串讲04 走进几何世界（考点串讲，7大考点+6大题型突破+5大易错+9大押题）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版2024）

七年级数学上学期·期末复习大串讲 串讲04 走进几何世界 苏科版（2024） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 七大常考点：知识梳理 六大题型典例剖析 五大易错易混经典例题 精选9道期末真题对应考点练 考点透视 考点一：生活中的立体图形 几何体 名称 基本特征 圆柱 长方体 正方体 圆锥 球 由大小相同且互相平行的两个底面(圆)和一个侧面(曲面)围成 由大小相同且互相平行的两个底面(长方形)和四个侧面(长方形)围成 由大小相同且互相平行的两个底面(正方形)和四个侧面(正方形)围成 由一个底面(圆)和一个侧面(曲面)围成 由一个曲面围成，没有底面，没有侧面，没有顶点 考点透视 考点二：简单几何体的分类 简单的几何体 柱体 锥体 球体 圆柱 棱柱 圆锥 棱锥 （一）按柱体、锥体、台、球体分： 简单的几何体 都是平面 至少有一个曲面 （二）按平面、曲面分： 棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 球 5 考点透视 考点三：简单几何体的分类 六棱柱 1.棱柱的有关概念 底面 顶点 侧面 侧棱 棱柱的命名是按底面的边数来命名的. 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱. 相邻两个侧面的交线叫做侧棱. 2.棱柱的特征 （1）棱柱的所有侧棱长都相等。 （2）棱柱的上、下底面的形状、大小相同，并且都是多边形。 （3）棱柱的侧面形状都是平行四边形。 7 三棱柱 四棱柱 五棱柱 底面形状 三角形 四边形 五边形 六边形 n边形 棱柱名称 侧棱条数 棱条数 顶点数 面数 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 n棱柱 3 4 5 6 n 9 12 15 18 3n 6 8 10 12 2n 5 6 7 8 n+2 3.棱柱的顶点、棱、面的数量关系 8 考点透视 考点四：点、线、面的关系 1.图形是由点、线、面构成的. 点 线 面 直线+曲线 直面+曲面 点无大小 线无粗细 面无厚薄 点 线 面 点动成线 线动成面 面动成体 体 体交成面 面交成线 线交成点 考点透视 考点五：展开与折叠 1.正方体展开图 1-4-1型 2-3-1型 2-2-2型 3-3型 正方体展开图共有11种 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ 口诀： 六个面儿七刀裁，十一类图记分明； 中间四个成一行，两边各一无规律； 二三紧连错一个，三一相连一随意； 两两相连各错一，三个两排一对齐； 对面相隔不相连，识图巧排“凹”和“田” 11 2.棱柱展开后的特征： （1）.棱柱有上下两个底面，它们的形状相同. （2）.棱柱侧面的形状都是平行四边形. （3）.棱柱侧面的个数和底面图形的边数相等. （4）.棱柱所有侧棱长都相等. 12 3.常见几何体的侧面及表面展开图 13 考点透视 考点六：截面 1.用一个平面去截正方体，截面形状如下 正方体截面的形状可能是： 三角形、四边形、五边形、六边形 切面与正方体的n个面相交，截面就是n边形. 15 几何体名称 截面形状 圆柱 圆锥 球 2.用一个平面去截其他几何体，截面形状如下 16 考点透视 考点七： 从不同方向看几何体 1.从三个方向看简单几何体得到的图形 几何体 从正面看 从左面看 从上面看 2.从三个方向看组合体得到的图形 (1)画由小正方体组成的几何体从正面和左面看所得图形的方法：先确定看到的面左右共有几列，每一列共有几层。 (2)画从上面看所得图形，则看几何体的最上面的小正方形前后共有几行，左右共有几列以及每个面的位置关系。 18 3.由从三个方向看到的形状描述几何体 (1)根据从正面看到的图形、从上面看到的图形和从左面看到的图形想象几何体的前面、上面和左面的形状，以及几何体的长、宽、高； (2)从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓； (3)熟记一些简平的几何体从三个不同方向看到的图形对复杂几何体的想象会有帮助； (4)利用从三个不同方向看到的形状图画几何体与由几何体画从三个不方向看到的形状图的互逆过程，反复练习，不断总结方法。 题型剖析 题型一：简单几何体的分类 1、(1)把图中的立体图形分类，并说明分类标准． (2)图中(3)与(6)各有什么特征？有哪些相同点和不同点？ 导引：按各种立体图形的特征进行分类． 解：(1)按柱体、锥体、球体分：图(1)(3)(5)(6)(7)为柱体； 图(4)(8)为锥体；图(2)为球体． (2)图(3)是圆柱，圆柱的上、下底面都是圆，侧面是一个曲面； 图(6)是五棱柱，上、下底面是形状、大小相同的五边形，侧面是5个长方形，侧面的个数与底面多边形的边数相等． 相同点：二者都有两个底面． 不同点：圆柱的底面是圆，五棱柱的底面是五边形； 圆柱的侧面是一个曲面， 五棱柱的侧面由5个长方形组成． 21 2.下列说法正确的是(　　) A．三棱柱有九条棱 B．正方体不是四棱柱 C．五棱柱只有五个面 D．六棱柱有六个顶点 A 3.若一个棱柱有10个顶点，则下列说法正确的是(　　) A．这个棱柱有4个侧面 B．这个棱柱有5条侧棱 C．这个棱柱的底面是十边形 D．这个棱柱是一个十棱柱 B 22 3、如图是一个六棱柱模型，它的底面边长都是5 cm，侧棱长4 cm，观察这个模型，回答下列问题： (1)这个六棱柱一共有多少个面？它们分别是什么形状？哪些面的形状、面积完全相同？ (2)这个六棱柱一共有多少条棱？侧棱长的和是多少？ (3)这个六棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 23 解:（1）这个六棱柱有6个侧面，2个底面，共8个面；它们分别是长方形、六边形；6个侧面的形状、面积完全相同，2个底面的形状、面积完全相同． （2）这个六棱柱一共有18条棱；侧棱长的和是4×6＝24(cm)． （3）这个六棱柱的所有侧面的面积之和是4×5×6＝20×6＝120(cm2)． 24 4、新年晚会的会场上悬挂着五彩缤纷的小装饰品，其中有各种各样的立体图形. 正四面体 正方体 正八面体 正十二面体 请数一下图中每一个多面体中的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并把结果记入下表中: 25 名称 顶点数 （V） 面数 （F） 棱数 （E） V+F-E 正四面体 正方体 正八面体 正十二面体 4 4 6 2 8 6 12 2 6 8 12 2 20 12 30 2 欧拉定律：V+F－E＝2 26 题型剖析 题型二：点、线、面 1、练一练：         （1）找出图中的点、线、面. （2）图中的哪些线是直的？哪些线是曲的？哪些面是平的？哪些面是曲的？ （3）图中的六棱柱是由几个面围成的？ 解：图（1）中六棱柱是由8个面围成的，都是平的面，图（2）中的线是曲线，面是曲面. 归纳：图形是由点、线、面构成的，线有直线、曲线；面有平面、曲面；体是由面围成的. 2．在下列立体图形中，只要两个面就能围成的是( ) A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球 3．下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于下列哪个选项的实际应用( ) A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 B 28 4．如图，一个五棱柱的底面边长都是2 cm，侧棱长为4 cm. (1)这个棱柱共有多少个面？计算它的侧面积； (2)这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？ (3)试用含有n的式子表示n棱柱的顶点数、面数与棱的条数． 解：(1)侧面有5个，底面有2个，共有5＋2＝7(个)面；侧面积：5×2×4＝40(cm2)． (2)顶点共10个，棱共有15条． (3)n棱柱的顶点数2n；面数n＋2；棱的条数3n. 29 题型剖析 题型三：展开与折叠 B 1．如图是正方体的展开图，原正方体相对两个面上的数字和最大是( ) A.7　　　　　B.8 C.9　　 　 　 D.10 C 2．如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开(外表面朝上)，展开图可能是( ) 31 3．已知一个正方体的6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，根据下图正方体的三种摆放情况，判断每个数字对面上的数字是几． 1对4，2对5，3对6 32 题型剖析 题型四：立体图形 1.如图所示是一个五棱柱，它的底面边长都是4 cm，侧棱长都是6 cm. 答：这个五棱柱共有7个面，其中上、下两个底面，5个侧面．上、下底面都是五边形，侧面都是长方形，上、下底面的形状、面积完全相同.5个侧面的形状、面积完全相同． (1)这个五棱柱共有多少个面？它们分别是什么形状？哪些面的形状、面积完全相同？ 答：将其侧面沿一条棱剪开，展开图是一个长方形，长为4×5＝20(cm)，宽为6 cm，因而面积是20×6＝120(cm2)． (2)这个五棱柱共有多少条棱？它们的长度分别是多少？ 答：这个五棱柱共有15条棱，其中5条侧棱的长度都是6 cm，其他棱长都是4 cm. (3)沿一条侧棱剪开将其侧面展成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？ 34 2．如图是一张铁皮．(1)计算该铁皮的面积；(2)它能否做成一个长方体盒子？若能，画出它的几何图形，并计算它的体积；若不能，请说明理由． 35 解：(1)该铁皮的面积是(1×3)×2＋(2×3)×2＋(1×2)×2＝22(m2)； (2)能做成一个长方体盒子，如图，体积为1×2×3＝6(cm3).  36 题型剖析 题型五：立体图形的截面 1.下列说法正确的是（　　　）　 A.长方体的截面一定是长方形；　　　 B.正方体的截面一定是正方形； C.圆锥的截面一定是三角形；　　　　 D.球体的截面一定是圆 D 2.下列说法正确的是（ ） ①正方体的截面可以是等边三角形； ②正方体不可能截出七边形； ③用一个平面截正方体,当这个平面与四个平面相交时,所得的截面一定是正方形； ④正方体的截面中边数最多是六边形. A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.①②④ D 38 3.一个几何体的一个截面是三角形,则原几何体一定不是下列图形中的（ ） A.圆柱和圆锥 B.球体和圆锥 C.球体和圆柱 D.正方体和圆锥 C 39 4.用平面截正方体得到五边形，需要经过正方体的几个面？（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5.从任意方向截几何体， 的截面一定是圆． 6. 一立体图形，用水平截面去截，所得的截面是圆；用竖直的截面去截，所得截面是矩形，这个几何体可能是 ． C 球 圆柱体 40 题型剖析 题型六：从不同方向看几何体 1、从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 从左面看 从上面看 从正面看 解： 分析 从正面看有3列，从左往右，看到小方块的数量分别是1，2，1； 从左面看有1列，看到小方块的数量是2； 从上面看有3列，从左往右，看到小方块的数量都是1． 42 2、一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图． 解：如图： 从正面看 从左面看 43 方法一：先摆出几何体，然后再画从正面看和从左面看到的形状图； 方法二：根据从上面看到的形状图及其各位置上小方块的个数，确定从正面看有2列，从左面看有2列，再根据数字确定每列方块的个数，进而画出从正面看和从左面看到的形状图． 分析 44 3、下图是一个立体图形从三个方向看到的图形，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的体积(结果保留π)． 解：该立体图形为圆柱． ∵圆柱的底面半径r＝5， 高h＝10， ∴圆柱的体积V＝πr2h ＝π×52×10＝250π. 答：立体图形的体积为250π. 45 易错易混 易错点一：不同几何体的侧面展开图 1．下列说法错误的是（　　） A.棱柱的侧面是长方形 B.正方体的所有棱长都相等 C.棱柱的侧面不可能是三角形 D.圆柱的侧面展开图是长方形 【详解】 解：A、直棱柱的侧面都是长方形而棱柱的侧面有可能是平行四边形，故A说法错误，符合题意； B、正方体的所有棱长都相等，故B说法正确，不符合题意； C、棱柱的侧面是长方形，不可能是三角形，故C说法正确的，不符合题意； D、圆柱的侧面展开图为长方形，故D说法正确，，不符合题意； 故选：A． 47 2．下列说法中，正确的个数是（ ）. ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤正棱柱的侧面一定是长方形. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【详解】 解：①柱体包括圆柱、棱柱，柱体的两个底面一样大，正确， ②圆柱、圆锥的底面都是圆，正确； ③棱柱的底面可以为任意多边形，错误； ④长方体一定是柱体，正确； ⑤正棱柱的侧面一定是长方形，正确； 共有4个正确，故选C． 48 易错易混 易错点二：点、线、面、体的关系 1．下列现象，能说明“线动成面”的是（ ） A．天空划过一道流星 B．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹 C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 【详解】 解：∵A、天空划过一道流星说明“点动成线”，∴故本选项错误. ∵B、汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹说明“线动成面”，∴故本选项正确. ∵C、抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线说明“点动成线”，∴故本选项错误. ∵D、旋转一扇门，门在空中运动的痕迹说明“面动成体”，∴故本选项错误. 故选B. 50 易错易混 易错点三：展开与折叠 1、一个正方体的每个面上都标注了数字，如图是这个正方体的一个展开图，若数字为6的面是正方体朝下的面，则朝上一面所标注的数字为（ ） A.2 B.4 C.5 D.6 【详解】 解：这是一个正方体的表面展开图，共有六个面，其中面“6”与面“2”相对，面“5”与面“3”相对，面“4”与面“1”相对． 所以与标有数字6的面相对的一面所标注的数字为2． 故选：A． 2．如图是一个正方体纸盒的展开图，按虚线拆成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则a+b﹣c（　　） A. B. C. D. 52 易错易混 易错点四：圆柱展开图的相关计算 4、一个圆柱的侧面展开图如图所示。 (1)圆柱的底面半径为 ⁠； 点拨：圆柱的底面半径为6π÷π÷2＝3. 3　 (2)若圆柱的高为10，求该圆柱的体积. 解：(2)该圆柱的体积为π×32×10＝90π. 易错易混 易错点五：立体图形展开图的面积、体积计算 5、小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是他用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图①、图②所示.请根据你所学的知识，回答下列问题： 观察判断： (1)小明共剪开了 条棱；动手操作： 8　 (2)现在小明想将剪断的图②重新粘贴到图①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒(如图③)，小明在图①中补全图形有 种方法，请画出其中一种； 4　 55 解：(2)如图，画出一种即可. 解决问题： 56 (3)经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体纸盒的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是880 cm，求这个纸盒的体积. 解：(3)根据题意可设长方体纸盒的高为 a cm，则长与 宽均为5 a cm，因为长方体纸盒所有棱长的和是880 cm， 所以4( a ＋5 a ＋5 a )＝880， 解得 a ＝20，此时5 a ＝100. 所以这个纸盒的体积为20×100×100＝200 000(cm3). 57 押题预测 58 59 60 61 62 63 64 65 66 感谢您的观看 Thank you 67 1．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如下图的正方体纸巾盒，它的平面展开图是（ ） A． B． C． D． 【详解】解：∵正方体纸巾盒如下图所示： ∴它的平面展开图是故选：D. 2．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，相对两个面上的数字之和的最小值是（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【详解】解：根据题意， 与相对， 与 相对， 与 相对， ， ， ， 相对两个面上的数字之和的最小值是5． 故选A． 3．（2023七年级上·江苏·专题练习）用24块棱长分别为 的长方体积木搭成的大长方体表面积最小是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：根据搭成的长方体表面积最小的要求，遵循把较大面重叠在一起的原则，进行如下搭建： 将三块长方体按 面重叠得出一个大长方体，此时三条棱长为， ， ． 再用两个大长方体（即6个小长方体）按 面重叠，可得棱长为 ， ， 的大长方体． 再用两个大长方体（即12个小长方体）按 ， 面重叠，可得棱长为 ， ， 的大长方体． 再用两个大长方体（即24个小长方体）按 ， 面重叠，可得棱长为 ， ， 的大长方体． 此时大长方体的表面积为： ． 故选：D． 4．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，图1为一个长方体， ，M为所在棱的中点，图（2）为图1的表面展开图，则图2中 的面积为 ． 【详解】解：由长方体的展开图可分类讨论：①当点M的位置如图，且为所在线段 中点时，连接， ， ∴ ，∴ ； ②当点M的位置如图，且为线段 中点时，连接 ， ∴ ，∴ ．故答案为：16或68． 5．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图是一个正方体的展开图，如果相对面上的两个式子表示的数相等，则 的值为 ． 【详解】解：由正方体的展开图可知， 与1相对，4与相对，2与2相对， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：5． 6．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，一个正方体的六个面上分别写着六个连续的整数，且每两个相对面上的数字和相等，本图所能看到的三个面所写的数字分别是4、5、7，则与4相对面上的数字是 ． 【详解】解：因为是六个连续的整数，所以从4，5，7三个数字可得六个连续的整数可能是 ①2、3、4、5、6、7 ②3、4、5、6、7、8 ③4、5、6、7、8、9， 因为相对面上的数字和相等，所以第①种情况中4和5相对，与图形矛盾； 第②种情况中4和7必须相对，与图形矛盾； 第③种情况符合题意，且9和4相对； 故答案：9． 7．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示：从上面看：   在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加4个小正方体．故答案为：4． 8．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盘中相对两个面上的数互为相反数． (1) ________， ________； (2)先化简，再求值： ． 【详解】（1） ， （2）原式 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 当 ， 时， 原式 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 9．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，是一个由9个边长为 的正方体组成的立体图形．    (1)画出该立体图形的主视图、左视图和俯视图． (2)若将整个立体图形的表面（包含底部）全部喷上油漆，则被油漆覆盖的面积为______ ． 【详解】（1）解：画出该立体图形的主视图、左视图和俯视图如图所示：    （2）解：由题意得：被油漆覆盖的面积为 ，故答案为： ． $$