4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（人教A版2019）

数学 选择性必修　第二册[RJ] 4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和 (教师独具内容) 课程标准：1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 教学重点：等比数列的前n项和公式的推导及应用． 教学难点：应用等比数列的前n项和公式解决问题． 核心素养：通过学习等比数列前n项和公式及其应用，提升数学运算素养和逻辑推理素养． 知识点　求和公式及基本方法 知识点 基本内容 等比数列的前n项和公式 推导等比数列前n项和公式的方法 错位相减法：解决由等比数列与等差数列对应项的积组成的数列求和问题 [提醒]　（1）在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量. （2）前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况. （3）当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数. 1.（等比数列的前n项和公式）等比数列，－，，－，…的前7项和为（　　） A. B. C. D. 答案：B 2.（利用等比数列前n项和的特点求参数）若等比数列{an}的前n项和Sn＝3n－c，则c＝（　　） A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案：C 3.（利用等比数列的前n项和求n）已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝（　　） A.9 B.8 C.7 D.6 答案：D 4.（由等比数列中的项求前n项和）等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是　　　　. 答案：211 题型一　等比数列前n项和的基本计算　 　在等比数列{an}中， （1）若Sn＝189，公比q＝2，an＝96，求a1和n； （2）若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5； （3）若a3＝，S3＝，求a1和公比q. [解]　（1）由an＝a1qn－1，Sn＝以及已知条件，得 ∴a1＝3，n＝6. （2）设等比数列{an}的公比为q，由通项公式及已知条件， 得 即 ∵a1≠0，1＋q2≠0， ∴②÷①得，q3＝，即q＝， ∴a1＝8. ∴a4＝a1q3＝8×＝1，S5＝＝＝. （3）当q＝1时，S3＝3a1，a3＝a1＝. ∴3×＝S3＝，∴a1＝，q＝1； 当q≠1时，S3＝＝，a3＝a1q2＝， ∴（1＋q＋q2）＝， ∴q＝－，q＝1（舍去）， ∴a1＝6. 综上所述，或 感悟提升　等比数列前n项和运算的技巧 （1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答. （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法.通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体. 注意：等比数列前n项和的计算，要优先讨论公比q＝1的情况. [跟踪训练1]　在等比数列{an}中， （1）（2024·山东济宁高二期末）若a2＝3，a5＝81，求S5； （2）若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和公比q； （3）已知S4＝1，S8＝17，求an. 解：（1）设等比数列{an}的公比为q. 由q3＝＝＝27，得q＝3， ∴a1＝＝1，∴S5＝＝＝121. （2）由Sn＝，得11＝， ∴q＝－2， 又由an＝a1qn－1，得16＝×（－2）n－1， ∴n＝5. （3）设等比数列{an}的公比为q.若q＝1，则S8＝2S4，不符合题意，∴q≠1， ∴S4＝＝1，S8＝＝17， 两式相除得＝17＝1＋q4，解得q＝±2. 当q＝2时，a1＝； 当q＝－2时，a1＝－， ∴an＝·2n－1或an＝－·（－2）n－1. 题型二　利用Sn判断等比数列　 　（1）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列. [解]　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n－2）－（3n－1－2）＝2×3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，不适合上式. 所以an＝ 解法一：由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，故{an}不是等比数列. 解法二：等比数列{an}的公比q≠1时的前n项和Sn＝Aqn＋B满足的条件为A＝－B，对于Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比数列. （2）（2024·河北邢台高二期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝3n＋1＋m，求m的值. [解]　设等比数列{an}的公比为q.因为3Sn＝3n＋1＋m，所以Sn＝3n＋.当q≠1时，Sn＝＝－·qn，所以qn的系数和常数项互为相反数，所以＋1＝0，即＝－1，所以m＝－3. 感悟提升　 （1）已知Sn，通过an＝求通项公式，应特别注意验证a1是否符合an＝Sn－Sn－1（n≥2）. （2）若数列{an}的前n项和Sn＝A（qn－1），其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. [跟踪训练2]　已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. （1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式； （2）若S5＝，求λ. 解：（1）由题意，得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan， 即（λ－1）an＋1＝λan. 由a1≠0，λ≠0且λ≠1，得an≠0， 所以＝. 因此{an}是首项为，公比为的等比数列， 于是an＝. （2）由（1），得Sn＝1－. 由S5＝，得1－＝， 即＝，解得λ＝－1. 题型三　等比数列前n项和推导思想的应用　 　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn（x≠0）. [解]　当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝； 当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋（n－1）xn＋nxn＋1， ∴（1－x）Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1， ∴Sn＝－. 综上可得， Sn＝ 感悟提升　若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项和时，常常采用将{anbn}的各项乘公比q，并向后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法若公比为字母，则需对其进行分类讨论. [跟踪训练3]　试求数列，，，，…，的前n项和Sn. 解：Sn＝＋＋＋…＋，① 则2Sn＝1＋＋＋…＋.② ②－①，得Sn＝1＋－ ＝1＋－＝3－. 1.在等比数列{an}中，a2＝2，4a1＋a3＝8，Sn是{an}的前n项和，则S5＝（　　） A.15 B.31 C.48 D.63 答案：B 解析：设等比数列{an}的公比为q，则a2＝a1q＝2，4a1＋a3＝a1（4＋q2）＝8，所以a1＝1，q＝2，故S5＝＝31.故选B. 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D 解析：设等比数列{an}的公比为q，则＝＝3，解得q3＝3，则＝＝＝＝4.故选D. 3.（多选）已知数列{an}为等差数列，a1＝1，且a2，a4，a8是一个等比数列中相邻的三项，记bn＝anqan（q≠0，1），则{bn}的前n项和可以是（　　） A.n B.nq C. D. 答案：BD 解析：设等差数列{an}的公差为d，又a1＝1，且a2，a4，a8是一个等比数列中相邻的三项，所以a＝a2a8，即（a1＋3d）2＝（a1＋d）（a1＋7d），化简，得d（d－1）＝0，所以d＝0或1，故an＝1或an＝n，所以bn＝q或bn＝nqn，设{bn}的前n项和为Sn，（1）当bn＝q时，Sn＝nq；（2）当bn＝nqn时，Sn＝q＋2q2＋3q3＋…＋nqn　①，qSn＝q2＋2q3＋3q4＋…＋nqn＋1　②，①－②，得（1－q）Sn＝q＋q2＋q3＋…＋qn－nqn＋1＝－nqn＋1，所以Sn＝－＝.故选BD. 4.（2024·湖南岳阳高二期中）数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝a·＋5，则实数a＝　　　　. 答案：－ 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为Sn＝a·＋5，所以Sn＝3a·＋5.因为当q≠1时，Sn＝＝－·qn，所以qn的系数和常数项互为相反数，所以3a＋5＝0，所以a＝－. 5.（2023·全国甲卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6＝7S3，则{an}的公比为　　　　. 答案：－ 解析：设等比数列{an}的公比为q.若q＝1，则由8S6＝7S3得8×6a1＝7×3a1，则a1＝0，不符合题意，所以q≠1.当q≠1时，因为8S6＝7S3，所以8×＝7×，即8（1－q6）＝7（1－q3），即8（1＋q3）（1－q3）＝7（1－q3），即8（1＋q3）＝7，解得q＝－. 课后课时精练 基础题（占比60%）　中档题（占比30%）　拔高题（占比10%） 题号 1 2 3 4 5 6 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ 对点 利用等比数列前n项和的关系求Sn 利用等比数列的前n项和公式求Sn 等比中项公式求公比；求等比数列的前n项和 利用等比数列的通项公式求公比；判断等比（差）数列；求等比数列的前n项和 数列新定义问题；等比数列前n项和公式的应用 求等比数列的公比及前n项和 题号 7 8 9 10 11 12 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 由等比数列中的项及前n项和求公比 错位相减法求和 等差中项公式的应用；求等比数列的公比；由数列中项的数量关系求等比数列的前n项和 已知Sn与an的关系求通项公式；已知等比数列求参数的值 结构不良类型；求等比数列的前n项和；不等式恒成立求n的取值范围 形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式；数列放缩证明不等式；等比数列求前n项和 一、选择题 1.（2023·全国甲卷）已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}的前n项和，S5＝5S3－4，则S4＝（　　） A.7 B.9 C.15 D.30 答案：C 解析：由题意知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5（1＋q＋q2）－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即（q－2）（q＋1）（q＋2）＝0.由题意知q＞0，所以q＝2，所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C. 2.若数列{an}是等比数列，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋a＋…＋a＝（　　） A.（2n－1）2 B.（2n－1）2 C.4n－1 D.（4n－1） 答案：D 解析：由Sn＝2n－1得a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝22－2＝2.∴公比为q＝2，可知数列{a}是等比数列，首项为1，公比为q2＝4.∴a＋a＋a＋…＋a＝＝（4n－1）. 3.在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝（　　） A.2n＋1－2 B.3n C.2n D.3n－1 答案：C 解析：∵数列{an}为等比数列，设其公比为q，∴an＝2qn－1，∵数列{an＋1}也是等比数列，∴（an＋1＋1）2＝（an＋1）（an＋2＋1），得a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，即an＋an＋2＝2an＋1，从而an（1＋q2－2q）＝0，得q＝1，∴an＝2，∴Sn＝2n.故选C. 4.（多选）在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是（　　） A.q＝2 B.数列{Sn＋2}是等比数列 C.S8＝510 D.数列{log2an}是公差为2的等差数列 答案：ABC 解析：因为数列{an}为等比数列，又a1a4＝32，所以a2a3＝32，又a2＋a3＝12，所以或又公比q为整数，则所以an＝2n，Sn＝＝2n＋1－2.由上可得q＝2，故A正确；Sn＋2＝2n＋1，＝＝2，则数列{Sn＋2}是等比数列，故B正确；S8＝29－2＝510，故C正确；log2an＋1－log2an＝（n＋1）－n＝1，即数列{log2an}是公差为1的等差数列，故D错误.故选ABC. 5.（多选）“提丢斯数列”是18世纪由德国数学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，192，…这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，19.6，…，则下列说法中正确的是（　　） A.“提丢斯数列”是等比数列 B.“提丢斯数列”的第99项为 C.“提丢斯数列”的前31项和为＋ D.“提丢斯数列”中，不超过20的有9项 答案：BC 解析：记“提丢斯数列”为数列{an}，则当n≥2时，an＝，当n＝1时，a1＝0.4不符合上式，故an＝故A错误；a99＝，故B正确；“提丢斯数列”的前31项和为＋×（20＋…＋229）＋×30＝＋，故C正确；令≤20，即2n－2≤，得n＝2，3，4，5，6，7，8，又a1<20，故不超过20的有8项，故D错误.故选BC. 二、填空题 6.（2024·辽宁沈阳高二期中）已知正项等比数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn（n∈N*），且－＝，则S4＝　　　　. 答案：15 解析：正项等比数列{an}中，a1＝1，且－＝，∴1－＝，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1（舍去），∴S4＝＝15. 7.在递增的等比数列{an}中，Sn为其前n项和.已知a1＋an＝34，a3an－2＝64（n>2，n∈N*），且Sn＝42，则数列{an}的公比为　　　　. 答案：4 解析：由题意，设{an}的公比为q.∵a1＋an＝34，a3an－2＝a1an＝64（n>2，n∈N*），∴a1＝2，an＝32，∴Sn＝＝＝42，解得q＝4. 8.计算：1×＋2×＋3×＋…＋9×＝　　　　. 答案： 解析：设S＝1×＋2×＋3×＋…＋9×　①，则S＝1×＋2×＋3×＋…＋9×　②，由①－②，得S＝＋＋＋…＋－9×＝－9×＝1－－9×＝1－＝，所以S＝. 三、解答题 9.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列. （1）求{an}的公比q； （2）若a1－a3＝3，求Sn. 解：（1）依题意有S1＋S2＝2S3， 即a1＋（a1＋a1q）＝2（a1＋a1q＋a1q2）， 由于a1≠0，故2q2＋q＝0. 又q≠0，从而q＝－. （2）由已知可得a1－a1＝3，故a1＝4. 从而Sn＝＝. 10.（2024·河北衡水高二期中）设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列. （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝1－Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）依题意，得2Sn＝an＋1－a1. 于是，当n≥2时，有 两式相减，得an＋1＝3an（n≥2）. 又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0， 所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列. 因此an＝a1·3n－1（n∈N*）. （2）存在. 因为Sn＝＝a1·3n－a1， 所以bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n. 要使数列{bn}为等比数列，则1＋a1＝0， 故a1＝－2. 11.（2024·广东实验中学高二阶段测试）在①a1＝2且＝8；②Sn＝t－；③an>0，S3＝21且a2＋a3＝6a1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且　　　　，则是否存在正整数n，使Sn－an－100>0成立？若存在，求出n的最小值；若不存在，请说明理由. 解：选①a1＝2且＝8， 设等比数列{an}的公比为q， 则＝＝＝q3＝8， 解得q＝2， 所以an＝a1qn－1＝2n，Sn＝＝2n＋1－2， 则Sn－an－100＝2n＋1－2－2n－100＝2n－102>0， 解得n≥7， 所以存在正整数n，使Sn－an－100>0成立，n的最小值为7. 选②Sn＝t－， 则an＝Sn－Sn－1＝－＋＝， a1＝1＝S1＝t－1，解得t＝2， 所以Sn＝2－， 则Sn－an－100＝2－－－100＝－－98<0， 故不存在正整数n，使Sn－an－100>0成立. 选③an>0，S3＝21且a2＋a3＝6a1， 则a1＝S3－（a2＋a3）＝21－6a1，解得a1＝3， 设等比数列{an}的公比为q， 则3q＋3q2＝18， 解得q＝2或q＝－3（舍去）， 所以an＝a1qn－1＝3×2n－1，Sn＝3（2n－1）， 则Sn－an－100＝3×2n－1－103>0， 解得n≥7， 所以存在正整数n，使Sn－an－100>0成立，n的最小值为7. 12.（2024·江苏南京高二期中）已知数列{an}满足a1＝1且an＋1＝2an＋1. （1）求数列{an}的通项公式； （2）记数列的前n项和为Tn，证明：Tn<2. 解：（1）由an＋1＝2an＋1， 得an＋1＋1＝2（an＋1）， 又a1＋1＝2， 所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列. 所以an＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n－1. （2）证明：由（1）可知，＝， 所以Tn＝＋＋＋…＋. 因为<（n≥2）， 所以当n≥2时，Tn＝＋＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝＝2－<2， 又当n＝1时，T1＝1<2，所以Tn<2. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$