5.2.3 简单复合函数的导数-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第五章　一元函数的 导数及其应用 5.2　导数的运算 5.2.3　简单复合函数的导数 (教师独具内容) 课程标准：能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数． 教学重点：复合函数的求导． 教学难点：分清函数的复合关系，选好中间变量． 核心素养：通过学习复合函数的求导法则及其简单应用，提升数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成________，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作__________． 知识点二　复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为___________．即_________________________ ____________________． x的函数 y＝f(g(x)) y′x＝y′u·u′x y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 2 核心概念掌握 7 核心素养形成 题型一　简单复合函数的求导问题 核心素养形成 9 核心素养形成 10 感悟提升　 1．复合函数求导的步骤 核心素养形成 11 2．求复合函数的导数需处理好的几个环节 (1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量． (2)中间变量的选择应是基本函数结构． (3)关键是正确分析函数的复合层次． (4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导． (5)善于把一部分表达式作为一个整体． (6)最后要把中间变量换成自变量的函数． 核心素养形成 12 核心素养形成 13 核心素养形成 14 题型二　与复合函数有关的切线问题 解　解法一：f′(x)＝2f′(2－x)(2－x)′－2x＋8＝－2f′(2－x)－2x＋8， 则f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，得f′(1)＝2. 又f(1)＝2f(1)－1＋8－8，得f(1)＝1， 故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. (1)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． 核心素养形成 15 解法二：因为f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，① 所以f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8.② 把②代入①得f(x)＝x2， 所以f(1)＝1，f′(x)＝2x， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝f′(1)＝2， 故所求切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 核心素养形成 16 核心素养形成 17 感悟提升　与复合函数有关的切线问题，关键是牢记复合函数的求导方法，准确求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解． 核心素养形成 18 【跟踪训练2】　(1)曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为____________． 解析：y′＝－5e－5x，曲线在点(0，3)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0. 5x＋y－3＝0 核心素养形成 19 (2)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是________． 核心素养形成 20 题型三　复合函数求导的实际应用 核心素养形成 21 感悟提升　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况． 核心素养形成 22 核心素养形成 23 随堂水平达标 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 4．(2024·海南华侨中学高二期末)烧水时，水温随着时间的推移而变化．假设水的初始温度为20 ℃，加热后的温度函数T(t)＝100－ke－0.1t(k是常数，t表示加热的时间，单位：min)，则加热到第10 min时，水温的瞬时变化率是______ ℃/min. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 5．(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． ln 2 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 用复合函数求导法则及导数的四则运算法则求导 用复合函数求导法则求导；利用导数值求自变量的值 复合函数求导的实际应用 已知切线斜率求切点坐标；函数奇偶性的应用 用复合函数求导法则和导数的四则运算法则求导；新定义问题 用复合函数求导法则和导数的四则运算法则求导 题号 7 8 9 10 11 12 难度 ★★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 已知切线方程与切点坐标求参数值 用复合函数求导法则求导；已知三角函数的奇偶性求参数值 用复合函数求导法则和导数的四则运算法则求导 复合函数求导的实际应用 用复合函数求导法则求解公切线问题 用复合函数求导法则求导；导函数周期性的证明 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 31 一、选择题 1．函数y＝4(2－x＋3x2)2的导数是(　　) A．y′＝8(2－x＋3x2) B．y′＝2(－1＋6x)2 C．y′＝8(2－x＋3x2)(－1＋6x) D．y′＝4(2－x＋3x2)(－1＋6x) 解析：y′＝4×2(2－x＋3x2)(2－x＋3x2)′＝8(2－x＋3x2)(－1＋6x)．故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 32 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 33 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 34 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 35 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 二、填空题 6．函数y＝xe1－2x的导数y′＝_____________． 解析：y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x×(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x×(－2)＝(1－2x)e1－2x. (1－2x)e1－2x 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 11．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，求b的值． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 43 12．(1)求函数f(x)＝cos2(ax＋b)的导函数； (2)证明：若函数f(x)可导且为周期函数，则f′(x)也为周期函数． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 44 　　　　　　　　　　　　　 R 1．(复合函数的概念)(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－eq \f(1,x)＋1 B．y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))) C．y＝eq \f(1,ln x) D．y＝(2x＋3)4 2．(简单复合函数的求导问题)设f(x)＝ln (3x＋2)－3x2，则f′(0)＝(　　) A．1 B.eq \f(3,2) C．－1 D．－2 3．(与复合函数有关的切线问题)曲线y＝sin2x在点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,4)))处的切线的斜率是________． 4．(复合函数求导的实际应用)已知某质点的位移s与时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________． eq \f(\r(3),2) 　求下列函数的导数： (1)y＝(3x－2)4；(2)y＝ln (6x＋4)；(3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝eq \r(3x＋5). 解　(1)∵函数y＝(3x－2)4由函数y＝u4和u＝3x－2复合而成，∴y′x＝y′u·u′x＝(u4)′·(3x－2)′＝12u3＝12(3x－2)3. (2)∵函数y＝ln (6x＋4)由函数y＝ln u和u＝6x＋4复合而成，∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(6x＋4)′＝eq \f(6,u)＝eq \f(6,6x＋4)＝eq \f(3,3x＋2). (3)函数y＝sin(2x＋1)可以看作函数y＝sinu和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有eq \a\vs4\al(y′x)＝y′u·u′x＝(sinu)′·(2x＋1)′＝2cosu＝2cos(2x＋1)． (4)函数y＝eq \r(3x＋5)可以看作函数y＝eq \r(u)和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝(eq \r(u))′·(3x＋5)′＝eq \f(3,2\r(u))＝eq \f(3,2\r(3x＋5)). eq \a\vs4\al([跟踪训练1])　求下列函数的导数： (1)y＝e2x；(2)y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))；(3)y＝5log2(2x＋1)；(4)y＝eq \f(1,\r(3,－3x－1)). 解：(1)设u＝2x，则y＝eu， 所以y′x＝y′u·u′x＝eu·2＝2e2x. (2)设y＝cosu，u＝2x＋eq \f(π,3)， 则y′x＝y′u·u′x＝－sinu·2＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))). (3)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′ ＝eq \f(10,uln 2)＝eq \f(10,（2x＋1）ln 2). (4)设u＝－3x－1，则y＝u－eq \s\up7(\f(1,3))， 所以y′x＝y′u·u′x＝－eq \f(1,3)u－eq \s\up7(\f(4,3))·(－3)＝(－3x－1)－eq \s\up7(\f(4,3))＝eq \f(\r(3,（－3x－1）2),（－3x－1）2). (2)已知曲线y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))处的切线斜率为k，若|k|<1，求ω的值． 解　∵曲线y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω·\f(π,2)＋\f(π,3)))＝0， ∴ω·eq \f(π,2)＋eq \f(π,3)＝nπ＋eq \f(π,2)(n∈Z)，∴ω＝2n＋eq \f(1,3)(n∈Z)， 又y′＝－ωsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))， ∴k＝ ＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,3)))sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,3)))×\f(π,2)＋\f(π,3)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,3)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(nπ＋\f(π,2)))＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,3))). ∵|k|<1，∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,3)))<1，∴n＝0，即ω＝eq \f(1,3). eq \r(5) 解析：设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝eq \f(2,2x－1)，∴y′|x＝x0＝eq \f(2,2x0－1)＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝eq \f(|2－0＋3|,\r(4＋1))＝eq \r(5)，即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是eq \r(5). \lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6))) 　某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义． 解　设f(x)＝3sinx，x＝φ(t)＝eq \f(π,12)t＋eq \f(5π,6)， 所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cosx·eq \f(π,12)＝eq \f(π,4)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))， 将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝eq \f(π,4)coseq \f(7π,3)＝eq \f(π,8). s′(18)表示当t＝18 h时，潮水高度上升的瞬时速度为eq \f(π,8) m/h. eq \a\vs4\al([跟踪训练3])　有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s(t)＝5－eq \r(25－9t2).求函数在t＝1时的导数，并解释它的实际意义． 解：函数s＝5－eq \r(25－9t2)可以看作函数s＝5－eq \r(x)和x＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量． 由导数公式表可得s′x＝－eq \f(1,2)x－eq \s\up7(\f(1,2))，x′t＝－18t. 故由复合函数求导法则得s′t＝s′x·x′t＝1,2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x－)) ·(－18t)＝eq \f(9t,\r(25－9t2))， 将t＝1代入s′(t)，得s′(1)＝2.25(m/s)． 它表示当t＝1 s时，梯子上端下滑的瞬时速度为2.25 m/s. 1．函数y＝eq \f(1,2)(ex＋e－x)的导数是(　　) A．y′＝eq \f(1,2)(ex－e－x) B．y′＝eq \f(1,2)(ex＋e－x) C．y′＝ex－e－x D．y′＝ex＋e－x 解析：y′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（ex＋e－x）))′＝eq \f(1,2)[(ex)′＋(e－x)′]＝eq \f(1,2)(ex－e－x)． 2．设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝(　　) A．ln 3 B．－ln 3 C.eq \f(1,ln 3) D．－eq \f(1,ln 3) 解析：f′(x)＝eq \f(1,（x－1）ln 3)，故f′(2)＝eq \f(1,ln 3). 3．(多选)若函数f(x)＝eq \f(1,2)sin2x＋sinx，则f′(x)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．有最大值 D．有最小值 解析：∵函数f(x)＝eq \f(1,2)sin2x＋sinx，∴f′(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx＋\f(1,4)))eq \s\up12(2)－eq \f(9,8)，当cosx＝－eq \f(1,4)时，f′(x)取得最小值－eq \f(9,8)；当cosx＝1时，f′(x)取得最大值2，且f′(－x)＝f′(x)，即f′(x)是既有最大值，又有最小值的偶函数． 解析：因为水的初始温度为20 ℃，所以T(0)＝100－k＝20，解得k＝80，所以T′(t)＝8e－0.1t，则T′(10)＝eq \f(8,e)，所以加热到第10 min时，水温的瞬时变化率是eq \f(8,e) ℃/min. eq \f(8,e) 解析：设f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，f′(0)＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.设g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝eq \f(1,x＋1)，设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线，得eq \f(1,x0＋1)＝2，解得x0＝－eq \f(1,2)，则切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，a＋ln \f(1,2)))，切线方程为y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋a＋ln eq \f(1,2)＝2x＋1＋a－ln 2，因为两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2. 2．设f(x)＝ln (2x－1)，若f(x)在x0处的导数f′(x0)＝1，则x0的值为(　　) A.eq \f(e＋1,2) B.eq \f(3,2) C．1 D.eq \f(3,4) 解析：由f(x)＝ln (2x－1)，得f′(x)＝eq \f(2,2x－1)，由f′(x0)＝eq \f(2,2x0－1)＝1，解得x0＝eq \f(3,2). 3．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M0×2－eq \s\up7(\f(t,30))，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(单位：太贝克/年)，则t＝60时，铯137的含量为(　　) A．5太贝克 B．75ln 2太贝克 C．150ln 2太贝克 D．150太贝克 解析：因为M′(t)＝－eq \f(1,30)ln 2×M0×2－eq \s\up7(\f(t,30))，所以M′(30)＝－eq \f(1,30)ln 2×M0×2－eq \s\up7(\f(30,30))＝－10ln 2，解得M0＝600，所以M(t)＝600×2－eq \s\up7(\f(t,30))，所以t＝60时，铯137的含量为600×2－eq \s\up7(\f(60,30))＝600×eq \f(1,4)＝150(太贝克)． 4．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq \f(3,2)，则切点的横坐标为(　　) A．ln 2 B．－ln 2 C．eq \f(ln 2,2) D．－eq \f(ln 2,2) 解析：对f(x)＝ex＋a·e－x求导得f′(x)＝ex－a·e－x.又f′(x)是奇函数，故f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1，故有f′(x)＝ex－e－x.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝eq \f(3,2)，解得ex0＝2或ex0＝－eq \f(1,2)(舍去)，得x0＝ln 2.故选A. 5．(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f′(x)]′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．下列四个函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内是凸函数的是(　　) A．f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))) B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x 解析：若f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，则f′(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，f″(x)＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内恒有f″(x)<0；若f(x)＝ln x－2x，则f′(x)＝eq \f(1,x)－2，f″(x)＝－eq \f(1,x2)，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内恒有f″(x)<0；若f(x)＝－x3＋2x－1，则f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内恒有f″(x)<0；若f(x)＝－xe－x，则f′(x)＝(x－1)e－x，f″(x)＝(2－x)e－x，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内恒有f″(x)>0.故选ABC. 7．设f(x)＝ln (x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，若曲线y＝f(x)与直线y＝eq \f(3,2)x在点(0，0)处相切，则a－b＝______． 解析：由曲线y＝f(x)过点(0，0)，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln (x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b，得f′(x)＝eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,2\r(x＋1))＋a，则f′(0)＝1＋eq \f(1,2)＋a＝eq \f(3,2)＋a，此即曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率．由题意知eq \f(3,2)＋a＝eq \f(3,2)，故a＝0.故a－b＝0－ (－1)＝1. 8．(2024·河南郑州高二期末)设函数f(x)＝sin(eq \r(3)x＋φ)(0＜φ＜π)，若y＝f(x)＋f′(x)是偶函数，则φ＝______． 解析：∵f(x)＝sin(eq \r(3)x＋φ)，∴f′(x)＝eq \r(3)cos(eq \r(3)x＋φ)，∴f(x)＋f′(x)＝sin(eq \r(3)x＋φ)＋eq \r(3)cos(eq \r(3)x＋φ)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋φ＋\f(π,3)))，∵y＝f(x)＋f′(x)为偶函数，∴φ＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，即φ＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝eq \f(π,6). eq \f(π,6) 三、解答题 9．求出下列函数的导数： (1)y＝sin(1－3x)；(2)y＝eq \f(1,\r(4＋2x))；(3)y＝ln (4x＋5)3；(4)y＝e－x＋2(2x＋1)5. 解：(1)y′＝－3cos(1－3x)． (2)由y＝eq \f(1,\r(4＋2x))＝(4＋2x)－eq \f(1,2)，得y′＝－eq \f(1,2)(4＋2x)－eq \f(3,2)×2＝－(4＋2x)－eq \f(3,2). (3)由y＝ln (4x＋5)3＝3ln (4x＋5)，得y′＝eq \f(12,4x＋5). (4)y′＝－e－x＋2(2x＋1)5＋e－x＋2×5(2x＋1)4×2＝e－x＋2×(2x＋1)4(－2x－1＋10)＝(9－2x)(2x＋1)4e－x＋2. 10．一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化满足关系：x＝4＋16e－2t. (1)求汽水温度x在t＝1处的导数，并解释它的实际意义； (2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系：x＝eq \f(5,9)y－32.写出y关于t的函数解析式，并求y关于t的函数的导数． 解：(1)x′＝－32e－2t.当t＝1时，x′＝－eq \f(32,e2). 它表示在t＝1附近，汽水每小时大约降温eq \f(32,e2) ℃. (2)y＝eq \f(9,5)(x＋32)＝eq \f(9,5)(16e－2t＋36)，y′＝eq \f(9×16,5)e－2t×(－2)＝－eq \f(288,5)e－2t. 解：函数y＝ln x＋2的导函数为y′＝eq \f(1,x)，函数y＝ln (x＋1)的导函数为y′＝eq \f(1,x＋1). 设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln (x＋1)上切点的横坐标分别为m，n，则切线方程可以写成y＝eq \f(1,m)(x－m)＋ln m＋2，也可以写成y＝eq \f(1,n＋1)(x－n)＋ln (n＋1)． 整理后对比得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＝\f(1,n＋1)，,ln m＋1＝ln （n＋1）－\f(n,n＋1)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)，,n＝－\f(1,2)，))因此b＝1－ln 2. 解：(1)由f(x)＝cos2(ax＋b)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)cos(2ax＋2b)， 得f′(x)＝－eq \f(1,2)sin(2ax＋2b)·2a＝－asin(2ax＋2b)． (2)证明：设f(x)的周期为T， 则f(x)＝f(x＋T)． ∴f′(x)＝[f(x＋T)]′＝f′(x＋T)·(x＋T)′＝f′(x＋T)， 即f′(x)为周期函数，且周期与f(x)的周期相同． $$