专题01 三角形（考题猜想，易错必刷72题12种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（鲁教版五四制）

专题01 三角形（易错必刷72题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 三角形的稳定性及应用 · 三角形三边关系的应用 · 三角形的中线及其应用 · 图形的全等 · 三角形全等的判定 · 三角形的尺规作图 · 构成三角形的条件及第三边的取值范围 · 三角形的高及其应用 · 三角形的角平分线及其应用 · 三角形的全等及性质 · 添加条件使三角形全等 · 利用三角形全等测距离 · 一．三角形的稳定性及应用（共6小题） 1．如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形，这样做的数学依据是（   ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．三角形两边的和大于第三边 2．下列图形具有稳定性的是（   ） A．B．C． D． 3．如图所示，工人师傅通常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的数学依据是（   ）    A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．对顶角相等 D．三角形具有稳定性 4．空调安装在墙上时，支架一般都采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是：三角形具有 ． 5．在日常生产生活中，很多物体都采用三角形结构，比如起重机的底座、房屋的人字梁、输电线路的支架等，都是利用了三角形的 ． 6．数学与现实生活息息相关，在下列三个生活中常见的物品中，具有稳定性的是 ．（填序号） ①自行车的三角形车架，②起重机的三角形吊臂，③相机三脚架． 二．构成三角形的条件及第三边的取值范围（共6小题） 7．每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A． B． C． D． 8．若三条线段的长度比如下：①；②；③；④，其中能构成三角形的有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 9．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，则A，B间的距离可能是（    ） A．30米 B．25米 C．10米 D．5米 11．已知三角形三边长分别为，若为整数，则这样的三角形个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．已知的三边长均为整数，的周长为偶数． (1)若，，求的长． (2)若，求的最大值． 三．三角形三边关系的应用（共6小题） 13．已知，，为的三边长，则（   ） A． B． C． D． 14．下图是工地施工所用的塔吊，塔吊上端有两根钢丝绳，其两根钢丝绳与起重臂围成的三角形三边长可能是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 15．一个三角形两边长分别是2和5，若第三边的长为奇数，则周长是 ． 16．（1）如果关于的两个多项式与相乘展开后的结果不含有一次项，且二次项系数是1，求和的值； （2）已知的三边，，的长都是互不相等的正整数，且满足，求的最大边的长． 17．在中，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为17，求的周长． 18．在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 四．三角形的高及其应用（共6小题） 19．A、B、C为三个小区，A、B、C三个小区的学生人数比为3：7：4，现在要在所在的平面上建造一个学校P，使得所有学生走的路程和最短，则学校P应该选在（　　） A．点C处 B．三条中线的交点处 C．点B处 D．和的角平分线的交点处 20．下列各图中，作边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 21．如图，在中，边上的高为（   ） A． B． C． D． 22．下列四个图形中，画出是边高的是（   ） A． B． C． D． 23．如图，在中，为中线，和分别为和的高，若，，，则 ． 24．如图，在中，∠BAC=90°， AD，AE分别是边上的高和中线，，． (1)求和的周长之差； (2)求的长度． 五．三角形的中线及其应用（共6小题） 25．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 26．如图所示，在中，已知点分别是的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 27．如图，已知，分别是的中线和高，且，，则与的周长的差为 ．的面积与的面积的关系为 ． 28．如图，分别是 的高和中线，若 (1)求的长． (2)求 与的周长之差． 29．按要求画图，并描述所作线段． (1)过点A画三角形的高线； (2)过点B画三角形的中线． 30．如图，中，为中线，，分别为，的中点，且，于． (1) ； (2)若，求的长； (3)若交的延长线于，求证：． 六．三角形的角平分线及其应用（共6小题） 31．如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 32．下列说法错误的是（    ） A．三角形的三条角平分线都在三角形内部 B．三角形的三条中线都在三角形内部 C．三角形的三条高都在三角形内部 D．三角形的中线、角平分线、高都是线段 33．如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 34．如图，是学生用两块三角板拼成的图形，其中，，三点在同一条直线上，，，三点在同一条直线上，，，，过点作平分交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 35．如图：中，点D在上，且，E是的中点，交于点F.    (1)写出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线，哪条线段是哪个三角形的中线？ (2)若，且的面积为3，求出的面积. 36．（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则 ；若，则 ． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则 ． 七．图形的全等（共6小题） 37．下列图形中，是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 38．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 39．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 40．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则 41．如图，在的正方形网格中标出了和，则 度． 42．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 八．三角形的全等及性质（共6小题） 43．下列关于全等三角形的说法中，正确的有（    ） ①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等三角形；④全等三角形的周长相等、面积相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．下列结论正确的是（   ） A．面积相等的两个三角形全等 B．等边三角形都全等 C．底边和顶角对应相等的等腰三角形全等 D．两个等腰直角三角形全等 45．如图所示的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（    ）    A．82° B．78° C．68° D．62° 46．如图，，如果，，那么的长是（　　） A． B． C． D．无法确定 47．如图，，点在同一条直线上，且，，则的长 ． 48．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． (1)点、运动几秒后，、两点重合？ (2)点、运动几秒后，可得到是等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的是等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间； (4)点、运动__________秒后，可得到是直角三角形． 九．三角形全等的判定（共6小题） 49．如图，已知，若根据“”判定，需要补充的一个条件是 ．    50．如图，，，求证：． 51．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，，，求证：． 52．长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片折叠， 使点 C与点A重合， 折痕为． (1)如果， 求的度数； (2)判断和是否全等．请说明理由． 53．如图，、、、在同一条直线上，，，，试说明：．    54．如图，在与中，点E，F在线段上，，，，求证：． 一十．添加条件使三角形全等（共6小题） 55．如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，如果已知，那么还不能判定，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 56．如图，点D在上，E在上，，补充一个条件：①；②；③；④，能证明的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 57．如图，，，则添加下列条件还不能使的为（    ） A． B． C． D． 58．如图，已知，，添加一个条件 判定． 59．如图，点，在上，，，要使，还需要添加一个条件是 ． 60．如图，，，点，，，在同一直线上，要说明，还要添加的条件是 ．（不添加辅助线，只填写一个条件）    十一．三角形的尺规作图（共6小题） 61．下面是黑板上出示的尺规作图题，横线上符号代表的内容，正确的是（   ） 如图，已知，求作：，使． 作法：（1）作射线； （2）以点为圆心，①为半径作弧，分别交，于点，； （3）以点为圆心，②为半径作弧交于点； （4）以③为圆心，④长为半径作弧交第（3）步中所作弧于点； （5）过点作射线，即为所求作的角． A．① B．② C．③ D．④任意长 62．如图，用尺规作图作的第一步是以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交、于点、，那么第二步的作图痕迹弧②的作法是 ． 63．如图，已知，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是．（不写作法，保留作图痕迹） 64．请用直尺、三角板、圆规等数学工具画图（保留痕迹，不写画法，有些画图步骤可写适当的文字说明）． 已知：如图，直线l与直线l外一点P． 求作：直线m，使得直线m过点P，且与直线l平行． 65．如图，已知，用尺规过点A作直线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 66．（1）根据图形填空： ①若，则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得_______； ②若，则根据“_________”，可得________． （2）已知：．求作：，使．（保留作图痕迹，不写作法） 十二. 利用三角形全等测距离（共6小题） 67．如图，△ABC沿BC折叠，使点A与点D重合，则△ABC≌△DBC，其中∠ABC的对应角为(    ) A．∠ACB B．∠BCD C．∠BDC D．∠DBC 68．如图，≌，，交于点，，，则的度数为（   ）. A． B． C． D． 69．如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,BC=4,AC=3,线段PQ⊥BC于Q(如图,此时点Q与点B重合)，PQ=AB，当点P沿PB向B滑动时，点Q相应的从B沿BC向C滑动，始终保持PQ=AB不变，当△ABC与△PBQ全等时，PB的长度等于 . 70．学完《全等三角形》知识后知道：满足“SSA”的两个三角形不一定全等，如图①，∠A与AB分别是△ABC与△ABD公共角与公共边，且AC=AD，但△ABC与△ABD不全等，但在特殊条件下“SSA”也可以确定两个三角形全等.如图②，∠MAB为锐角，AB=5，点B到射线AM的距离为3，点C在射线AM上，BC=x，当x的取值范围是 时，△ABC的形状、大小是唯一确定．    71．已知：如图，在长方形中，，.延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 时，和全等. 72．如图，点A、B、C、D在一条直线上，，则的长是 ． $$专题01 三角形（易错必刷72题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 三角形的稳定性及应用 · 三角形三边关系的应用 · 三角形的中线及其应用 · 图形的全等 · 三角形全等的判定 · 三角形的尺规作图 · 构成三角形的条件及第三边的取值范围 · 三角形的高及其应用 · 三角形的角平分线及其应用 · 三角形的全等及性质 · 添加条件使三角形全等 · 利用三角形全等测距离 · 一．三角形的稳定性及应用（共6小题） 1．如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形，这样做的数学依据是（   ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．三角形两边的和大于第三边 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形稳定性的实际应用．从安全角度和三角形的稳定性质进行分析即可解答． 【详解】解：从安全角度讲，塔吊机需要特别稳固，框架设计成很多个三角形是利用了三角形具有稳定性． 故选：A． 2．下列图形具有稳定性的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性，多边形（边数大于等于四）不具有稳定性来判断． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，多边形（边数大于等于四）不具有稳定性， ∴答案A正确； 故选：A． 3．如图所示，工人师傅通常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的数学依据是（   ）    A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．对顶角相等 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用，根据三角形的稳定性即可作答． 【详解】加上后，原图中具有了，故这种做法的数学依据是三角形的稳定性． 故选：D． 4．空调安装在墙上时，支架一般都采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是：三角形具有 ． 【答案】稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，掌握三角形的这一性质是解题的关键． 根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：∵空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定， ∴这种方法应用的几何原理：三角形具有稳定性． 故答案为：稳定性． 5．在日常生产生活中，很多物体都采用三角形结构，比如起重机的底座、房屋的人字梁、输电线路的支架等，都是利用了三角形的 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，采用三角形结构都是利用三角形具有稳定性，据此求解即可． 【详解】解：在日常生产生活中，很多物体都采用三角形结构，利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 6．数学与现实生活息息相关，在下列三个生活中常见的物品中，具有稳定性的是 ．（填序号） ①自行车的三角形车架，②起重机的三角形吊臂，③相机三脚架． 【答案】①②③ 【分析】此题考查了三角形的特性：稳定性，应注意在实际生活中的应用．只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形的稳定性． 【详解】解：①自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性； ②起重机的三角形吊臂，利用了三角形的稳定性； ③相机三脚架，利用了三角形的稳定性； 故利用了三角形稳定性的有①②③． 故答案为：①②③． 二．构成三角形的条件及第三边的取值范围（共6小题） 7．每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：A、，由三角形三边关系可知，不能构成三角形，不符合题意； B、，由三角形三边关系可知，不能构成三角形，不符合题意； C、，，由三角形三边关系可知，能构成三角形，符合题意； D、，由三角形三边关系可知，不能构成三角形，不符合题意； 故选：C． 8．若三条线段的长度比如下：①；②；③；④，其中能构成三角形的有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查构成三角形的条件，根据两条较短线段的和大于第三条线段，能够组成三角形进行判断即可． 【详解】解：，不能构成三角形，故①错误； ，能构成三角形，故②正确； ，能构成三角形，故③正确； ，能构成三角形，故④正确； 故选B． 9．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可解． 【详解】解：A、，长度为的三条线段不能组成三角形，不合题意； B、，，长度为的三条线段能组成三角形，符合题意； C、，长度为的三条线段不能组成三角形，不合题意； D、，长度为的三条线段不能组成三角形，不合题意； 故选B． 10．如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，则A，B间的距离可能是（    ） A．30米 B．25米 C．10米 D．5米 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．设A，B间的距离为x，根据三角形的三边关系，可得到x的取值范围，即可判断答案． 【详解】设A，B间的距离为x， 根据三角形的三边关系，得： ， ， 故A，B间的距离可能是20米． 故选：C． 11．已知三角形三边长分别为，若为整数，则这样的三角形个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：∵三角形三边长分别为， ∴， 解得， ∵x为整数， ∴x为8、9、10， ∴这样的三角形个数为3． 故选：C． 12．已知的三边长均为整数，的周长为偶数． (1)若，，求的长． (2)若，求的最大值． 【答案】(1)或10 (2)13 【分析】本题考查了三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）根据三角形的三边关系求出的取值范围，再由为偶数即可得出结论； （2）根据，的周长为偶数，可得为正整数，且为奇数，再根据，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：∵由三角形的三边关系知，，即：， ∴， 又∵的周长为偶数，而、为奇数， ∴为偶数，且为正整数，故或10； （2）解：∵，的周长为偶数， ∴为正整数，且为奇数， ∵ ∴的最大值为13． 三．三角形三边关系的应用（共6小题） 13．已知，，为的三边长，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，绝对值的化简，熟悉掌握绝对值的化简方法是解题的关键． 根据三角形的三边关系得到，，再化简绝对值运算即可． 【详解】解：∵，，为的三边长， ∴，， ∴， 故选：B． 14．下图是工地施工所用的塔吊，塔吊上端有两根钢丝绳，其两根钢丝绳与起重臂围成的三角形三边长可能是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系应用．根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可． 【详解】解：A、，，，不能构成三角形，不合题意； B、，，，不能构成三角形，不合题意； C、，，，能构成三角形，符合题意； D、，，，不能构成三角形，不合题意． 故选：． 15．一个三角形两边长分别是2和5，若第三边的长为奇数，则周长是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．设第三边长为x，根据三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】解：设第三边长为x，根据题意得： ， 即， ∵第三边的长为奇数， ∴x的值为5， 即第三边的长是5． ∴周长是． 故答案为：12． 16．（1）如果关于的两个多项式与相乘展开后的结果不含有一次项，且二次项系数是1，求和的值； （2）已知的三边，，的长都是互不相等的正整数，且满足，求的最大边的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二元一次方程组和完全平方公式及三角形三边关系，熟练掌握二元一次方程组和三角形三边关系是解题的关键． （1）将两个多项式相乘，展开后得到三次式，根据题意列出方程并求解，即可得到答案； （2）先利用完全平方公式，再根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：（1）由题可得：， ∵此多项式不含有一次项，且二次项系数是1， ∴ ∴； （2）∵， ∴， ∴，， ∵，，为的三边长，且都是互不相等的正整数， ∴， ∴，且最长， ∴． 17．在中，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为17，求的周长． 【答案】(1)8 (2)10 【分析】本题考查了三角形的三边关系，中线与周长的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三边关系得，则，因为是整数，则，即可作答． （2）因为是的中线，所以，因为且，得出，即可算出的周长． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ， 是整数， ； （2）解：是的中线， ， 的周长为17， ， ， 的周长． 18．在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形面积的计算和中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先画图，根据三角形的面积公式即可求得的长； （2）根据中线的性质可得出和的面积相等，从而得出答案． 【详解】（1）解：如图： ∵，是边上的高，，，． ∴； ∴ ∴； （2）解：∵的边上的中线是 ， ∴． 四．三角形的高及其应用（共6小题） 19．A、B、C为三个小区，A、B、C三个小区的学生人数比为3：7：4，现在要在所在的平面上建造一个学校P，使得所有学生走的路程和最短，则学校P应该选在（　　） A．点C处 B．三条中线的交点处 C．点B处 D．和的角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，正确列出每种情况的代数式，然后根据三角形三边关系进行判断是本题解题的关键．分别列出P点在三角形内以及在B、C两点处时，所有学生走过路程的总和，根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：如图： 当点P在的内部时： 所有学生走过的路程为： ， 当点P在点C处： ， 当点P在点B处： ， ∴ 在和中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵ 在中，， ∴， ∴， ∵三条中线的交点处和和的角平分线的交点处均在三角形内， ∴B和D均不符合题意， 综上所述，P点应该在点B处． 故选：C． 20．下列各图中，作边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高，过顶点向边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是高，据此分析即可求解． 【详解】解：A、是边上的高，不符合题意； B、是边上的高，不符合题意； C、是边上的高，不符合题意； D、是边上的高，符合题意； 故选：D． 21．如图，在中，边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的画法是解题的关键；因此此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【详解】解：在中，边上的高为； 故选B． 22．下列四个图形中，画出是边高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形高的画法，掌握三角形高的定义及作图方法是解题的关键． 三角形的高是顶点到对边的垂线，由此即可求解． 【详解】解：根据三角形高的作图可得，是边高的是B选项， 故选：B ． 23．如图，在中，为中线，和分别为和的高，若，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的中线的性质、与三角形的高的有关的计算，由题意可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，为中线， ∴， ∵和分别为和的高， ∴，即， ∴， 故答案为：． 24．如图，在中，∠BAC=90°， AD，AE分别是边上的高和中线，，． (1)求和的周长之差； (2)求的长度． 【答案】(1)和的周长之差； (2)． 【分析】查考查了三角形的高、中线，等积法求三角形的高，理解三角形的高、中线的意义是解题的关键； （1）由是边上中线，得，则可得，从而求解； （2）利用同一三角形面积相等即可求得的长度． 【详解】（1）解：∵是边上中线， ∴， ∴ ， 即和的周长之差； （2）解：∵是边上的高， ， ， 即． 五．三角形的中线及其应用（共6小题） 25．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握这些概念是解题的关键．根据三角形的高、中线、角平分线的概念进行判断即可． 【详解】解：是的中线， ，故A选项正确，不符合题意； 是的角平分线， ，故B选项正确，不符合题意； 是的高， ， ，故C选项正确，不符合题意； 和的高相同，但， ，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 26．如图所示，在中，已知点分别是的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，，，，再由，就可得到的面积，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 同理可证， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 27．如图，已知，分别是的中线和高，且，，则与的周长的差为 ．的面积与的面积的关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键． 根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长之差．由可得． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∴与的周长之差， ∵， ∴与的周长之差． ∵， ∴． 故答案为：；． 28．如图，分别是 的高和中线，若 (1)求的长． (2)求 与的周长之差． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了三角形高、中线的概念，利用面积法求三角形的高； （1）利用面积法即可求得高的长； （2）由中线的意义得，则与的周长之差为，从而可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵是 的中线， ∴； ∴与的周长之差为： ． 29．按要求画图，并描述所作线段． (1)过点A画三角形的高线； (2)过点B画三角形的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了作三角形的高线和中线，正确掌握钝角三角形高线作法是解题关键． （1）延长，过点A作即可； （2）找到中点E，连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求． 30．如图，中，为中线，，分别为，的中点，且，于． (1) ； (2)若，求的长； (3)若交的延长线于，求证：． 【答案】(1)20 (2) (3)见解析 【分析】此题是三角形综合题，考查三角形中线的性质和三角形面积公式，关键是根据三角形中线的性质解答． （1）根据三角形中线的性质得出面积即可； （2）根据三角形面积公式得出即可； （3）根据三角形面积公式进行证明解答． 【详解】（1）解：为中线，且， ， 故答案为：20； （2）解：为中线，，分别为，的中点，， ， ， ， ； （3）证明：为中线，，分别为，的中点， ， ，， ， ． 六．三角形的角平分线及其应用（共6小题） 31．如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，三角形其中一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 32．下列说法错误的是（    ） A．三角形的三条角平分线都在三角形内部 B．三角形的三条中线都在三角形内部 C．三角形的三条高都在三角形内部 D．三角形的中线、角平分线、高都是线段 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线、高的性质，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键． 根据三角形的中线、角平分线、高的性质判断即可． 【详解】A．三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确； B．三角形的三条中线都在三角形内部，正确； C．三角形的三条高可在三角形内部，也可在外部，原说法错误； D．三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确； 故选：C． 33．如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得，，逐项判断即可判定是的角平分线． 【详解】解：A∵的角平分线、中线相交于点O， ∴，， 在中，不一定等于， ∴不一定是的角平分线，A错误； B∵不一定等于，那么不一定是的角平分线，B错误； C在中，，不一定是的中线，C错误； D∵， ∴是的角平分线，D正确； 故选：D． 34．如图，是学生用两块三角板拼成的图形，其中，，三点在同一条直线上，，，三点在同一条直线上，，，，过点作平分交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定，外角与内角的关系，解题的关键是掌握这些知识． （1）由和角平分线的定义可得，根据同位角相等，两直线平行即可求解； （2）先求出，再根据外角与内角的关系即可求解． 【详解】（1）证明：，是的平分线， ， ， ； （2），， ， 由（1）知， ． 35．如图：中，点D在上，且，E是的中点，交于点F.    (1)写出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线，哪条线段是哪个三角形的中线？ (2)若，且的面积为3，求出的面积. 【答案】(1)是的角平分线，是的角平分线，是的中线，是的中线 (2)18 【分析】（1）根据三角形角平分线、中线的定义即可求解； （2）根据三角形中线的性质求解． 【详解】（1）解：由题意知，是的角平分线，是的角平分线，是的中线，是的中线． （2）解：的面积为3，E是的中点， ， ， ． 36．（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则 ；若，则 ． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则 ． 【答案】 /80度 3 【分析】本题考查了角平分线，中线等知识．熟练掌握角平分线，中线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线，中线的定义求解作答即可； （2）由是边上的中线，可得，由题意知，的周长为，的周长为，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 故答案为：，3； （2）解：∵是边上的中线， ∴， 由题意知，的周长为，的周长为， ∴，， 故答案为： ． 七．图形的全等（共6小题） 37．下列图形中，是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等图形，解题时注意：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．认真观察图形，找出大小或形状都一致的图形即可． 【详解】 解：由全等形的概念可知，是全等图形的是， 故选：D． 38．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 39．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案． 【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示： 故选B． 40．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 41．如图，在的正方形网格中标出了和，则 度． 【答案】 【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解． 【详解】解：如图，连接、，，，， 由图可知，在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 42．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 八．三角形的全等及性质（共6小题） 43．下列关于全等三角形的说法中，正确的有（    ） ①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等三角形；④全等三角形的周长相等、面积相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据全等三角形的概念、性质定理和判定定理判断即可． 【详解】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，故①正确； ②全等三角形的对应边相等、对应角相等，故②正确； ③面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故③错误； ④全等三角形的周长相等、面积相等，故④正确． 故选：C． 44．下列结论正确的是（   ） A．面积相等的两个三角形全等 B．等边三角形都全等 C．底边和顶角对应相等的等腰三角形全等 D．两个等腰直角三角形全等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定逐一判断即可． 【详解】A、面积相等的两个三角形是对应的底和高的乘积相等，而不一定全等，选项错误； B、等边三角形是三边相等的三角形，没有告诉边相等的前提下等边三角形不一定全等，选项错误； C、顶角确定的等腰三角形的底角也是确定的，再有底边相等，即可用AAS以及ASA证明两个等腰三角形全面，选项正确； D、在没有告诉两个等腰直角三角形有对应的直角边相等或者斜边相等的前提下，不一定两个等腰直角三角形全等，选项错误； 故选：C． 45．如图所示的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（    ）    A．82° B．78° C．68° D．62° 【答案】B 【分析】直接利用全等三角形的性质得出∠1＝∠2进而得出答案． 【详解】∵如图是两个全等三角形， ∴∠1＝∠2＝180°−40°−62°＝78°． 故选：B．    46．如图，，如果，，那么的长是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 47．如图，，点在同一条直线上，且，，则的长 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差，熟练掌握和运用全等三角形的性质是解决本题的关键． 首先根据全等三角形的性质可得，，再由，即可求解． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：4． 48．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． (1)点、运动几秒后，、两点重合？ (2)点、运动几秒后，可得到是等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的是等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间； (4)点、运动__________秒后，可得到是直角三角形． 【答案】(1)秒 (2)秒 (3)秒 (4)或或或 【分析】（1）设点、运动秒后，、两点重合，根据点运动的路程比点运动的路程多，列方程即可求解； （2）设点、运动秒后，可得到等边三角形，根据题意可得：，，由，可知时，是等边三角形，列出方程即可求解； （3）假设是等腰三角形，可证明，可得，用含有的式子分别表示出、，最后根据等量关系列方程即可求解； （4）分点在，，上运动的三种情况，再分别就和列方程求解即可． 【详解】（1）解：设点、运动秒后，、两点重合， 则， 解得：， 即点、运动秒后，、两点重合； （2）如图1，设点、运动秒后，可得到等边三角形， 根据题意可得：，， ， 时，是等边三角形， ， 解得：， 设点、运动秒后，可得到等边三角形； （3）当点、在边上运动时，能得到以为底边的是等腰三角形， 由（1）知秒时，、两点重合，恰好在点处， 如图2，假设是等腰三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 解得：，符合题意， 假设成立，当点、运动秒时，得到以为底边的是等腰三角形； （4）当点在上运动时，如图3， 若， ，， ， ， ，即， 解得：； 如图4，若， 则，即， 解得：； 当点在上运动时，点，，不能构成三角形； 当点在上运动时，如图5， 当点位于中点处时，由是等边三角形，可得，即是直角三角形， 则， 解得：； 如图6，当点位于中点处时，由是等边三角形，可得，即是直角三角形， 则； 综上所述，当或或或时，可得到是直角三角形， 故答案为：或或或． 九．三角形全等的判定（共6小题） 49．如图，已知，若根据“”判定，需要补充的一个条件是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，利用公共边以及，依据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，即可得到需要的条件． 【详解】在和中， ，， 添加时，可以根据判定， 故答案为：． 50．如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，已知，又公共，根据即可证明． 【详解】证明：在与中， ， ∴． 51．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定定理，根据平行线的性质得到然后利用""证明，即可求解． 【详解】解： ， 在和中， ​​​​​​​ 52．长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片折叠， 使点 C与点A重合， 折痕为． (1)如果， 求的度数； (2)判断和是否全等．请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】（1）由长方形的性质得，，则可得．再由折叠的性质得，则可得．在中，根据三角形内角和定理即可求出的度数． （2）由长方形的性质和折叠的性质可得，，，根据即可证明． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ，， ∴， ， ， ， 由折叠知， ， 在中，． （2）解：，理由如下： ∵四边形是长方形， ，， 由折叠知，，， ，，， ． 53．如图，、、、在同一条直线上，，，，试说明：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可证明结论． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ) ． 54．如图，在与中，点E，F在线段上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的证明，运用“”方法即可证明． 【详解】∵， ∴， 即， ∵， ∴在和中， ， ∴． 一十．添加条件使三角形全等（共6小题） 55．如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，如果已知，那么还不能判定，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．三角形中，则，又，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：添加选项中条件可用判定两个三角形全等； 添加选项以后是，无法证明三角形全等； 添加选项中条件首先根据等边对等角得到，再由等式的性质得到，最后运用判定两个三角形全等； 添加选项中条件首先根据等角的补角相等可得，再由判定两个三角形全等； 故选：． 56．如图，点D在上，E在上，，补充一个条件：①；②；③；④，能证明的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；熟练掌握三角形全等的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 【详解】解：①不能；∵，，， ∴不能证明； ②能证明；∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ③能证明；在和中， ， ∴； ④能证明；在和中， ， ∴； 能证明的有个， 故选：C． 57．如图，，，则添加下列条件还不能使的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，根据所添加的条件判段能否得出即可，判定两个三角形全等的一般方法有：．解题时注意：判定两个三角形全等时，必须有边相等的条件，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【详解】解∶∵， ∴， A．当时，， ∴，根据可以判定，故A不符合题意； B．当时，根据可以判定；故B不符合题意； C．当时，根据可以判定； D．当时，不能判定； 故选：D． 58．如图，已知，，添加一个条件 判定． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：添加一个条件，判定， 理由如下： 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 59．如图，点，在上，，，要使，还需要添加一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 全等三角形的判定定理有，，，，根据以上定理即可求解． 【详解】解：需要添加一个条件是，理由如下： 在和中， ，，， ， 故答案为：（答案不唯一）． 60．如图，，，点，，，在同一直线上，要说明，还要添加的条件是 ．（不添加辅助线，只填写一个条件）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据已知可得，，然后根据全等三角形的判定定理添加条件即可．解题的关键是熟记全等三角形的判定方法有：，，，；证明直角三角形全等的方法还有． 【详解】解：∵，， ∴添加可利用证得； 添加，可利用证得； 添加，可利用证得； 故答案为：（答案不唯一）． 十一．三角形的尺规作图（共6小题） 61．下面是黑板上出示的尺规作图题，横线上符号代表的内容，正确的是（   ） 如图，已知，求作：，使． 作法：（1）作射线； （2）以点为圆心，①为半径作弧，分别交，于点，； （3）以点为圆心，②为半径作弧交于点； （4）以③为圆心，④长为半径作弧交第（3）步中所作弧于点； （5）过点作射线，即为所求作的角． A．① B．② C．③ D．④任意长 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 根据作一个角等于已知角的方法进行判断即可求解． 【详解】解：由图可得作法： （1）作射线； （2）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； （3）以点为圆心，为半径作弧交于点； （4）以为圆心，长为半径作弧交第（3）步中所作弧于点； （5）过点作射线，即为所求作的角． ①任意长；②；③；④表． 故选：B． 62．如图，用尺规作图作的第一步是以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交、于点、，那么第二步的作图痕迹弧②的作法是 ． 【答案】以点E为圆心，长为半径画弧 【分析】根据做一个角等于已知角的作图方法，即可求解， 本题考查了，作图做一个角等于已知角，解题的关键是：熟练掌握作图做一个角等于已知角． 【详解】解：以点E为圆心，长为半径画弧， 故答案为：以点E为圆心，长为半径画弧． 63．如图，已知，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，解题的关键是根据角的和差关系，作出有公共边的两个角，继而得到结果． 【详解】解：如图，． 64．请用直尺、三角板、圆规等数学工具画图（保留痕迹，不写画法，有些画图步骤可写适当的文字说明）． 已知：如图，直线l与直线l外一点P． 求作：直线m，使得直线m过点P，且与直线l平行． 【答案】图见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．在直线l上取点A，B，连接，过点P在的异侧作， 则， 【详解】解：如图，所在的直线m即为所求． 65．如图，已知，用尺规过点A作直线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图， 根据平行线的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，直线即为所求． 66．（1）根据图形填空： ①若，则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得_______； ②若，则根据“_________”，可得________． （2）已知：．求作：，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）①；②两直线平行，内错角相等；；（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，作三角形； （1）①根据“同旁内角互补，两直线平行”即可求解； ②根据“两直线平行，内错角相等”，即可求解． （2）根据题意作，即可求解． 【详解】（1）①若，则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得； ②若，则根据“两直线平行，内错角相等”，可得 ． 故答案为：①；②两直线平行，内错角相等； （2）如图所示，即为所求 十二. 利用三角形全等测距离（共6小题） 67．如图，△ABC沿BC折叠，使点A与点D重合，则△ABC≌△DBC，其中∠ABC的对应角为(    ) A．∠ACB B．∠BCD C．∠BDC D．∠DBC 【答案】D 【分析】根据翻折变换的性质以及全等三角形对应角相等解答. 【详解】解：∵△ABC≌△DBC， ∴∠ABC的对应角为∠DBC. 故选D. 68．如图，≌，，交于点，，，则的度数为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质可得∠A=∠E，∠ECF=∠ADB，根据三角形内角和求出∠ECF的度数，再利用三角形内角和求出∠CGD的度数即可. 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， ∴. 故选B. 69．如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,BC=4,AC=3,线段PQ⊥BC于Q(如图,此时点Q与点B重合)，PQ=AB，当点P沿PB向B滑动时，点Q相应的从B沿BC向C滑动，始终保持PQ=AB不变，当△ABC与△PBQ全等时，PB的长度等于 . 【答案】4或3 【分析】分情况讨论：①当Q与C重合时，AC=BP=3时，△BCA≌△QBP；②BP=BC=4时，△BCA≌△PBQ. 【详解】①当Q与C重合时，AC=BP=3时，△BCA≌△QBP 在Rt△BCA和Rt△QBP中 ∴Rt△BCA≌Rt△QBP（HL） ②BP=BC=4时，△BCA≌△PBQ. 在Rt△BCA和Rt△PBQ中 ∴Rt△BCA≌Rt△PBQ（HL） 故答案为4或3 70．学完《全等三角形》知识后知道：满足“SSA”的两个三角形不一定全等，如图①，∠A与AB分别是△ABC与△ABD公共角与公共边，且AC=AD，但△ABC与△ABD不全等，但在特殊条件下“SSA”也可以确定两个三角形全等.如图②，∠MAB为锐角，AB=5，点B到射线AM的距离为3，点C在射线AM上，BC=x，当x的取值范围是 时，△ABC的形状、大小是唯一确定．    【答案】x=3或x≥5 【分析】作BD⊥AM，分BD＜x＜AB，x=BD和x≥AB三种情况讨论即可求解. 【详解】作BD⊥AM，则BD=3， ∵AB=5，BD=3，BD⊥AM， ∴可唯一确定△ABC（HL）, 当BD＜x＜AB，即3＜x＜5时，点C可在点D的两边，不能确定唯一△ABC， 当x=BD=3时，点C与点D重合，可唯一确定是直角三角形， 当x≥AB时，即x≥5时，∵点C在射线AM上， ∴点C只能在点D的右边或与A点重合， ∵点C与点A重合不能构成三角形， ∴能确定唯一三角形， ∴若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值为x=3或x≥5， 故填：x=3或x≥5.    71．已知：如图，在长方形中，，.延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 时，和全等. 【答案】0.5秒或3.5秒 【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=1和AP=8-2t=1即可求得． 【详解】解：∵AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=1，根据SAS证得△ABP≌△DCE， 由题意得：BP=2t=1， ∴t=0.5， ∵AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=1，根据SAS证得△BAP≌△DCE， 由题意得：AP=8-2t=1， 解得t=3.5． ∴当t的值为0.5或3.5秒时．△ABP和△DCE全等． 故答案为0.5秒或3.5秒． 72．如图，点A、B、C、D在一条直线上，，则的长是 ． 【答案】5． 【分析】根据全等三角形的对应边相等得到：AC=BD，所以AC=BC+CD=5． 【详解】∵如图，△AFC≌△BED， ∴AC=BD． 又DC=4，BC=1，BD=BC+CD=5， ∴AC=5． 故答案是：5． $$