精品解析：江苏省南京市2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试题

2024-2025学年度江苏南京市初中数学八年级上第二次月考练习卷 2024.12.7 考试范围：第一章至第六章；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：符合轴对称图形的只有A选项，而B、C、D选项找不到一条直线能使直线两旁部分能够完全重合； 故选A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 估计的值应在（ ） A. 10和11之间 B. 9和10之间 C. 8和9之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，利用，从而判定即可． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键． 3. 实数﹣2023的绝对值是（　　） A. 2023 B. ﹣2023 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案． 【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数， 所以，﹣2023的绝对值等于2023． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键． 4. 如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN， ∴AB=AC，AM=AN， ∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠ACN=∠B， 而∠CAB不一定等于∠B， ∴∠ACN不一定等于∠CAB， ∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B， ∴∠BAC=∠MAN， ∵AM=AN，AB=AC， ∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等， ∴∠B=∠AMN， ∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意； ∵AM=AN， 而AC不一定平分∠MAN， ∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键． 5. 如图，直线过点，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象，找出使函数图象在x轴上方的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴当 时，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间的关系的理解和掌握，能正确观察图象得出答案是解此题的关键． 6. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再利用旋转的性质求出 ， ，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵旋转， ∴， ， ∴， ∴， 即旋转角的度数是 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键． 7. 如图，在中，， ，， ，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　） A. 8.4 B. 9.6 C. 10 D. 10.8 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则 ，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为 的长，当 最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得 的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图： 则 ， ∴． 即的最小值为 ． ∵， ，， ， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 8. 如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即 时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵ ＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即 时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故选：D． 【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题． 9. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠， 使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则的值是（ ） A. B. －1 C. 2－ D. 3－ 【答案】C 【解析】 【分析】设AD=a，由折叠的性质可得AM=DN=DC=AD=a，∠EFD=90°，利用勾股定理解出FN，设EF=AE=b，则EM=，在Rt△EMF中，ME2+MF2=EF2，从而求出a，b之间的关系，进而得出的值． 【详解】解：∵把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，设AD=MN=a， ∴AM=DN=DC=AD=a， ∵四边形ABCD为正方形，过点D折叠纸片，使点A落在MN上的点F处， ∴FD=AD=a，∠DNF=90°，∠FME=90°， 在Rt△DFN中，FN===， ∴MF=MN-FN=a-=， 设EF=AE=b，则ME=， 在Rt△EMF中， ME2+MF2=EF2， 即+=b2， 解得：b=(2-)a， ∴==2-． 故选∶C． 【点睛】此题考查了正方形与折叠、勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质． 10. 如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接 ，在下列结论中：①；②；③；④若，则， ⑤，其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】由“”可证，可得，故正确； 如图，在上截取连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得， ，故正确； 如图2，将绕点顺时针旋转 ，得到，连接，由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，由勾股定理可得，故 正确； 如图1，设，则，利用勾股定理可求,故 错误； 由三角形的面积公式可求，故 正确； 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 故正确； 如图1，在上截取，连接， ，,， ， ,， ， ， ， 又，， ， ，， 故正确； 如图2，将绕点顺时针旋转 ，得到，连接， ，， ，，， ， ， ， ， ， 又 ，， ， ， 在 中， ， ， 故 正确； ， 设，则， ， 如图1，在上截取，连接， 由 可得：， 设 ，则， ， ， ， ， ， 故 错误； 如图1，， ， ， 故 正确； 正确的结论有，共个． 故选： 【点睛】本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题 11. 关于x的分式方程的解为正数，则m的范围为_______． 【答案】且## 且 【解析】 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵方程的解为正数， ∴且 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】此题考查了分式方程的解，任何时候都要考虑分式分母不为0． 12. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，首先利用待定系数法求出的值，进而得到点坐标即可，解题的关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：直线与直线相交于点， 方程组的解为， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则方程组的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断即可，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系． 【详解】解：由可得， ∵函数与的图象交于点， ∴方程组的解为，即方程组的解为， 故答案为：． 14. 若关于x的一元一次不等式组的解集为；关于x的分式方程的解为非负整数．则满足条件的整数m的值之和是为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程的解，根据不等式组的解求出m的范围，再根据分式方程的解求出m的值是求解本题的关键； 先根据不等式组的解找到满足的条件，再根据分式方程的解求出． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：． ∵不等式组的解集是， ∵方程的解为非负整数，且， ∵是3的倍数， 故答案为：12． 15. 如图，直线与直线的交点为A，则关于 ，的方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两条直线的交点的意义即可解答． 【详解】解：由函数图像可知：直线与直线的交点为， 方程组的解是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标的意义是解题的关键． 16. 关于 的分式方程的解是正数，则的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式的应用．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 将分式方程化为整式方程，然后解方程，最后检验，根据解是正数列不等式，然后求解作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， 经检验，当时，，即 ，是分式方程的解， ∵， 解得，， ∴且 ， 故答案为：且 ． 17. 关于 的分式方程的解为非负数，则实数的取值范围______． 【答案】且 【解析】 【分析】先解得分式方程的解为，再由题意可得，又由 ，即可求的取值范围． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 解得：， 解为非负数，， ， ， ， 的取值范围为且， 故答案为为：且． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意增根的情况是解题的关键． 18. 如图，在矩形中，平分，交于点E，，交于点F，以为边，作矩形 ，与相交于点H．则下列结论：①；②若，则；③；④当F是的中点时，．其中正确的结论是____．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①由矩形的性质和角平分线的性质可得是等腰直角三角形，即，进而可得；②先证可得，再证可得 ，进而说明四边形 是正方形，即，然后代入求出即可判定②；③由勾股定理可得，再运用线段的和差可得∴ 、，再结合判定是否成立即可；④设，则、，则；再运用勾股定理可得，可表示出，最后代入比较即可解答． 【详解】解：①∵矩形， ∴， ∵平分， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴；故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴ ， ∵四边形 是矩形， ∴四边形 是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴；故②正确； ③若， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故③错误； ④当F是的中点时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．故④正确． 综上所述：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识先，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 三、解答题 19. 已知 的平方根是 ，的立方根是，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根和平方根的综合问题，根据题意可得，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 20. 求下列各式中 的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】本题考查平方根，关键是掌握平方根的定义．如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根． （1）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可； （2）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解： 解得：； 【小问2详解】 解：整理得：， ， 或． 21. 计算与化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，掌握运算法则是关键． （1）先求平方根、立方根再合并即可； （2）先进行开方、绝对值化简，再算加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求： （1）求的坐标； （2）求的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题． （1）根据折叠性质得，，由勾股定理得，可得点坐标； （2）在中，根据勾股定理即可求点坐标． 【小问1详解】 解：由折叠可知：， ， ，， 在中，由勾股定理得， 点坐标为； 【小问2详解】 ，， 由折叠可知：， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得：， 点坐标为． 23. 如图，在边长为的正方形网格中，的顶点都在格点上，将绕点逆时针旋转一定角度后，点落在格点处． （1）旋转角为______ ； （2）在图中画出旋转后的，其中、分别是、的对应点； （3）点到直线的距离是______ ． 【答案】（1） （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）连接、，利用网格特点推导出旋转角； （2）依次找出、的对应点、，连接即可； （3）利用等腰三角形的性质，在等腰直角三角形计算即可． 【小问1详解】 解：连接、，，交格点， 网格为正方形， ，， 旋转角， 故答案为：； 【小问2详解】 解：旋转后的如图所示： 【小问3详解】 解：如图，作，点到直线的距离为的长， 在等腰直角三角形中，， ∴． 故答案为：． 24. 如图， ， ，，试说明 ． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．先由，得出 ，再证明，最后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， ∴ ， 在 和 中， ， ∴， ∴ ． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、． （1）求的长度． （2）如图2，若以为边在第一象限内作正方形，求点的坐标． （3）在x轴上是否存一点P，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出 ， ，再由勾股定理计算即可得解； （2）由题意得出 ， ，作轴于，证明，得出，，求出，即可得解； （3）根据等腰三角形的定义，分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵点A、B的坐标分别为、， ∴ ， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵点A、B的坐标分别为、， ∴ ， ， 如图，作轴于， ， 则 ， ∴， ∵以为边在第一象限内作正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在， 如图， ， 当时，此时， ∴，， ∴，； 当时，此时，即； 当时，设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：，即此时， 综上所述，点的坐标为或或或． 26. 方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”． （1）在图1中．点A、B都是格点，则的长度是______； （2）在图1中，找出一个格点C，请用无刻度的直尺画一个以为腰的等腰； （3）在图2中，是格点三角形，请用无刻度的直尺找出一个格点D，使平分不写画法，保留画图痕迹 【答案】（1）5 （2） 如图，等腰即为所求(答案不唯一) （3） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，等腰三角形的性质，利用勾股定理求两点间距离． （1）利用勾股定理求解即可； （2）作一个直角边分别为3和4的直角三角形即可； （3）在的延长线上取格点E，使 ，连接，取的中点D，连接，即为所求． 【小问1详解】 解：由勾股定理得， ． 故答案为：5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 27. 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【纸片规格】三角形纸片， 【操作探究】 （1）如图1，点D是斜边的中点，将沿翻折得到，则______° （2）如图2，点M为边上一点，点N为边的中点，把 沿翻折得到，若与的某边垂直且点P在的上方，，求的长． （3）如图3，将两张完全相同的三角形纸片拼成等腰，点E是边上的一点，将沿翻折得到，边与边交于点G，且；如图4，再将沿 翻折得到，边 与边分别交于点P、点Q，若，则线段的长为______（直接写出结果） 【答案】（1）60 （2）4或或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形的斜边上的中线的性质和折叠的性质解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：①当时，过点N作于点D，利用折叠的性质和直角三角形的性质解答即可；②当时，设交于点D，利用折叠的性质和直角三角形的性质解答即可；③当时，延长交于点D，用折叠的性质和等腰三角形的性质解答即可； （3）利用折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可． 【小问1详解】 ，点D是斜边的中点， ， 将沿翻折得到， ， 故答案为：60； 【小问2详解】 ①当时，过点N作于点D，如图， 把 沿翻折得到， ， ， 点N为边的中点，， ， ，， ， ②当时，设交于点D，如图， ，， ， 把 沿翻折得到， ，，，， ， ， ， ， ③当时，延长交于点D，如图， ，， ， ， ， 把 沿翻折得到， ， ， ， 综上，的长4或或 【小问3详解】 将两张完全相同的三角形纸片拼成等腰， ， ，，， 将沿翻折得到， ，， ， //， ，， ， 将沿 翻折得到， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了几何的综合变换，直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，利用分类讨论的方法解答是解题的关键． 28. （1）【阅读理解】如图1，在中，，是斜边上的中线，则与的数量关系为 ； （2）【问题探究】如图2，等腰中，，延长到E，以为斜边，在的下方作等腰， ，连接 ，点F是边的中点，连接 ，若，，①试判断 的形状；②求 的面积． （3）【拓展延伸】如图3，在等腰中，，点E在延长线上，点D在延长线上，以为斜边，在的上方作等腰， ，点F是边的中点，连接 ，若，，试直接表示出 的面积 （用含a、b的代数式表示）． 【答案】（1）（2）等腰直角三角形，（3） 【解析】 【分析】（1）延长至点使 ，证明，进而证明，即可得出结论； （2）①延长至点，使，证明，进一步证明，进而得到 ，即可；②勾股定理求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，求出的长，再用三角形的面积公式进行求解即可； （3）先证明 为等腰直角三角形，勾股定理求出的长，进而求出的长，再用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）延长至点使 ，连接， ∵是斜边上的中线， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由（1）可知：， 延长至点使，连接 ， 同（1）法可得：， ∴， ∴ ， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 又 ， ∴ 为等腰直角三角形； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 的面积为； （3）∵，均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ 的面积为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的应用．解题的关键是掌握倍长中线法，构造全等三角形．综合性强，难度较大，属于压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度江苏南京市初中数学八年级上第二次月考练习卷 2024.12.7 考试范围：第一章至第六章；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 估计的值应在（ ） A. 10和11之间 B. 9和10之间 C. 8和9之间 D. 7和8之间 3. 实数﹣2023的绝对值是（　　） A. 2023 B. ﹣2023 C. D. 4. 如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线过点，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，， ，， ，如果点D，E分别为， 上的动点，那么的最小值是（　　） A. 8.4 B. 9.6 C. 10 D. 10.8 8. 如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠， 使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则的值是（ ） A. B. －1 C. 2－ D. 3－ 10. 如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接 ，在下列结论中：①；②；③；④若，则， ⑤，其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第II卷（非选择题） 二、填空题 11. 关于x的分式方程的解为正数，则m的范围为_______． 12. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为__________. 13. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则方程组的解为_____． 14. 若关于x的一元一次不等式组的解集为；关于x的分式方程的解为非负整数．则满足条件的整数m的值之和是为_______． 15. 如图，直线与直线的交点为A，则关于，的方程组的解是______． 16. 关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为________． 17. 关于的分式方程的解为非负数，则实数的取值范围______． 18. 如图，在矩形中，平分，交 于点E，，交于点F，以为边，作矩形 ，与相交于点H．则下列结论：①；②若，则；③；④当F是的中点时，．其中正确的结论是____．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题 19. 已知的平方根是 ，的立方根是，求的值． 20. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 21. 计算与化简： （1）； （2）． 22. 已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点 落在边的点处，已知，求： （1）求的坐标； （2）求的坐标． 23. 如图，在边长为的正方形网格中，的顶点都在格点上，将绕点逆时针旋转一定角度后，点落在格点处． （1）旋转角为______ ； （2）在图中画出旋转后的，其中、分别是 、 的对应点； （3）点到直线的距离是______ ． 24. 如图， ， ，，试说明 ． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、． （1）求 的长度． （2）如图2，若以 为边在第一象限内作正方形，求点的坐标． （3）在x轴上是否存一点P，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”． （1）在图1中．点A、B都是格点，则 的长度是______； （2）在图1中，找出一个格点C，请用无刻度的直尺画一个以 为腰的等腰； （3）在图2中，是格点三角形，请用无刻度的直尺找出一个格点D，使平分不写画法，保留画图痕迹 27. 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【纸片规格】三角形纸片， 【操作探究】 （1）如图1，点D是斜边 的中点，将沿翻折得到，则______° （2）如图2，点M为边 上一点，点N为边的中点，把 沿 翻折得到，若 与的某边垂直且点P在 的上方，，求的长． （3）如图3，将两张完全相同的三角形纸片拼成等腰，点E是边上的一点，将沿翻折得到，边与边交于点G，且；如图4，再将沿 翻折得到，边 与边分别交于点P、点Q，若，则线段的长为______（直接写出结果） 28. （1）【阅读理解】如图1，在中，，是斜边 上的中线，则与 的数量关系为 ； （2）【问题探究】如图2，等腰中，，延长到E，以为斜边，在的下方作等腰 ， ，连接 ，点F是边的中点，连接 ，若，，①试判断 的形状；②求 的面积． （3）【拓展延伸】如图3，在等腰中，，点E在 延长线上，点D在延长线上，以为斜边，在的上方作等腰 ， ，点F是边的中点，连接 ，若，，试直接表示出 的面积 （用含a、b的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $