专题08 角平分线及动角有关问题8大压轴题型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（浙教版2024）

专题08 角平分线及动角有关问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、角度的和差有关计算 2 类型二、单条角平分线问题 5 类型三、双条角平分线问题 10 类型四、多条角平分线问题 16 类型五、角的n等分线问题 19 类型六、动角问题求角度问题 26 类型七、动角问题求运动时间问题 31 类型八、新定义的动角问题 39 压轴能力测评（10题） 50 1. 角的和与差 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 2. 角平分线模型 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 3.双角平分线模型 共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 图1 图2 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 类型一、角度的和差有关计算 例1．（22-23七年级上·江苏南通·期末）如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与余角有关的计算．解题的关键是熟练掌握余角的定义．两个角的和等于，称为这两个角互为余角． 根据余角性质可得，得到，结合，即可得到答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 变式1-1．（24-25七年级上·全国·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕． ，则＝ 度． 【答案】 【分析】此题考查了角的计算，翻折的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据翻折的性质可知，，，再根据平角的度数是，即可求出． 【详解】解：根据翻折的性质可知，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为． 变式1-2．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角尺叠放在一起． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，三角尺中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形板中角的度数． （1）根据，，求出．根据，得出． （2）根据，，求出，根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． （2）解：由题图可知，， 所以． 又因为， 所以， 所以． 变式1-3．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，是基础题，准确识图是解题的关键． （1）先求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，于是得到结论； （2）设，则，根据角平分线的定义和角的倍分即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 类型二、单条角平分线问题 例2．（22-23七年级上·江苏南京·期末）如图，在的内部，平分．若，，则 °（用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】由平分，得到，将转化为，将转化为，然后表示的关系． 【详解】∵平分 ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查角平分线的概念及角的和差表示，解题的关键是将转化为，将转化为进行求解． 变式2-1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点O在直线上，平分，，，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，设，则，由角的和差关系可得出，再根据角平分线的定义可得出，再根据平角的定义可得出，解关于的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 变式2-2．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，，射线在内部，且，射线分别在内部． (1)若，说明：平分； (2)若，平分，求的度数； (3)将沿射线折叠，得到，若，设的度数为x°，用含x的代数式表示的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)的度数为度或度． 【分析】本题考查角平分线，几何图形中角的计算． （1）计算求得，，即可证明平分； （2）设，计算求得，，根据平分，列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：设，则，， ∴，， ∵平分， ∴， 解得，即； （3）解：当在内部时，如图， 由折叠的性质知， ∴， ∵， ∴， ∴度； 当在内部时，如图， 由折叠的性质知， ∴， ∵， ∴， ∴度； 综上，的度数为度或度． 变式2-3．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）【问题背景】已知，O是直线上的一点，，平分． 【问题再现】（1）如图1，射线，均在直线上方，若，求的度数； 【问题推广】（2）如图1，射线，均在直线上方，若，求的度数；（用含的式子表示） 【拓展提升】（3）如图2，射线在直线上方，射线在直线下方，探究和的之间的关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由见详解 【分析】（1）先根据平角的定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据即可求出的度数． （2）先根据平角的定义将用含有的式子表示出来，再根据角平分线的定义将用含有的式子表示出来，再根据即可将用含有的式子表示出来． （3）先根据平角的定义得出与的关系，再根据角平分线的定义得出与的关系，再根据即可得出与的关系． 本题主要考查了角平分线的计算以及角的和差，熟练掌握以上知识，学会用类比的方法解决问题是解题的关键． 【详解】解：（1）且， ． ∵平分， ， ． （2），且， ． ∵平分， ， ． （3），理由如下： ， ． ∵平分， ， ． 类型三、双条角平分线问题 例3．（24-25七年级上·河北沧州·期中）点为直线上一点，在直线同侧作射线，射线D，使得． (1)如图1，过点作射线，使为的平分线，若时．求的度数； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使平分， ①若，求的度数； ②若，则的度数是 ； (3)过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使得平分，当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解； （2）根据角平分线的定义求出和，再根据求解； （3）分在内部和在外部两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：① ， 平分平分， ， ； ②， ， 平分平分， ， ， 故答案为：； （3）解：当在内部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ； 当在外部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ， 综上可知，的度数是或， 变式3-1．（23-24七年级上·江西·期末）已知，是过点的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，，则 ； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； (3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 【答案】(1)40 (2) (3)或 【分析】此题考查角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义解答． （1）根据角平分线的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义解答即可； （3）分两种情况，利用角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵分别平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵分别平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； ②如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 变式3-2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）是直角，是的平分线，是的平分线． (1)如图①，当点在延长线时，互余的角的是_____，互补的角的是_____． (2)若，求的大小． (3)若，则的大小为_____． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题主要考查角的计算和角平分线的定义等知识点． （1）根据余角和补角的定义即可求解； （2）根据是直角，，可得，再利用是的平分线，是的平分线，即可求得答案； （3）根据，又利用是直角，不变，可得． 【详解】（1）解：∵是直角，点在延长线， ∴， ∴互余的角的是， 又∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴互补的角的是， 故答案为：，； （2）解：∵是直角，， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵是直角，不变， ∴． 故答案为：． 变式3-3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出，进而即可求得； （2）由角平分线的定义得出，即； （3）由角平分线的定义得出得出，根据，，进而即可求解． 【详解】（1）解： 、分别平分，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 、分别平分，， ， ， ， ； （3）解：成立，理由如下， 、分别平分，， ， ， ． 类型四、多条角平分线问题 例4．（19-20七年级上·四川眉山·期末）如图，为直线上一点，，平分，平分， 平分，下列结论： ①；  ②； ③；  ④ 其中正确的个数有（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据余角和补角的定义以及角平分线的定义，计算出各选项的结果判断即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∵平分，平分， ∴, ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵不能证明，故④错误； ∴正确的选项有3个； 故选：C. 【点睛】本题考查了同角的补角相等，同角的余角相等，角的平分线，以及角的运算，解题的关键是熟练掌握角的平分线性质，余角和补角的定义，从而进行计算. 变式4-1．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：∵平分平分，平分， ∴， ∵， ∴，，，②错误， ∴，故①正确， ∵， ∴， ∵， ∴与互补，故③正确， ∵， ∴．故④正确． 综上所述：错误的结论是②，共1个． 故选A ． 变式4-2．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①．②．③．④．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角和补角，几何图中角的计算，根据角平分线的意义，互为余角、互为补角的意义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：平分，平分，平分， ， ， ，， ，，，故②正确； ，故①正确； ，故③错误； 设，则， ， ， ，故④正确． 故答案为：①②④． 变式4-3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知：在的外部，平分，平分，平分，，，试求的度数． 【答案】或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的性质，理解题意作图分析，掌握角平分线的性质计算角度的方法是解题的关键． 根据题意作图，分类讨论：当在外部时，可得，则，，由平分，即可求解；当在内部时，，则，由平分，即可求解． 【详解】解：第一种情况，如答图①， ∵平分，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴； 第二种情况，如答图②， ∵平分，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴； 综上所述，的度数是或． 类型五、角的n等分线问题 例5．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图，平分，三等分，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线及三等分线的定义，角的和差，由角平分线及三等分线的定义可得，，进而得，据此即可求解，掌握角平分线及三等分线的定义是解题的关键． 【详解】解：平分， ∴， 又∵三等分， ∴， ∴， ∴． 变式5-1．（22-23七年级上·江苏淮安·期末）【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数） 【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线． (1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）． (2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由． (3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________． 【答案】(1)是 (2)是，理由见解析 (3)，4 【分析】（1）由是可得，由可得，，进而得出，可知是； （2）由是可得，由可得，，进而得出，可知是； （3）由m等个性线的定义可得，由此可得m与的关系，再根据，m是正整数，即可求解． 【详解】（1）解： 是， ， ， ， ，， ， ， ， 是， 故答案为：是； （2）解：是，理由如下： 是， ， ， ， ，， ， ， ， 是； （3）解： 是， ， 同理， 是， ， ， ， ， ， ， 又m是正整数， ， ，， 故答案为：，4． 【点睛】本题考查角n等分线的计算问题、角的和差关系等，解题的关键是理解m等个性线的定义． 变式5-2．（22-23七年级上·福建泉州·期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 【答案】(1)； (2)；理由见解析； (3) 【分析】（1）根据图形可知，继而根据，即可求解； （2）根据图形得出，计算，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，②当时，如图4，射线、在的外部，结合图形分析即可求解． 【详解】（1）如图1，， 在内部， ，， ， ， ； （2）；理由如下：如图2， ， 射线、分别在内、外部， ， ， ， ； （3）①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线， 则，，如图3， ，， ， ， ； ②当时，如图4，射线、在的外部，如图4， 则， ， ，， ， ， ， . 综合①②得． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 变式5-3．（23-24七年级上·福建福州·期末）将一副直角三角板按如图1摆放（，），点D，C，A都在直线上，保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转．三角板的旋转时间为t秒，旋转一周回到原位则停止．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)当与重合时，求t的值； (2)如图2，平分，为的三等分线，且． ①当时，求的值； ②在三角板旋转一周的过程中，若，直接写出t的值为______． 【答案】(1) (2)①；②8或17或26或29 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角三等分线的定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用： （1）先求出旋转前，则当与重合时，旋转的角度为150度，即可得到； （2）①先求出，进而得到，则；②分当时， 当时， 当时，分别求出 ，进而求出，再根据列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴旋转前， ∴当与重合时，旋转的角度为150度， ∴； （2）解：①由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∴； ②当时，由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 当时，由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 当时，由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，或或或， 故答案为：8或17或26或29． 类型六、动角问题求角度问题 例6．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，当三角板的一边与射线重合时，则______． (2)如图2，将图①中的三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，旋转的时间是多少秒？ (3)将三角板绕点O逆时针旋转至图3时，，求的度数？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查角的运算，角平分线相关计算，平角的定义，解题的关键在于利用分类讨论，以及数形结合的思想解决问题． （1）结合题意得到求解，即可解题； （2）根据直线恰好平分锐角，分情况讨论①当线段在之间时，①当线段在之间时，结合三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转求解，即可解题； （3）结合平角的定义，得到求解，即可解题． 【详解】（1）解： 与射线重合，， ， 故答案为：． （2）解：直线恰好平分锐角， ①当线段在之间时， 有， 三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转， （秒）， ②当线段在之外时， 有， 三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转， （秒）， 综上所述，当直线恰好平分锐角时，旋转的时间是秒或秒； （3）解： ， ． 变式6-1．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将射线、绕着射线的端点O从的位置起逆时针旋转． (1)若，绕着点O从的位置起逆时针旋转至． ①试求出的度数； ②设以度/秒的速度进行逆时针旋转，同时以度/秒的速度从的位置起进行逆时针旋转．当与重叠时，停止旋转，请说明：旋转过程中，； (2)若绕着点O从的位置起逆时针旋转至，旋转至停止，且满足．试求出与的度数之比． 【答案】(1)①；②见解析； (2)． 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键： （1）①根据角的和差关系，直接进行计算即可；②分别求出的度数，进行判断即可； （2）设，则，根据已知条件和角的和差关系得到，进而求出，的度数，即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②如图， 由题意得，， ∴， ∴； （2）如图， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 变式6-2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【答案】(1)100 (2)， (3) 【分析】本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键． （1）根据可得答案； （2）先分别表示出，，然后根据，求解即可； （3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴ ； 故答案为：100； （2）如图， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）①当时，如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ； ②当时，如图， ∵， ∴， ， ∴ ． 综上所述：的度数为． 变式6-3．（23-24七年级上·北京东城·期末）已知为直线上的一点，，射线平分． (1)如图①中，若，则_______，_______； (2)将图①中的绕顶点逆时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先根据求出的度数，再根据角平分线的定义可知的度数，再根据求出的度数，最后根据平角的定义即可求出的度数． （2）先根据表示出的度数，再根据角平分线的定义可知的度数，再根据平角的定义即可求出的度数 （3）设，将和用含有的式子表示出来，即可得到和的关系． 本题主要考查角的计算，角平分线的计算，角的和差，解题的关键是根据题目当中所给的信息建立各个角之间的关系． 【详解】（1）∵，， ∴． 平分， ， ． ， ． 故答案为：， （2）∵，， ． 平分， ， ． （3）设， ∵， ．                          平分， ， ， ， ， ． 类型七、动角问题求运动时间问题 例7．（21-22七年级上·江苏无锡·期末）如图，点O是直线上的一点，从点O引出一条射线，使，射线、同时绕点O旋转． (1)若两条射线、旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线、同时与射线重合，则射线与旋转的速度之比为____； (2)若两条射线、同时绕点O顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，设旋转时间为t秒，，当时，求t的值． 【答案】(1)或 (2)45或50或110或135或170 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，找到等量关系式是解题的关键． （1）设旋转时间为x秒，分两种情况：①射线顺时针旋转、逆时针旋转时；②射线逆时针旋转、顺时针旋转时，根据射线与旋转的角度即可得出答案； （2）分四种情况讨论：①当即时，②当时，③当即时，④当时，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：设旋转时间为x秒，①射线顺时针旋转、逆时针旋转时， 由题意得： ， ∴， ∴射线OA与OB旋转的速度之比为1：2； ②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转时， 由题意得：， ∴， ∴射线与旋转的速度之比为5：4； 综上，射线与旋转的速度之比为1：2或5：4， 故答案为：1：2或5：4； （2）解：①当即时， 由题意得：， 解得：； ②当时， 由题意得：， 解得：； ③当即时， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）； ④当时， 由题意得：或或， 解得：或135或170； 综上，t的值为45或50或110或135或170． 变式7-1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． (1)当时，求的度数． (2)当与重合时，求的度数． (3)当时，求的值． (4)当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为19或29； (4)的值为15或20或30． 【分析】本题考查了角度计算问题和角的平分线的定义，熟练掌握角的平分线的定义，并能够根据题目已知条件找到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键． （1）利用，直接计算即可； （2）先用表示出和，当与重合时，，求出的值即可解答； （3）由（2）知，当时，与重合，分2种情况①；②，再结合列出等式，求解即可； （4）由角的平分线的定义，分3种情况①平分；②平分；③平分，再结合列出等式，求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ， 的度数为． （2）由题意得，，， 当与重合时，， 即：， 解得：， ， 的度数为． （3）由（2）知，当时，与重合， 下面分2种情况讨论： ①若，则， 即：， 解得：； ②若，则， 即：， 解得：； 综上所述，的值为19或29． （4）由题意得，分3种情况讨论： ①若平分，则， 解得：； ②若平分，则， ， ， 解得：； ③若平分，则， ， ， 解得：； 综上所述，的值为15或20或30． 变式7-2．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 【答案】(1)100； (2)； (3)①12或30或48；② 【分析】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． （1）根据，即可求解； （2）根据平分线的性质得，再由平角为即可求解； （3）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可， ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：100； （2）解：， 又在的左侧且平分， 解得：， （3）解：①当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ∴， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ，此时射线与重合， 解得：， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ， 又， ， 解得：， 故答案为：或30或48； ②当在的左侧时，如图所示： 又始终平分， 与始终互余， ， 化简得：． 变式7-3．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）【问题背景】 若，在内部，，，分别平分和． (1)如图1，当，重合时，则 ； 【问题一般化】 (2)如图2，在（1）的情形下，如果将绕点O点顺时针能转n（），求的度数（用含n的式子表示）； 【问题拓展化】 (3)如图3，在（1）的情形下，若和的边、的位置不变．将绕着O点，以每秒的速度沿顺时针方向旋转，同时将绕着O点，以每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转时间为t，当t为何值时，，请直接写出两个t的值． 【答案】(1)25 (2) (3)，（答案不唯一） 【分析】（1）根据角平分线的定义及角的和差关系求解； （2）由旋转可得，用含n的式子表示出，再根据即可求解； （3）根据题意得出和的旋转角度及方向，当和的旋转角度之和加上的初始角度等于的奇数倍时，． 【详解】（1）解：当，重合时， ，分别平分和， ，， ， 故答案为：25； （2）解：将绕点O点顺时针能转n（），则， 如图， ，分别平分和， ，， ， ； （3）解： 平分，的位置不变，绕着O点以每秒的速度沿逆时针方向旋转， 绕着O点以每秒的速度沿逆时针方向旋转， 平分，的位置不变，将绕着O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转， 绕着O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转， 由（1）知，旋转前， 旋转时间为t时，和的旋转角度之和加上的初始角度为：， 由题意知，当等于的奇数倍时，， 即（n为非负整数）， 解得（n为非负整数）， 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查角平分线的定义，角的和差关系，解一元一次方程等，第3问有一定难度，解题的关键是得出和的旋转角度及方向． 类型八、新定义的动角问题 例8．（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）如图，在的内部引一条射线，则图中共有个角，分别是、和．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“定分线”． (1)一个角的角平分线______这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图，若，其中射线是的“定分线”，请求出的度数； (3)如图，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒．同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，并与同时停止旋转．请直接写出射线是“定分线”时的值． 【答案】(1)是； (2)或或； (3)或或． 【分析】（）根据角平分线的定义即可求解； （）分三种情况：①是的角平分线；是的三等分线，且更小；③是的三等分线，且更大进行解答即可求解； （）分三种情况：①；②；③；分别画出图形列出方程解答即可求解； 本题考查了“定分线”的定义，一元一次方程的几何应用，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：一个角的角平分线是这个角的“定分线”， 故答案为：是； （2）解：①当是的角平分线时，； ②当是的三等分线时，且更小时， ； ③当是的三等分线时，且更大时， ； 综上，的度数为或或； （3）解：①当时，如图， 则， 解得； ②当时，如图， 则， 解得； ③当时，如图， 则， 解得； 综上，的值为或或． 变式8-1．（2023七年级上·全国·专题练习）如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） (1)角的三等分线___________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数； (3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值． 【答案】(1)是 (2)，，， (3)或或 【分析】（1）若为的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义； （2）根据“幸福线”的定义可得当时，当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可； （3）由题意可分①当时在与重合之前，则有，，由是的“幸福线”可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的“幸福线”可分类进行求解． 【详解】（1）解：若为的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义，所以角的三等分线是这个角的“幸福线”； 故答案为：是． （2）解：由题意得： ∵，射线为的“幸福线”， ∴①当时，则有：； ②当时，则有； ③当时，则有； ④当时，则有：，； 综上所述：当射线为的“幸福线”时，∠AOC的度数为，，，； （3）解：∵， ∴射线与重合的时间为（秒）， ∴当时在与重合之前，如图所示： ∴，， 是的“幸福线”，则有以下三类情况： ①，即（舍去）， ②，即， ③，即； ④，即（舍去）； 当时，在与重合之后，如图所示： ∴，， 是的“幸福线”，则有以下三类情况： ①，即（不符合题意，舍去）， ②，即（不符合题意，舍去）； ③，即； ④，即不存在； 综上可知，或或． 【点睛】本题主要考查角的三等分点的计算及角的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握角的三等分点的计算及角之间的和差关系是解题的关键． 变式8-2．（2023七年级上·全国·专题练习）[阅读理解]定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线，，位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． [迁移运用] (1)如图1，射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”；射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； (2)如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线，的“双倍和谐线”时，求t的值； ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”时，求的度数． 【答案】(1)是；不是 (2)①t的值为或；②的度数为或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）利用“双倍和谐线”的定义结合图形进行判断即可； （2）①由题意得：，，利用分类讨论的思想方法分或两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程即可；②由题意得：，，，，利用分类讨论的思想方法分或两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴射线是射线，的“双倍和谐线”； ∵平分， ∴， ∴射线不是射线，的“双倍和谐线”． 故答案为：是；不是． （2）解：①由题意得：，． ∵射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， 如图所示：当时，则：，解得：； 如图所示：当时，则：，解得：； 综上，当射线是射线、的“双倍和谐线”时，t的值为或； ②由题意得：，，，， ∵当射线与射线重合时，运动停止， ∴此时， ∴，解得：． ∴当秒时，运动停止，此时， ∵射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， 如图所示：当时， 即：， 则：，解得：， ∴； 如图所示：当时，即：，则：，解得：， ∴； 综上，当射线位于射线左侧且射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或． 变式8-3．（19-20七年级上·四川成都·期末）如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于小于的角），例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． (1)如图1．O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______________． (2)如图2，O为直线上一点，，将绕着点O以每秒的速度逆时针旋转得，同时射线从射线的位置出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t何值时，与互为“伙伴角”． (3)如图3，，射线从的位置出发绕点O顺时针以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，射线平分，射线平分，射线平分．问：是否存在t的值使得与互为“伙伴角”？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)15或35 (3)或 【分析】（1）按照“伙伴角”的定义写出式子，解方程即可求解； （2）通过时间t把与表示出来，根据与互为“伙伴角”，列出方程，解出时间t； （3）根据在的内部和外部以及和的大小分类讨论，分别画出对应的图形，由旋转得出经过t秒旋转角的大小，角的和差，利用角平分线的定义分别表示出和及“伙伴角”的定义求出结果即可． 【详解】（1） 解： ∵两个角差的绝对值为， 则此两个角互为“伙伴角”， 而， ∴设其伙伴角为， ， 则， 由图知， ∴的伙伴角是． （2） ∵绕O点， 每秒逆时针旋转得， 则t秒旋转了， 而从开始逆时针绕O旋转且每秒4°， 则t秒旋转了， ∴此时 ， ， 又与重合时旋转同时停止， ∴， （秒）， 又与互为伙伴角， ∴， ∴， ∴， 秒或15秒． 答：t为35或15时，与互为伙伴角． （3）①若在∠AOB的内部且在左侧时，即，如下图所示 ∵从出发绕O顺时针每秒旋转，则t秒旋转了， ∴， ∵平分， ∴ 此时 解得： ∵射线平分， ∴ ∴ ∵射线平分 ∴ ∴ 根据题意可得 即 解得：或（不符合实际，舍去） ∴此时 ，符合前提条件， ∴符合题意； ②若在的内部且在右侧时，即，如下图所示 ∵从出发绕O顺时针每秒旋转，则t秒旋转了， ∴， ∵平分， ∴ 此时 解得： ∵射线平分， ∴ ∴ ∵射线平分 ∴ ∴ 根据题意可得 即 解得：或（不符合实际，舍去） ∴此时， ，不符合前提条件 ∴不符合题意，舍去； ③若在的外部但运动的角度不超过时，如下图所示 ∵从出发绕O顺时针每秒旋转，则t秒旋转了， ∴， ∵平分， ∴ 此时 解得： ∵射线平分， ∴ ∴ ∵射线平分 ∴ ∴ 根据题意可得 即 解得：（不符合前提条件，舍去）或（不符合实际，舍去） ∴此时不存在t值满足题意； ④若运动的角度超过且在右侧时，即如下图所示 此时， 解得：， ∵从出发绕O顺时针每秒旋转，则t秒旋转了， ∴， ∵平分， ∴ ∵射线平分， ∴ ∴ ∵射线平分， ∴ ∴ 根据题意可得 即 解得：（不符合，舍去）或（不符合，舍去） ∴此时不存在t值满足题意； ⑤若运动的角度超过且在左侧时，即，如下图所示 此时 解得： ∵从出发绕O顺时针每秒旋转，则t秒旋转了， ∴， ∵平分， ∴ ∵射线平分， ∴ ∴ ∵射线平分 ∴ ∴ 根据题意可得 即 解得：或（不符合，舍去） ∴此时 ，符合前提条件 ∴符合题意； 综上：当或时，与互为“伙伴角”． 【点睛】本题考查了角的计算、旋转的性质、一元一次方程的运用及角平分线性质的运用，解题的关键是利用“伙伴角”列出一元一次方程求解． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的应用，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 根据是的平分线，，计算出的度数，再根据是的平分线，计算的度数即可． 【详解】∵是的平分线，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故选：A 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计算，以及角的平分线定义，关键是注意分析角之间的和差关系．首先设，，再根据角平分线性质可得，再根据角的和差关系可得，进而得到，再解方程即可得到，进而得到答案 【详解】解：设，． 则． 是的平分线， ， ， ， ， 解得，， 是的平分线， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，平分，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，设，则，由角平分线的定义可得，，进而可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的计算． （1）用减去的度数，求出的差就是的度数； （2）设，用含x的代数式表示出后根据建立关于x的方程，解方程求出x的值后即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 5．（22-23七年级上·四川成都·期末）附加题：如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒． (1)运动开始前，如图1，　　，　　； (2)旋转过程中，当为何值时，射线平分？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)39，51． (2) (3)当或33时，． 【分析】本题主要考查一元一次方程的知识和角的有关计算，熟练根据角的关系列方程求解是解题的关键． （1）根据角平分线的定义直接计算即可； （2）根据列方程求解即可； （3）分情况讨论，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 射线，分别平分和， ，． 故答案为：39，51． （2）解：：射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转， ， 射线平分， ， ， ， 解得：． 故当时，射线平分． （3）存在某一时刻使得，理由如下： ①当在上方，此时有：， 即：， 解得：； ②当在下方，此时有：， 即：， 解得：（不合题意，舍去）； ③当停止运动，继续旋转时，总共旋转时，， ． 综上所述：当或33时，． 6．（23-24七年级上·广东深圳·期末）将两个直角三角形如图1摆放，已知，，，射线平分． (1)如图1，当三点共线时，的度数为______． (2)如图2，将绕点C从图1的位置开始顺时针旋转，旋转速度为每秒，设时间为，作射线平分． ①若，的度数是否改变？若改变，请用含t的代数式表示；若不变，请说明理由并求出值． ②若，当t为何值时，？请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)① 的度数为，保持不变，理由见解析；② 15 【分析】（1）利用角平分线的定义及角的和差关系求解； （2）①时，由旋转速度可得在左侧，，，根据角平分线的定义可得，，再根据角的和差关系即可求解；②时，在右侧，在左侧，用含t的式子表示出和，根据列方程，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：①的度数为，保持不变，理由如下： 由（1）知， 旋转速度为每秒， ， 当时，在左侧，如下图所示： 由题意知， ， 平分，平分， ，， ， ②当时，在右侧，在左侧，如下图所示： 由题意知， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 解得． 【点睛】本题考查角的和差关系，角平分线的定义，一元一次方程的应用等，解题的关键是看懂图形，找准不同时间段内的位置． 7．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）射线在的内部，与的大小之比定义为射线的分割值，即，n为射线与的“分割值”，记为．例如，如图1，，，则，即，反之，则． (1)如图2，射线在的内部． ①若射线是的平分线，则______； ②若，，则______； (2)如图3，，，射线从位置开始，绕点C按顺时针方向匀速旋转，同时，射线从位置开始，绕点D按逆时针方向匀速旋转，到达立即原速返回，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为t秒． ①若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒，若，求t的值； ②若当到达时，也恰好回到，若设，请直接用含m的代数式表示的度数． 【答案】(1)①；②； (2)①t的值为或，②． 【分析】本题依托“分割值”主要考查角度之间的倍积关系和一元一次方程的应用， （1）①根据角平分线的定义以及“分割值”的定义求解即可． ②根据角的和差关系以及“分割值”的定义求解即可 （2）①分两种情况，根据列示计算即可得出答案． ②设若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒，根据题意即可得，进一步得到，有，则射线旋转的角度为，即可求得． 【详解】（1）解：①∵是的平分线， ∴，即 ∴， 故答案为：． ②∵，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：①当由向运动时： ∵ ∴ 解得： ． 当由向运动时， ∵， ∴ 解得： ， 综上所述， t的值为或． ②设若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒， ∵当到达时，也恰好回到， ∴， ∵， ∴，则， ∴射线旋转的角度为， ∵， ∴． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，已知，，在的内部，在的内部，，．（本题中所有的角均大于且小于） (1)如图②，从图①中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，则的度数为______； (2)当从图②中的位置绕点逆时针旋转（且）时，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算： （1）与重合时，，，进而求出和，最后根据可得答案； （2）分和两种情况，根据图中角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：与重合时，，， 所以，， 所以， 所以， 故答案为：； （2）分以下情况讨论：①如答图①，当时， 因为， 所以，， 所以； ②如答图②，当时， 因为， 所以，， 所以． 综上所述，的度数为． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如图①，是内的一条射线，分别平分．若，求． （2）小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：如图①，若，则_______． （3）已知直线相交于点O，若是外一条射线，且不与重合，分别平分，当时，求．（在备用图中画出示意图求解） 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的性质，解决本题的关键是： （1）首先假设，然后用表示，再根据，两条角平分线，推出即可； （2）首先假设，然后用表示，再根据，两条角平分线，用表示即可； （3）分三种情况讨论，第一种：在上，第二种：在下侧，之间，第三种：在之间，即可得到． 【详解】解：设， 则， 平分，平分， ； （2）设， 则， 平分，平分， ， 故答案为：； （3）①当在上，即在之间， 设， 则， 平分，平分， ； ②当在直线下方，且在之间时， ， ； ③当在直线下方，且在之间时， 由②得，， ； 综上所述，或． 10．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图2，、、三点共线，点、重合，，则 ； (2)如图3，、、三点共线，且，平分，求的大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为 ； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ① 运动停止时， ； ② 请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)；当时，；当时， 【分析】本题考查了角的和差运算，一元一次方程的应用； （1）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出； （2）由，设，根据、O、三点共线，则，得出，再根据，即可求解； （3）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （4）①算出运动停止时间，求出运动的角度，进而求出度数； ②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点，，三点共线前和点，，三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， 设， ∵平分， ∴， ∵、O、三点共线，则， ∴， 解得：， ∴ （3）这个定值是，理由， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴小田的发现是正确的，这个定值是； （4）∵， ∴，， 设运动时间为，则，则， ①运动停止时，即时，旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点，，三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 角平分线及动角有关问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、角度的和差有关计算 2 类型二、单条角平分线问题 3 类型三、双条角平分线问题 5 类型四、多条角平分线问题 6 类型五、角的n等分线问题 7 类型六、动角问题求角度问题 9 类型七、动角问题求运动时间问题 10 类型八、新定义的动角问题 12 压轴能力测评（10题） 14 1. 角的和与差 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 2. 角平分线模型 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 3.双角平分线模型 共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 图1 图2 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 类型一、角度的和差有关计算 例1．（22-23七年级上·江苏南通·期末）如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（24-25七年级上·全国·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕． ，则＝ 度． 变式1-2．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角尺叠放在一起． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数 变式1-3．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 类型二、单条角平分线问题 例2．（22-23七年级上·江苏南京·期末）如图，在的内部，平分．若，，则 °（用含m、n的代数式表示）． 变式2-1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点O在直线上，平分，，，则 ． 变式2-2．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，，射线在内部，且，射线分别在内部． (1)若，说明：平分； (2)若，平分，求的度数； (3)将沿射线折叠，得到，若，设的度数为x°，用含x的代数式表示的度数． 变式2-3．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）【问题背景】已知，O是直线上的一点，，平分． 【问题再现】（1）如图1，射线，均在直线上方，若，求的度数； 【问题推广】（2）如图1，射线，均在直线上方，若，求的度数；（用含的式子表示） 【拓展提升】（3）如图2，射线在直线上方，射线在直线下方，探究和的之间的关系，并说明理由． 类型三、双条角平分线问题 例3．（24-25七年级上·河北沧州·期中）点为直线上一点，在直线同侧作射线，射线D，使得． (1)如图1，过点作射线，使为的平分线，若时．求的度数； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使平分， ①若，求的度数； ②若，则的度数是 ； (3)过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使得平分，当时，直接写出的度数． 变式3-1．（23-24七年级上·江西·期末）已知，是过点的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，，则 ； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； (3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 变式3-2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）是直角，是的平分线，是的平分线． (1)如图①，当点在延长线时，互余的角的是_____，互补的角的是_____． (2)若，求的大小． (3)若，则的大小为_____． 变式3-3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 类型四、多条角平分线问题 例4．（19-20七年级上·四川眉山·期末）如图，为直线上一点，，平分，平分， 平分，下列结论： ①；  ②； ③；  ④ 其中正确的个数有（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 变式4-1．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式4-2．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①．②．③．④．其中正确的是 ． 变式4-3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知：在的外部，平分，平分，平分，，，试求的度数． 类型五、角的n等分线问题 例5．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图，平分，三等分，已知，求的度数． 变式5-1．（22-23七年级上·江苏淮安·期末）【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数） 【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线． (1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）． (2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由． (3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________． 变式5-2．（22-23七年级上·福建泉州·期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 变式5-3．（23-24七年级上·福建福州·期末）将一副直角三角板按如图1摆放（，），点D，C，A都在直线上，保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转．三角板的旋转时间为t秒，旋转一周回到原位则停止．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)当与重合时，求t的值； (2)如图2，平分，为的三等分线，且． ①当时，求的值； ②在三角板旋转一周的过程中，若，直接写出t的值为______． 类型六、动角问题求角度问题 例6．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，当三角板的一边与射线重合时，则______． (2)如图2，将图①中的三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，旋转的时间是多少秒？ (3)将三角板绕点O逆时针旋转至图3时，，求的度数？ 变式6-1．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将射线、绕着射线的端点O从的位置起逆时针旋转． (1)若，绕着点O从的位置起逆时针旋转至． ①试求出的度数； ②设以度/秒的速度进行逆时针旋转，同时以度/秒的速度从的位置起进行逆时针旋转．当与重叠时，停止旋转，请说明：旋转过程中，； (2)若绕着点O从的位置起逆时针旋转至，旋转至停止，且满足．试求出与的度数之比． 变式6-2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 变式6-3．（23-24七年级上·北京东城·期末）已知为直线上的一点，，射线平分． (1)如图①中，若，则_______，_______； (2)将图①中的绕顶点逆时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出和之间的数量关系． 类型七、动角问题求运动时间问题 例7．（21-22七年级上·江苏无锡·期末）如图，点O是直线上的一点，从点O引出一条射线，使，射线、同时绕点O旋转． (1)若两条射线、旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线、同时与射线重合，则射线与旋转的速度之比为____； (2)若两条射线、同时绕点O顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，设旋转时间为t秒，，当时，求t的值． 变式7-1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． (1)当时，求的度数． (2)当与重合时，求的度数． (3)当时，求的值． (4)当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值． 变式7-2．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 变式7-3．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）【问题背景】 若，在内部，，，分别平分和． (1)如图1，当，重合时，则 ； 【问题一般化】 (2)如图2，在（1）的情形下，如果将绕点O点顺时针能转n（），求的度数（用含n的式子表示）； 【问题拓展化】 (3)如图3，在（1）的情形下，若和的边、的位置不变．将绕着O点，以每秒的速度沿顺时针方向旋转，同时将绕着O点，以每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转时间为t，当t为何值时，，请直接写出两个t的值． 类型八、新定义的动角问题 例8．（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）如图，在的内部引一条射线，则图中共有个角，分别是、和．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“定分线”． (1)一个角的角平分线______这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图，若，其中射线是的“定分线”，请求出的度数； (3)如图，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒．同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，并与同时停止旋转．请直接写出射线是“定分线”时的值． 变式8-1．（2023七年级上·全国·专题练习）如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） (1)角的三等分线___________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数； (3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值． 变式8-2．（2023七年级上·全国·专题练习）[阅读理解]定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线，，位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． [迁移运用] (1)如图1，射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”；射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； (2)如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线，的“双倍和谐线”时，求t的值； ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”时，求的度数． 变式8-3．（19-20七年级上·四川成都·期末）如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于小于的角），例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． (1)如图1．O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______________． (2)如图2，O为直线上一点，，将绕着点O以每秒的速度逆时针旋转得，同时射线从射线的位置出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t何值时，与互为“伙伴角”． (3)如图3，，射线从的位置出发绕点O顺时针以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，射线平分，射线平分，射线平分．问：是否存在t的值使得与互为“伙伴角”？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，平分，平分，若，则 ． 4．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 5．（22-23七年级上·四川成都·期末）附加题：如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒． (1)运动开始前，如图1，　　，　　； (2)旋转过程中，当为何值时，射线平分？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 6．（23-24七年级上·广东深圳·期末）将两个直角三角形如图1摆放，已知，，，射线平分． (1)如图1，当三点共线时，的度数为______． (2)如图2，将绕点C从图1的位置开始顺时针旋转，旋转速度为每秒，设时间为，作射线平分． ①若，的度数是否改变？若改变，请用含t的代数式表示；若不变，请说明理由并求出值． ②若，当t为何值时，？请直接写出t的值． 7．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）射线在的内部，与的大小之比定义为射线的分割值，即，n为射线与的“分割值”，记为．例如，如图1，，，则，即，反之，则． (1)如图2，射线在的内部． ①若射线是的平分线，则______； ②若，，则______； (2)如图3，，，射线从位置开始，绕点C按顺时针方向匀速旋转，同时，射线从位置开始，绕点D按逆时针方向匀速旋转，到达立即原速返回，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为t秒． ①若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒，若，求t的值； ②若当到达时，也恰好回到，若设，请直接用含m的代数式表示的度数． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，已知，，在的内部，在的内部，，．（本题中所有的角均大于且小于） (1)如图②，从图①中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，则的度数为______； (2)当从图②中的位置绕点逆时针旋转（且）时，求的度数． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如图①，是内的一条射线，分别平分．若，求． （2）小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：如图①，若，则_______． （3）已知直线相交于点O，若是外一条射线，且不与重合，分别平分，当时，求．（在备用图中画出示意图求解） 10．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图2，、、三点共线，点、重合，，则 ； (2)如图3，、、三点共线，且，平分，求的大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为 ； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ① 运动停止时， ； ② 请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$