5.2.3 简单复合函数的导数-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（人教A版2019）

数学 选择性必修　第二册[RJ] 5.2.3　简单复合函数的导数 (教师独具内容) 课程标准：能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数． 教学重点：复合函数的求导． 教学难点：分清函数的复合关系，选好中间变量． 核心素养：通过学习复合函数的求导法则及其简单应用，提升数学运算素养． 知识点一　复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 知识点二　复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．(复合函数的概念)(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 答案：BCD 2．(简单复合函数的求导问题)设f(x)＝ln (3x＋2)－3x2，则f′(0)＝(　　) A．1 B. C．－1 D．－2 答案：B 3．(与复合函数有关的切线问题)曲线y＝sin2x在点A处的切线的斜率是________． 答案： 4．(复合函数求导的实际应用)已知某质点的位移s与时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________． 答案：2 题型一　简单复合函数的求导问题　 　求下列函数的导数： (1)y＝(3x－2)4；(2)y＝ln (6x＋4)； (3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝. [解]　(1)∵函数y＝(3x－2)4由函数y＝u4和u＝3x－2复合而成，∴y′x＝y′u·u′x＝(u4)′·(3x－2)′＝12u3＝12(3x－2)3. (2)∵函数y＝ln (6x＋4)由函数y＝ln u和u＝6x＋4复合而成，∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(6x＋4)′＝＝＝. (3)函数y＝sin(2x＋1)可以看作函数y＝sinu和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有＝y′u·u′x＝(sinu)′·(2x＋1)′＝2cosu＝2cos(2x＋1)． (4)函数y＝可以看作函数y＝和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝()′·(3x＋5)′＝＝. 感悟提升　 1．复合函数求导的步骤 2．求复合函数的导数需处理好的几个环节 (1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量． (2)中间变量的选择应是基本函数结构． (3)关键是正确分析函数的复合层次． (4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导． (5)善于把一部分表达式作为一个整体． (6)最后要把中间变量换成自变量的函数． 　求下列函数的导数： (1)y＝e2x；(2)y＝cos； (3)y＝5log2(2x＋1)；(4)y＝. 解：(1)设u＝2x， 则y＝eu， 所以y′x＝y′u·u′x＝eu·2＝2e2x. (2)设y＝cosu，u＝2x＋， 则y′x＝y′u·u′x＝－sinu·2＝－2sin. (3)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′ ＝＝. (4)设u＝－3x－1，则y＝u－， 所以y′x＝y′u·u′x＝－u－·(－3) ＝(－3x－1) － ＝. 题型二　与复合函数有关的切线问题　 　(1)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． [解]　解法一：f′(x)＝2f′(2－x)(2－x)′－2x＋8＝－2f′(2－x)－2x＋8， 则f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，得f′(1)＝2. 又f(1)＝2f(1)－1＋8－8，得f(1)＝1， 故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 解法二：因为f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，① 所以f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8.② 把②代入①得f(x)＝x2， 所以f(1)＝1，f′(x)＝2x， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝f′(1)＝2， 故所求切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. (2)已知曲线y＝cos在点处的切线斜率为k，若|k|<1，求ω的值． [解]　∵曲线y＝cos过点， ∴cos＝0， ∴ω·＋＝nπ＋(n∈Z)， ∴ω＝2n＋(n∈Z)， 又y′＝－ωsin， ∴k＝＝－sin＝－sin＝±. ∵|k|<1，∴<1， ∴n＝0，即ω＝. 感悟提升　与复合函数有关的切线问题，关键是牢记复合函数的求导方法，准确求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解． 　(1)曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________． 答案：5x＋y－3＝0 解析：y′＝－5e－5x，曲线在点(0，3)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0. (2)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是________． 答案： 解析：设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝，∴y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是. 题型三　复合函数求导的实际应用　 　某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义． [解]　设f(x)＝3sinx，x＝φ(t)＝t＋， 所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cosx· ＝cos， 将t＝18代入s′(t)， 得s′(18)＝cos＝. s′(18)表示当t＝18 h时，潮水高度上升的瞬时速度为 m/h. 感悟提升　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况． 　有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s(t)＝5－.求函数在t＝1时的导数，并解释它的实际意义． 解：函数s＝5－可以看作函数s＝5－和x＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量． 由导数公式表可得s′x＝－x－，x′t＝－18t. 故由复合函数求导法则得 s′t＝s′x·x′t＝·(－18t)＝， 将t＝1代入s′(t)，得s′(1)＝2.25(m/s)． 它表示当t＝1 s时，梯子上端下滑的瞬时速度为2.25 m/s. 1．函数y＝(ex＋e－x)的导数是(　　) A．y′＝(ex－e－x) B．y′＝(ex＋e－x) C．y′＝ex－e－x D．y′＝ex＋e－x 答案：A 解析：y′＝′＝[(ex)′＋(e－x)′]＝(ex－e－x)． 2．设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝(　　) A．ln 3 B．－ln 3 C. D．－ 答案：C 解析：f′(x)＝，故f′(2)＝. 3．(多选)若函数f(x)＝sin2x＋sinx，则f′(x)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．有最大值 D．有最小值 答案：BCD 解析：∵函数f(x)＝sin2x＋sinx，∴f′(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2－，当cosx＝－时，f′(x)取得最小值－；当cosx＝1时，f′(x)取得最大值2，且f′(－x)＝f′(x)，即f′(x)是既有最大值，又有最小值的偶函数． 4．(2024·海南华侨中学高二期末)烧水时，水温随着时间的推移而变化．假设水的初始温度为20 ℃，加热后的温度函数T(t)＝100－ke－0.1t(k是常数，t表示加热的时间，单位：min)，则加热到第10 min时，水温的瞬时变化率是________℃/min. 答案： 解析：因为水的初始温度为20 ℃，所以T(0)＝100－k＝20，解得k＝80，所以T′(t)＝8e－0.1t，则T′(10)＝，所以加热到第10 min时，水温的瞬时变化率是 ℃/min. 5．(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． 答案：ln 2 解析：设f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，f′(0)＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.设g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝，设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线，得＝2，解得x0＝－，则切点为，切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2，因为两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 用复合函数求导法则及导数的四则运算法则求导 用复合函数求导法则求导；利用导数值求自变量的值 复合函数求导的实际应用 已知切线斜率求切点坐标；函数奇偶性的应用 用复合函数求导法则和导数的四则运算法则求导；新定义问题 用复合函数求导法则和导数的四则运算法则求导 题号 7 8 9 10 11 12 难度 ★★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 已知切线方程与切点坐标求参数值 用复合函数求导法则求导；已知三角函数的奇偶性求参数值 用复合函数求导法则和导数的四则运算法则求导 复合函数求导的实际应用 用复合函数求导法则求解公切线问题 用复合函数求导法则求导；导函数周期性的证明 一、选择题 1．函数y＝4(2－x＋3x2)2的导数是(　　) A．y′＝8(2－x＋3x2) B．y′＝2(－1＋6x)2 C．y′＝8(2－x＋3x2)(－1＋6x) D．y′＝4(2－x＋3x2)(－1＋6x) 答案：C 解析：y′＝4×2(2－x＋3x2)(2－x＋3x2)′＝8(2－x＋3x2)(－1＋6x)．故选C. 2．设f(x)＝ln (2x－1)，若f(x)在x0处的导数f′(x0)＝1，则x0的值为(　　) A. B. C．1 D. 答案：B 解析：由f(x)＝ln (2x－1)，得f′(x)＝，由f′(x0)＝＝1，解得x0＝. 3．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M0×2－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(单位：太贝克/年)，则t＝60时，铯137的含量为(　　) A．5太贝克 B．75ln 2太贝克 C．150ln 2太贝克 D．150太贝克 答案：D 解析：因为M′(t)＝－ln 2×M0×2－，所以M′(30)＝－ln 2×M0×2－＝－10ln 2，解得M0＝600，所以M(t)＝600×2－，所以t＝60时，铯137的含量为600×2－＝600×＝150(太贝克)． 4．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　　) A．ln 2 B．－ln 2 C. D．－ 答案：A 解析：对f(x)＝ex＋a·e－x求导得f′(x)＝ex－a·e－x.又f′(x)是奇函数，故f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1，故有f′(x)＝ex－e－x.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝，解得ex0＝2或ex0＝－(舍去)，得x0＝ln 2.故选A. 5．(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f′(x)]′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．下列四个函数在内是凸函数的是(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x 答案：ABC 解析：若f(x)＝sin，则f′(x)＝cos，f″(x)＝－sin，在内恒有f″(x)<0；若f(x)＝ln x－2x，则f′(x)＝－2，f″(x)＝－，在内恒有f″(x)<0；若f(x)＝－x3＋2x－1，则f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x，在内恒有f″(x)<0；若f(x)＝－xe－x，则f′(x)＝(x－1)e－x，f″(x)＝(2－x)e－x，在内恒有f″(x)>0.故选ABC. 二、填空题 6．函数y＝xe1－2x的导数y′＝________． 答案：(1－2x)e1－2x 解析：y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x×(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x×(－2)＝(1－2x)e1－2x. 7．设f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，若曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0，0)处相切，则a－b＝________． 答案：1 解析：由曲线y＝f(x)过点(0，0)，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率．由题意知＋a＝，故a＝0.故a－b＝0－(－1)＝1. 8．(2024·河南郑州高二期末)设函数f(x)＝sin(x＋φ)(0＜φ＜π)，若y＝f(x)＋f′(x)是偶函数，则φ＝________． 答案： 解析：∵f(x)＝sin(x＋φ)，∴f′(x)＝cos(x＋φ)，∴f(x)＋f′(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)＝2sin，∵y＝f(x)＋f′(x)为偶函数，∴φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝. 三、解答题 9．求出下列函数的导数： (1)y＝sin(1－3x)；(2)y＝； (3)y＝ln (4x＋5)3；(4)y＝e－x＋2(2x＋1)5. 解：(1)y′＝－3cos(1－3x)． (2)由y＝＝(4＋2x)－，得 y′＝－(4＋2x)－×2＝－(4＋2x)－. (3)由y＝ln (4x＋5)3＝3ln (4x＋5)， 得y′＝. (4)y′＝－e－x＋2(2x＋1)5＋e－x＋2×5(2x＋1)4×2＝e－x＋2×(2x＋1)4(－2x－1＋10)＝(9－2x)(2x＋1)4e－x＋2. 10．一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化满足关系：x＝4＋16e－2t. (1)求汽水温度x在t＝1处的导数，并解释它的实际意义； (2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系：x＝y－32.写出y关于t的函数解析式，并求y关于t的函数的导数． 解：(1)x′＝－32e－2t. 当t＝1时，x′＝－. 它表示在t＝1附近，汽水每小时大约降温 ℃. (2)y＝(x＋32)＝(16e－2t＋36)， y′＝e－2t×(－2)＝－e－2t. 11．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，求b的值． 解：函数y＝ln x＋2的导函数为y′＝，函数y＝ln (x＋1)的导函数为y′＝. 设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln (x＋1)上切点的横坐标分别为m，n，则切线方程可以写成y＝(x－m)＋ln m＋2， 也可以写成y＝(x－n)＋ln (n＋1)． 整理后对比得 解得因此b＝1－ln 2. 12．(1)求函数f(x)＝cos2(ax＋b)的导函数； (2)证明：若函数f(x)可导且为周期函数，则f′(x)也为周期函数． 解：(1)由f(x)＝cos2(ax＋b) ＝＋cos(2ax＋2b)， 得f′(x)＝－sin(2ax＋2b)·2a ＝－asin(2ax＋2b)． (2)证明：设f(x)的周期为T， 则f(x)＝f(x＋T)． ∴f′(x)＝[f(x＋T)]′ ＝f′(x＋T)·(x＋T)′ ＝f′(x＋T)， 即f′(x)为周期函数，且周期与f(x)的周期相同． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$