式为an＝.又＝＝－，∴＋＋…＋＝－1＋－＋…＋－＝－1<10.∴<11，解得n<120，∴n的最大值为119. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝1，　　　　.若存在正整数n，使得Sn有最小值. （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn的最小值. 在①a3＝－1；②d＝2；③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个，补充在横线上并解答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解：当选①a3＝－1时，根据题意得a5－a3＝2d， 即1－（－1）＝2d，解得d＝1. （1）an＝a5＋（n－5）d＝1＋（n－5）×1＝n－4. （2）因为a1＝a3－2d＝－3， 所以Sn＝na1＋ ＝n×（－3）＋×1 ＝， 所以当n＝3或4时，Sn取得最小值，为－6. 当选②d＝2时，根据题意得a1＝a5－4d＝1－4×2＝－7. （1）an＝a1＋（n－1）d＝－7＋（n－1）×2＝2n－9. （2）Sn＝na1＋ ＝n×（－7）＋＝n2－8n， 所以当n＝4时，Sn取得最小值，为－16. 当选③d＝－2时， 根据题意得a1＝a5－4d＝1－4×（－2）＝9. （1）an＝a1＋（n－1）d＝9＋（n－1）×（－2）＝－2n＋11. （2）Sn＝na1＋＝n×9＋×（－2）＝－n2＋10n，无最小值，所以条件③不符合题意. （本题可以选择条件①或②并进行作答） 16.（本小题满分15分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列. （1）求{an}的通项公式； （2）证明：＋＋…＋<2. 解：（1）因为是首项为1，公差为的等差数列， 所以＝1＋（n－1）＝， 故Sn＝an. ① 当n≥2时，Sn－1＝an－1. ② 由①－②可知an＝an－an－1， 所以（n－1）an＝（n＋1）an－1， 即＝. 所以××…××＝×××…××＝（n≥2）， 所以an＝（n≥2）， 又a1＝1也满足上式， 所以an＝（n∈N*）. （2）证明：因为＝＝－， 所以＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝2－＜2. 17.（本小题满分15分）森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥了重要的作用.为了增加森林蓄积量，A地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，A地2023年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉t（10<t<30）万立方米的森林.设an为自2024年开始，第n年末的森林蓄积量（例如a1＝150－t）. （1）试写出数列{an}的一个递推公式； （2）设bn＝an－4t（n∈N，n≥1），证明：数列{bn}是等比数列； （3）若到2033年底，A地要实现“森林蓄积量要超过640万立方米”这一目标，那么每年的砍伐量t最大是多少万立方米？（精确到1万立方米） 解：（1）由题意，得a1＝120×（1＋25%）－t＝150－t， an＋1＝an（1＋25%）－t＝an－t. （2）证明：因为an＋1＝an－t， 故an＋1－4t＝（an－4t）， 当n＝1时，b1＝a1－4t＝150－t－4t＝150－5t≠0， 所以an－4t≠0， 即＝， 故数列{bn}是以150－5t为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）知{an－4t}是以150－5t为首项，为公比的等比数列，故其通项公式为an－4t＝（150－5t）·， 所以an＝4t＋（150－5t）·. 2033年底的森林蓄积量为数列{an}的第10项， a10＝4t＋（150－5t）·. 由题意，森林蓄积量到2033年底要超过640万立方米， 所以a10>640，即4t＋（150－5t）·>640， 即4t＋（150－5t）×7.45＝4t＋1117.5－37.25t>640， 解得t<14.36. 所以每年的砍伐量t最大为14万立方米. 18.（本小题满分17分）在等比数列{an}中，a1＝2，a3，a2＋a4，a5成等差数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足b1＋＋…＋＝an（n∈N*），{bn}的前n项和为Sn，求使Sn－nan＋6≥0成立的正整数n的最大值. 解：（1）设数列{an}的公比为q， ∵a3，a2＋a4，a5成等差数列， ∴2（a2＋a4）＝a3＋a5， ∴2（a1q＋a1q3）＝a1q2＋a1q4， ∴2q（1＋q2）＝q2（1＋q2）， ∴q＝2， ∴an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n. （2）由题意，得b1＋＋…＋＝an，① b1＋＋…＋＝an－1（n≥2），② ①－②得＝an－an－1＝2n－2n－1＝2n－1， ∴bn＝n×2n－1（n≥2）. 当n＝1时，b1＝a1＝2不符合上式. ∴bn＝ ∴当n≥2时，Sn＝2＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，③ 2Sn＝2×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，④ ③－④得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－n×2n＝－n×2n＝2n－2－n×2n， ∴Sn＝（n－1）2n＋2. 当n＝1时，S1＝b1＝2，符合上式， ∴Sn＝（n－1）2n＋2（n∈N*）. Sn－nan＋6＝（n－1）2n＋2－n×2n＋6＝－2n＋8， ∴－2n＋8≥0，即2n≤8，∴n≤3， ∴n的最大值为3. 19.（本小题满分17分）已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2a3＝15，S4＝16. （1）求数列{an}的通项公式； （2）数列{bn}满足b1＝a1，bn＋1－bn＝. ①求数列{bn}的通项公式； ②是否存在正整数m，p（m≠p），使得b2，bm，bp成等差数列？若存在，求出m，p的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）设数列{an}的公差为d，则d>0. 由a2a3＝15，S4＝16， 得 解得或（舍去）， 所以an＝2n－1. （2）①因为b1＝a1，bn＋1－bn＝， 所以b1＝a1＝1， bn＋1－bn＝＝ ＝， 于是b2－b1＝， b3－b2＝， … bn－bn－1＝，n≥2， 累加，得bn－b1＝＝，n≥2， 所以bn＝b1＋＝1＋＝，n≥2. b1＝1也符合上式，故bn＝，n∈N*. ②假设存在正整数m，p（m≠p），使得b2，bm，bp成等差数列，则b2＋bp＝2bm. 又b2＝，bp＝＝－，bm＝－， 所以＋＝2， 即＝＋， 化简得2m＝＝7－. 当p＋1＝3，即p＝2时，m＝2（舍去）； 当p＋1＝9，即p＝8时，m＝3，符合题意. 所以存在正整数m＝3，p＝8，使得b2，bm，bp成等差数列. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$