专题03 勾股定理（考题猜想，易错必刷57题9种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（鲁教版五四制）

专题03 勾股定理（易错必刷57题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 勾股定理的定义 · 勾股定理与折叠问题 · 利用勾股定理构造图形解决问题 · 勾股定理逆定理的应用 · 勾股定理求最短路径 · 利用勾股定理求两点间距离 · 利用勾股定理证明线段平方关系 · 直角三角形的判定 · 勾股定理的应用 · 一．勾股定理的定义（共6小题） 1．已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边的平方是（    ） A．12 B．169 C．144或194 D．144或169 2．如图，，且，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D．3 3．若直角三角形中有两边长分别为6和8，那么斜边长为 ． 4．已知直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为，满足且，则此直角三角形的面积为 ． 5．如图，在中，，，，求的长． 6．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，求滑梯的水平距离的长． 二．利用勾股定理求两点间距离（共6小题） 7．如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于（    ） A．和之间 B．7和8之间 C．和之间 D．8和9之间 9．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，为直线上一点．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向左移动；同时，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向右移动．若以，，，为顶点的四边形的面积是，则点的坐标为 ． 10．在平面直角坐标系中，A 、B两点的坐标分别为，那么两点之间的距离 ． 11．阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，，则． 【直接应用】 (1)已知，，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值． 12．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则点到坐标原点的距离是多少？ 三．勾股定理与折叠问题（共6小题） 13．如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（  ） A．3 B． C． D． 14．如图，已知直角三角形，，，．将沿着折叠，使得点落在边上的处，则的长为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为． (1)写出点F的坐标． (2)求的长． 16．在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长． (2)如图2，如果点落在的中点上，求的长． 17．如图，直角三角形纸片的两直角边，，现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，求的长． 18．如图，在直角三角形纸片中，，，．将该纸片折叠，折叠后点A与点B重合，折痕与边交于点D，与边交于点E．求： (1)的面积； (2)的长； (3)折痕的长． 四．利用勾股定理证明线段平方关系（共6小题） 19．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 20．在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 21．在中，斜边，则的值为（    ） A． B． C． D．无法计算 22．如图，是的中线，于点于点，且，求证：． 23．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 24．如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 五．利用勾股定理构造图形解决问题（共6小题） 25．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 26．在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 27．在中，斜边，则的值为（    ） A． B． C． D．无法计算 28．如图，是的中线，于点于点，且，求证：． 29．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 30．如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 六．直角三角形的判定（共6小题） 31．下列各组数中，是勾股数的是（  ） A．1，2，3 B．，， C．，， D．9，12，15 32．若，，是直角三角形的三边长，且，则斜边上的高为（   ） A． B． C． D． 33．五根木棒（单位：cm）的长度分别为5，9，12，15，17，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（    ） A．5，9，12 B．5，12，15 C．9，12，15 D．12，15，17 34．一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 ． 35．如图，在中，，于点E，点D是边的中点，． (1)求的长； (2)求的长． 36．如图，中，是上一点，连接．若，，，，求的面积． 七．勾股定理逆定理的应用（共6小题） 37．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 38．已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ 39．如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离． (1)判断支架是否垂直； (2)求点C到的距离． 40．我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．求这块空地的面积． 41．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 42．如图所示，某小区的两个喷泉A、B之间的距离的长为．供水点位于M，现要为喷泉铺设供水管道，．已知供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试说明． 八．勾股定理的应用（共6小题） 43．如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（  ） A． B． C． D． 44．已知，如图，一轮船以 16海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港小时后，则两船相距（     ） A．15海里 B．20海里 C．35海里 D．40海里 45．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 46．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 米． 47．如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是 米． 48．如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱． 49．如图，用两根木棒、加固小树，木棒、与小树在同一平面内，且小树与地面垂直，点在地面上的同一水平线上，，，，求小树的高度． 50．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 51．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A 行驶向点 B，已知点C为一海港，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 九．勾股定理求最短路径（共6小题） 52．如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（   ） A． B． C． D． 53．如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（   ） A． B． C． D． 54．如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 55．如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（　　） A．13 B． C．15 D．10 56．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 57．葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？ (1)想一想怎样找出最短路径； (2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？ $$专题03 勾股定理（易错必刷57题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 勾股定理的定义 · 勾股定理与折叠问题 · 利用勾股定理构造图形解决问题 · 勾股定理逆定理的应用 · 勾股定理求最短路径 · 利用勾股定理求两点间距离 · 利用勾股定理证明线段平方关系 · 直角三角形的判定 · 勾股定理的应用 · 一．勾股定理的定义（共6小题） 1．已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边的平方是（    ） A．12 B．169 C．144或194 D．144或169 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据直角三角形的两条边长为5和13，结合勾股定理分情况讨论①当5和13都为直角三角形直角边时，②当5为直角三角形直角边，13为直角三角形斜边时求解，即可解题． 【详解】解：①当5和13都为直角三角形直角边时， 则第三边的平方是， ②当5为直角三角形直角边，13为直角三角形斜边时， 则第三边的平方是， 故选：C． 2．如图，，且，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理求出，进而可求出，据此可求出的长． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）， 故选：C． 3．若直角三角形中有两边长分别为6和8，那么斜边长为 ． 【答案】8或10 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为8的边是否为斜边，所以要讨论：边长为8的边为斜边；边长为8的边为直角边． 【详解】解：当边长为8的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为8； 当边长为8的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为． 故该直角三角形斜边长为8或10． 故答案为：8或10． 4．已知直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为，满足且，则此直角三角形的面积为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了平方差公式的应用、直角三角形的面积和勾股定理等知识．利用已知条件变形得到，，得到，，即可得到直角三角形的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为直角三角形的两直角边， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴此直角三角形的面积为， 故答案为：1． 5．如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理直接进行求解 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得，即， 解得， 的长为． 6．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，求滑梯的水平距离的长． 【答案】滑梯的水平距离的长为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．设，则，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设， ， ， 在中，， ， 解得：， ， 即滑梯的水平距离的长为． 二．利用勾股定理求两点间距离（共6小题） 7．如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理求两点坐标；根据题意作关于轴的对称点，则这束光从点到点所经过的路径的长为，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作关于轴的对称点，则， ∴这束光从点到点所经过的路径的长为 ∵，， ∴， 故选：C． 8．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于（    ） A．和之间 B．7和8之间 C．和之间 D．8和9之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，无理数的估算，先根据两点距离公式得到，则，再由无理数的估算方法得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，为直线上一点．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向左移动；同时，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向右移动．若以，，，为顶点的四边形的面积是，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当点在轴右侧时；当点在轴左侧时；可分别利用三角形的面积公式及已知条件列出方程，解方程即可求得点的坐标． 【详解】解：， ， 分两种情况： 当点在轴右侧时， 如图，连接， ，， ， 设运动时间为，则： ， ， ， ， 解得：， 当时，， 此时点的坐标为； 当点在轴左侧时， 如图，连接，， ，， ， 设运动时间为，则： ， ， ， ， 解得：， 当时，， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 10．在平面直角坐标系中，A 、B两点的坐标分别为，那么两点之间的距离 ． 【答案】5 【分析】根据两点间距离公式计算解答即可． 本题考查了两点间距离公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A 、B两点的坐标分别为， 故， 故答案为：5． 11．阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，，则． 【直接应用】 (1)已知，，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）作点B关于轴的对称点，连接，交轴于点，则根据“两点之间，线段最短”知，的最小值为的长， 根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：如图，作点B关于轴的对称点，连接，交轴于点，则， ∴ ∵， ∴ 根据“两点之间，线段最短”知，的最小值为的长， 又， ∴的最小值为． 12．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则点到坐标原点的距离是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标系中两点距离计算公式，坐标系中，则，据此求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，已知点的坐标为， ∴点到坐标原点的距离． 三．勾股定理与折叠问题（共6小题） 13．如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（  ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地求出CF的长是解题的关键．由折叠得，，由勾股定理得，求得，由即可求解． 【详解】解：由折叠得，， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得， 故选： 14．如图，已知直角三角形，，，．将沿着折叠，使得点落在边上的处，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用勾股定理求出，再根据折叠可得，，，即得，，设，则，最后在中利用勾股定理列出方程即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为． (1)写出点F的坐标． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）由点D的坐标可知，，根据翻折的性质可知，由勾股定理可求得，进而可求出点F的坐标． （2）设，由折叠得，则，在△中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵点D的坐标为，在矩形中， ∴，， 由折叠的性质的可知：， 在中，由勾股定理得：， ∴． （2）解：设，由折叠得，则， ∵， ∴， 在△中，， 解得： ， ∴． 16．在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长． (2)如图2，如果点落在的中点上，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查折叠问题以及勾股定理，熟练掌握折叠的基本性质是解题关键； （1）设，则，在中，利用勾股定理列出方程解方程即可； （2）根据中点性质，先得到，在中，再利用勾股定理列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：设，则． 由折叠可得：． 在中， 由， 得：， 解得：， 即的长为． （2）∵点落在的中点上， ． 设，则． 在中， 由， 得， 解得：， 即的长为． 17．如图，直角三角形纸片的两直角边，，现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换及勾股定理，由折叠的性质知，，根据题意在中运用勾股定理求，熟练掌握运用勾股定理列出方程是解决此题的关键． 【详解】∵是直角三角形，， ， ∴， ∵是翻折而成， ∴，， 设， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， 故的长为． 18．如图，在直角三角形纸片中，，，．将该纸片折叠，折叠后点A与点B重合，折痕与边交于点D，与边交于点E．求： (1)的面积； (2)的长； (3)折痕的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）直接利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）根据折叠的性质可以得到，，．设，则，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解： 是直角三角形，，， ． （2）解：是直角三角形，，， ． （3）解：由折叠，得． 设，则． 在中，， 即， 解得， ． 由折叠，得， ∴在中，． 四．利用勾股定理证明线段平方关系（共6小题） 19．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 20．在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案． 【详解】解：在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 21．在中，斜边，则的值为（    ） A． B． C． D．无法计算 【答案】C 【分析】根据勾股定理可知，进而可知． 【详解】解：∵在中，斜边为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选． 22．如图，是的中线，于点于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据是的中线，得出，进而根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】证明：∵于点于点， ∴ ∵是的中线， ∴， 又∵ ∴在中， 即． 23．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 24．如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. 五．利用勾股定理构造图形解决问题（共6小题） 25．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 26．在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案． 【详解】解：在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 27．在中，斜边，则的值为（    ） A． B． C． D．无法计算 【答案】C 【分析】根据勾股定理可知，进而可知． 【详解】解：∵在中，斜边为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选． 28．如图，是的中线，于点于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据是的中线，得出，进而根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】证明：∵于点于点， ∴ ∵是的中线， ∴， 又∵ ∴在中， 即． 29．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 30．如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. 六．直角三角形的判定（共6小题） 31．下列各组数中，是勾股数的是（  ） A．1，2，3 B．，， C．，， D．9，12，15 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案． 本题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则是直角三角形． 【详解】解：A、， ∴该组数不是勾股数， ∴此选项不符合题意； B、∵，，不是正整数， ∴该组数不是勾股数，该选项不符合题意； C、∵，，不是正整数， ∴该组数不是勾股数， ∴此选项不符合题意； D、， ∴该组数是勾股数， ∴此选项符合题意； 故选：D． 32．若，，是直角三角形的三边长，且，则斜边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理的应用；先利用完全平方式进行变形求a，b，c的值，再证明进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵． ∴． ∴． ∴，，． ∴，，． ∴斜边上的高为 33．五根木棒（单位：cm）的长度分别为5，9，12，15，17，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（    ） A．5，9，12 B．5，12，15 C．9，12，15 D．12，15，17 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理逆定理进行排除选项． 【详解】解：A、，故不能构成直角三角形； B、，故不能构成直角三角形； C、，故能构成直角三角形； D、，故不能构成直角三角形； 故选：C． 34．一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 ． 【答案】/平方厘米 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键； 先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可求解； 【详解】解：三角形的三边长的比为， ∴设三角形的三边长分别为，，， 其周长为， ，解得， ∴三角形的三边长分别是，，， ∵， 此三角形是直角三角形， ， 故答案为： 35．如图，在中，，于点E，点D是边的中点，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用、三角形等积关系的应用等知识点，掌握勾股定理及其逆定理成为解题的关键． （1）根据D是边的中点得出，再由勾股定理逆定理证明，最后由勾股定理求出即可； （2）运用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：，且D是边的中点， ， 是直角三角形，且， 在中，． （2）解： ，即， ． 36．如图，中，是上一点，连接．若，，，，求的面积． 【答案】84 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积等知识点．熟练掌握勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形是解题的关键．先利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，再利用勾股定理求得，从而求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴． 七．勾股定理逆定理的应用（共6小题） 37．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． ∴这块可绿化的空地的面积为． 故选：C． 38．已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ 【答案】需要投入元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形由和构成，则容易求解． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，， 在中，， 而， 即， ∴为直角三角形，， ， ∴需要的投入为（元）． 39．如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离． (1)判断支架是否垂直； (2)求点C到的距离． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）利用等积法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 是直角三角形， ； （2）连接，过作于， 的面积， ，解得：， 即点到的距离为． 40．我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．求这块空地的面积． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用．直接利用勾股定理可求得，再用勾股定理的逆定理得出，再根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 41．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该车符合安全标准．理由见解析 【分析】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴该车符合安全标准． 42．如图所示，某小区的两个喷泉A、B之间的距离的长为．供水点位于M，现要为喷泉铺设供水管道，．已知供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试说明． 【答案】(1)供水点到喷泉需要铺设的管道长为； (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）在中，勾股定理求得，进而求得的长，在中，勾股定理求得的长，进而即可求解； （2）勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】（1）解：由题意可知， 在中，， ∴． 在中，， ∴供水点到喷泉需要铺设的管道长为； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 八．勾股定理的应用（共6小题） 43．如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出的值最大值与最小值是解题关键． 当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件以及根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，   ， 如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， 的取值范围是． 故选：D． 44．已知，如图，一轮船以 16海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港小时后，则两船相距（     ） A．15海里 B．20海里 C．35海里 D．40海里 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，方位角问题，根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，求得两艘船行驶的距离．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ， 小时后，两艘船分别行驶了海里，海里， 根据勾股定理得：（海里）． 故选：A 45．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 【答案】1.7 【分析】本题考查轴对称的性质以及勾股定理的应用，正确求出的长是关键． 根据勾股定理可得的长，再根据轴对称的性质可得，再用减去可得答案． 【详解】解：由题意得：(米)， 梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称， 米， (米)， 即当梯子的顶端沿墙面下滑米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 故答案为：． 46．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 米． 【答案】25 【分析】本题考查正确运用勾股定理．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可． 【详解】解：如图，设大树高为米，小树高为米， 连接，平移到，则米，，两树相距米， ∴（米）， 在中，（米）， 故小鸟至少飞行米． 故答案为：25． 47．如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出斜边长，最后相加得出答案即可． 【详解】解：如图所示：根据题意可知米，米， 根据勾股定理得． 所以树折断前有（米）． 故答案为：． 48．如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积. 【详解】解：由题意得： 由勾股定理可得：， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为， 所以铺完这个楼道至少需要（元）； 故答案为： 49．如图，用两根木棒、加固小树，木棒、与小树在同一平面内，且小树与地面垂直，点在地面上的同一水平线上，，，，求小树的高度． 【答案】小树的高度为． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．在和中，分别运用勾股定理表示出的长，建立方程求解即可． 【详解】解：在中，， 在中，， ∴， 解得：， 所以， 即小树的高度为． 50．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 【答案】(1)的长为16米 (2)这辆小汽车在段的速度约是米/秒 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是理解题意，正确计算． （1）直接利用勾股定理计算的长即可； （2）利用路程除以时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，米，米，， ∴（米）， 答：的长为16米． （2）解：（米/秒）， 答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒． 51．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A 行驶向点 B，已知点C为一海港，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，过点作于，先利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积得出的长，利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】解：，，， ． 是直角三角形， 如图，过点作于， ， ， ， 海港受到台风影响； 如图，当时，正好影响港口． 在中，由勾股定理得， ∵，时， ∴， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 九．勾股定理求最短路径（共6小题） 52．如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】沿剪开，展开圆柱的侧面，这只蚂蚁爬行的最小长度为，再利用勾股定理求出即可解决问题．本题考查平面展开最短路线问题，勾股定理，两点之间线段最短，理解题意，能将立体图形展开成平面图形，利用勾股定理解答是解题的关键． 【详解】解：沿剪开，展开圆柱的侧面，如图，这只蚂蚁爬行的最小长度为， 由题意，知， ∵圆柱底面周长为，圆柱高， ∴，，， 由勾股定理，得， ， ∴ 这只蚂蚁爬行的最小长度为， 故选：C． 53．如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题，画出正确的平面展开图，作出辅助线构造直角三角形利用勾股定理求解是解题关键． 先把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为 的长度，然后根据勾股定理计算的长即可． 【详解】解：把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点， 作于， 由题意得：，， ， ∴， 在中，． 故选D． 54．如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面展开图像的最短路径问题和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用，根据不同侧棱展开，分别求得对应的边，利用勾股定理求得对应路径，再结合实数大小比较即可． 【详解】解：将长方体展开成平面图形如图1，2，3所示∶ 在图1中AB的长为∶ 在图2中AB的长为∶ 在图3中AB的长为： ∵ ∴蚂蚁需要爬行的最短路径是25厘米． 故选A． 55．如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（　　） A．13 B． C．15 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点，的最短距离为线段的长， 由图可知：，， 为最短路径为：， 则蚂蚁爬的最短路线长为13， 故选：A． 56．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 57．葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？ (1)想一想怎样找出最短路径； (2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径； （）由勾股定理即可求解； 本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径； （2）解：根据题意，得，， ∴ 答：它爬行一周的路程是． $$