串讲03 一元一次方程（考点串讲，6大考点+11大题型突破+6大易错+9大押题）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版2024）

七年级数学上学期·期末复习大串讲 串讲03 一元一次方程 苏科版（2024） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 六大常考点：知识梳理 十一大题型典例剖析 六大易错易混经典例题 精选9道期末真题对应考点练 考点透视 考点一：一元一次方程及其解 1. 什么叫做一元一次方程？什么叫做方程的解？ 2）使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 1）在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1,这样的方程叫做一元一次方程。 考点透视 考点二：等式的性质 1）等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。 2）等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。 2.等式的基本性质是什么？ 考点透视 考点三：移项 1）移项指把方程一边的项改变符号后，移到方程的另一边。 2）移项时，被移的项要改变符号。 3）某项只在方程的一边移动位置时，符号不改变。 3.什么叫移项？移项要注意什么？ 考点透视 考点四：解一元一次方程 4.解一元一次方程的主要步骤是什么？ 主要步骤： A.去分母； B.去括号； C.移项； D.合并同类项， E.把未知数的系数化为1，“转化”成x=a的形式。 解方程注意事项 步骤 注意事项 去分母 1.防止漏乘（尤其整数项)； 2.分子是多项式，去分母后应添括号﹔ 去括号 1.不要弄错符号； 2.不要漏乘括号里的任何一项; 移项 1.移项要变号； 2.防止漏项; 合并同类项 系数相加，字母及其指数不变 系数化为1 分子分母不要颠倒 7 考点透视 考点五：列一元一次方程解方程 5.列一元一次方程解应用题 一般步骤 （1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系； （2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程； （4）解方程； （5）检验，看该解是否是方程的解、是否符合题意． （6）写出答案． 考点透视 考点六：用一元一次方程解决问题的常见类型 6.用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1）行程问题：路程＝速度×时间 2）和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3）利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4）工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5）银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6）数字问题：多位数的表示方法 题型剖析 题型一：一元一次方程及其解 1、（1）若关于x的方程2 x |n|-1 – 9 = 0是一元一次方程，则 n 的值为 . （2）方程（m+1） x |m| + 1 = 0是关于x的一元一次方程，则m= . 2或-2 1 注：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件： ①未知数的次数为1；②未知数的系数不为0. 2、下列方程中是一元一次方程的是(　B　) A. 2 x ＝3 y B. 7 x ＋5＝6( x －1) C. x2＋ x ＝1 D. ＋ x ＝3 B 3、若( a2－4) x2＋( a ＋2) x ＋3＝0是关于 x 的一元一次方程，则2 a ＋1的值为(A　) A. 5 B. －3 C. －3或5 D. 2 A 11 4、已知方程(a＋3) ＋2＝a－3是关于x的一元一次方程，求a的值． 解：由题意可知：|a|－2＝1， 所以|a|＝3，则a＝±3. 又因为a＋3≠0，所以a≠－3，所以a＝3. 12 题型剖析 题型二：根据实际问题列一元一次方程 1、小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周树苗长高约5厘米，大约几周后树苗长高到1米？ 树苗原来的高度40厘米+长的高度=1米 解：设大约x周后树苗长到1米，根据题意得： 40+5x=100. 2、第六次全国人口普查统计数据(2010年11月1日新华社公布). 截止2010年11月1日0时，全国每10万人中具有大学文化程度的人数为8930人，比2000年7月1日0时增长了147.30%，2000年6月底每10万人中约有多少人具有大学文化程度？ 解：设2000年6月底每10万人中约有x人具有大学文化程度，则： x (1+147.30%)=8930. 2000年6月具有大学文化程度的人+增长的人数=8930 14 题型剖析 题型三：等式的性质 1、根据等式的性质填写下面的式子. (1)若a=b,则a+c= +c (2)若a=b,则a =b-c (3)若a=b, 则ac=b . (4)若a=b, 且c 时,则 = b -c c ≠0 2、已知x+3=1，下列等式成立吗？依据是什么？ （1）3=1-x （2）-2（x+3）=-2 （3） （4）x=1-3 解：(1)成立，根据等式的基本性质1.两边同时减去x; (2)成立，根据等式的基本性质2.两边同时乘-2; (3)成立，根据等式的基本性质2.两边同时除以3; (4)成立，根据等式的基本性质1.两边同时减去3. 16 题型剖析 题型四：利用等式的性质解方程 1、利用等式的基本性质解下列方程： （1）x + 2 = 5； （2）3 = x – 5. 解：（1）方程两边同时减去 2，得 x + 2 – 2 = 5 – 2. 于是 x = 3. （2）方程两边同时加上 5，得 3 + 5 = x – 5 + 5. 于是 8 = x. 习惯上，我们写成 x = 8. 2、解下列方程： （1） –3x = 15； （2） . 解：（1）方程两边同时除以 –3，得 化简，得 x = –5. （2）方程两边同时加上 2，得 化简，得 方程两边同时乘 – 3，得 n = – 36. 18 题型剖析 题型五：解一元一次方程1 1、解下列方程： （1）2x + 6 = 1； （2）3x + 3 = 2x + 7. 解：（1）移项，得 2x = 1 – 6. 化简，得 2x = – 5. 方程两边同除以 2，得 x = . （2）移项，得 3x – 2x = 7 – 3. 合并同类项，得 x = 4. 2、解方程： 解：移项，得 . 合并同类项，得 . 方程两边同除以 （或同乘 ），得 x = 4. 20 3、解方程： (1)8－3x=x+6； (2) 解：移项，得-3x - x=6 - 8. 合并同类项，得-4x=-2. 方程两边同除以-4， 得x= . 解：移项，得 x－ x=3+1. 合并同类项，得－x=4. 方程两边同除以－1，得x=－4. 21 4、解下列方程： （1）10x – 3 = 9； （2）5x – 2 = 7x + 8； 解：（1）移项，得 10x = 9 + 3. 化简，得 10x = 12. 方程两边同除以 10，得 x = 1.2. （2）移项，得 – 2 – 8 = 7x – 5x. 化简，得 – 10 = 2x. 方程两边同除以 2，得 – 5 = x. 即 x = – 5. 22 题型剖析 题型六：解一元一次方程2 解： 去括号，得 4x + 2 + x = 7. 移项，得 4x + x = 7 – 2. 合并同类项，得 5x = 5. 方程两边同除以 5，得 x = 1. 1、解下列方程：4（x + 0.5）+ x = 7. 2、解方程： (1)2(x+0.5)+2x=45； (2)4(x+16)=-2(x+1)． 解：去括号，得 2x+1+2x=45. 移项，得 2x+2x=45-1. 合并同类项，得 4x=44. 系数化为1，得 x=11. 解：两边都除以2，得 2(x+16)=-(x+1)． 去括号，得 2x+32=-x-1. 移项，得 2x+x=-1-32. 合并同类项，得 3x=-33. 系数化为1，得 x=-11. 24 3、解下列方程: （1）2 - (1-x) =-2. （2）11x+1= 5 (2x+1) ； （3）4x -3 ( 20-x ) =3. （4）5 (x+8) = 5-0 ； 解: （1）去括号得 2-1+x=-2. 移项得x=-2-2+1. 化简得x=-3. 解: （2）去括号得 11x+1=10x+5. 移项得11x-10x=5-1. 化简得 x=4. 25 解: （3）去括号得 4x-60+3x=3. 移项得4x+3x=3+60. 化简得7x=63. 系数化为1得x=9. 解: （4）去括号得 5x+40=5. 移项得5x=5-40. 化简得 5x=-35. 系数化为1得x=-7. 26 题型剖析 题型七：一元一次方程解法3 1、解方程： 解：去分母，得6(x＋15)=15－10(x－7). 去括号，得6x＋90=15－10x＋70. 移项、合并同类项，得16x=－5. 方程两边同除以16,得x= 解：去分母，得 4(2x－1)－2(10x＋1)＝3(2x＋1)－12. 去括号，得8x－4－20x－2＝6x＋3－12. 移项，得8x－20x－6x＝3－12＋4＋2. 合并同类项，得－18x＝－3. 2、解方程： 系数化为1，得x＝ 28 去分母，得5(x－4)＋2(2x－3)＝20x. 去括号，得5x－20＋4x－6＝20x. 移项，得5x＋4x－20x＝20＋6. 合并同类项，得－11x＝26. 29 4、解方程： 解：原方程可化为 去分母，得 16(x－3)－3(10x－20)＝12－6(x－1)， 去括号，得16x－48－30x＋60＝12－6x＋6， 移项、合并同类项，得－8x＝6， 系数化为1，得x＝－ . 30 题型剖析 题型八：一元一次方程应用之图形几何问题 (1)若该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？ 1、用一根长为10米的铁丝围成一个长方形. (2)若该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？ (3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？ 用一根长为10米的铁线围成一个长方形. （1）使得该长方形的长比宽多1.4 米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？ x x+1.4 解：设此时长方形的宽为x米，则长为（x+1.4）米. 2（x+x+1.4）=10 解得 x=1.8 即宽为1.8米，长为3.2米 故面积为1.8×3.2=5.76平方米。 32 用一根长为10米的铁线围成一个长方形. （2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形（1）所围成的长方形相比，面积有什么变化？ x x+0.8 解：设此时长方形的宽为x米，则长为（x+0.8）米. 2（x+x+0.8）=10 解得 x=2.1 即宽为2.1米，长为2.9米 故面积为2.1×2.9=6.09平方米。 与(1)相比，面积增加：6.09－5.76=3.3平方米 33 用一根长为10米的铁线围成一个长方形. （3）使得该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？围成的面积与（2）所围成的面积相比，又有什么变化？ x x 解：设此时长方形的宽为x米，则长为x米. 4x=10 解得 x=2.5 即宽为2.5米，长为2.5米 故面积为2.5×2.5=6.25平方米。 面积增加： 6.25-6.09=0.16平方米 34 2、已知长方形的周长是30 cm，长比宽多3 cm，求这个长方形的面积． 解：设长方形的宽为x cm，则长为(x＋3)cm. 依题意，得2(x＋x＋3)＝30. 解这个方程，得x＝6，则x＋3＝9. 因此，这个长方形的面积为6×9＝54(cm2)． 35 3、小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条。如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少? 解：设正方形的边长是xcm，由题意得： 4x=5（x-4）， 解得：x=20． 则4x=80（cm2）， 20×20=400（cm2）． 答：每一长条的面积为80cm2，原正方形的面积为400cm2． 36 题型剖析 题型九：打折销售问题 1、一家商场将一种自行车按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每辆仍获利72元，这种自行车每辆的进价是多少元？ 解：设这种自行车每辆的进价是x元，根据题意得 80%×(1＋40%)x－x＝72 解得： x＝600 答：这种自行车每辆的进价是600元． 2、某商品的进价是200元，标价为300元，打折销售后的利润率为20%，此商品是按几折销售的？ 解：设此商品是按x折销售的，根据题意得 解得 ： x＝8 答：此商品是按8折销售的. 38 3、某种商品进货后，零售价定为每件800元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折降价，并让利20元销售，仍可获利40%，则这种商品的进价为每件多少元？ 答：这种商品的进价为每件500元． 解：设这种商品每件的进价为x元, 根据题意得 800×90%－20－x＝40% · x 解得： x＝500 39 4、某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元，其中一台盈利20%，另一台亏损20%.问这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 解：设其中盈利20%的那台钢琴进价为x元． 由题意，得(1＋20%)x＝960，解得x＝800. 设其中亏损20%的那台钢琴进价为y元． 由题意，得(1－20%)y＝960，解得y＝1 200. 所以进价总和为800＋1 200＝2 000(元)． 因为售价总和为960＋960＝1 920(元)，1 920＜2 000， 所以这次琴行亏损． 题型剖析 题型十：一元一次方程应用之分配问题 1、某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务交给甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道． 等量关系： 甲工程队用时+乙工程队用时=20天， 甲工程队完成长度+乙工程队完成长度=360米. 解：设甲工程队用时x天，则乙工程队用时（20－x）天. 由题意得 24x+16(20－x)=360 解得x=5 甲工程队完成长度：24×5=120米 乙工程队完成长度：360-120=240米 答：甲、乙两个工程队分别整治了120米和240米的河道 2、某地为了打造风光带，将一段长为360 m的河道整治任务交给甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m，乙工程队每天整治16 m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道． 解：设甲工程队整治了x米的河道，则乙工程队整治了(360－x)米的河道，根据题意，得 答：甲工程队整治了120米的河道，乙工程队整治了240米的河道． 解得x＝120. 所以360－x＝240. 02 3、某工厂要加工一批零件，计划每天加工240个，正好能如期完工．现通过技术革新，每天可以多加工40个零件，结果提前2天完成任务．求这批零件共有多少个． 4、小李在网上预定了足球小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元．其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元，则小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？ 解：设小李预定了小组赛球票x张，则淘汰赛球票(10－x)张，根据题意得 550x＋700(10－x)＝5800， 解得x＝8， 所以10－x＝2. 答：小李预定了小组赛球票8张，淘汰赛球票2张． 题型剖析 题型十一：一元一次方程应用之行程问题 1、若小明到校后发现忘带语文书，打电话通知爸爸来.爸爸立即以180米/分的速度从家里出发，同时小明以120米/分的速度从学校返回，两人几分钟相遇？ 解：设两人分钟后相遇，根据题意得： 180+120=1000 解得 = 答：两人分钟后相遇。 2、操场一圈是400米，小明每秒跑5米,小红骑自行车每秒10米。 （1）若两人绕跑道同时同地相向而行，经过多久两人第一次相遇？ S红+S明=1圈 解：设经过x秒两人第一次相遇，依题意得， 10x+5x=400, 解得x= . 答：经过 秒两人第一次相遇 10x 5x 47 2、操场一圈是400米，小明每秒跑5米,小红骑自行车每秒10米。 （2）若两人绕跑道同时同地同向而行，经过多久两人第一次相遇？ 5y 10y S红-S明=1圈 解：设经过y秒两人第一次相遇，依题意得 解得y=80. 10y-5y=400, 答：经过80秒两人第一次相遇. 3、A，B两地相距30千米．甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知甲比乙每小时多走1千米，经过2.5小时两人相遇，求甲、乙两人的速度． 解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为(x＋1)千米/时． 根据题意，得2.5x＋2.5(x＋1)＝30. 解这个方程，得x＝5.5. 则x＋1＝6.5. 答：甲、乙两人的速度分别为6.5千米/时、5.5千米/时． 易错易混 易错点一：一元一次方程中的同解问题 1、已知关于 x 的方程 ＋ ＝ x －4与方程 ( x －16)＝－6的解相同，求 m 的值. 解： 解方程 ( x －16)＝－6，得 x ＝4. 将 x ＝4代入 ＋ ＝ x －4，得 ＋ ＝0， 解得 m ＝－6. 易错易混 易错点二：一元一次方程中的错解问题 解： (1)由题意可知 x ＝3是方程3 x ＋ a ＝2 x ＋4的解， 所以3×3＋ a ＝2×3＋4，解得 a ＝1. (2)求此方程正确的解. 解： (2)把 a ＝1代入原方程，得3( x ＋1)＝2 x ＋4，解得 x ＝1. 2、小明在解关于 x 的方程3( x ＋ a )＝2 x ＋4，在去括号时，将 a 漏乘了3，得到方程的解是 x ＝3. (1)求 a 的值； 易错易混 易错点三：一元一次方程的新定义问题 3、“△”表示一种新运算，其意义是 a △ b ＝3 a ＋2 b .若 x △6＝18，则 x ＝ ⁠. 解：根据题中的新运算得3 x ＋12＝18，解得 x ＝2. 2　 易错易混 易错点四：整体法解一元一次方程 4、解方程： 20－4(2 x ＋3)－3( x －2)＝8( x －2)－2(2 x ＋3). 解： 把2 x ＋3， x －2分别看成一个整体，进行移项、合并同类项，得 11( x －2)＋2(2 x ＋3)＝20.去括号，得11 x －22＋4 x ＋6＝20. 移项，得11 x ＋4 x ＝20＋22－6.合并同类项，得15 x ＝36. 系数化为1，得 x ＝ . 易错易混 易错点五：一元一次方程的含参问题 5、若关于 x 的方程 a (2 x ＋ b )＝12 x ＋5无解，求 a ， b 的值或取值范围. 解： 对原方程变形，得(2 a －12) x ＝5－ ab . 当2 a －12＝0且5－ ab ≠0时，方程无解， 所以 a ＝6， b ≠ . 易错易混 易错点六：解绝对值方程 6、先阅读下面的解题过程，再解决问题. 解方程：｜ x ＋3｜＝2. 解：当 x ＋3≥0时，原方程可化为 x ＋3＝2， 解得 x ＝－1； 当 x ＋3＜0时，原方程可化为 x ＋3＝－2， 解得 x ＝－5. 所以原方程的解是 x ＝－1或 x ＝－5. (1)解方程：｜3 x －1｜－5＝0. 解： (1)移项，得｜3 x －1｜＝5. 当3 x －1≥0时，原方程可化为3 x －1＝5， 解得 x ＝2； 当3 x －1＜0时，原方程可化为3 x －1＝－5， 解得 x ＝－ . 所以原方程的解是 x ＝2或 x ＝－ . 56 ①无解； ②只有一个解； ③有两个解. 解： (2)因为｜ x －2｜≥0，所以： ①当 b ＜0时，方程无解； ②当 b ＝0时，方程只有一个解； ③当 b ＞0时，方程有两个解. (2)探究：当 b 为何值时，方程｜ x －2｜＝ b ， 57 押题预测 58 59 60 61 62 63 64 65 66 感谢您的观看 Thank you 67 300×eq \f(x,10)－200＝200×20% 1．（23-24七年级上·江苏连云港·期末） 两地相距345千米，一列慢车从 地出发，每小时行驶60千米，一列快车从 地出发，每小时行驶90千米，快车提前30分钟出发．两车相向而行，慢车行驶了多少小时后，两车相遇，若设慢车行驶了 小时后，两车相遇，根据题意，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】慢车行驶了x小时后，两车相遇， 根据题意得出： ．故选：D． 2．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）下列等式变形不一定成立的是（    ） A．由 ，得到 B．由 ，得到 C．由 ，得到 D．由 ，得到 【详解】解：A. 由 ，得到    ，故该选项正确，不符合题意； B. 由 ，得到 ，故该选项正确，不符合题意； C. 由 ，且 ，得到 ，故该选项不正确，符合题意；     D. 由 ，得到 ，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）已知a为常数，且无论k取何值，关于x的方程 的解总是 ，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【详解】解：把 代入方程得： ， ， ∵a为常数，且无论k取何值，关于x的方程 的解总是 ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 4．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）若关于 的方程 的解为正整数，整数 的值是 ． 【详解】解： ， 移项得： ， 合并同类项得： ， 系数化为1得： ， 关于 的方程 的解为正整数， EMBED Equation.DSMT4 为正整数， 或 或 或 或 或 或 ． 故答案为：2或3或4或7 5．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元一次方程 的解为 ，那么关于y的一元一次方程 的解 ． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程 的解为， ∴关于y的一元一次方程 中 ， 解得： ． 故答案为：2． 6．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）若方程 与关于x的方程 的解互为相反数，则k的值是 ． 【详解】解： 解得： ， 方程 与关于 的方程 的解互为相反数， 关于 的方程 的解是 ， ， 解得 ， 故答案为： ． 7．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）解方程： (1) ； (2) ． 【详解】（1） 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ； （2） 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ． 8．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）某零售店用 元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的 倍多 件．已知甲商品进价为 元/件，标价为元/件；乙商品进价为 元/件，标价为 元/件． (1)求甲乙两种商品各购进多少件？ (2)若甲种商品按标价的 折出售，乙种商品按标价的 折出售，且在运输过程中甲商品有 不慎损坏，不能进行销售，请问这批商品全部售出后，该零售店共获利多少元？ 【详解】（1）设甲商品购进 件，∴乙商品购进件， ∴ ，解得： ， ∴乙商品的数量为： ， 答：甲商品购进 件，乙商品购进 件． （2）由题意得，该零售店共获利为： （元）， 答：这批商品全部售出后，该零售店共获利 元． （3）∵ ，∴，∴方程 的解为： ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵ 取任何有理数上式都成立，∴ ，解得： ，∴ ， ． 9．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程 和 为“和谐方程”． (1)若关于 的方程 与方程 是“和谐方程”，求 的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为 ，求 的值； (3)若无论 取任何有理数，关于 的方程 （ ， 为常数）与关于 的方程 都是“和谐方程”，求 与 的值． 【详解】（1）∵ ，解得：，∵ ，∴ ， ∵方程 与方程 是“和谐方程”，∴ ，∴ ． （2）∵“和谐方程”的两个解的差为 ，其中一个解为 ，∴另一个方程的解为： ，∴ ，解得： ， ∴ 或 ． $$