专题01 三角形（考点清单，题型解读8个考点清单&题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（鲁教版五四制）

清单01 三角形（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】三角形的概念： (1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. (3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 【清单02】三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于. (2)直接三角形两个锐角互余. (3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 【清单03】三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 【清单04】全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 【清单05】全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 【清单06】画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 【清单07】全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 【清单08】利用三角形全等测距离 利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离. 依据：全等三角形的性质. 关键：构造全等三角形. 方法：（1）延长法构造全等三角形； （2）垂直法构造全等三角形. 【考点题型一】三角形的识别及有关概念 【例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 【变式1-3】如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，． (1)图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形． (2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形． 【变式1-4】如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F． (1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形． (2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角． (3)以线段AB为边的三角形有哪些？ (4)以为内角的三角形有哪些？ 【考点题型二】三角形的稳定性及应用 【例2】如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．长方形的四个角都是直角 D．长方形的对称性 【变式2-1】安装空调外机时一般会采用如图的方法固定，这是利用三角形的（    ） A．全等性 B．对称性 C．美观性 D．稳定性 【变式2-2】如图，木工师傅做窗框时，常常像图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．长方形的轴对称性 D．两直线平行，同位角相等 【变式2-3】自行车中间的支架设计为三角形是因为三角形具有 ． 【变式2-4】空调是人们现代生活中不可缺少的一部分，在墙上安装空调时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法背后的数学依据是 ． 【变式2-5】赵师傅在做完门框后，为防止变形，按如图中所示的方法在门上钉了两根斜拉的木条和，其中运用的几何原理是 ． 【考点题型三】构成三角形的条件及确定第三边的范围 【例3】下列各线段能构成三角形的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】以下列各组线段为边，可以组成三角形的是（  ） A．3，1，2 B．12，7，6 C．1，5，9 D．5，2，7 【变式3-2】已知在中，，则边的长可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【变式3-3】如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，米，米，A、B间的距离不可能是（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 【变式3-4】若三角形的两边长分别为4和7，则第三边长x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-5】一个三角形的两边长分别是2和3，则它的第三边长x的范围为 ． 【考点题型四】三角形的高及高有关的计算 【例4】如图，过的顶点B，作边上的高，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】在下图中，正确画出边上高的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，，是的两条高，，，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【变式4-3】我国古代数学名著《九章算术》中记载了三角形面积的计算方法，著名数学家刘徽在注文中用“以盈补虚”的方法（如下图）对其加以说明．下面说法中描述错误的是（    ）    A．长方形的长等于三角形的高 B．长方形的宽等于三角形的底 C．三角形底的长度等于长方形两条宽的和 D．长方形的面积等于三角形的面积 【变式4-4】如图，在中，，，的高与的比是（   ） A． B． C． D． 【变式4-5】如图，在中，，，，，是边上的中线． (1)画出的高，； (2)求点到的距离． 【考点题型五】根据三角形中线求长度及面积 【例5】如图所示，在中，已知点分别是的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在中，，，是边上的两点，，平分，下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B． C．是的角平分线 D．是的高 【变式5-2】如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 【变式5-3】如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 ． 【变式5-4】如图，是的中线，是的中线，若的面积为20，的面积为 ． 【变式5-5】在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求的周长． 【变式5-6】如图，为的中线，为的中线，为中边上的高．若的面积为24，，求的长． 【考点题型六】三角形的角平分线及性质 【例6】如图，已知D是的中点，分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，、、分别是的高、角平分线和中线，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在三角形中，，为的中点，延长交于．为上的一点，于．下列判断正确的有（   ） （1）是三角形的角平分线． （2）是三角形边上的中线． （3）为三角形边上的高． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式6-3】如图，在中，，G为的中点，延长交于点E．F为上一点，，垂足为H．下列判断正确的是（    ） A．是的角平分线 B．是的边上的中线 C．是的边上的高 D．是的角平分线 【变式6-4】如图，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型七】图形的全等 【例7】下列图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图所示是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是(　　) A． B． C． D． 【变式7-2】如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 【变式7-3】如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-4】如图，将标号为的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形”的对应关系填空． A与 对应；B与 对应；C与 对应；D与 对应． 【变式7-5】请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 【变式7-6】知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【考点题型八】三角形全等的概念及性质 【例8】下列条件可以判断两个三角形全等的是（    ） A．三个角对应相等 B．三条边对应相等 C．形状相同 D．面积相等，周长相等 【变式8-1】已知，，，若的周长为偶数，则的取值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．2或4或5 【变式8-2】如图，，，若，则 °． 【变式8-3】如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．    【变式8-4】如图，BD是长方形ABCD的一条对角线． (1)与全等吗？你是怎样知道的？ (2)如果你认为与全等，请用符号表示，并说出它们的对应边和对应角． 【变式8-5】已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式8-6】如图所示，（说明对应关系已经确定了），指出所有的对应边和对应角．    【考点题型九】全等三角形的综合判定 【例9】如图，已知，那么添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，在和中，、相交于点E，，若利用“”来判定，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在和中，点，分别在线段，上，，与相交于点，请添加一个条件，使，这个添加的条件可以是 只需写一个，不添加辅助线． 【变式9-3】如图，在和中，点D在上，，，请你再添加一个条件：______，使得，并说明理由． 【变式9-4】如图，若，添加一个条件可使用“HL”判定，则可以添加的条件是 ．    【变式9-5】如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填一个即可）； 【变式9-6】如图，已知，利用“”加上条件 ，可以证明．    【考点题型十】结合尺规作图的全等问题 【例10】已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( ) A．， B．， C．，， D．，， 【变式10-1】根据下列已知条件．能唯一画出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【变式10-2】两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，下面说法正确的有（   ） （1）这两个三角形一定全等； （2）这两个三角形不一定全等； （3）相等的角为锐角时，这两个三角形全等； （4）相等的角是钝角时，这两个三角形全等． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式10-3】如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    【变式10-4】（1）如图，，.点在射线上，利用图，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题.你画图时，选取的的长约为 （精确到0.1）. （2）为锐角，，点在射线上，点到射线的距离为，，若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 . 【变式10-5】如图，一块三角形模具的阴影部分已破损． （1）如果不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具△ABC的形状和大小完全相同的模具△A′B′C′，需要从残留的模具片中度量出哪些边、角？请简要说明理由． （2）作出模具△A′B′C′的图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）． 【考点题型十一】三角形的尺规作图 【例11】如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（  ） A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧 C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧 【变式11-1】如图，已知与，分别以，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H．下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】已知，用尺规作，使． 作法：①以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点． ②作射线． ③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点． ④以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点． ⑤过点作射线． 就是所要作的角． 以上作法中，正确的顺序是 ．（请填写序号） 【变式11-3】尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 已知：如图，点D是三角形边上一点． 求作：点E，使，．（找到满足条件的一个点E即可） 【变式11-4】如图，已知线段a，b和． 求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） 【考点题型十二】利用三角形全等测距离 【例12】如图 ，△ABC 中，∠B＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AC，垂足为 E，则下列结论中不正确的是(  ) A．AB＝AE B．BD＝DE C．∠ADE＝∠CDE D．∠ADB＝∠ADE 【变式12-1】如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,BC=4,AC=3,线段PQ⊥BC于Q(如图,此时点Q与点B重合)，PQ=AB，当点P沿PB向B滑动时，点Q相应的从B沿BC向C滑动，始终保持PQ=AB不变，当△ABC与△PBQ全等时，PB的长度等于 . 【变式12-2】如图：在中，已知AB=AC，垂足为点D，点F在AD的延长线上，且CE∥BF，试说明DE=DF的理由. 解：因为AB=AC，AD⊥BC（已知） 所以BD= 因为CE∥BF（已知） 所以= 在中， 中 = = 所以(        ) 所以DE=DF（        ） 【变式12-3】1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线PQ恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线AO恰好落在他刚刚站立的点O处，让士兵丈量他所站立位置B与O点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．，，，点、在同一水平直线上，试问：法军能命中目标吗？请说明理由． 【变式12-4】某学校八年级的数学综合实践课活动中，数学学习小组要测量某公园内池塘两岸相对的两点A，B的距离．如图所示，组长小聪建议在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上． 此时组员小慧马上就明白了测量哪条线段就可以得到A，B两点的距离了． (1)请你直接写出小慧要测量的这条线段是 ； (2)请说明你的理由． 【变式12-5】已知：在和中，，．如图，若，试探究与的关系，并说明理由 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 三角形（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】三角形的概念： (1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. (3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 【清单02】三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于. (2)直接三角形两个锐角互余. (3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 【清单03】三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 【清单04】全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 【清单05】全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 【清单06】画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 【清单07】全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 【清单08】利用三角形全等测距离 利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离. 依据：全等三角形的性质. 关键：构造全等三角形. 方法：（1）延长法构造全等三角形； （2）垂直法构造全等三角形. 【考点题型一】三角形的识别及有关概念 【例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1-1】图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形．关键是掌握三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 由D、E、C三点分别与端点相连，可构成3个三角形， 【详解】解：图中以为边的三角形有：，，．共有3个． 故选：B． 【变式1-2】观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 【答案】 内角 ，， 6 ，，，，， 【分析】本题主要考查三角形的有关概念，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）根据三角形角的定义结合图形解答即可； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）根据三角形的概念解答即可； 【详解】解：（1）是的内角． 故答案为：内角； （2）图中以线段为边的三角形有，，． 故答案为：，，； （3）图中共有6个三角形，它们分别是，，，，，． 故答案为：6；，，，，，． 【变式1-3】如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，． (1)图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形． (2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】(1)2个； (2)2个；， 【分析】本题考查认识三角形，解题的关键是根据三角形的定义及角和边的概念进行解答． （1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行以线段为边计数即可； （2）由题意依据三角形顶点为E结合图形进行观察即可 【详解】（1）解：以线段为边的三角形有2个，分别为，． （2）解：以点E为顶点的三角形有2个，分别为，． 【变式1-4】如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F． (1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形． (2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角． (3)以线段AB为边的三角形有哪些？ (4)以为内角的三角形有哪些？ 【答案】(1)8； (2)的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是 (3)以线段为边的三角形有 (4)以为内角的三角形有 【分析】本题考查了三角形的基本特征，解答此题的关键是根据三角形的角和边的概念进行解答． （1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行判断即可； （2）由题意依据三角形顶点、边以及角的表示方法进行表示即可； （3）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为边的三角形即可； （4）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为内角的三角形即可． 【详解】（1）解：图中共有8个三角形，分别是： ． （2）解：的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是． （3）解：以线段为边的三角形有． （4）解：以为内角的三角形有． 【考点题型二】三角形的稳定性及应用 【例2】如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．长方形的四个角都是直角 D．长方形的对称性 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形的性质解答即可，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是三角形的稳定性， 故选：B． 【变式2-1】安装空调外机时一般会采用如图的方法固定，这是利用三角形的（    ） A．全等性 B．对称性 C．美观性 D．稳定性 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键． 钉在墙上的方法是构造三角形，因而应用了三角形的稳定性． 【详解】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性． 故选：D． 【变式2-2】如图，木工师傅做窗框时，常常像图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．长方形的轴对称性 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 【详解】解：这样做的数学原理是：三角形的稳定性． 故选：B． 【变式2-3】自行车中间的支架设计为三角形是因为三角形具有 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据题意及三角形具有稳定性可得答案． 【详解】解：自行车中间的支架设计采用了三角形结构，是因为三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 【变式2-4】空调是人们现代生活中不可缺少的一部分，在墙上安装空调时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法背后的数学依据是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性进行作答即可． 【详解】解：由图可知，这种方法背后的数学依据是三角形的稳定性； 故答案为：三角形的稳定性． 【变式2-5】赵师傅在做完门框后，为防止变形，按如图中所示的方法在门上钉了两根斜拉的木条和，其中运用的几何原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．据此即可求解． 【详解】解：其中运用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【考点题型三】构成三角形的条件及确定第三边的范围 【例3】下列各线段能构成三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：C． 【变式3-1】以下列各组线段为边，可以组成三角形的是（  ） A．3，1，2 B．12，7，6 C．1，5，9 D．5，2，7 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边大小关系，理解组成三角形三边的大小关系是解题的关键． 根据组成三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解． 【详解】解：由三角形三边关系得， A．，不能组成三角形，不符合题意； B．，能组成三角形，符合题意； C．，不能组成三角形，不符合题意； D．，不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式3-2】已知在中，，则边的长可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，掌握三角形三边数量关系的计算是解题的关键． 根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴的长可能是， 故选：C ． 【变式3-3】如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，米，米，A、B间的距离不可能是（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即10米米， ∴不可能等于10米， 故选：A． 【变式3-4】若三角形的两边长分别为4和7，则第三边长x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的第三边大于任意两边之差，而小于任意两边之和进行求解即可，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为4和7， ∴，即， 故选：D． 【变式3-5】一个三角形的两边长分别是2和3，则它的第三边长x的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三遍关系，熟练掌握：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边是解决问题的关键． 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边直接得到结论． 【详解】解：三角形的两边长分别是2和3， 第三边长的取值范围是，即， 故答案为：． 【考点题型四】三角形的高及高有关的计算 【例4】如图，过的顶点B，作边上的高，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，可知，边上的高过点且垂直，进行判断即可． 【详解】解：边上的高满足两个条件：①经过点．②垂直； 故选：D． 【变式4-1】在下图中，正确画出边上高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 根据三角形高线的定义，即可求解． 【详解】解：由题可得，过点A作的垂线段，垂足为D，则是的边上的高， 若，此时，两点重合， 所以A选项符合题意， 故选：A． 【变式4-2】如图，，是的两条高，，，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积．要求高长，只需分别以和为底边，利用面积相等即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：A． 【变式4-3】我国古代数学名著《九章算术》中记载了三角形面积的计算方法，著名数学家刘徽在注文中用“以盈补虚”的方法（如下图）对其加以说明．下面说法中描述错误的是（    ）    A．长方形的长等于三角形的高 B．长方形的宽等于三角形的底 C．三角形底的长度等于长方形两条宽的和 D．长方形的面积等于三角形的面积 【答案】B 【分析】本题考查割补法求面积，根据题意结合图形可知，长方形的长等于三角形的高，长方形的面积等于三角形的面积，根据三角形的面积公式和长方形的面积公式，得到长方形的宽和三角形的底边的关系，进行判断即可． 【详解】解：由题意和图形可知：，长方形的长等于三角形的高，长方形的面积等于三角形的面积， 所以长方形的长乘以宽等于三角形的底边与高的乘积的一半， 所以三角形底的长度等于长方形两条宽的和； 故说法错误的只有选项B． 故选B． 【变式4-4】如图，在中，，，的高与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，根据等面积法求解即可． 【详解】解∶∵与是高， ∴， ∴， 故选∶B． 【变式4-5】如图，在中，，，，，是边上的中线． (1)画出的高，； (2)求点到的距离． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查三角形的高、中线，熟练掌握三角形的不同边上的高的识别和画法，并熟练掌握等面积法是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）先利用中线求出，再利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：∵是边上的中线，， ∴， ∵、分别为的边、上的高， ∴， 即， 解得：， 故点到的距离为． 【考点题型五】根据三角形中线求长度及面积 【例5】如图所示，在中，已知点分别是的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，，，，再由，就可得到的面积，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 同理可证， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式5-1】如图，在中，，，是边上的两点，，平分，下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B． C．是的角平分线 D．是的高 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线、中线和高，根据概念判断即可． 【详解】解：A、由得是的中线，选项正确，不符合题意； B、由平分得，但不能说明与相等，选项不正确，符合题意； C、由平分得，选项正确，不符合题意； D、由得是的高，选项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式5-2】如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解题的关键； 根据中线的定义得到，然后根据的周长可得，然后计算的周长即可. 【详解】解：∵为的中线， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：22. 【变式5-3】如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 ． 【答案】/13厘米 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的中线， ， 的周长为， ， ， 比长， ， ， ， 的周长， 故答案为：． 【变式5-4】如图，是的中线，是的中线，若的面积为20，的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了有关三角形中线的面积计算，由三角形的中线得，，即可求解；理解三角形的中线，会利用三角形的中线求面积是解题的关键． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ； 故答案：． 【变式5-5】在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长 【分析】本题考查了三角形三边关系：任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边，三角形中线含义； （1）由三角形三边关系得，得边的取值范围，再由是偶数，即可求解； （2）由是的中线及的周长为10，可得，根据即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 又，， ， 又是偶数， ； （2）解：是的中线， ． 的周长为10， ， ， ， ， 又， 的周长． 【变式5-6】如图，为的中线，为的中线，为中边上的高．若的面积为24，，求的长． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积．首先连续运用三角形中线的性质得到的面积为，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵为的中线，的面积为24 ∴的面积为 ∵为的中线， ∴的面积为 ∵，为中边上的高 ∴ ∴． 【考点题型六】三角形的角平分线及性质 【例6】如图，已知D是的中点，分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线和高，熟记定义是解题的关键．根据三角形的中线、角平分线、高线的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是的中线， ， 故此选项不符合题意； B、是的角平分线， ， 故此选项符合题意； C、是的高线， ， 由外角性质得， ， 故此选项不符合题意； D、从现有条件无法证得， 故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式6-1】如图，、、分别是的高、角平分线和中线，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线、高线及角平分线的意义，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知识．解答本题的关键是掌握三角形的中线、高线及角平分线的意义，根据上述知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A、是的中线， ， 而与不一定相等， 故说法错误，不符合题意； B、是的高线， ， 在中，， ， 故说法错误，不符合题意； C、是的角平分线， ， 而与不一定相等， 故说法错误，不符合题意； D、是的中线， ， 又，， ， ， ． 故说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式6-2】如图，在三角形中，，为的中点，延长交于．为上的一点，于．下列判断正确的有（   ） （1）是三角形的角平分线． （2）是三角形边上的中线． （3）为三角形边上的高． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，中线，角平分线的定义，根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高． 【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知是三角形的角平分线，是三角形的角平分线，故此判断错误； ②根据三角形的中线的概念，知是三角形边上的中线，故此判断错误； ③根据三角形的高的概念，此判断正确． 故选：A． 【变式6-3】如图，在中，，G为的中点，延长交于点E．F为上一点，，垂足为H．下列判断正确的是（    ） A．是的角平分线 B．是的边上的中线 C．是的边上的高 D．是的角平分线 【答案】C 【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键． 【详解】解：A、根据三角形的角平分线的概念，∵，∴是的角平分线，是的角平分线，故原说法不正确； B、根据三角形的中线的概念，知是的边上的中线，故原说法不正确； C、根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故原说法正确； D、根据三角形的角平分线和高的概念，知是的高线，故原说法不正确． 故选：C． 【变式6-4】如图，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形高、中线、角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高、中线、角平分线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A.∵是的中线， ∴， ∴，故该选项错误，符合题意； B. ∵是的角平分线， ∴，故该选项正确，不符合题意； C. ∵是的中线， ∴，即，故该选项正确，不符合题意；     D. ∵是的高， ∴，故该选项正确，不符合题意． 故选：A． 【考点题型七】图形的全等 【例7】下列图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等图形，解题的关键是掌握：根据能够完全重合的两个图形是全等图形．据此判断即可． 【详解】解：A．由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故此选项不符合题意； B．由图可知两个图形可以完全重合，所以是全等图形，故此选项符合题意； C．由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故此选项不符合题意； D．由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式7-1】如图所示是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查以网格为背景的全等三角形的判定和性质，根据网格特征可利用判定，有，则，在正方形中即可知答案． 【详解】解：如图， 在和中， ∴， ∴， 则， 故选A 故选：A． 【变式7-2】如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 【答案】B 【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2． 【详解】 ∵在△ABC和△DBE中 ， ∴△ABC≌△DBE（SAS）， ∴∠3=∠ACB， ∵∠ACB+∠1=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵∠2=45° ∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°， 故选B． 【变式7-3】如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案． 【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等． 故选：． 【变式7-4】如图，将标号为的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形”的对应关系填空． A与 对应；B与 对应；C与 对应；D与 对应． 【答案】 M P Q N 【分析】本题主要考查了全等形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等形，按照剪开前后各基本图形是重合的原则进行逐个验证、排查，熟练掌握全等形的识别是解决此题的关键． 【详解】由全等形的概念可知： A是三个三角形，与M对应； B是一个三角形和两个直角梯形，与P对应； C是一个三角形和两个四边形，与Q对应； D是两个三角形和一个四边形，与N对应 故答案为：M，P，Q，N． 【变式7-5】请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 【答案】见解析 【分析】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可． 【详解】解：如图所示： 【变式7-6】知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【详解】解：如图所示： （答案不唯一）． 【考点题型八】三角形全等的概念及性质 【例8】下列条件可以判断两个三角形全等的是（    ） A．三个角对应相等 B．三条边对应相等 C．形状相同 D．面积相等，周长相等 【答案】B 【分析】全等三角形是三条边和三个角都对应相等的三角形，根据概念和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、三个角对应相等的三角形，有可能是相似图形，选项错误； B、三条边对应相等，两个三角形全等，答案正确； C、形状相同、大小也相同的两个三角形全等，选项错误； D、面积相等、周长相等的两个三角形不一定全等，选项错误． 故选：B 【变式8-1】已知，，，若的周长为偶数，则的取值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．2或4或5 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，以及三角形的三边关系．首先根据得到，，然后利用三角形三边关系得到，然后利用的周长为偶数求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，即 ∴的周长为 ∵的周长为偶数 ∴为偶数 ∴为偶数 ∴． 故选：B． 【变式8-2】如图，，，若，则 °． 【答案】25 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由可得，推出，最后根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 【变式8-3】如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．    【答案】；相等的边为，，；相等的角为，， 【分析】根据图形可得出对应点并可确定对应关系，然后用全等符号表示这两个三角形全等，然后根据全等的性质即可得出相等的边和角． 【详解】解：∵如图，与全等， ∴点与点，点与点，点与点是对应顶点， ∴； 相等的边为，，； 相等的角为，，． 【变式8-4】如图，BD是长方形ABCD的一条对角线． (1)与全等吗？你是怎样知道的？ (2)如果你认为与全等，请用符号表示，并说出它们的对应边和对应角． 【答案】(1)与全等，理由见详解 (2)；对应边：， 对应角： 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）用符号表示全等三角形，并写出对应边和对应角即可． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： ∵BD是长方形ABCD的一条对角线， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴； （2）解： 与全等，用符号表示：； 对应边：， 对应角：． 【变式8-5】已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）由，两边加上，得到，利用即可得证． （2）根据全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴，则, ∵， ∴， ∴． 【变式8-6】如图所示，（说明对应关系已经确定了），指出所有的对应边和对应角．    【答案】与，与，与是对应边；与，与，与是对应角 【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．根据全等三角形的对应边和对应角求解即可． 【详解】∵， ∴公共边和是对应边，它们所对的和是对应角， 最短边和是对应边，它们所对的和是对应角， 余下的一对边和一对角分别是对应边和对应角． ∴与，与，与是对应边；与，与，与是对应角． 【考点题型九】全等三角形的综合判定 【例9】如图，已知，那么添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，并会灵活选用合适的方法解答是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， A. ，利用可以得到，不符合题意； B. ，不能证明，符合题意； C. ，利用可以得到，不符合题意； D. ，利用可以得到，不符合题意； 故选B． 【变式9-1】如图，在和中，、相交于点E，，若利用“”来判定，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，找出三组对应边相等，即可可判定；掌握判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ， 当时， 可判定； 故选：D． 【变式9-2】如图，在和中，点，分别在线段，上，，与相交于点，请添加一个条件，使，这个添加的条件可以是 只需写一个，不添加辅助线． 【答案】答案不唯一 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定方法． 由已知条件和公共角，再添加，可利用定理证明，即可得出结论． 【详解】解：添加条件：， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式9-3】如图，在和中，点D在上，，，请你再添加一个条件：______，使得，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定条件，判定三角形全等的定理有：，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 根据已知条件可推知，两个三角形有一组角、一组边分别对应相等，只需要再添加一组对应角相等，构成或即可证得两三角形全等（也可添加条件，构成）． 【详解】解：添加的条件是：． 理由：∵， ∴，即． 在和中，，，， ∴． 注：答案不唯一，添加或均可． 【变式9-4】如图，若，添加一个条件可使用“HL”判定，则可以添加的条件是 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】由图已知，两直角三角形的斜边，对应相等，根据“HL”的判定条件，添加任意一组对应的直角边相等，即可求解， 本题考查了，添加一个条件使三角形全等，解题的关键是：熟练掌握全等三角形判定定理． 【详解】解：添加条件， ∵， 在和中，， ∴， 故答案为： ． 【变式9-5】如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填一个即可）； 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴增加条件：， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式9-6】如图，已知，利用“”加上条件 ，可以证明．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．利用的判定方法求解． 【详解】解：∵， ∴当添加时，． 故答案为：． 【考点题型十】结合尺规作图的全等问题 【例10】已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( ) A．， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据证明三角形全等即可． 本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 【详解】解：由作图可知，，，， 在和中， ， 故选：D． 【变式10-1】根据下列已知条件．能唯一画出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．由，则不能画出三角形，故不符合题意； B．不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的一个三角形，故不符合题意； C．符合全等三角形的判定定理“”，能画出唯一的一个三角形，故符合题意； D．不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的一个三角形，故不符合题意； 故选：C． 【变式10-2】两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，下面说法正确的有（   ） （1）这两个三角形一定全等； （2）这两个三角形不一定全等； （3）相等的角为锐角时，这两个三角形全等； （4）相等的角是钝角时，这两个三角形全等． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】画出图形，分别满足两边及一个锐角对应相等，两边与一个钝角对应相等，从而可得结论． 【详解】解：如图，两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，满足， 但是不能判定三角形的全等． 当时， 与不全等， 只有当相等的角是钝角时，这两个三角形全等． 当时， 此时完全重合的两个三角形全等， 则说法正确的只有（2）（4）． 故选：． 【变式10-3】如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【详解】解：过B作于D，    ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图，    当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图，    当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图，    当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 【变式10-4】（1）如图，，.点在射线上，利用图，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题.你画图时，选取的的长约为 （精确到0.1）. （2）为锐角，，点在射线上，点到射线的距离为，，若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 . 【答案】 答案不唯一，可以取BC=2.3cm（2cm＜BC＜4cm） x=d或x≥a 【分析】（1）答案不唯一，可以取BC=2.3cm(2cm＜BC＜4cm)； （2）当x=d或x≥a时，三角形是唯一确定的. 【详解】（1）取BC=2.3cm， 如图在△ABC和△ABC'中满足SSA，两个三角形不全等. 故答案为：答案不唯一，可以取BC=2.3cm(2cm＜BC＜4cm). （2）若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x=d或x≥m. 故答案为：x=d或x≥m. 【变式10-5】如图，一块三角形模具的阴影部分已破损． （1）如果不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具△ABC的形状和大小完全相同的模具△A′B′C′，需要从残留的模具片中度量出哪些边、角？请简要说明理由． （2）作出模具△A′B′C′的图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）． 【答案】（1）只要度量残留的三角形模具片的∠B，∠C的度数和边BC的长；（2）△A′B′C′如图所示见解析. 【详解】分析:（1）根据全等三角形的判定方法，度量出∠B，∠C的度数和边BC的长即可； （2）先作出∠B′=∠B，然后截取B′C′=BC，再作出∠C′=∠C，两个角的边的交点即为点A′． 详解：（1）只要度量残留的三角形模具片的∠B，∠C的度数和边BC的长， 因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等； （2）△A′B′C′如图所示． 【考点题型十一】三角形的尺规作图 【例11】如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（  ） A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧 C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，运用作一个角等于已知角的方法可得答案，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法． 【详解】解：根据作一个角等于已知角可得弧是以点为圆心，为半径的弧， 故选：． 【变式11-1】如图，已知与，分别以，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H．下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角度的和差计算．根据作图可知，结合图形，根据角度的和差关系逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据作图可知， A、不能判断，故该选项不正确，符合题意； B、∵，即，故该选项正确，不符合题意； C、，故该选项正确，不符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【变式11-2】已知，用尺规作，使． 作法：①以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点． ②作射线． ③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点． ④以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点． ⑤过点作射线． 就是所要作的角． 以上作法中，正确的顺序是 ．（请填写序号） 【答案】②④①③⑤ 【分析】此题考查了尺规作一个角等于已知角，根据尺规作一个角等于已知角的方法求解即可． 【详解】解：根据题意得， 做法：②作射线， ④以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点． ①以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点． ③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点． ⑤过点作射线． ∴正确的顺序是②④①③⑤． 故答案为：②④①③⑤． 【变式11-3】尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 已知：如图，点D是三角形边上一点． 求作：点E，使，．（找到满足条件的一个点E即可） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线和线段的尺规作图，先过点E作，再以D为圆心，的长为半径画弧交于E，点E即为所求． 【详解】解；如图所示，点E即为所求； 先过点E作，再以D为圆心，的长为半径画弧交于E，点E即为所求． 【变式11-4】如图，已知线段a，b和． 求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】此题考查作图能力：作一角等于已知角，截取线段长度等于已知线段长，掌握简单的作图方法是解题的关键．先作，再在角的两边分别截取，，，则，从而可得答案． 【详解】解：如图，即为所求作的三角形； 【考点题型十二】利用三角形全等测距离 【例12】如图 ，△ABC 中，∠B＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AC，垂足为 E，则下列结论中不正确的是(  ) A．AB＝AE B．BD＝DE C．∠ADE＝∠CDE D．∠ADB＝∠ADE 【答案】C 【分析】根据AAS得出△ABD≌Rt△AED，则该全等三角形的对应边和对应角相等，即AB=AE，BD＝DE, ∠ADB＝∠ADE即可判断． 【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠BAD＝∠DAE     ∵DE⊥AC，∠B=90° ∴∠B＝∠DEA=90° 在△ABD与Rt△AED中， ∴△ABD△AED ∴AB=AE，BD＝DE, ∠ADB＝∠ADE ∴选项A、B、D正确，选项C不正确 故选C 【变式12-1】如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,BC=4,AC=3,线段PQ⊥BC于Q(如图,此时点Q与点B重合)，PQ=AB，当点P沿PB向B滑动时，点Q相应的从B沿BC向C滑动，始终保持PQ=AB不变，当△ABC与△PBQ全等时，PB的长度等于 . 【答案】4或3 【分析】分情况讨论：①当Q与C重合时，AC=BP=3时，△BCA≌△QBP；②BP=BC=4时，△BCA≌△PBQ. 【详解】①当Q与C重合时，AC=BP=3时，△BCA≌△QBP 在Rt△BCA和Rt△QBP中 ∴Rt△BCA≌Rt△QBP（HL） ②BP=BC=4时，△BCA≌△PBQ. 在Rt△BCA和Rt△PBQ中 ∴Rt△BCA≌Rt△PBQ（HL） 故答案为4或3 【变式12-2】如图：在中，已知AB=AC，垂足为点D，点F在AD的延长线上，且CE∥BF，试说明DE=DF的理由. 解：因为AB=AC，AD⊥BC（已知） 所以BD= 因为CE∥BF（已知） 所以= 在中， 中 = = 所以(        ) 所以DE=DF（        ） 【答案】CD，∠F，，BD=CD.，AAS，全等三角形对应边相等. 【分析】据已知条件判定两三角形全等并利用全等三角形的对应边相等得到线段DE-DF的长即可； 【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC（已知） ∴BD=CD. ∵CE∥ BF .∴∠CED=∠F，∠EDC=∠BDF（对顶角相等） 在△BFD和△CED中 ∴△BFD≌△CED（AAS） ∴DE=DF（全等三角形对应边相等）. 故答案为CD，∠F，，BD=CD.，AAS，全等三角形对应边相等. 【变式12-3】1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线PQ恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线AO恰好落在他刚刚站立的点O处，让士兵丈量他所站立位置B与O点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．，，，点、在同一水平直线上，试问：法军能命中目标吗？请说明理由． 【答案】法军能命中目标．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 先根据证明，利用全等的性质可得，再作答即可． 【详解】解：法军能命中目标．理由如下： 由题意可知，， 所以． 又因为，， 所以． 在和中， ，，， 所以， 所以， 故按照BO的距离炮轰德军时，炮弹恰好落入德军Q处，即法军能命中目标． 【变式12-4】某学校八年级的数学综合实践课活动中，数学学习小组要测量某公园内池塘两岸相对的两点A，B的距离．如图所示，组长小聪建议在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上． 此时组员小慧马上就明白了测量哪条线段就可以得到A，B两点的距离了． (1)请你直接写出小慧要测量的这条线段是 ； (2)请说明你的理由． 【答案】(1) (2)理由见解析. 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）观察图形，找出线段的对应边即可； （2）先根据题意得出，结合，根据证明全等即可． 【详解】（1）解：观察图形可得，线段的对应边是， 因此小慧要测量的这条线段是， 故答案为：； （2）解：理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 【变式12-5】已知：在和中，，．如图，若，试探究与的关系，并说明理由 【答案】，与的夹角，理由见解析． 【分析】根据已知先证明，再利用三角形全等判定“SAS”证明，则可得结论及，现结合图形，利用三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：，与的夹角，理由是： ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$