专题03 解直角三角形（4个考点清单+8种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

专题03 解直角三角形（4个考点清单+8种题型解读） 目录 【考点题型一】锐角三角函数的定义 3 【考点题型二】已知函数值求边长 6 【考点题型三】求角的函数值 10 【考点题型四】特殊角的三角函数值 13 【考点题型五】解非直角三角形 15 【考点题型六】解直角三角形的应用-坡度坡角 19 【考点题型七】解直角三角形的应用-仰角俯角 23 【考点题型八】解直角三角形的应用-方向角 30 【知识点01】 锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；； 【知识点02】特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 【知识点03】解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【知识点04】解直角三角形的应用 (1)坡度坡角 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　 (3)方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 注意： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.　　　 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【考点题型一】锐角三角函数的定义 【例1】（23-24九年级上·湖南娄底·期末）在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 【变式1-2】（23-24九年级上·广西贺州·期末）在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 【变式1-3】（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（23-24九年级上·山西晋中·期末）在中，，，，则 ． 【考点题型二】已知函数值求边长 【例2】（24-25九年级上·全国·期末）在中，，如果，，那么的长是（     ）． A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24九年级上·广西崇左·期末）在中，，，，则的长为 ． 【变式2-2】（22-23九年级上·广西贺州·期末）如图，在菱形中，，，，则菱形的周长为 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，为的直径，C为圆上一点，且， ，D在上一点，过点D作的垂线交于点E，连接交于点F，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 【考点题型三】求角的函数值 【例3】（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）在中，，则 (  ) A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24九年级上·福建南平·期末）中，，，边上的中线，则为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则（   ） A． B． C． D． 【考点题型四】特殊角的三角函数值 【例4】（23-24九年级上·山东济南·期末）的相反数是（　　） A．1 B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·全国·期末）计算： 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·期末）计算：． 【变式4-3】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）求下列各式的值： (1)； (2)． 【考点题型五】解非直角三角形 【例5】（22-23九年级上·江苏·期末）已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 【变式5-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，D是边上一点，，设． (1)求的值； (2)若，求的长． 【变式5-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【变式5-3】（23-24九年级上·山东青岛·期末）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（）．如图（1），在中，，顶角的正对记作“”，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)如图（2），利用等腰直角三角形计算：______； (2)如图（3），在等腰中，，若，求的值． 【考点题型六】解直角三角形的应用-坡度坡角 【例6】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为 米． 【变式6-1】（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，一个斜坡长，其坡度为，则坡顶到水平地面的距离为 ． 【变式6-2】（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在外力作用下，一个滑块沿坡度为的斜坡向上移动了，此时滑块上升的高度是 ． 【变式6-3】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图是某建筑物的侧面图形．已知建筑物坡度为，总长为米，斜坡和平台形成为，从E点看D点的仰角为，斜坡长15米．求长度为 米．（结果保留根号）    【考点题型七】解直角三角形的应用-仰角俯角 【例7】（23-24九年级上·四川宜宾·期末）某学校的国旗的平台示意图如图，在操场上的A处，测得旗杆顶端N点的仰角是，前进20米到达旗台前梯步的底端B处，测得旗杆顶端N的仰角是，继续沿坡比为的梯步上升到C处（A、B、C与旗杆在同一平面上），测得旗杆顶端N的仰角是，旗杆垂直于水平线，点A、B、D在同一直线上，． (1)求证：； (2)求的长； (3)求旗杆的高度． 【变式7-1】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，校园内有一个横截面近似为的小土坡，坡度（或坡比），古树长在该土坡上，树干与水平线垂直，同学们选在阳光明媚的一天测量其高度．他们测得坡底点A与古树底端D的距离是，在坡底点C处沿着所在直线向右走了到达点F处，此时发现古树顶端E的影子与土坡最高点B的影子恰好在F处重合，在F处测得树顶E的仰角为．（参考数据：，，，）    (1)求土坡的水平距离； (2)求树高．（结果精确到） 【变式7-2】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度； (2)大树的高度约为多少米？ 【变式7-3】（23-24九年级上·江西宜春·期末）滕王阁(如图1)，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，它与湖南岳阳楼并称为“江南三大名楼”，某数学小组为了测量滕王阁的面的C处设立观测点，如图2，测得楼顶A的仰角为，再沿坡比为的斜坡前行到达平台E处，此时测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，） (1)求平台与地面的高度； (2)滕王阁的高度．（结果精确到） 【考点题型八】解直角三角形的应用-方向角 【例8】（24-25九年级上·四川巴中·期末） 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【变式8-1】（24-25九年级上·全国·期末）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图所示，海里，在处测得在北偏东的方向上，处测得在北偏西的方向上，在海岸线上有一灯塔，测得海里． (1)求出A与C距离（结果保留根号）． (2)已知在灯塔周围100海里范围内有暗礁群，我在处海监船沿前往处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：，，． 【变式8-2】（23-24八年级下·重庆·期末）人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．今年春季，某学校组织八年级学生去一公园踏青．公园内有如图所示的四边形循环步道．经测量，点在点的南偏东，点在点的正东方，点在点的东北方向米处，且点也在点的西北方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)已知从到有两条路线可走：路线①，路线②．路线①的步行速度为50米/分钟，路线②的步行速度为65米/分钟，请计算说明：走哪条线路更省时间？（结果保留一位小数） 【变式8-3】（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的东南方向米处，景点位于景点的北偏东方向米处，景点位于景点的北偏东方向，若景点与景点，都位于东西方向，且景点在同一直线上． (1)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） (2)小明从景点出发，从到到，小红从景点出发，从到到，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点．（参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 解直角三角形（4个考点清单+8种题型解读） 目录 【考点题型一】锐角三角函数的定义 3 【考点题型二】已知函数值求边长 6 【考点题型三】求角的函数值 10 【考点题型四】特殊角的三角函数值 13 【考点题型五】解非直角三角形 15 【考点题型六】解直角三角形的应用-坡度坡角 19 【考点题型七】解直角三角形的应用-仰角俯角 23 【考点题型八】解直角三角形的应用-方向角 30 【知识点01】 锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；； 【知识点02】特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 【知识点03】解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【知识点04】解直角三角形的应用 (1)坡度坡角 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　 (3)方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 注意： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.　　　 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【考点题型一】锐角三角函数的定义 【例1】（23-24九年级上·湖南娄底·期末）在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦的概念辨析、余弦的概念辨析、正切的概念辨析 【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断． 【详解】解：如下图， A. ，故该选项不成立，不符合题意； B. ，故该选项不成立，不符合题意； C. ，故该选项不成立，不符合题意； D. ，故该选项成立，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 【答案】A 【知识点】正切的概念辨析 【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在中，各边都扩大倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键． 【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化， 故选：． 【变式1-2】（23-24九年级上·广西贺州·期末）在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解、正弦的概念辨析、余弦的概念辨析、正切的概念辨析 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变． 【详解】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就不变． 故选：B． 【变式1-3】（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦的概念辨析 【分析】本题考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∴． ∴A，B，C正确，不符合题意，D错误，符合题意， 故选：D． 【变式1-4】（23-24九年级上·山西晋中·期末）在中，，，，则 ． 【答案】/ 【知识点】已知正弦值求边长、求角的正切值 【分析】此题主要考查解直角三角形．根据和的值可以求出斜边的值，再由勾股定理即可求得的值，知道了直角三角形的三边即可求得的值． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【考点题型二】已知函数值求边长 【例2】（24-25九年级上·全国·期末）在中，，如果，，那么的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】特殊三角形的三角函数、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直角三角形的特征，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值；根据可得，则，再根据直角三角形的特征求解即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 故选：． 【变式2-1】（23-24九年级上·广西崇左·期末）在中，，，，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正切值求边长 【分析】设，根据正切的定义，用含有的代数式表示出，应用勾股定理，即可求解，本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是：理解正切的定义． 【详解】解：设， ， ，即：，解得：， 由勾股定理可得：，即：， 解得：， ， 故答案为：5． 【变式2-2】（22-23九年级上·广西贺州·期末）如图，在菱形中，，，，则菱形的周长为 ． 【答案】20 【知识点】利用菱形的性质求线段长、已知余弦求边长 【分析】根据菱形的性质可得，结合，设，则，再建立方程求解k的值，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：20． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，锐角三角函数的应用，熟记锐角的余弦的定义，并灵活应用是解本题的关键． 【变式2-3】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，为的直径，C为圆上一点，且， ，D在上一点，过点D作的垂线交于点E，连接交于点F，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】3或 【知识点】圆周角定理、已知正切值求边长、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了正切的定义、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由圆周角定理可得，再根据正切可得，然后运用勾股定理可得；最后分和两种情况解答即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ①当时，过点F作于点H， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则． ∵， ∴，解得：， ∴； ②当时，连接，过点F作于点G，如图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵为直径， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，若是以为腰的等腰三角形，则的长为3或． 故答案为：3或． 【考点题型三】求角的函数值 【例3】（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）在中，，则 (  ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查求正弦值，根据正弦的概念，即可解答． 【详解】 由题意得：． 故选：A． 【变式3-1】（23-24九年级上·福建南平·期末）中，，，边上的中线，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、求角的正弦值 【分析】本题考查解直角三角形的性质，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后利用勾股定理得到长，然后计算正弦即可． 【详解】解：∵，边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【变式3-2】（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质和正切的定义是解题关键，过点C作交于点E计算即可． 【详解】解：如图，过点C作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴设，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式3-3】（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正切值、用勾股定理解三角形、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了解直角三角形，解决本题的关键是能得出，由题意得，从而得出，设则，由勾股定理得出，求得，即可得出答案． 【详解】如图， 由题意得：， ， 设则， ， 在中，， ， 故选：A． 【考点题型四】特殊角的三角函数值 【例4】（23-24九年级上·山东济南·期末）的相反数是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了相反数的定义，特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值以及相反数的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的相反数是， 故选：B． 【变式4-1】（24-25九年级上·全国·期末）计算： 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算、零指数幂、化简绝对值 【分析】先利用特殊角的三角函数值，绝对值化简，二次根式的混合运算，零指数幂，有理数的乘方化简各项，再进行加减计算，即可解题． 【详解】解：原式   ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值化简，二次根式的混合运算，零指数幂，有理数的乘方，正确运用法则是解题的关键． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·期末）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、负整数指数幂 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义，先根据特殊角的三角函数值，乘方、负整数指数幂的意义化简，再算加减． 【详解】解：原式． 【变式4-3】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先求得各特殊角的三角函数值，再进行实数混合计算即可； （2）先求得各特殊角的三角函数值，再进行实数混合计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型五】解非直角三角形 【例5】（22-23九年级上·江苏·期末）已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、解非直角三角形 【分析】（1）解，即可求解； （2）过点作于点，解，即可求解． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作于点， ∵中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键． 【变式5-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，D是边上一点，，设． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1)，， (2)的长为3 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题关键， （1）利用勾股定理求出的长，然后由三角函数的定义进行解题； （2）由（1）中正弦三角函数值可以求得斜边的长度，然后根据勾股定理求出的长度，则． 【详解】（1）解：在中， ， ， ，，； （2），， 在中，， ， ， ， ． 【变式5-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】解非直角三角形 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 【变式5-3】（23-24九年级上·山东青岛·期末）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（）．如图（1），在中，，顶角的正对记作“”，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)如图（2），利用等腰直角三角形计算：______； (2)如图（3），在等腰中，，若，求的值． 【答案】(1) (2)． 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，理解题中关于角的正对的定义是解题的关键． （1）根据题中正对的定义即可解决问题． （2）根据题中正对的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 因为是等腰直角三角形， 所以． 则， 即． 故答案为：； （2）解：过点作的垂线，垂足为， 因为，， 则， 所以． 在中， ， 所以， 在中， ． 所以． 【考点题型六】解直角三角形的应用-坡度坡角 【例6】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为 米． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键． 过B作地面于C，根据坡比求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过B作地面于C，如图所示： ，米 ， ， 在中 （米）， 物体从A到B所经过的路程为米， 故答案为：． 【变式6-1】（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，一个斜坡长，其坡度为，则坡顶到水平地面的距离为 ． 【答案】50 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是掌握正切的定义．根据正切的定义设， ，利用勾股定理列方程求出x，从而可得． 【详解】解：由题意可得：，， ∴设， ， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：50． 【变式6-2】（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在外力作用下，一个滑块沿坡度为的斜坡向上移动了，此时滑块上升的高度是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，是解答本题的关键． 根据题意设滑块沿斜坡向上移动了时，上升的高度为，利用坡度的定义，由勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：根据题意设： 滑块沿斜坡向上移动了时，上升的高度为， 斜坡的坡度为， 滑块水平距离为， 由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， 滑块上升的高度为， 故答案为：． 【变式6-3】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图是某建筑物的侧面图形．已知建筑物坡度为，总长为米，斜坡和平台形成为，从E点看D点的仰角为，斜坡长15米．求长度为 米．（结果保留根号）    【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】过点A作于点H，延长交于点G，作于点N，设，则，利用勾股定理可得，从而求得，根据题意可得，利用勾股定理求得，从而求得，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点A作于点H，延长交于点G，作于点N， 则中，设，则， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 则， 故答案为：．    【点睛】本题考查直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题、直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，根据题意并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【考点题型七】解直角三角形的应用-仰角俯角 【例7】（23-24九年级上·四川宜宾·期末）某学校的国旗的平台示意图如图，在操场上的A处，测得旗杆顶端N点的仰角是，前进20米到达旗台前梯步的底端B处，测得旗杆顶端N的仰角是，继续沿坡比为的梯步上升到C处（A、B、C与旗杆在同一平面上），测得旗杆顶端N的仰角是，旗杆垂直于水平线，点A、B、D在同一直线上，． (1)求证：； (2)求的长； (3)求旗杆的高度． 【答案】(1)见解析 (2)米 (3) 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据正方形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据已知条件求出，根据梯步的坡度为，得出，求出，得出，证明，根据等腰三角形的判定即可得出答案； （2）设长为x米，证明为等腰直角三角形，得出，解直角三角形得出，列出方程，求出x的值，即可得出答案； （3）过点C作于点E，证明四边形是正方形．得出，根据，求出米，即可得出答案． 【详解】（1）证明：由题意得：，，， ，， ∴，， ∴， ∵梯步的坡度为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设长为x米， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 解得：． ∴长为米． （3）解：过点C作于点E，如图所示： 则四边形是矩形． 在和中，，，，且， ∴， ∴四边形是正方形． ∴， 又∵， ∴， 解得：米， ∴米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握仰角俯角的定义和坡度坡角的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式7-1】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，校园内有一个横截面近似为的小土坡，坡度（或坡比），古树长在该土坡上，树干与水平线垂直，同学们选在阳光明媚的一天测量其高度．他们测得坡底点A与古树底端D的距离是，在坡底点C处沿着所在直线向右走了到达点F处，此时发现古树顶端E的影子与土坡最高点B的影子恰好在F处重合，在F处测得树顶E的仰角为．（参考数据：，，，）    (1)求土坡的水平距离； (2)求树高．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理．熟练掌握解直角三角形的应用，勾股定理是解题的关键． （1）由题意知，，，，则，由，计算求解可得； （2）如图，延长交于，则，由题意知，，由，可得，由勾股定理得，，可求，，则，，由，可求，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∵， ∴， ∵，即， 解得，， ∴土坡的水平距离为； （2）解：如图，延长交于，则，    由题意知，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴树高为． 【变式7-2】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度； (2)大树的高度约为多少米？ 【答案】(1)小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米 (2)大树的高度约为16.5米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）作于H，由斜坡的坡比为可得，则可得，根据勾股定理即可求出的长； （2）延长交于点G，设则，又由 ，得出，根据，得出，再根据，得出．最后根据，列出方程求解即可． 本题考查了勾股定理，解直角三角形，熟练掌握勾股定理的内容，解直角三角形的方法和步骤，以及正确画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 【详解】（1） 解：（1）作于H，如图1所示： 在中， ∵斜坡的坡比为， ， ， ， ， ． 答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米； （2） （2）如图2所示：延长交AE于点G，设， 由题意得，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ． ， ， 解得：． 答：大树的高度约为：16.5米． 【变式7-3】（23-24九年级上·江西宜春·期末）滕王阁(如图1)，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，它与湖南岳阳楼并称为“江南三大名楼”，某数学小组为了测量滕王阁的面的C处设立观测点，如图2，测得楼顶A的仰角为，再沿坡比为的斜坡前行到达平台E处，此时测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，） (1)求平台与地面的高度； (2)滕王阁的高度．（结果精确到） 【答案】(1) (2)滕王阁的高度约为 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由题意可知，过点作，根据斜坡坡比为，解直角三角形即可； （2）由题意可知，，，则，由（1）可知，，四边形为矩形，设，则，，在中，，解之即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知， 过点作， ∵斜坡坡比为，则设，， ∴，解得：， ∴，， 即：平台与地面的高度为； （2）由题意可知，，，则， 由（1）可知，，四边形为矩形， 则，， 设，则， ， 在中，， 可得：， 故滕王阁的高度约为． 【考点题型八】解直角三角形的应用-方向角 【例8】（24-25九年级上·四川巴中·期末） 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【答案】(1)渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里 (2)救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键． （1）过作于，根据题意求得，在中，根据垂线段最短和锐角三角函数定义求解即可； （2）先根据锐角三角函数定义求得，进而可得，在中，利用两点之间线段最短及锐角三角函数定义求解即可． 【详解】（1）解：过作于，则， 由题意可知，则， 在中，∵，， ∴． 答：渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴． 故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 【变式8-1】（24-25九年级上·全国·期末）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图所示，海里，在处测得在北偏东的方向上，处测得在北偏西的方向上，在海岸线上有一灯塔，测得海里． (1)求出A与C距离（结果保留根号）． (2)已知在灯塔周围100海里范围内有暗礁群，我在处海监船沿前往处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：，，． 【答案】(1)与的距离为海里 (2)海监船沿前往处盘查，无触礁的危险 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中． （1）如图所示，过点作于点，可求得，，设，在与中，分别表示出、的长度，然后根据海里，代入、的式子，求出的值，继而可求出的长度； （2）如图所示，过点作于点，在中，根据的值，利用三角函数的知识求出的长度，然后与100比较，进行判断． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 可得，， 设， 在中，， 在中，， 海里， ， 解得：， 则， 答：与的距离为海里； （2）解：如图所示，过点作于点， 在中， ，， ， 故海监船沿前往处盘查，无触礁的危险． 【变式8-2】（23-24八年级下·重庆·期末）人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．今年春季，某学校组织八年级学生去一公园踏青．公园内有如图所示的四边形循环步道．经测量，点在点的南偏东，点在点的正东方，点在点的东北方向米处，且点也在点的西北方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)已知从到有两条路线可走：路线①，路线②．路线①的步行速度为50米/分钟，路线②的步行速度为65米/分钟，请计算说明：走哪条线路更省时间？（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)走路线②的步行时间短，见解析 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）根据，得到等腰直角，求得，解直角三角形求的长度即可． （2）根据题意，得，得到；根据，求得路线长，计算时间比较即可． 本题考查了方向角的应用，解直角三角形的计算，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ （2）根据题意，得， ∴； ∴路线①的总距离为， 故用时间为； 路线②的总距离为， 故用时间为； ∵， 故走路线②的步行时间短． 【变式8-3】（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的东南方向米处，景点位于景点的北偏东方向米处，景点位于景点的北偏东方向，若景点与景点，都位于东西方向，且景点在同一直线上． (1)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） (2)小明从景点出发，从到到，小红从景点出发，从到到，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点．（参考数据：） 【答案】(1)景点与景点之间的距离为米 (2)小红先到达景点，理由见解析 【知识点】根据矩形的性质求线段长、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（）过点作于点，解直角三角形求出，即可求出点与景点之间的距离； （）过点作于点，过点作于点，解直角三角形求出，分别计算出两人所走的路程，即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，矩形的性质，根据题意，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于点， 在中，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 答：景点到景点的距离为米； （2）解：过点作于点，过点作于点， 则， ∴四边形为矩形， 在中，， ∴， ∴，， 又∵四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴小明所走的路程为米， 小红所走的路程为米， ∵且两人速度相同， ∴小红先到达景点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$