4.2指数函数第1课时（3知识点+7题型）-2024-2025学年上学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

4.2 指数函数第1课时 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 指数函数的概念 1.指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R. 2.指数函数的结构特征 (1)函数的特征：底数a>0，且a≠1. (2)指数幂的系数为1. 3.指数函数的判断方法 (1)底数的值a>0，且a≠1.(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求． 知识点2 指数函数的图象和性质 1.指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 最值 无最值 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 【注意点】 (1)函数图象只出现在x轴上方． (2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴． (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． 2.常见指数函数的图像 函数，，和，，的图象如图所示． (1)当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”． (2)在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底大图高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”． 知识点 3 指数函数的图象变换 已知指数函数（且） 1.平移变换 ； ； ； ． 规律总结：上加下减（针对函数值），左加右减（针对自变量）． 2.对称变换 ； ； ． 3.翻折变换 ； ． 思路方法总结 知识点1 利用单调性比较大小 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 知识点2 简单的指数不等式的解法 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)． (3)形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； (4)形如（或），通过换元令（注意确定的范围），转化为 典例·举一反三 一、题型一 指数函数的判断 例1．判断下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 跟踪训练 1．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．给出下列函数，其中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 二、题型二 指数函数求参数 例2．已知函数和都是指数函数，则（    ） A．不确定 B． C．1 D． 跟踪训练 1．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 2．如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 3．函数是指数函数，则a的取值范围是 ． 三、题型三 指数函数的解析式 例3．（多选）已知指数函数满足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练 1．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 3．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数． （1）求f(x)的表达式； （2）判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明． 四、题型四 指数函数的图像认识 例4．如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．指数函数①f(x)=mx，②g(x)=nx满足不等式1>n>m>0，则它们的图象是（    ） A． B． C． D． 2．函数（，且）的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   3．在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（    ） A． B． C．   D．   五、题型五 指数幂的大小比较 例5．比较下列各组中两个值的大小： (1)，； (2)，； (3)，. 跟踪训练 1．设，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 3．比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 六、题型六 指数函数图像的简单应用 例6．已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（    ）      A．   B．   C．   D．   跟踪训练 1．函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．函数（且）与的图象有可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 七、题型七 指数函数的简单不等式 例7．解不等式． (1)； (2)（其中且）． 跟踪训练 1．解关于的不等式． 2．求下列不等式的解集： (1)； (2)． 3．已知（，且），求x的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2 指数函数第1课时 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 指数函数的概念 1.指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R. 2.指数函数的结构特征 (1)函数的特征：底数a>0，且a≠1. (2)指数幂的系数为1. 3.指数函数的判断方法 (1)底数的值a>0，且a≠1.(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求． 知识点2 指数函数的图象和性质 1.指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 最值 无最值 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 【注意点】 (1)函数图象只出现在x轴上方． (2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴． (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． 2.常见指数函数的图像 函数，，和，，的图象如图所示． (1)当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”． (2)在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底大图高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”． 知识点 3 指数函数的图象变换 已知指数函数（且） 1.平移变换 ； ； ； ． 规律总结：上加下减（针对函数值），左加右减（针对自变量）． 2.对称变换 ； ； ． 3.翻折变换 ； ． 思路方法总结 知识点1 利用单调性比较大小 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 知识点2 简单的指数不等式的解法 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)． (3)形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； (4)形如（或），通过换元令（注意确定的范围），转化为 典例·举一反三 一、题型一 指数函数的判断 例1．判断下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 【答案】答案见解析 【分析】利用指数函数与幂函数的定义逐一判断即可得解. 【详解】因为形如（且）是指数函数， 形如（）是幂函数， 所以（1）是幂函数，（2）是幂函数， （3）是指数函数，（4）是幂函数， （5）是指数函数，（6）是指数函数. 跟踪训练 1．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数概念判定. 【详解】形如的函数为指数函数. 故是指数函数，其他选项函数都不是指数函数. 故选：D. 2．给出下列函数，其中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的定义逐个选项分析即可. 【详解】对于A，是幂函数，故错误， 对于B，显然前面系数不为1，故错误， 对于C，显然前面系数不为1，故错误， 对于D，符合指数函数定义，故正确. 故选：D 3．下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 【答案】②③⑤ 【分析】根据指数函数的定义判断即可. 【详解】形如且的函数叫做指数函数， 因此②③⑤对. 故答案为：②③⑤. 二、题型二 指数函数求参数 例2．已知函数和都是指数函数，则（    ） A．不确定 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的概念，得到，，即可求出结果. 【详解】因为函数是指数函数，所以， 由是指数函数，得，所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由指数函数概念求参数的问题，属于基础题型. 跟踪训练 1．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【答案】B 【分析】根据指数函数的知识求得正确答案. 【详解】由指数函数的概念，得且，解得． 故选：B 2．如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 【答案】D 【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可. 【详解】根据题意可得，，则. 故选：D 3．函数是指数函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据指数函数的定义,解不等式即可. 【详解】因为是指数函数, 所以,解得: 或 即a的取值范围是. 故答案为: 【点睛】根据函数的类型求参数的值通常有两种: (1)幂函数需要保证x前面的系数为1; (2)指数函数不但要保证x前面的系数为1,还有底数大于0,底数不等于1. 三、题型三 指数函数的解析式 例3．（多选）已知指数函数满足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求出的解析式，再逐项判断作答. 【详解】设指数函数（且），于是，即，因此， 函数，A正确，B错误； 显然，C正确； 又，因此D正确. 故选：ACD 跟踪训练 1．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 2．若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 【答案】/0.015625 【分析】先根据已知求出参数的值，然后将代入函数表达式即可求解. 【详解】由题意，注意到且，所以解得， 所以指数函数解析式为， 当时，. 故答案为：. 3．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数． （1）求f(x)的表达式； （2）判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明． 【答案】（1）f(x)＝2x；（2）奇函数；证明见解析． 【分析】（1）利用指数函数的定义，求出，即可求的表达式， （2），即可利用定义判断的奇偶性. 【详解】（1）由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)， ∴f(x)＝2x． （2）， ∴，且定义域为R， ∴F(x)是奇函数． 四、题型四 指数函数的图像认识 例4．如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通过取得到具体的大小关系． 【详解】当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数， 当底数大于0小于1时是定义域内的减函数， 由图可知，大于1，，大于0小于1． 又由图可知，即．，即． ，，，与1的大小关系是． 故选：． 跟踪训练 1．指数函数①f(x)=mx，②g(x)=nx满足不等式1>n>m>0，则它们的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性排除A、B，利用特殊值排除D，从而可得结论, 【详解】由0<m<n<1可知①②应为两条递减的曲线，故排除A、B， 令x=1，得①②对应的函数值分别为m和n，由m<n可排除D 只有C选项符合题意. 故选：C 【点睛】本题主要考查指数函数的图像与性质，考查了数形结合思想以及特殊与一般思想的应用，属于基础题. 2．函数（，且）的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分别讨论或时，图象与y轴的交点的纵坐标，即可得出答案. 【详解】A，B选项中，，于是，所以图象与y轴的交点的纵坐标应在之间， 显然A，B的图象均不正确； C，D选项中，，于是，图象与y轴的交点的纵坐标应在小于，所以D项符合. 故选：D 3．在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（    ） A． B． C．   D．   【答案】C 【分析】根据指数函数与幂函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】对于A和B，指数函数过定点，且递增，则，所以幂函数递增，且增加的越来越快，故A不符合，B不符合； 对于C和D，指数函数过定点，且递减，则，所以幂函数递增，且增加的越来越慢，故C符合，D不符合. 故选：C. 五、题型五 指数幂的大小比较 例5．比较下列各组中两个值的大小： (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）函数在定义域R上单调递减,比较大小； （2）在同一平面直角坐标系中作出指数函数与的图象，取点比较大小； （3）分别构造函数与，借助中间值比较大小. 【详解】（1），函数在定义域R上单调递减， 又，. （2）在同一平面直角坐标系中作出指数函数与的图象，如图所示， 当时，观察图象易得. （3）分别构造函数与， ，，与在R上分别为增函数和减函数. ，， ，，. 跟踪训练 1．设，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】由在上递增，则， 由在上递增，则．所以． 故选：D. 2．下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意构造幂函数以及指数函数，根据幂指函数的单调性即可逐一比较. 【详解】对于A，构造函数，函数为增函数，， 所以，A错误； 对于B，构造函数，因为，所以函数在第一象限递增， 因为，所以，B正确； 对于C，构造函数，函数为增函数，所以， 构造函数，函数为减函数，所以， 所以，C错误； 对于D，构造函数，函数为减函数，所以， 构造函数，函数为增函数，所以， 所以，D错误. 故选：B 3．比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）（2）利用指数函数单调性质比较大小. （3）利用幂函数单调性比较大小即得. （4）利用指数函数单调性，结合媒介数比较大小. （5）利用指数函数、幂函数单调性比较大小. 【详解】（1）因为是增函数，，所以． （2）因为是减函数，，所以． （3）因为在上递增，，所以． （4）因为，，所以. （5）函数是减函数，则； 函数在上递增，则， 所以. 六、题型六 指数函数图像的简单应用 例6．已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由二次函数性质即可得，再由指数函数性质及图象即可判断得出结果. 【详解】根据函数的图象可知， 再由指数函数图象及性质可知，为单调递增，可排除AB， 且与轴交点为，又，所以，即交于轴正半轴上，排除D，可知C正确； 故选：C 跟踪训练 1．函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由时，函数的单调性和判断. 【详解】当时，函数单调递增，当时，， 故选：A 2．在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据的关系与各图形一个个检验即可判断． 【详解】当时，A正确；当时，B正确； 当时，D正确；当时，无此选项． 故选：ABD． 3．函数（且）与的图象有可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，根据指数函数和一次函数的图象与性质求解. 【详解】当时，函数递增，恒过定点（0，1），递减， 当时，函数递减，恒过定点（0，1），递增， 故选：D 七、题型七 指数函数的简单不等式 例7．解不等式． (1)； (2)（其中且）． 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）令，则原不等式化为，求出的范围，从而可求出的范围； （2）分和两种情况利用指数函数的单调性求解. 【详解】（1）；令， 所以； 所以（舍）或，即， 所以，所以不等式的解集为． （2）当时，因为，且在R上严格递增， 所以， 即，解得或， 当时，因为， 且在R上严格递减， 所以， 即，解得， 综上：当时，； 当时，． 跟踪训练 1．解关于的不等式． 【答案】 【分析】转化为，再解不等式可得答案. 【详解】由得， 即，解得或， 可得或. 所以不等式的解集为. 2．求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据质数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为在R上单调递增， 所以, 即 解得, 所以原不等式的解集为. （2）因为， 所以原不等式等价于, 因为在R上单调递减, 所以, 解得, 所以原不等式的解集为. 3．已知（，且），求x的取值范围． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论，利用指数函数单调性求解不等式即得. 【详解】当时，函数在R上是减函数， 则不等式化为：，即，解得或； 当时，函数在R上是增函数， 则不等式化为：，即，解得， 综上所述，当时，x的取值范围是或； 当时，x的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$