专题03 勾股定理（考点清单，题型解读5个考点清单&题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（鲁教版五四制）

清单03 勾股定理（5个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 【清单02】勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证：与是否具有相等关系： 　　 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 　　 若时，△ABC是锐角三角形； 　　　若时，△ABC是钝角三角形． 【清单03】勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 【清单04】勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【清单05】勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 【考点题型一】用勾股定理解三角形 【例1】把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若长为4，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A．8 B． C． D．1 【变式1-2】如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 ． 【变式1-3】如图长方体木箱的长、宽、高分别为，，则能放进木箱中的直木棒最长为 ． 【变式1-4】如图，在中，，，，求的长． 【变式1-5】数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． (1)求的长． (2)如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线． 【考点题型二】以直角三角形三边为边长的图形面积 【例2】如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积是81，则图中所有正方形的面积和是（　　） A．81 B．162 C．243 D．324 【变式2-1】如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是（   ） A．10 B．25 C．225 D．500 【变式2-2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是4、6、2、4，则最大正方形的面积是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式2-3】如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为．如果 ，则阴影部分的面积为 ． 【变式2-4】如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5，则正方形D的面积为 ． 【变式2-5】如题图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 ． 【考点题型三】勾股定理与折叠问题 【例3】如图，在中，，，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则 ． 【变式3-1】如图，在中，，，，点D在边上，把沿直线折叠，使得点B的对应点落在的延长线上，则 ． 【变式3-2】如图，，，，，，垂足为，将边沿翻折，使点落在上的点处，则线段的长为 ． 【变式3-3】如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．，，则的值为 ． 【变式3-4】如图，直角三角形纸片的两直角边，，现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，求的长． 【变式3-5】如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点题型四】勾股定理的证明方法 【例4】下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面有四个图，其中能证明勾股定理的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式4-2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 【变式4-4】请利用如图验证勾股定理．勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理． 【变式4-5】现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形解决下列问题：    (1)试证明：； (2)若大正方形的面积为169．小正方形的面积为49，求的值． 【考点题型五】用勾股定理构造图形解决问题 【例5】李老师家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】我国古代数学著作《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”这道题的意思是说：有一个边长为10尺的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的处（如图），则水深是 尺． 【变式5-2】如图长方体木箱的长、宽、高分别为，，则能放进木箱中的直木棒最长为 ． 【变式5-3】《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、两点到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是 寸（1尺寸）．    【变式5-4】我国明代数学家程大位在《算法统筹》中记载着一道关于荡秋千的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺尺），将它往前（水平距离）推送10尺（尺）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺（尺），秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？请你结合下图计算绳索长 尺． 【变式5-5】某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图1所示，人只要移至该门口及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，如图2所示．求此时该学生头顶C到门铃A的距离． 【考点题型六】判断三边能否构成直角三角形 【例6】下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（　　） A．4，5，6 B．5，12，13 C． D．，， 【变式6-1】下列四组数能作为直角三角形三边长的是（） A．4，8，9 B．1，1，2 C． D． 【变式6-2】用三根长度分别为、、长的木棍 围成一个直角三角形（填“能”或者“不能”）． 【变式6-3】如图，中，是上一点，连接．若，，，，求的面积． 【变式6-4】如图，在中，，，，D是延长线上一点，连接，若，求的长． 【变式6-5】如图，是的高． (1)若，则的长为_______，的长为_______； (2)若，且，求证：是直角三角形． 【考点题型七】利用勾股定理的逆定理求解 【例7】如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 【变式7-1】在四边形中，已知，，，，且，求：四边形的面积． 【变式7-2】如图，在四边形中，已知，，，． (1)求的长； (2)证明． 【变式7-3】如图，在中，，是边上的一点，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 【变式7-4】如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积． 【变式7-5】如图，在四边形中，，，，．求四边形的面积． 【考点题型八】勾股定理逆定理的拓展问题 【例8】已知，、、是的三边长，若，则是 . 【变式8-1】△ABC的三边长分别为a、b、c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝3：4：5，其中能判断是直角三角形的个数有 个． 【变式8-2】如图1, △ABC中，CD⊥AB于D,且BD: AD:CD=2:3:4． (1)试说明△ABC是等腰三角形; (2)已知S△ABC=40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点M运动的时间为t(秒)，若△DMN的边与BC平行，求t的值． 【变式8-3】已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 【变式8-4】如图，在中，已知，，边上的中线，求以为边长的正方形的面积. 【变式8-5】综合实践活动课上,老师让同学们在一张足够大的纸板上裁出符合如下要求的梯形, 即“梯形ABCD，AD∥BC，AD=2分米，AB=分米，CD=分米，梯形的高是 2分米”．请你计算裁得的梯形ＡＢＣＤ中BC边的长度． 【考点题型九】勾股定理的应用 【例9】一只的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是，内壁高，那么这根铅笔需在笔筒外的部分长度h的范围是（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，已知楼梯长，高，现计划在楼梯的表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ． 【变式9-3】如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 米． 【变式9-4】如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西的方向航行8海里，这时两轮船相距 海里． 【变式9-5】如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度为米，一名学生站在处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高为米，头顶离感应器的距离为米，这名学生从进入感应区到进门，需行进 米． 【变式9-6】云梯消防车设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救．如图，在一次消防演习中，某辆高为的云梯消防车，在点A处将云梯伸长去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即）．云梯伸长的长度保持不变，消防车水平向演习楼房的方向移动到点B处去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即），其中，求消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）． 【变式9-7】如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【变式9-8】某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 【变式9-9】森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 【变式9-10】如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 【考点题型十】最短路径问题 【例10】一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，一个圆柱形容器的高为，底面半径为，在容器内壁中点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁的底部与蚊子相对的点A处，壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ．（容器厚度忽略不计） 【变式10-2】如图，已知圆柱的底面周长为36，高为9，点P位于顶面半圆处．小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬到C点，最后爬回A点．小虫爬行的最短路程为 ． 【变式10-3】如图，四边形是一块长方形地面， ，，中间有一堵墙的高，蚂蚁从点到点， 必须翻过中间这堵墙，则它至少要爬 ． 【变式10-4】如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是，，，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？ 【变式10-5】动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 勾股定理（5个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 【清单02】勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证：与是否具有相等关系： 　　 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 　　 若时，△ABC是锐角三角形； 　　　若时，△ABC是钝角三角形． 【清单03】勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 【清单04】勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【清单05】勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 【考点题型一】用勾股定理解三角形 【例1】把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若长为4，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由折叠的性质可得，，，，，由勾股定理可求的长，进而可求的长，再利用勾股定理可求的长． 【详解】解：由折叠可知：，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-1】如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A．8 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．根据左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，可得，再根据勾股定理得出和的长即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1， ∴， ∴， ∴按此手势解锁一次的路径长为：． 故选：B． 【变式1-2】如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、勾股定理等知识，由长方形的性质得，，，由折叠得，，求得，则，由，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由折叠得，， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【变式1-3】如图长方体木箱的长、宽、高分别为，，则能放进木箱中的直木棒最长为 ． 【答案】13 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．首先利用勾股定理计算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：连接，，如图所示，为最长边 由题意可知， 在中，，， 那么 故答案为：13． 【变式1-4】如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理直接进行求解 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得，即， 解得， 的长为． 【变式1-5】数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． (1)求的长． (2)如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线． 【答案】(1)米 (2)再放出8米线 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求解； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理得，， ∴米， 则米； （2）解：如图，当风筝沿方向再上升12米时， ∴米， 在中，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， ∴他应该再放出8米线． 【考点题型二】以直角三角形三边为边长的图形面积 【例2】如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积是81，则图中所有正方形的面积和是（　　） A．81 B．162 C．243 D．324 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解勾股定理是解题关键．根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：6个小正方形的面积和等于最大正方形面积的2倍，即可获得答案． 【详解】解：如下图， 根据勾股定理得到：与的面积的和是的面积，与的面积的和是的面积，而，的面积的和是的面积， 即的面积之和为2个的面积． ∵正方形的面积是81， ∴的面积之和为． 故选：C． 【变式2-1】如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是（   ） A．10 B．25 C．225 D．500 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，根据正方形的面积与边长的关系，可知，则由此即可求解． 【详解】解：设正方形的边长分别为,依题意，，即 ∴， ∴ 故选C． 【变式2-2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是4、6、2、4，则最大正方形的面积是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．分别设正方形F、G、E的边长为x、y、z，由勾股定理得出，，，即最大正方形E的面积为． 【详解】解：如图，分别设正方形F、G、E的边长为x、y、z，    则由勾股定理得：，，， 即最大正方形E的面积为：． 故选：C． 【变式2-3】如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为．如果 ，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形和直角三角形，熟练掌握勾股定理，正方形面积公式，是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据，得出，可得图中阴影部分的面积． 【详解】解：由正方形面积得：， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由图形可知，阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 【变式2-4】如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5，则正方形D的面积为 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，中间阴影正方形的边长为x，根据勾股定理得，，再证明，即可得出结论，确定正方形A、B、C、D面积的数量关系是解题的关键． 【详解】解：设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，中间阴影正方形的边长为x， ∵两个空白三角形均为直角三角形， ∴，， ∴， ∵A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5， ∴， 即正方形D的面积为19， 故答案为：19． 【变式2-5】如题图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】84 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 阴影部分的面积：， 故答案为：84． 【考点题型三】勾股定理与折叠问题 【例3】如图，在中，，，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 先勾股定理求得，根据翻折的不变性得到，，设，则，在中运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】∵，且，， ∴， 又由于翻折， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ， ， ， ∴． 故答案为：3． 【变式3-1】如图，在中，，，，点D在边上，把沿直线折叠，使得点B的对应点落在的延长线上，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查直角三角形的折叠问题，由勾股定理得，由折叠得，，可求出，设，则， 在中由勾股定理得，解得，即可求出． 【详解】解：在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴． 故答案为：3． 【变式3-2】如图，，，，，，垂足为，将边沿翻折，使点落在上的点处，则线段的长为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了翻折变换，等面积法以及勾股定理，解决本题的关键是熟练运用等面积法．首先根据折叠可得，，利用等面积法得到的值，在中利用勾股定理求得，然后即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， 根据折叠的性质可知，， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．，，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，由折叠的性质可得，根据，，求出，根据勾股定理可求的值． 【详解】解：将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ， ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：9． 【变式3-4】如图，直角三角形纸片的两直角边，，现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换及勾股定理，由折叠的性质知，，根据题意在中运用勾股定理求，熟练掌握运用勾股定理列出方程是解决此题的关键． 【详解】∵是直角三角形，， ， ∴， ∵是翻折而成， ∴，， 设， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， 故的长为． 【变式3-5】如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（1）利用全等判定方法证明全等三角形即可； （2）过点F作交于G，先用勾股定理求出，设，用x表示出的长，进而在中用勾股定理列出方程，最后利用即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， 由折叠知，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点F作交于G， 又， ∴四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， ． 的长为． 【考点题型四】勾股定理的证明方法 【例4】下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法． 根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式4-1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面有四个图，其中能证明勾股定理的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在第一个图中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故第一个图不能说明勾股定理； 在第二个图中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故第二个图可以证明勾股定理； 在第三个图中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故第三个图可以证明勾股定理； 在第四个图中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故第四个图可以证明勾股定理． ∴能证明勾股定理的有3个． 故选：B． 【变式4-2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ，故该选项能证明勾股定理； B、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理； C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ， 故该选项不能证明勾股定理； D、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理； 故选：C． 【变式4-3】“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 【答案】(1)①见解析；②； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键． ①用两种不同的方法去求正方形的面积即可． ②利用①中发现的结论即可解决问题． 设，根据勾股定理建立关于m的方程即可解决问题． 【详解】（1）解：①证明：中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为 又四个直角三角形的面积为：， 大正方形的面积为： 又大正方形的边长为c， 大正方形的面积还可以表示为， ； ②解：由①可知， ， ， ， ， ， 舍负， 即直角三角形两直角边之和为； （2）解：设， ， 外围轮廓实线的周长为48， ， 则 在中， ， 解得， 即， ． 【变式4-4】请利用如图验证勾股定理．勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答中涉及列代数式，完全平方公式，掌握“等面积法”是解题的关键， 直接用梯形的面积公式和三个三角形面积之和两种含有a，b的代数式表示，由得到的两个面积相等列等式，化简即可得出a、b、c的数量关系 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【变式4-5】现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形解决下列问题：    (1)试证明：； (2)若大正方形的面积为169．小正方形的面积为49，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，完全平方公式变形求值； （1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积加上四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式． （2）由，，先求解，再根据完全平方公式解答即可． 【详解】（1）证明：大正方形的面积表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵大正方形的面积为， ∴， ∵小正方形的面积为， ∴ ∴， ∴， ∴． 【考点题型五】用勾股定理构造图形解决问题 【例5】李老师家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．电梯是个长方体，电梯中能放下的最大长度就是长方体对角线的长度，连接、构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图所示， 电梯中能放下的最大长度就是线段的长度， ， ， ， 故选：C． 【变式5-1】我国古代数学著作《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”这道题的意思是说：有一个边长为10尺的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的处（如图），则水深是 尺． 【答案】12 【分析】本题本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深x尺，芦苇尺， 根据题意：， 由勾股定理：， 解得：， 故答案为：12． 【变式5-2】如图长方体木箱的长、宽、高分别为，，则能放进木箱中的直木棒最长为 ． 【答案】13 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．首先利用勾股定理计算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：连接，，如图所示，为最长边 由题意可知， 在中，，， 那么 故答案为：13． 【变式5-3】《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、两点到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是 寸（1尺寸）．    【答案】101 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E．    设寸， 则寸，寸，寸． 在中，，即， 解得寸， 寸， 故答案为：101． 【变式5-4】我国明代数学家程大位在《算法统筹》中记载着一道关于荡秋千的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺尺），将它往前（水平距离）推送10尺（尺）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺（尺），秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？请你结合下图计算绳索长 尺． 【答案】14.5 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设绳索有尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果． 【详解】解：设绳索有x尺长，依题意 解得：， 故答案为：． 【变式5-5】某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图1所示，人只要移至该门口及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，如图2所示．求此时该学生头顶C到门铃A的距离． 【答案】5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确识图，理清题目中各线段的长度，运用勾股定理解题是本题的关键． 根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：过点C作，垂足为点E， 则， 由题意得：米，米，米 则， 在中，由勾股定理得： ,即， 解得米． 答：该生头顶C到门铃A的距离为5米． 【考点题型六】判断三边能否构成直角三角形 【例6】下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（　　） A．4，5，6 B．5，12，13 C． D．，， 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，逐一计算每个选项中较小的两边的平方和，与最长边的平方进行比较，从而可得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴此三角形不是直角三角形， 故A符合题意； B、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 【变式6-1】下列四组数能作为直角三角形三边长的是（） A．4，8，9 B．1，1，2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，不能构成三角形，故不符合题意； C、，能构成直角三角形，故符合题意； D、，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 【变式6-2】用三根长度分别为、、长的木棍 围成一个直角三角形（填“能”或者“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：∵，， 即，， 故用三根长度分别为、、长的木棍不能围成一个直角三角形． 故答案为：不能． 【变式6-3】如图，中，是上一点，连接．若，，，，求的面积． 【答案】84 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积等知识点．熟练掌握勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形是解题的关键．先利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，再利用勾股定理求得，从而求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴． 【变式6-4】如图，在中，，，，D是延长线上一点，连接，若，求的长． 【答案】11 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再在中，利用勾股定理可求，然后根据线段和差即可得． 【详解】解：在中，，，， ， 是直角三角形，且， 在中，， ， 故的长为11． 【变式6-5】如图，是的高． (1)若，则的长为_______，的长为_______； (2)若，且，求证：是直角三角形． 【答案】(1)15；20 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理可求得，在中，根据勾股定理可求得； （2）先利用勾股定理证明，，从而证得，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形． 【详解】（1）解： ， 是直角三角形， 在中，，，， ， 又， 是直角三角形， 在中， ，，， ； 故答案为：15；20． （2）证明：是的高， ． ∴在中，， 即． 同理，． ∵， ， 是直角三角形． 【考点题型七】利用勾股定理的逆定理求解 【例7】如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，   ， ， 当为直角三角形时，， 即， 解得，； 同理可得：当时， 由勾股定理得，， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时， 由得：， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 【变式7-1】在四边形中，已知，，，，且，求：四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【变式7-2】如图，在四边形中，已知，，，． (1)求的长； (2)证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理即可求出的长； （2）利用勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形，是斜边，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：在中，，． ∴． （2）在中，，， ∴， ∴是直角三角形，是斜边， ∴． 【变式7-3】如图，在中，，是边上的一点，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 【答案】(1)直角三角形；理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理，解拓展一元一次方程，属于常考题型，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）设，则，然后在中根据勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求出x，进一步即可求出的长，从而求得的周长． 【详解】（1）解：是直角三角形；理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，则 ∴的周长． 【变式7-4】如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积． 【答案】12 【分析】本题考查了关于三角形面积计算的题，由是边上的中线可得到，结合已知，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，过点A作，垂足为E，在中求出的长，即得高，即可求出面积． 【详解】解：是边上的中线 是直角三角形且 过A作，垂足为E， 如图：， 【变式7-5】如图，在四边形中，，，，．求四边形的面积． 【答案】132 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键； 连接，根据勾股定理求出，再证明，得出，根据即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 【考点题型八】勾股定理逆定理的拓展问题 【例8】已知，、、是的三边长，若，则是 . 【答案】等腰直角三角形 【分析】首先根据题意由非负数的性质可得：a-b=0，a2+b2-c2=0，进而得到a=b，a2+b2=c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形． 【详解】解：∵|a-b|+|a2+b2-c2|=0， ∴a-b=0，a2+b2-c2=0， 解得：a=b，a2+b2=c2， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【变式8-1】△ABC的三边长分别为a、b、c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝3：4：5，其中能判断是直角三角形的个数有 个． 【答案】3． 【分析】①根据∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可解得∠B=90° ②根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，分别计算出角度，有90°角的即为直角三角形. ③把右边括号乘开，根据勾股定理判断即可. ④直接把三边长分别看成3，4，5，再根据勾股定理即可判断. 【详解】①∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠B＝90°，所以是直角三角形； ②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，故不是直角三角形； ③∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，根据勾股定理的逆定理是直角三角形； ④∵a：b：c＝3：4：5，∴a2+b2＝c2，根据勾股定理的逆定理是直角三角形． ∴其中能判断是直角三角形的个数有3个， 故答案为3． 【变式8-2】如图1, △ABC中，CD⊥AB于D,且BD: AD:CD=2:3:4． (1)试说明△ABC是等腰三角形; (2)已知S△ABC=40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点M运动的时间为t(秒)，若△DMN的边与BC平行，求t的值． 【答案】（1）见解析（2）5或6. 【分析】（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论； （2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可. 【详解】(1)证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x， 则AB=5x， 在Rt△ACD中,AC= =5x， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形； (2)S△ABC=×5x×4x=40cm2，而x>0， ∴x=2cm， 则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm. ①当MN∥BC时，AM=AN， 即10−t=t， ∴t=5； 当DN∥BC时，AD=AN， 得：t=6； ∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6． 【变式8-3】已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 【答案】（1）直角三角形；（2）. 【分析】把a2+b2+c2+338=10a+24b+26c化为（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，根据非负数的性质求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形即可；（2）利用直角三角形面积的两种表示法求得AB边上的高即可. 【详解】（1）∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， ∴a2-10a+25+b2-24b+144-c2+26c+169=0， ∴（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0， 即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的）， ∵52+122=132， ∴该三角形是直角三角形，且∠ACB=90°． （2）设AB边上的高为h， 根据直角三角形面积的两种表示法可得，， 即， 解得h=. ∴AB边上的高为. 【变式8-4】如图，在中，已知，，边上的中线，求以为边长的正方形的面积. 【答案】244 【详解】试题分析：延长AD到E，使得DE=AD，从而证明△ABD和△EDC全等，然后根据勾股定理的逆定理证明△ACE为直角三角形，从而求出CD的长度，最后根据BC=2CD求出正方形的面积.    试题解析：延长AD到E   使得DE=AD    连EC  因为BD=CD   ∠ADB=∠CDE 所以△ABD≌△EDC   所以EC=AB=12, 在△ACE中,AE=2AD=12,   =144    =169   =25 所以+=        所以△ACE是直角三角形,且∠EAC=90° 在直角三角形ACD中   由勾股定理得：=61 所以以BC为边的正方形的面积==244 【变式8-5】综合实践活动课上,老师让同学们在一张足够大的纸板上裁出符合如下要求的梯形, 即“梯形ABCD，AD∥BC，AD=2分米，AB=分米，CD=分米，梯形的高是 2分米”．请你计算裁得的梯形ＡＢＣＤ中BC边的长度． 【答案】5分，3分米，1分米 【分析】根据题意分3种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解. 【详解】如图AE和DF为梯形ABCD的高，EF＝AD＝2分米 应分以下三种情况 （1）如图1，利用勾股定理可求出BE＝1，CF＝2 ∴BC＝BE＋EF＋FC＝5分 （2）如图2，利用勾股定理可求出BE＝1，CF＝2 ∴BC＝EF－BE＋FC＝3分米 （3）如图3，利用勾股定理可求出BE＝1，CF＝2，可得到C与E重合 ∴BC＝1分米 【考点题型九】勾股定理的应用 【例9】一只的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是，内壁高，那么这根铅笔需在笔筒外的部分长度h的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，首先根据问题的条件可得到当铅笔与笔筒底垂直时x最大，此时x最大值为铅笔的高减去笔筒内壁的高；分析可知，当铅笔如图放置时h最小，在中，运用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时x最大，． 当铅笔如图放置时x最小． 在中，， ∴， ∴． ∴x的取值范围：. 故选：A． 【变式9-1】如图，已知楼梯长，高，现计划在楼梯的表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的基本应用，能够正确计算是解题关键． 先通过勾股定理算出楼梯的水平宽度，再通过“地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和”即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是． 故选：D． 【变式9-2】如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ． 【答案】2.6米 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．过点作于点，可得，，，再根据勾股定理求解即可 【详解】解：如图，过点作于点， 则米，米， 米， （米． 所以此时牵狗绳的长为2.6米． 故答案为：2.6米． 【变式9-3】如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 米． 【答案】25 【分析】本题考查正确运用勾股定理．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可． 【详解】解：如图，设大树高为米，小树高为米， 连接，平移到，则米，，两树相距米， ∴（米）， 在中，（米）， 故小鸟至少飞行米． 故答案为：25． 【变式9-4】如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西的方向航行8海里，这时两轮船相距 海里． 【答案】10 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．根据题意可得，，再根据勾股定理可得的长，即可得两轮船的距离． 【详解】解：如图，    根据题意可知：，， ∴（海里）． ∴两轮船相距10海里． 故答案为：10． 【变式9-5】如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度为米，一名学生站在处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高为米，头顶离感应器的距离为米，这名学生从进入感应区到进门，需行进 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于E，则米，，得到米，由勾股定理得出米，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于E，则米，， 米， 米， 米， 在中， 由勾股定理得：米， 米， 即这名学生从进入感应区到进门，需行进米， 故答案为：． 【变式9-6】云梯消防车设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救．如图，在一次消防演习中，某辆高为的云梯消防车，在点A处将云梯伸长去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即）．云梯伸长的长度保持不变，消防车水平向演习楼房的方向移动到点B处去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即），其中，求消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）． 【答案】消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）为26m． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．延长交于点D，在和利用勾股定理分别求出和的长，最后利用即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点D， 根据题意，得，，，，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 答：消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）为26m． 【变式9-7】如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝砸不到小车 【分析】本题考查勾股定理．大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】如下图所示， ， 为直角三角形， 在中，，， ， ，， 树枝砸不到小车． 【变式9-8】某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 【答案】这辆轿车违章，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出的长，进而求出汽车的速度，再与70比较即可得到结论． 【详解】解：这辆轿车违章，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴汽车的速度为， ∵， ∴这辆轿车违章． 【变式9-9】森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 【答案】(1) (2)着火点C能被扑灭，理由见解析． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． （1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用直角三角形的面积计算出的长，与500比较即可得出结论； （2）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 因为飞机中心周围以内可以受到洒水影响，， 所以着火点受洒水影响； （2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点， ， 在中，， 所以． 因为飞机的速度为， 所以， 20秒秒， 答：着火点能被扑灭． 【变式9-10】如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及应用，一元一次方程的应用等，设，根据勾股定理可得，即可解得的长． 【详解】解：设，则， 在中，， 在中，， ， ∴， ∴， 解得， ∴． 【考点题型十】最短路径问题 【例10】一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 ． 【详解】解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故选：D． 【变式10-1】如图，一个圆柱形容器的高为，底面半径为，在容器内壁中点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁的底部与蚊子相对的点A处，壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ．（容器厚度忽略不计） 【答案】15 【分析】本题主要考查勾股定理中的最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键；将圆柱进行展开，然后根据两点之间线段最短结合勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，将圆柱形容器侧面展开，作点B的对称点D，连接， 则即为壁虎捕捉蚊子的最短距离， 由题意得：底面圆的周长为，高为， ∴，， ∴， ∴； 故答案为15． 【变式10-2】如图，已知圆柱的底面周长为36，高为9，点P位于顶面半圆处．小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬到C点，最后爬回A点．小虫爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先“化曲面为平面”，把圆柱的侧面展开成矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出． 【详解】解：如图， 根据题意，，， ∵P点位于圆周顶面处， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程． 故答案为：． 【变式10-3】如图，四边形是一块长方形地面， ，，中间有一堵墙的高，蚂蚁从点到点， 必须翻过中间这堵墙，则它至少要爬 ． 【答案】 【分析】此题考查了平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键． 连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加米，则， 如图：连接， ， 蚂蚁从点爬到点，它至少要走的路程， 故答案为：． 【变式10-4】如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是，，，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了长方体表面展开图．熟练掌握长方体表面展开图，两点之间线段最短，勾股定理，是解答本题的关键． 先将长方体的表面展开，再根据两点之间线段最短的性质结合勾股定理计算即可． 【详解】解：如图1展开，连接，则的长就是从D处爬到C处的最短路程， 在中，，， 由勾股定理得：， 即从D处爬到C处的最短路程是． 【变式10-5】动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 【答案】（1），（2）（3）． 【分析】（1）根据对称性即可推出答案； （2）最短距离可以转化为两条直角边分别为，的直角三角形的斜边即可； （3）用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处时，剖面图即为为的，求出即可． 本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，几何体的平面展开图，本题重点理解几何体平面展开图的对应点关系以及熟练解直角三角形的综合应用是解题关键． 【详解】解：（1）把矩形卷成以为高的圆柱形，则点与点重合，点与点重合， 故答案为：，； （2）如图所示，连接， 这条丝线的最小长度即为的长， 由勾股定理得：， 即这条丝线的最小长度是； （3）若用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处，如图所示： 在中，，， ， 则． 答：至少需要的丝线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$