4.2.1 第1课时 等差数列的概念与通项公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（人教A版2019）

数学 选择性必修　第二册[RJ] 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念与通项公式 (教师独具内容) 课程标准：1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.体会等差数列与一元一次函数的关系． 教学重点：1.等差数列的概念.2.等差数列的通项公式及运用． 教学难点：1.等差数列的判定.2.等差数列的通项公式及灵活运用． 核心素养：1.通过学习等差数列的概念，提升数学抽象素养.2.通过学习等差数列的证明及相关计算，提升逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 知识点二　等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b． 知识点三　等差数列的递推公式与通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，填表： 递推公式 通项公式 an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d 知识点四　等差数列与函数的关系 由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． [拓展]　等差数列{an}的图象为分布于一条直线上的一群孤立的点，结合一次函数的单调性可知：当d>0时，{an}为递增数列；当d<0时，{an}为递减数列；当d＝0时，{an}为常数列． 1．(等差数列的概念)(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A．0，0，0，0，0，… B．1，11，111，1111，… C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，… 答案：AC 2．(等差数列的公差)已知等差数列{an}，a1＝2，a3＝5，则公差d＝(　　) A. B. C．3 D．－3 答案：B 3．(等差中项)－2与11的等差中项为________． 答案： 4．(等差数列的通项公式)等差数列{an}中，a3＝5，a7＝13，则数列{an}的通项公式是________． 答案：an＝2n－1 题型一　等差数列的概念　 　判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d. (1)1，3，5，7，9，…；(2)9，6，3，0，－3，…； (3)1，3，4，5，6，…；(4)m，m＋n，m＋2n. [解]　(1)是，a1＝1，d＝2. (2)是，a1＝9，d＝－3. (3)不是． (4)是，因为(m＋n)－m＝(m＋2n)－(m＋n)＝n，所以a1＝m，d＝n. 感悟提升　等差数列概念的理解 (1)定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项． (2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征)． (3)公差可以是正数、负数、零． [跟踪训练1]　(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 答案：ABD 解析：根据等差数列的定义可得，对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3(常数)，所以是等差数列；对于B，满足lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2(常数)，所以是等差数列；对于C，因为24－25≠23－24，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；对于D，满足8－10＝6－8＝4－6＝2－4＝－2(常数)，所以是等差数列．故选ABD. 题型二　等差数列的通项公式　 　(2024·重庆八中高二下诊断)在等差数列{an} 中， (1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an； (2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n； (3)已知a1＝12，a6＝27，求d； (4)已知d＝－，a7＝8，求a1和an. [解]　(1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29. (2)由an＝a1＋(n－1)d，得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10. (3)由a6＝a1＋5d，得12＋5d＝27，解得d＝3. (4)由a7＝a1＋6d，得a1－2＝8，解得a1＝10， 所以an＝a1＋(n－1)d＝10－(n－1)＝－n＋. 感悟提升　等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． [跟踪训练2]　(1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d. 解：因为a5＝10，a12＝31， 故即 (2)已知等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，求数列{an}的通项公式． 解：设等差数列{an}的公差为d， 由已知得1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d＝±2， 当d＝2时，an＝1＋(n－1)×2＝2n－1； 当d＝－2时，an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3. 题型三　等差中项及应用　 　(1)已知2m与n的等差中项为5，m与2n的等差中项为4，则m与n的等差中项为________． [解析]　依题意可得2m＋n＝10，m＋2n＝8，两式相加，得3m＋3n＝18，所以m＋n＝6，故m与n的等差中项为3. [答案]　3 (2)已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列？ [解]　因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b. 又因为a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0， 所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)． 所以a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列． 感悟提升　等差中项的应用策略 (1)求两个数x，y的等差中项A，根据等差中项的定义得A＝. (2)证明三项成等差数列，只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列． [跟踪训练3]　(1)(多选)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，则(　　) A．a＋b＝5 B．b＋c＝7 C．a＋c＝6 D．a＋b＋c＝9 答案：CD 解析：∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3.a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5，∴a＋b＝4，b＋c＝8，a＋c＝6，a＋b＋c＝9.故选CD. (2)(2024·河北唐山开滦一中高二期末)若不全相等的非零实数a，b，c成等差数列，且公差为d，那么，，(　　) A．可能是等差数列 B．一定不是等差数列 C．一定是等差数列，且公差为 D．一定是等差数列，且公差为d 答案：B 解析：若，，是等差数列，则＝＋＝，因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b，则整理得a＝b＝c，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，所以，，一定不是等差数列．故选B. 题型四　等差数列的判定与证明　 　(1)(2024·山东泰安高二阶段测试)已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)，设bn＝(n∈N*)，证明数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式． [解]　因为an＝2－， 所以an＋1＝2－. 则bn＋1－bn＝－＝－＝＝1， 所以数列{bn}是首项为b1＝＝1，公差为1的等差数列． 所以bn＝n，所以bn＝＝n(n∈N*)， 解得an＝1＋， 所以数列{an}的通项公式为an＝1＋(n∈N*)． (2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)，是否存在实数λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求出其通项公式；若不存在，请说明理由． [解]　不存在．理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n， ∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16. 若数列{an}为等差数列，由a2－a1＝a3－a2， 得a1＋a3＝2a2， 即2＋2λ2－10λ＋16＝2(2λ－4)， ∴λ2－7λ＋13＝0. ∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解， ∴实数λ不存在，即不存在实数λ，使数列{an}为等差数列． 感悟提升 1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列． (3)通项法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列． 若要说明一个数列不是等差数列，则只需举一个反例即可． 2．用定义证明等差数列时的易错点 用定义证明等差数列时，常采用两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则当n＝1时，a0无定义． [跟踪训练4]　(1)已知a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1，证明为等差数列，并求{an}的通项公式． 解：因为an＋1＝2an＋2n＋1， 所以－＝－＝1， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列． 所以＝1＋(n－1)×1＝n. 所以an＝n·2n. (2)已知数列{an}满足2an＋(n－1)an－1＝nan＋a1(n∈N*，且n≥2)，证明：数列{an}为等差数列． 证明：将2an＋(n－1)an－1＝nan＋a1(n≥2)中的n替换为n＋1得2an＋1＋nan＝(n＋1)an＋1＋a1. 两式相减，并整理得(2n－2)an＝(n－1)an＋1＋(n－1)an－1(n≥2)， 由n≥2，得2an＝an＋1＋an－1. 故数列{an}为等差数列． 1．已知数列{an}是等差数列．若a1＝2，a4＝2a3，则公差d＝(　　) A．0 B．2 C．－1 D．－2 答案：D 解析：由题意知，a1＋3d＝2(a1＋2d)，即2＋3d＝2(2＋2d)，解得d＝－2.故选D. 2．已知一个等差数列的前4项是a，x，b，2x(x≠0)，则＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：∴a＝，b＝x，∴＝. 3．(多选)(2024·河北张家口高二月考)下列结论正确的是(　　) A．若an＝an－1＋π(n≥2)，则数列{an}是等差数列 B．若an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列 C．若an＝bn＋c(b，c是常数)，则数列{an}是等差数列 D．若数列{an}是等差数列，则数列也是等差数列 答案：AC 解析：对于A，由an＝an－1＋π(n≥2)得an－an－1＝π(n≥2)，满足等差数列的定义，故A正确；对于B，因为an＋1－an＝n，n不是常数，不满足等差数列的定义，故B错误；对于C，因为an＝bn＋c，an－1＝b(n－1)＋c＝bn＋c－b(n≥2)，an－an－1＝b(n≥2)，满足等差数列的定义，故C正确；对于D，因为数列{an}是等差数列，所以an－an－1＝d(d为常数，n≥2)，但－(n≥2)不一定是常数，所以数列不一定是等差数列，故D错误．故选AC. 4．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，则a45＝________． 答案：153 解析：设数列{an}的公差为d，∵a15＝33，a61＝217，∴解得∴a45＝a1＋(45－1)×4＝－23＋176＝153. 5．(2024·湖北荆州中学高二期末)已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝，则数列{an}的通项公式为an＝________． 答案： 解析：因为an＋1＝，所以＝＝＋1，－＝1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝n，an＝. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 由等差中项公式求等差中项 由等差数列中的项确定项数 由等差数列的首项及公差求绝对值最小的项 等差数列与数学文化的综合 由递推关系判断等差数列并求通项公式 由等差中项公式求参数的值 题号 7 8 9 10 11 12 难度 ★★ ★★ ★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 构造等差数列求数列中的项 由等差数列中的项确定某数是第几项 含对数的等差数列的证明 用定义证明等差数列；判断某数是否在数列中 用定义证明等差数列；求数列的通项公式 由数列中的项求参数的值；判断数列是否为等差数列 一、选择题 1．(2024·东北师大附中高二阶段测试)方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为(　　) A．1 B．6 C．5 D．－3 答案：D 解析：由x1＋x2＝－6，知x1，x2的等差中项A＝＝－3. 2．(2024·山东烟台高二期中)等差数列1，－1，－3，－5，…，－89的项数是(　　) A．92 B．47 C．46 D．45 答案：C 解析：∵a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，由－89＝－2n＋3，得n＝46. 3．等差数列{an}中，a1＝70，d＝－9，则这个数列中绝对值最小的一项为(　　) A．a8 B．a9 C．a10 D．a11 答案：B 解析：∵an＝a1＋(n－1)d＝79－9n，d＝－9<0，∴数列{an}为递减数列，a8＝7，a9＝－2.∴a9的绝对值最小．故选B. 4．(2024·辽宁沈阳高二期中)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a6＝(　　) A．17 B．37 C．107 D．128 答案：C 解析：因为an能被3除余2且被7除余2，所以an－2既是3的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数，且an>0，所以an－2＝21(n－1)，即an＝21n－19，所以a6＝21×6－19＝107.故选C. 5．(多选)已知数列{an}满足a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N*)，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}是等差数列 B．a2k＝7－2k(k∈N*) C．a2k－1＝12－2k(k∈N*) D．an＋an＋1＝18－3n 答案：BC 解析：由an－an＋2＝2得a3＝a1－2＝8，由于2a2≠a1＋a3，所以{an}不是等差数列，A错误；由an－an＋2＝2，知{an}的偶数项、奇数项分别构成等差数列，公差都为－2，当n＝2k(k∈N*)时，a2k＝a2＋(k－1)×(－2)＝7－2k，当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k－1＝a1＋(k－1)×(－2)＝12－2k，故B，C正确；当n＝2时，a2＋a3＝5＋8＝13不满足an＋an＋1＝18－3n，故D错误． 二、填空题 6．等差数列的前4项依次是a－1，a＋1，2a＋3，2b－3，则a＝________，b＝________． 答案：0　4 解析：依题意可知解得 7．(2024·湖南株洲第二中学高二月考)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，则a13＝________． 答案：168 解析：由an＋1＝an＋2＋1，得an＋1＋1＝(＋1)2，∴－＝1.又a1＝0，∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，则＝n，∴an＝n2－1，∴a13＝132－1＝168. 8．将由2，5，8，11, 14，…组成的等差数列按顺序写在练习本上，已知每行写13个，每页有21行，则5555在第________页第________行．(用数字作答) 答案：7　17 解析：由2，5，8，11，14，…组成的等差数列的通项公式为an＝3n－1，令3n－1＝5555，解得n＝1852.又13×21＝273，1852＝273×6＋214，214＝13×16＋6.所以5555在第7页第17行． 三、解答题 9．已知，，成等差数列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，求证：lg (a＋c)，lg (a－c)，lg (a＋c－2b)成等差数列． 证明：∵，，成等差数列， ∴＝＋， ∴＝，即2ac＝b(a＋c)． (a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c)2－2b(a＋c)＝(a＋c)2－2×2ac＝a2＋c2＋2ac－4ac＝(a－c)2. ∵a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，上式左右两边同时取对数，得lg [(a＋c)(a＋c－2b)]＝lg (a－c)2， 即lg (a＋c)＋lg (a＋c－2b)＝2lg (a－c)， ∴lg (a＋c)，lg (a－c)，lg (a＋c－2b)成等差数列． 10．已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N*时，有＝，设bn＝，n∈N*. (1)求证：数列{bn}为等差数列； (2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由． 解：(1)证明：当n>1，n∈N*时，＝⇔＝⇔－2＝2＋⇔－＝4⇔bn－bn－1＝4，且b1＝＝5. ∴数列{bn}是首项为5，公差为4的等差数列． (2)由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1. ∴an＝＝，n∈N*. ∴a2＝，∴a1a2＝. 令an＝＝，∴n＝11，即a1a2＝a11， ∴a1a2是数列{an}中的项，且是第11项． 11．曲线C：xy－2kx＋k2＝0与直线x－y＋8＝0有唯一公共点，数列{an}的首项a1＝2k，且当n≥2时，点(an－1，an)恒在曲线C上，数列{bn}满足关系式bn＝. (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：由xy－2kx＋k2＝0，y＝x＋8得x2＋(8－2k)x＋k2＝0. 由条件有Δ＝(8－2k)2－4k2＝0，k＝2， 因此曲线方程为xy－4x＋4＝0， ∵点(an－1，an)在曲线上， 故an＝，得an－2＝， ∴bn＝＝＝＝＋＝＋bn－1， 即bn－bn－1＝， 当n＝1时，b1＝＝＝， ∴数列{bn}是以为首项，为公差的等差数列． (2)由(1)可得bn＝＋(n－1)＝. 由bn＝，解得an＝2＋. 12．(2024·广东湛江高二期末)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常数． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)是否存在实数λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，且a1＝1， 所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3. 从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3. (2)不存在实数λ，使数列{an}为等差数列．证明如下： 由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得 a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)， a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)． 若存在λ，使{an}为等差数列， 则a3－a2＝a2－a1， 即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3. 于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24， 这与{an}为等差数列矛盾． 所以不存在实数λ，使数列{an}为等差数列． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$