专题03 相似三角形判定的六大模型（考题猜想，易错必刷30题6种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

专题03 相似三角形判定的六大模型（易错必刷30题6种题型专项训练） 目录 【题型一】相似三角形之“A”字模型（共5题） 1 【题型二】相似三角形之“X”字模型（“8”模型）（共5题） 11 【题型三】相似三角形之“十”字模型（共5题） 20 【题型四】相似三角形之“母子”模型(共边角模型)（共5题） 38 【题型五】相似三角形之“手拉手”模型(旋转模型)（共5题） 45 【题型六】相似三角形之“K”字模型（相似模型）（共5题） 59 【题型一】相似三角形之“A”字模型（共5题） 1．（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，在中，点是上的点，过点作交于点，，过作交于点． (1)若，求线段的长； (2)若的面积为，求的面积． 2．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，点分别在边上，，．    (1)求证：； (2)设． ①若，求线段的长； ②若的面积是36，求的面积． 3．（23-24九年级上·山东滨州·期末）课本原题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？    （1）解这个题目，求出这个正方形零件的边长是多少？ 变式训练： （2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长是多少？ （3）如图3，在中，，正方形的边长是10，且四个顶点都在的各边上，．求的值． 4．（23-23九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E、点F分别是、上的点，与交于点P． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，，点E为的中点，求的长； (2)如图2，连接，若，平分，，．求的长． 5．（23-24九年级上·河南郑州·期末）综合与实践：    在综合与实践课上，刘老师引导学生探究矩形的折叠． 矩形纸片中，点为射线上一点，小明沿折叠得到，点的对应点为，分别延长，交直线于点，N． 【问题提出】 （1）如图1，若点与点重合，请判断与的数量关系为______； 【再次探究】 （2）如图2，当点与点不重合时，（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若，，当时，直接写出的长． 【题型二】相似三角形之“X”字模型（“8”模型）（共5题） 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 7．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形中，． (1)求与的周长之比； (2)若求． 8．（23-24八年级下·山东泰安·期末）已知：如图，中，，与交于点，与、分别交于点、． (1)已知点是的中点，求证：； (2)已知，四边形的面积为，求的面积． 9．（23-24九年级上·四川达州·期末）矩形中，连接，的平分线交于点E，交的延长线于点F．在线段上取点G，使． (1)判断三角形的形状，并证明； (2)若，，求及的长． 10．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）[基础学习] （1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，交于点，求证：． [尝试应用] （2）如图2，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和于点、和，求的值． [拓展提高] （3）如图3，矩形中（为常数），点是矩形边上的一个动点，延长至点，使，连接，，与相交于点，连接，求的最小值（用的代数式表示）． 【题型三】相似三角形之“十”字模型（共5题） 11．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在正方形中，，点M是边的中点，点E是边上的一个动点，交于点G，交射线于点F． (1)如图①，当点E与点B重合时，求证：． (2)如图②，当点F在线段上时，设为x，梯形的面积为y，写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． (3)若，求点A到线段的距离． 12．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）在矩形中，，，点是边上的一个动点，，垂足为的延长线交于点．    (1)如图1，延长，若三点在一直线上，，求的长； (2)过点作，垂足为： ①如图2，若，，求的面积； ②如图3，若，连接，则的值为______． 13．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知四边形中，，，分别是，边上的点，交于点． (1)如图1，若四边形是正方形，求证：； (2)如图2，若四边形是矩形，，平分交于点，交于点．当为的三等分点时，求的长； (3)如图3，若，，，请直接写出的值． 14．（2024九年级下·全国·专题练习）【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．      （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则 ． 15．（23-24八年级下·广东深圳·期末）已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 （2）如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 （3）老师上课时提出这样的问题：如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：； 小圳同学冥思苦想不得其解，提问到：在做题过程中，我先将转化成：，发现与显然不相似，所以没办法直接得出，怎么办呢？ 老师提示说：你是不是可以考虑引入一个桥梁或者考虑下添加辅助线来帮助解题呢？ 同学们，请你帮助小圳同学解决此题，写出完整证明过程； （4）如图4，若，，，于G，请直接写出的值．      【题型四】相似三角形之“母子”模型(共边角模型)（共5题） 16．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知：点D在的边上，连接，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)当E为的中点时，求证：． 17．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，．    (1)求证：； (2)求证：． 18．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图．在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，．求BD的长度． 19．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，中，平分，E是上一点，． (1)求证： (2)已知，，试求的长． 20．（23-24七年级下·山东·期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； (2)如图2，中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求和长； (3)在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，请直接写出的度数为__________． 【题型五】相似三角形之“手拉手”模型(旋转模型)（共5题） 21．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图1，在中，，点D、E分别在边、上，，，． (1)线段与之间的数量关系是 ； (2)如图 2，若绕点A旋转，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？ 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)绕点 A 旋转至，且，求线段的长．    22．（23-24九年级下·山东烟台·期末）【基础巩固】 （1）如图 1，和是直角三角形，一锐角顶点重合于点 A，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在和中，直角顶点重合于点C，，点D在上，，且，连接，若，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在中，，点D为边上一点，，E为延长线上一点，，过点A作，交的延长线于点Q．请直接写出的值． 23．（23-24九年级上·山东日照·期末）【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，则与的数量关系为______； 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，则______； 【拓展提升】 （3）如图3，和都是直角三角形，，连接， ①求的值； ②延长交于点，交于点，求的度数． 24．（23-24九年级上·福建南平·期末）（1）问题发现：如图（1），在和中，，，，连接，交于点M．填空： ①的值为 ； ②的度数为 ． （2）类比探究 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M．请求出的值及的度数，并说明理由． （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内旋转，，所在直线交于点M．若，，请直接写出当点C与点M重合时的长．    25．（23-24九年级上·贵州安顺·期末）问题情境：数学课上，老师利用两个特殊的四边形进行图形变换操作探究，如图1，正方形和正方形，连接，． (1)发现：当正方形绕点A旋转，如图2，①线段与之间的数量关系是______； ②直线与直线之间的位置关系是______． (2)探究：若四边形与四边形都为矩形，矩形绕点A旋转，如图3，且，．请写出直线和直线的位置关系，并说明理由． (3)应用：在（2）的条件下，连接（点E在上方），矩形绕点A㫌转至，且，，则线段长是多少？（直接写出结论） 【题型六】相似三角形之“K”字模型（相似模型）（共5题） 26．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，于点E； (1)求证：． (2)若，求的值． 27．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 28．（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？    29．（2024·河南周口·三模）在四边形中，是边上一点，在的右侧作 ，且 ，连接． (1)如图，当四边形是正方形时， ． (2)如图，当四边形是菱形时，求 （用含的式子表示）． (3)在（2）的条件下，且 如图，连接交于点；若为边的三等分点，请直接写出的长． 30．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）矩形中，，（），点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F． 【特例证明】（1）如图（1），当时，求证：； 【类比探究】（2）如图（2），当时， ①求的值（用含k的代数式表示）． ②连接交于点H，连接，若，求k的值． 【拓展运用】（3）如图（3），当时，P为边上一点，连接、，若时，，求的长． $$专题03 相似三角形判定的六大模型（易错必刷30题6种题型专项训练） 目录 【题型一】相似三角形之“A”字模型（共5题） 1 【题型二】相似三角形之“X”字模型（“8”模型）（共5题） 11 【题型三】相似三角形之“十”字模型（共5题） 20 【题型四】相似三角形之“母子”模型(共边角模型)（共5题） 38 【题型五】相似三角形之“手拉手”模型(旋转模型)（共5题） 45 【题型六】相似三角形之“K”字模型（相似模型）（共5题） 59 【题型一】相似三角形之“A”字模型（共5题） 1．（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，在中，点是上的点，过点作交于点，，过作交于点． (1)若，求线段的长； (2)若的面积为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形，理解并掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，可证，根据及相似的性质即可求解； （2）根据，，可证，且，可得的值，再根据面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，设，则， ∴，且， ∴， ∴， ∴线段的长为． （2）解：∵， ∴，， ∴，且，， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 2．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，点分别在边上，，．    (1)求证：； (2)设． ①若，求线段的长； ②若的面积是36，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①，②100 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段对应成比例，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由平行线性质可得到，则； （2）①由，根据平行线分线段对应成比例可得，故可求得； ②证明，可得从而可得． 【详解】（1）证明： ， ， 又， ∴， ； （2）解：①， ∴， ∵， ∴， ∴； ②， ∴， ∴， ， ， ． ， ， ， ． 3．（23-24九年级上·山东滨州·期末）课本原题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？    （1）解这个题目，求出这个正方形零件的边长是多少？ 变式训练： （2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长是多少？ （3）如图3，在中，，正方形的边长是10，且四个顶点都在的各边上，．求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）设，根据，可得，即可求解； （2）设，根据，可得，从而得到，即可求解； （3）根据，可得，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：（1）设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：这个正方形零件的边长是； （2）解：设， ∵， ∴ ∴ 解得：， ∴， ∵， ∴当时，的最大面积是， 此时． ∴达到这个最大值时矩形零件的两条边长分别为． （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴． 4．（23-23九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E、点F分别是、上的点，与交于点P． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，，点E为的中点，求的长； (2)如图2，连接，若，平分，，．求的长． 【答案】(1)①证明见解析；②9 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）①利用有两个角对应相等的两个三角形相似，判定，再利用相似三角形对应边成比例即可得出结论；②由，得到，进而求得；利用，相似三角形对应边成比例可得，结论可求； （2）连接，利用三角形的三条角平分线相交于一点，可得是的平分线；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得，同理可得：；通过证明可得比例式，则可求，，结论可得． 【详解】（1）证明：①平分， ． ， ． ． ； ②∵， ． ， ． ， ． 点为的中点， ． ，， ． ． ． ； （2）解：连接，如图， 平分， ． ， ． 在和中， ， ． ． 平分，平分， 平分． ，． ，， ． ， 又， ． ． ， ． 同理可得：． ， ，， ． ． ． ， ． ． ． ， ． ． 【点睛】本题是一道三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的角平分线，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形的三个内角的平分线相交于一点得到平分是解题的关键． 5．（23-24九年级上·河南郑州·期末）综合与实践：    在综合与实践课上，刘老师引导学生探究矩形的折叠． 矩形纸片中，点为射线上一点，小明沿折叠得到，点的对应点为，分别延长，交直线于点，N． 【问题提出】 （1）如图1，若点与点重合，请判断与的数量关系为______； 【再次探究】 （2）如图2，当点与点不重合时，（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若，，当时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）或． 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定； （1）根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，由折叠可知：， 等量代换，即可得证； （2）同（1）的方法证明即可； （3）分两种情况讨论：①当点在线段上时，证明得出，，进而证明点与点重合；即可得出；②当点在的延长线上时，由可得：， 得出，设，则，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴ ∴ 由折叠可知：，   ∴ 故答案为：． （2）证明：四边形为矩形，   ∴，   ∴， 由折叠可知：，   ∴； （3）当时，线段的长为或． ①当点在线段上时，如图1， 由可得：， ∴， ∴，， ∴， ∵ 折叠可得，又在上，则 ∴点与点重合， ∴； ②当点在的延长线上时，如图2， 由可得：，   ∴，即， 则， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得：，   ∴． 综上所述：当时，线段的长为或．      【题型二】相似三角形之“X”字模型（“8”模型）（共5题） 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）通过证明，由相似三角形的性质可求解； （2）通过证明，可得，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是边长为4的正方形， ， ， ， ，即 ； （2）证明：， ， ∵在正方形中，， ， ， ． 7．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形中，． (1)求与的周长之比； (2)若求． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键， （1）由是平行四边形，得，，进而证明，根据相似三角形的性质即可得解； （2）根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵是平行四边形， ∴，， ∴, ， ∴ ∴与周长的比等于相似比等于． （2）解：由（1）得， ∴ ∵ ∴． 8．（23-24八年级下·山东泰安·期末）已知：如图，中，，与交于点，与、分别交于点、． (1)已知点是的中点，求证：； (2)已知，四边形的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）由可证明根据相似三角形的性质得，同理，最后由点是的中点即可求证； （）证明，由性质可得，同理，再证明，则，设，则，最后代入即可求值； 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则， ∴四边形的面积为， ∴， 解得， ∴． 9．（23-24九年级上·四川达州·期末）矩形中，连接，的平分线交于点E，交的延长线于点F．在线段上取点G，使． (1)判断三角形的形状，并证明； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）根据为的角平分线得，根据四边形是矩形得，可得，则，即可得； （2）根据四边形是矩形得，，在中，根据勾股定理可求出，即可得，根据，可证明，根据相似三角形的性质得，即可得，在中，根据勾股定理得，根据，可证明，即可得，进行计算即可得． 【详解】（1）解：三角形是等腰三角形 证明如下： ∵为的角平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵，， ∴在中，． ∴， ∵，， ∴， ； 又∵，， ∴， ∴， ∴在中，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 10．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）[基础学习] （1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，交于点，求证：． [尝试应用] （2）如图2，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和于点、和，求的值． [拓展提高] （3）如图3，矩形中（为常数），点是矩形边上的一个动点，延长至点，使，连接，，与相交于点，连接，求的最小值（用的代数式表示）． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）由题意得：，，根据相似三角形的性质得到，进而证明出结论； （2）过点M作交于点H，交于点N，交于点G，由（1）中结论可得，，根据，证明，，，，根据相似三角形的性质可得，整理可得； （3）如图，连接并延长交于点H，连接，证明，求出，由此可得：点H为定点，点G在线段上运动，当时，有最小值，利用勾股定理求出，由，即可求出的最小值为． 【详解】（1）证明：， ，， ，， ， ； （2）如图，过点M作交于点H，交于点N，交于点G， ∵， 由（1）中结论可得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ； （3）解：如图，连接并延长交于点H，连接， ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由此可得：点H为定点，点G在线段上运动， 当时，有最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 【题型三】相似三角形之“十”字模型（共5题） 11．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在正方形中，，点M是边的中点，点E是边上的一个动点，交于点G，交射线于点F． (1)如图①，当点E与点B重合时，求证：． (2)如图②，当点F在线段上时，设为x，梯形的面积为y，写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． (3)若，求点A到线段的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质． （1）证明，根据全等三角形的性质证明； （2）作于H，根据全等三角形的性质求出，再根据梯形的面积公式计算即可； （3）根据题意进行分类讨论：①当点F在线段上时，通过证明，即可解答；②当点F在延长线上时，通过证明，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， 适应， ∵， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：作于H， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，点M是边的中点， ∴， 设为x，则，， ∴， ∵梯形的面积， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴y与x的函数解析式为． （3）解：①当点F在线段上时， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即点A到线段的距离为； ②当点F在延长线上时： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即点A到线段的距离为 综上：点A到线段的距离或． 12．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）在矩形中，，，点是边上的一个动点，，垂足为的延长线交于点．    (1)如图1，延长，若三点在一直线上，，求的长； (2)过点作，垂足为： ①如图2，若，，求的面积； ②如图3，若，连接，则的值为______． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，找出多组相似三角形，正确添加辅助线是解决本题的关键． （1）证明出，即可求解； （2）①延长交于点G，由，求得，由，得，即，由得到，即，故；②过点C作交延长线于点K，则，延长交于点Q， 在中，由勾股定理得，由，求得，，由，求得，故在中，由勾股定理得，，，由，得到，故设，则，，由，得到，解得：，故，因此． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，延长交于点G，    同（1）可证，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点C作交延长线于点K，则，延长交于点Q，   ∵，，， ∴在中，由勾股定理得 ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∵四边形是矩形， ∴，，而， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知四边形中，，，分别是，边上的点，交于点． (1)如图1，若四边形是正方形，求证：； (2)如图2，若四边形是矩形，，平分交于点，交于点．当为的三等分点时，求的长； (3)如图3，若，，，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据正方形的性质，得出，，推出，利用证明，即可得出； （2）作于，结合矩形的性质，证明，设，则，分“当时”和“当时”两种情况讨论，根据，求出、，根据勾股定理求出的长即可； （3）连接，过点作于，过点作于，证明四边形是矩形，得出，，利用证明，得出，推出，，设，则，，根据勾股定理得出方程求解，求出，推出，得出，求职即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，作于， ∵四边形是矩形，，平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴当时，则， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当时，则，， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）解：连接，过点作于，过点作于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴，整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握知识点、作辅助线推理证明、分类讨论、数形结合是解题的关键． 14．（2024九年级下·全国·专题练习）【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．      （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、四边形其他综合问题 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形是四个角都是直角的平行四边形，相似三角形对应边成比例，以及正确作出辅助线，构造题中所给几何模型，进行解答． （1）证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解； （2）构造矩形，延长交于点G， 由（1）中结论可得：，，设，，则，，，，再证明，则，即可求出，即可求解； （3）连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，证明，，根据，得出，设，则，，得出，即可求出，由（1）中结论可得：，最后证明四边形为平行四边形，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：构造如图所示矩形，延长交于点G，    由（1）中结论可得：， ∵， ∴设，， ∵点为的中点， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∵， ∴，则，， 解得：，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； （3）解：连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，    ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 设， 则，， ∴，整理得：， ∴， 由（1）中结论可得：． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（23-24八年级下·广东深圳·期末）已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 （2）如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 （3）老师上课时提出这样的问题：如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：； 小圳同学冥思苦想不得其解，提问到：在做题过程中，我先将转化成：，发现与显然不相似，所以没办法直接得出，怎么办呢？ 老师提示说：你是不是可以考虑引入一个桥梁或者考虑下添加辅助线来帮助解题呢？ 同学们，请你帮助小圳同学解决此题，写出完整证明过程； （4）如图4，若，，，于G，请直接写出的值．      【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析；（4） 【知识点】因式分解法解一元二次方程、相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】（1）由四边形为正方形，利用正方形的性质得到，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）由四边形为矩形，得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到，利用相似三角形对应边成比例即可得证； （3）如图，在的延长线上取点，使，利用平行线的性质，以及同角的补角相等得到，利用相似三角形对应边成比例即可得证． （4）过点C作于点M，作于点N，连接，设，利用三角形全等，相似和勾股定理，解得即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）∵四边形是矩形，，， ∴，,， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形为平行四边形， ∴，， 如图，在的延长线上取点，使，      则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． （4）过点C作于点M，作于点N，设， ， 四边形为矩形，， 为公共边， ， ， ， ， ，即， ， 在中，， 即，    解得（舍），或， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握和运用各图形的性质和定理进行推理是解决本题的关键． 【题型四】相似三角形之“母子”模型(共边角模型)（共5题） 16．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知：点D在的边上，连接，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)当E为的中点时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）由，推出，由，可得，于是得到结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【知识点】与三角形中位线有关的证明、相似三角形的判定与性质综合、角平分线的有关计算、等边对等角 【分析】（）根据等边对等角得到，由是的平分线，得到，再根据三角形外角性质得，即可证明； （）取中点，连接，利用三角形中位线的性质，得，证，得到，进而的得到，即可求证； 本题考查了三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握知识点的应用及正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：取中点，连接，如图，    ∴， ∵是边上的中线，即点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 18．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图．在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，．求BD的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边对等角 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键． （1）等边对等角结合平角的定义，得到，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，中，平分，E是上一点，． (1)求证： (2)已知，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，再根据，于是得到结论； （2）根据得到，可求得的值，由即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 解得， ∴． 20．（23-24七年级下·山东·期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； (2)如图2，中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求和长； (3)在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，请直接写出的度数为__________． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)或 【知识点】三角形内角和定理的应用、解一元二次方程——配方法、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义可得，再由等角对等边可得为等腰三角形，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据“完美分割线的定义”可得，得，即，求得，再根据相似三角形的性质可得，即可求解； （3）根据是的完美分割线，且为等腰三角形进行分类讨论：或，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和及相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴不是等腰三角形． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴CD是的完美分割线； （2）解：∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴． ∵是的完美分割线， ∴． ∴， ∴， ∴． 解得或（不合题意，舍去）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵是的完美分割线，且为等腰三角形， ∴时，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的性质与判定、解一元二次方程及新定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和似三角形的性质与判定，理解“完美分割线”是解题的关键． 【题型五】相似三角形之“手拉手”模型(旋转模型)（共5题） 21．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图1，在中，，点D、E分别在边、上，，，． (1)线段与之间的数量关系是 ； (2)如图 2，若绕点A旋转，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？ 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)绕点 A 旋转至，且，求线段的长． 【答案】(1)； (2)成立，证明详见解析； (3)3或． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由题意可知，则，可证得，得，则，由平行线分线段成比例即可证得答案； （2）先证明，再由，，可证得，即可证明，再利用其性质即可证明； （3）分在上方和下方两种情况作出图形，分别讨论，证明四边形是平行四边形，先求出的长度，再由（2）可知，即可求解， 【详解】（1）解：∵，，， ∴，则， ∴， ∴，则， ∴，则， 故答案为：； （2）成立，理由如下： ∵， ∴，即． ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， 即； （3）①如图3，在中，，， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ②同①四边形是平行四边形，    ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，长3或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 22．（23-24九年级下·山东烟台·期末）【基础巩固】 （1）如图 1，和是直角三角形，一锐角顶点重合于点 A，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在和中，直角顶点重合于点C，，点D在上，，且，连接，若，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在中，，点D为边上一点，，E为延长线上一点，，过点A作，交的延长线于点Q．请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，综合性强，难度大，属于压轴题．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形． （1）先由已知条件证明，由相似三角形的性质得出，，进一步可得出，，即可证明． （2）先由已知条件证明，由相似三角形的性质得出，进一步可得出，，即可证明．再由相似三角形的性质得出，设，，由勾股定理求出，代入即可得出答案． （3）在上截取，连接，由已知条件得出，由含直角三角形的性质可求，，再判定是等边三角形，由等边三角形的判定以及性质得出，再求出，通过证明，可求的长，即可求解． 【详解】证明：（1）∵，， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴设，， 在中，由勾股定理得∶， 即 ∴， ∴ ∴ （3）解：如图3，在上截取，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 23．（23-24九年级上·山东日照·期末）【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，则与的数量关系为______； 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，则______； 【拓展提升】 （3）如图3，和都是直角三角形，，连接， ①求的值； ②延长交于点，交于点，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）证明，进而得出结果； （3）①证明可得，，进而证明，即可得到答案；②由，得出，进而得出． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ,,， ， ， ， ， 故答案为：； （2）和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）①，， ，，， 由勾股定理得，，， ，， ， ， ， ； ②由①得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 24．（23-24九年级上·福建南平·期末）（1）问题发现：如图（1），在和中，，，，连接，交于点M．填空： ①的值为 ； ②的度数为 ． （2）类比探究 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M．请求出的值及的度数，并说明理由． （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内旋转，，所在直线交于点M．若，，请直接写出当点C与点M重合时的长．    【答案】（1）①  ②  （2）   （3）或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①证明，得，比值为；②由，得，根据即可解题； （2）根据两边的比相等且夹角相等可得，则，由相似三角形的性质得的度数； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图，同理可得：，则，，可得的长． 【详解】（1）①∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2） 理由如下： ∵，， 即. ∴. ， 设交于点，    ∵， ∴. （3）的长为或， 由（2）可知，， 设，则 分两种情况讨论： 如图，当点在上侧重合时， ∵ ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 在中， ， ， 解得 (不合题意，舍去). ∴；    如图，当点在下侧重合时， 同理可得 在中，， ， 解得 (不合题意，舍去)， ； 综上所述，的长为或 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目． 25．（23-24九年级上·贵州安顺·期末）问题情境：数学课上，老师利用两个特殊的四边形进行图形变换操作探究，如图1，正方形和正方形，连接，． (1)发现：当正方形绕点A旋转，如图2，①线段与之间的数量关系是______； ②直线与直线之间的位置关系是______． (2)探究：若四边形与四边形都为矩形，矩形绕点A旋转，如图3，且，．请写出直线和直线的位置关系，并说明理由． (3)应用：在（2）的条件下，连接（点E在上方），矩形绕点A㫌转至，且，，则线段长是多少？（直接写出结论） 【答案】(1)； (2)，理由见详解 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用矩形的性质证明、根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①先判断出，进而得出，②由，再利用等角的余角相等即可得出结论； （2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出，得出，再利用等角的余角相等即可得出结论； （3）先求出，进而得出，即可得出四边形是平行四边形，进而得出，求出，借助（2）得出的相似，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； ②如图2，延长交于M，交于H，    由①知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）延长交于M，交于N， ∵四边形和四边形都为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上）    在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴点B，E，F在同一条直线上如图5，    ∴， 在中，根据勾股定理得，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，判断出三角形全等和相似是解本题的关键． 【题型六】相似三角形之“K”字模型（相似模型）（共5题） 26．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，于点E； (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，证明相似三角形是解题的关键． （1）由正方形的性质及，易得，，即可得； （2）利用相似三角形的性质及已知，即可求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴． 27．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由正方形的性质可得，，然后根据对应边成比例且夹角相等即可得到结论； （2）通过证明，可得，根据可得、，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则 ， ∴； （2）∵四边形为正方形， ∴， ，， ∴， ∴， 又∵，正方形的边长为4， ∴，， ∴，， ∴． 28．（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？    【答案】（1）①见解析；②;（2）或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的常见模型-“一线三等角”，熟悉相关模型的构成及求证是解题关键． （1）①根据可得即可求证；②根据可得，即可求解；（2）证得，分类讨论，，两种情况即可求解； 【详解】（1）①证明：由题意得： ∴ ∴ ∴ ②解：∵， ∴ ∵E为的中点， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵为等腰三角形且 ∴若，则； 若，则， ∴； 综上所述：或 29．（2024·河南周口·三模）在四边形中，是边上一点，在的右侧作 ，且 ，连接． (1)如图，当四边形是正方形时， ． (2)如图，当四边形是菱形时，求 （用含的式子表示）． (3)在（2）的条件下，且 如图，连接交于点；若为边的三等分点，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）作交的延长线于，证出，得到，再根据正四边形的性质得到，从而计算出，即，故，再根据，求出，从而可得出结论． （2）方法1：如图，在的延长线上取点，使得，证明，得出，则即可求解； 方法2：如图，连接，，证明，，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解； （3）作于点，则， 证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当四边形是正方形时，作交的延长线于． ， ， 又， ， 又，且， ， ，， ， ， ． （2）方法1：如图，在的延长线上取点，使得， 则， 又， ∴ ∴，， 由，得 ∴ ∴ 方法2：如图，连接，， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴ （3）由（2）知， ， ∵， ∴， 如图所示，连接交于点， ∵，则 ∴ ∴ 如图，作于点，则， ， 得 则 当，时， 当，时， 综上所述，或 30．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）矩形中，，（），点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F． 【特例证明】（1）如图（1），当时，求证：； 【类比探究】（2）如图（2），当时， ①求的值（用含k的代数式表示）． ②连接交于点H，连接，若，求k的值． 【拓展运用】（3）如图（3），当时，P为边上一点，连接、，若时，，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）①；②；（3）； 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由“”可证，即可求解； （2）①在上截取，连接，证明，即可求解； ②根据①中的证明方法解答即可； （3）由“”可证，可得，，由“AAS”可证，可证，由（2）①知，则得是中位线，由的长即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在上截取，连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，E是边的中点， ∴，， ∴， ∴； ②如图，设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长、交于Q， 当时，设，则， ∴，则， ∵，， ∴是等腰直角三角形 ∴， 作交的延长线于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作交于N， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． $$