5.2.2 导数的四则运算法则-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（人教A版2019）

数学 选择性必修　第二册[RJ] 5.2.2　导数的四则运算法则 (教师独具内容) 课程标准：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 教学重点：基本初等函数的导数公式和四则运算法则． 教学难点：函数的求导法则及其应用． 核心素养：通过学习导数的四则运算法则，提升数学运算素养． 知识点　导数的四则运算法则 一般地，对于两个函数f(x)和g(x)的和(或差)的导数，我们有如下法则：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． 对于两个函数f(x)和g(x)的乘积(或商)的导数，我们有如下法则： [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)． 由函数的乘积的导数法则可以得出[cf(x)]′＝c′f(x)＋cf′(x)＝cf′(x)，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即[cf(x)]′＝cf′(x)． [说明]　(1)导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)． (2)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x)． (3)′≠. (4)当f(x)＝1，g(x)≠0时，＝，′＝－. 1．(导数的四则运算法则)(多选)(2024·广东东莞众美中学高二月考)下列求导运算正确的是(　　) A．(ln 2)′＝ B.′＝1＋ C.′＝ D．(xex)′＝ex 答案：BC 2．(利用导数的运算法则求切线方程)(2024·湖南郴州高二期末)函数f(x)＝ex＋x的图象在点(0，1)处的切线方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝x＋1 C．y＝ex＋1 D．y＝(e＋1)x＋1 答案：A 3．(利用导数的运算法则求值)已知f(x)＝，则f(π)＋f′＝________． 答案：－ 4．(导数的运算法则在实际中的应用)某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位：s，s的单位：m)，则它在第4 s时的瞬时速度为________ m/s. 答案： 题型一　利用导数的四则运算法则求函数的导数　 　(1)求下列函数的导数： ①y＝＋；②y＝x3·10x； ③y＝cosx·ln x；④y＝. [解]　①y＝＋＝2x－2＋3x－3，y′＝－4x－3－9x－4. ②y′＝(x3)′·10x＋x3·(10x)′＝3x2·10x＋x3·10x·ln 10. ③y′＝(cosx)′·ln x＋cosx·(ln x)′＝－sinx·ln x＋. ④y′＝ ＝. (2)(2024·山东名校高二月考)已知f(x)＝x3－f′(1)x2＋x＋5，求f′(1)的值． [解]　因为f′(x)＝×3x2－f′(1)×2x＋1＝x2－2f′(1)x＋1， 令x＝1，得f′(1)＝1－2f′(1)＋1，则f′(1)＝. 感悟提升　 (1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导． (2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导． 　(1)求下列函数的导数： ①y＝x2＋log3x；②y＝－2lg x； ③y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； ④y＝＋tanx. 解：①y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋. ②y′＝′＝′－2(lg x)′＝×ln－2×＝－－. ③∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. ④y′＝(＋tanx)′＝()′＋′＝＋＝＋. (2)(2024·江苏盐城五校联盟高二期末)已知函数f(x)＝3f′(0)x＋x2＋ex－1，求f′(0)＋f(0)的值． 解：∵f(x)＝3f′(0)x＋x2＋ex－1， ∴f(0)＝e0－1＝0， 又f′(x)＝3f′(0)＋2x＋ex， 令x＝0，得f′(0)＝3f′(0)＋2×0＋e0， 解得f′(0)＝－，∴f′(0)＋f(0)＝－. 题型二　利用导数的四则运算法则解决切线问题　 　(1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ [解析]　设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝，所以y′＝＝，所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.故选C. [答案]　C (2)已知函数f(x)＝－ax2，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＋1＝0平行，则a＝(　　) A．－ B. C．1 D．2 [解析]　函数f(x)＝－ax2的导函数f′(x)＝－2ax，可得曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝f′(1)＝1－2a，由切线与直线2x－y＋1＝0平行，可得1－2a＝2，解得a＝－. [答案]　A 感悟提升　利用导数的几何意义求参时，常根据以下关系列方程：(1)函数在切点处的导数等于切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上；(4)题目所给的其他条件．最后通过解方程(组)确定参数的值． 　(1)(2024·河南名校联盟高二月考)函数f(x)＝x2ln x＋2x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线方程是________． 答案：3x－y＝0 解析：由题意可得f(1)＝3，f′(x)＝2xln x＋x＋2，所以f′(1)＝3，故所求切线方程为y－3＝3(x－1)，即3x－y＝0. (2)已知曲线C1：y＝ax2上点P处的切线为l1，曲线C2：y＝bx3上点P′(1，b)处的切线为l2，且l1⊥l2，垂足为M(2，2)，求a，b的值及点P的坐标． 解：设P(t，at2)，则l1的斜率为k1＝2at， l1的方程为y－at2＝2at(x－t)． 又l2的斜率为k2＝3bx2|x＝1＝3b， ∴l2的方程为y－b＝3b(x－1)． ∵l1⊥l2且交点为M(2，2)， ∴ ∴t＝10，a＝－，b＝，∴P. 题型三　导数四则运算法则的实际应用　 　已知1 t某溶液稀释到浓度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(60<x<100)，那么稀释到浓度为80%时所需稀释费用的瞬时变化率是(　　) A．－40元/t B．－10元/t C．10元/t D．40元/t [解析]　稀释费用的瞬时变化率就是稀释费用函数的导数，因为c(x)＝(60<x<100)，所以c′(x)＝′＝，又因为c′(80)＝＝－10，所以稀释到浓度为80%时所需稀释费用的瞬时变化率是－10元/t.故选B. [答案]　B 感悟提升　本例是比较典型的给出模型，利 用导数求解模型的题目．求解此类试题一般分两步：一是将实际问题转化为数学问题，二是利用相应的法则(导数的四则运算法则)求解． 　已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h＝t3＋t2，当t＝t0时，液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s，则当t＝t0＋1时，液体上升高度的瞬时变化率为(　　) A．5 cm/s B．6 cm/s C．8 cm/s D．10 cm/s 答案：C 解析：由h＝t3＋t2，求导得h′＝t2＋2t.当t＝t0时，h′＝t＋2t0＝3，解得t0＝1(t0＝－3舍去)．故当t＝t0＋1＝2时，液体上升高度的瞬时变化率为22＋2×2＝8 cm/s.故选C. 1．下列运算中正确的是(　　) A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′ B．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2′(x2)′ C.′＝ D．(cosxsinx)′＝(sinx)′cosx＋(cosx)′cosx 答案：A 解析：对于A，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，正确；对于B，(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2(x2)′，错误；对于C，′＝，错误；对于D，(cosxsinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx·(sinx)′，错误． 2．(多选)若函数f(x)＝(m>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0可以是(　　) A．m B．0 C．－m D．m2 答案：AC 解析：f′(x)＝′＝＝，由＝0，得x0＝±m.故选AC. 3．曲线f(x)＝ex＋x＋1在x＝0处的切线方程为(　　) A．x－y＋2＝0 B．ex－y＋2＝0 C．2x－y＋2＝0 D．3x－y＋2＝0 答案：C 解析：由已知得f′(x)＝ex＋1，f′(0)＝2，即切线的斜率k＝2，又f(0)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.故选C. 4．(2024·湖南师范大学附属中学高二期末)已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________． 答案：－ 解析：∵f′(x)＝1＋ln x＋2ax，∴f′(e)＝2ae＋2＝0，∴a＝－. 5．(2024·陕西西安阎良区高二期末)某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝3t3－5t2＋5，则t＝2时，汽车的加速度是________． 答案：26 解析：设汽车的速度函数为v(t)，则v(t)＝s′(t)＝9t2－10t，v′(t)＝18t－10，所以t＝2时，汽车的加速度是v′(2)＝18×2－10＝26. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ 对点 利用导数的乘法法则求导 导数加法法则的应用；利用导数求曲线在某点的切线方程 导数乘法法则的应用；已知导函数解析式求参数值 导数加法和除法法则的应用；利用导数求切线方程 导数的四则运算法则在物理问题上的应用 利用导数的除法法则求导数值 题号 7 8 9 10 11 12 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 解析式中含导数的函数求导问题 利用导数解决与切线有关的最值问题 利用导数的运算法则求导 已知切线方程求参数值；导数加法法则的应用 待定系数法求函数解析式；利用导数的运算法则求导 已知切线斜率与切点坐标求参数值；已知切点坐标求切线斜率的取值范围 一、选择题 1．已知函数f(x)＝exsinx，则f′(x)＝(　　) A．excosx B．exsinx C．ex(sinx－cosx) D．ex(sinx＋cosx) 答案：D 解析：f′(x)＝(ex)′sinx＋ex(sinx)′＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)．故选D. 2．曲线y＝＋2在点(1，3)处的切线方程为(　　) A．x＋y－4＝0 B．x－y＋2＝0 C．3x－y＝0 D．3x－y＋1＝0 答案：A 解析：因为y＝＋2，所以y′＝－，故y′|x＝1＝－1，故曲线y＝＋2在点(1，3)处的切线方程为y－3＝－(x－1)，整理得x＋y－4＝0.故选A. 3．(2024·河北邯郸十校高二联考)已知函数f(x)＝axa＋b的导函数为f′(x)＝12x3，则(　　) A．b(a＋b)＝12 B．a(a＋b)＝36 C．a＝3，b＝1 D．a＝1，b＝3 答案：C 解析：由f(x)＝axa＋b，可得f′(x)＝a(a＋b)xa＋b－1，因为f′(x)＝12x3，所以解得故选C. 4．(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：f′(x)＝，则 f′(0)＝＝3，故该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－，故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×1×＝.故选A. 5．(多选)已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，单位：秒；s表示位移，单位：米)，则瞬时速度为0的时刻可以为(　　) A．0秒 B．2秒 C．4秒 D．8秒 答案：ACD 解析：s′＝t3－12t2＋32t，令s′＝0，即t3－12t2＋32t＝0，解得t＝0，4，8.故选ACD. 二、填空题 6．(2024·山东烟台高二期末)已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________． 答案：0 解析：因为f′(x)＝＝(x≠0)，所以f′(1)＝0. 7．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________． 答案：1 解析：∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx，∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx，∴f＝1. 8．已知点P是曲线y＝x2－ln x上一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________． 答案： 解析：作直线与直线y＝x－2平行，且与曲线y＝x2－ln x相切，则切点P到直线y＝x－2的距离最小．设P(x0，x－ln x0)，则k＝y′|x＝x0＝2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)，∴点P的坐标为(1，1)．∴dmin＝＝. 三、解答题 9．(2024·广东东莞众美中学高二月考)求下列函数的导数： (1)f(x)＝－2x3＋4x2；(2)f(x)＝xex； (3)f(x)＝xsinx＋cosx；(4)f(x)＝. 解：(1)由f(x)＝－2x3＋4x2，得f′(x)＝－6x2＋8x. (2)由f(x)＝xex，得f′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex. (3)由f(x)＝xsinx＋cosx， 得f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx. (4)由f(x)＝， 得f′(x)＝＝－. 10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0，1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求函数f(x)的解析式． 解：∵f(x)的图象过点P(0，1)，∴e＝1. 又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)． 故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e. ∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1. ∵函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝x－2， ∴切点坐标为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1. ∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1. ∴a＝，c＝－. ∴f(x)＝x4－x2＋1. 11．求满足下列条件的函数f(x)的解析式： (1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0； (2)f′(x)是一次函数，且x2f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1. 解：(1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)， 则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 由f(0)＝3，得d＝3，由f′(0)＝0，得c＝0， 由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程组解得 所以f(x)＝x3－3x2＋3. (2)由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数， 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b. 由x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，得 x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1， 即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0. 要使方程对任意x都成立， 则需a＝b，b＝2c，c＝1，所以a＝2，b＝2， 所以f(x)＝2x2＋2x＋1. 12．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围． 解：(1)f′(x)＝＝. ∵f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切， ∴即 ∴a＝4，b＝1，∴f(x)＝. (2)∵f′(x)＝， ∴直线l的斜率k＝f′(x0)＝＝4. 令t＝， 则t∈(0，1]，k＝4(2t2－t)＝8－， ∴k∈， 即直线l的斜率k的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$