专题02 反比例函数（考题猜想，易错必刷34题7种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

专题02 反比例函数（易错必刷34题7种题型专项训练） 目录 【题型一】已知比例系数求特殊图形的面积（共6题） 1 【题型二】根据图形面积求比例系数（解析式）（共7题） 7 【题型三】反比例函数与平行四边形的综合问题（共3题） 13 【题型四】反比例函数与矩形的综合问题（共4题） 21 【题型五】反比例函数与菱形的综合问题（共4题） 30 【题型六】反比例函数与正方形的综合问题（共4题） 37 【题型七】反比例函数与实际应用的综合（共6题） 45 【题型一】已知比例系数求特殊图形的面积（共6题） 1．（23-24九年级上·陕西汉中·期末）如图，是反比例函数的图象上一点，是轴正半轴上一点，连接，若，则的面积是 ． 【答案】4 【知识点】三线合一、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，作于点，由等腰三角形的性质可得，得到，再由反比例函数系数的几何意义可得，即可得解，熟练掌握反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴交x轴于点B，点C、D均在y轴上，且，的值为 ． 【答案】6 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义．证明四边形是平行四边形，由反比例函数比例系数k的几何意义结合平行四边形的面积公式即可得解． 【详解】解：∵点A是反比例函数的图象上一点， ∴设点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：6． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 【答案】2 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：2． 4．（23-24九年级上·山西大同·期末）如图，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在反比例函数的图像上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是 ． 【答案】3 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、利用平行四边形的性质求解、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，过点B作轴于点D，延长交y轴于点E，根据平行四边形，得到轴于点E，结合平行四边形的性质，解答即可． 【详解】过点B作轴于点D，延长交y轴于点E， ∵平行四边形，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵顶点在反比例函数的图像上，顶点在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， 故答案为：3． 5．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点A，B是曲线上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，构成多个矩形分别代表所在的小矩形的面积，则的值是 ． 【答案】0 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．设图中阴影部分的矩形面积为S，根据反比例函数比例系数的几何意义得：，由此可得出的值． 【详解】解：设图中阴影部分的矩形面积为S， 根据反比例函数比例系数的几何意义得： ， ． 故答案为：0． 6．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，动点M在反比例函数的图象上，过点M分别作轴，轴，垂足分别为P，Q，直线分别交，于点C，D． （1）矩形的面积为 ． （2）的值为 ． 【答案】 9 18 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，涉及等腰三角形的判定和性质和两点之间的距离， 设点M的坐标，可得点Q和点P坐标，即可求得面积； 根据一次函数的解析式解得点A和点B的坐标，利用等腰直角三角形的性质可得点D和点C的坐标，结合两点之间距离即可求得答案． 【详解】解：（1）设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为． ； 故答案为：9； （2）由题意，可得点，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点的坐标为． 同理，可得点的坐标为， ，， ，即． 故答案为：18． 【题型二】根据图形面积求比例系数（解析式）（共7题） 7．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，双曲线上有一点，过点作轴于点，的面积为，则该双曲线的解析式为 ． 【答案】/ 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数中中“”的几何意义即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵反比例函数的图象在二、四象限， ∴， ∵， ∴， ∴，即可得双曲线的表达式为：， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，第二象限内的点满足，反比例函数的图象经过点，若的面积为2，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的纵横坐标之积等于值．设点的坐标为，由等腰三角形三线合一得，根据面积公式列出关于、的方程，解出、之积即是值． 【详解】解：设点坐标为， ， ， 等腰三角形边上的高， ， ，即． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，若，则的值为 ．    【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 由于，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后结合函数的图象所在的象限解方程得到满足条件的的值． 【详解】解：∵， ， ， 而， ． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，如图，已知双曲线与直线交于、两点，轴于点，若，则 ． 【答案】4 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】作轴，设的坐标是，得到的坐标是，则，，，，结合，代入即可求解， 本题考查了，反比例函数根据图形面积求比例系数，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的性质． 【详解】解：如解图，过点作轴于， 设的坐标是，根据双曲线的两个分支关于原点对称，的坐标是，则，，，， ∵， ∴，即，解得：， 故答案为：4． 11．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C在x轴上，且，若的面积为3，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查已知图形面积求反比例函数的比例系数值，根据三角形的中线平分面积，得到，结合值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：∵，的面积为3， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，轴于点B， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 12．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，平面直角坐标系中有一个由个边长为的正方形所组成的图形，反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为点，点，若线段把该图形分成面积为的两部分，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，根据图形面积求比例系数，解一元一次方程等．根据题意可得线段把该图形分成面积为和的两部分，得出点的纵坐标为，点的纵坐标为，代入反比例解析式求出点和点的坐标，得出，，，求出梯形的面积，再加上个小正方形的面积，可得出线段的左侧部分图形的面积，据此列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图： ∵线段把该图形分成面积为的两部分，且图形的总面积是， ∴线段把该图形分成面积为和的两部分， 根据题意可得点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为点，点， 故，， 则，，， 故梯形的面积为：， 即或， 解得：或． 故答案为：或． 13．（23-24八年级下·浙江金华·期末）点是反比例函数图像上一点，过点作轴、轴的平行线，交反比例函数的图象于两点，连接，若，则 ． 【答案】或 【知识点】坐标与图形、反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义、坐标与图形，设，则，，则，，，由或求解k值即可． 【详解】解：由题意，设，则，，如图，    则，，， 由得 ， 整理，得，又， 解得； 同理，如图，    由得 ， 整理，得，又， ∴， 综上，满足条件的k值为或， 故答案为：或． 【题型三】反比例函数与平行四边形的综合问题（共3题） 14．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，、为第一象限中两点，为轴正半轴上一点，且四边形为平行四边形，已知，，反比例函数的图像经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)若反比例函数的图像经过中点，把向上平移，对应得到，当在的图像上时，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、利用平行四边形的性质求解 【分析】过作于，根据勾股定理得到，求得，得到，于是得到结论； 根据平行四边形的性质得到，，得到点的纵坐标为，把代入得得到，过作轴于，根据勾股定理得到，把代入即可得到结论． 【详解】（1）解：过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴点的纵坐标为， ∵点是的中点， ∴点的纵坐标为， ∴把代入得，， ∴， ∵， ∴， 过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得，， ∵把向上平移，对应得到▱，当在的图象上时， ∴ ． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 15．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直线上，若，则四边形是半对角四边形． (1)如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，则______． (2)如图3，以的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)如图4，在（2）的条件下，若点E是反比例函数图像上的动点，当点E运动时，点B恰好在反比例函数的图像上运动，请直接写出k的值______． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)8 【知识点】利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定、反比例函数与几何综合、坐标与图形 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形、反比例函数图像上点的坐标特征等知识，理解题中定义，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据平行四边形的性质得到，， ，再根据题中定义得到，然后得到，根据等角对等边得到，进而可求解； （2）先根据平行四边形的性质得到，，进而证得，根据等边对等角得到，然后利用三角形的外角性质推导出，进而根据题中定义可得结论； （3）根据等腰三角形的判定推导出E为的中点，设，利用中点坐标公式可得，，进而可得点B的坐标为，利用反比例函数图像上点的坐标特征可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴， ∵四边形为半对角四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是半对角四边形； （3）解：由（2）知，，， ∵， ∴， ∴，则， ∴E为的中点， 设，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 由题意，点B的坐标为， ∵点E是反比例函数图像上，点B恰好在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， 故答案为：8． 16．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图1，已知点，，且a、b满足，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线上经过C、D两点.                  (1)求k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求出其值. 【答案】(1) (2)或或 (3)不变， 【知识点】利用平行四边形的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、反比例函数与几何综合、坐标与图形 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，得出A、B两点的坐标，设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t，由D的坐标即可求出反比例函数表达式； （2）由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标． （3）连接，易证，故，，，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴， ∴，， ∴，， ∵E为中点，且横坐标为，根据中点坐标的计算方法， ∴， 设， 由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B， 则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点， ∴， ∴， ∴，， ∵D点在反比例函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点P在双曲线上，点Q在y轴上， ∴设，， ①当为边时： 如图1所示：若为平行四边形， ∵，，则， 解得， 此时，； 如图2所示，若为平行四边形， ∵，，则， 解得， 此时，； ②如图3所示，当为对角线时：，且； ∵，， ∴， 解得， ∴，； 故点Q的坐标为：或或； （3）解：如图4，连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 四边形中，，而， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式等知识，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键，当然除用中点坐标公式外，也可通过构造全等三角形来解决第（1）题和第（2）题． 【题型四】反比例函数与矩形的综合问题（共4题） 17．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，矩形的两边的长分别为3，8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F. (1)若点B坐标为，求m的值； (2)若，求反比例函数的表达式? 【答案】(1) (2) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了求反比例函数、矩形的性质、勾股定理等知识点，掌握反比例函数的定义成为解题的关键． （1）根据矩形的性质可得E两点坐标，再根据反比例函数的特征求解即可； （2）根据勾股定理可得的长，根据线段的和差可得，可得F点坐标，再根据根据待定系数法求得m的值即可． 【详解】（1）解：点B坐标为，，E是的中点， ∴点， 函数图象经过E点， ∴． （2）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，则， 设E点坐标为，则F点坐标为， ∵E，F两点在函数图象上， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 18．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，轴于点A．点D为边中点，过点D作交该函数图象于点E，过点E作轴于点F，过点E的正比例函数的图象与该函数的另一个交点为点G． (1) ． (2)求点E的坐标及四边形的面积． (3)当正比例函数的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)8 (2)，四边形的面积为4 (3)或 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据正方形的性质与判定求面积、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用函数图象求出不等式的取值范围是解题的关键． （1）直接把点代入反比例函数，求出的值即可； （2）根据点为边中点求出点坐标，进而可得出点坐标，由轴，轴可知四边形是正方形，进而可得出其面积； （3）先求出点坐标，再由函数图象可直接得出结论． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， 解得， 故答案为：8； （2）解：∵点为边中点，， ∴， ∵， ∴反比例函数的解析式为， ∵交该函数图象于点， ∴当时，， 解得， ∴， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积； （3）解：∵， ∴， ∴当或时，正比例函数的值大于反比例函数的值． 19．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，反比例函数分别与边、交于E、F两点，连接、，作直线EF分别交y轴、x轴于点G、H． (1) _______（填“”、“”、“”）； (2)若，，，求k的值； (3)当，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】矩形性质理解、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数k值意义，矩形的性质，待定系数求一次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）利用k的几何意义求解即可； （2）先求出，，利用待定系数法求出的解析式，再求出H的坐标，然后根据得出关于k的方程，求解即可； （3）设，，利用矩形的性质，k的几何意义可求出，，，，，利用待定系数法求出的解析式，再求出H的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数分别与矩形的边、交于E、F两点， ∴ ，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵反比例函数分别与矩形的边、交于E、F两点，，， ∴， 设的解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：设，，则，， ∴， ∴， ∴，， 设的解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴． 20．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图1，将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为，过点作轴的平行线交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，当点与点重合时，求点的坐标； (3)如图3，在(2)的条件下，点是线段上一动点，点是线段上一动点，过点的反比例函数的图象与线段相交于点，连接，，，，当四边形的周长最小时，求点，点的坐标． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)点的坐标为，点的坐标为 【知识点】证明四边形是菱形、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、反比例函数与几何综合 【分析】（1）由题意得出，推出，由折叠的性质得出，，从而得出，推出四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）由折叠可得，由勾股定理可得，推出，设，则，，再由勾股定理计算即可得解； （3）由(2)得坐标为，设点坐标为，根据反比例函数的性质得出坐标为，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，则，，连结，，得出，，四边形的周长，推出当四点共线时四边形的周长最小，待定系数法求出直线的解析式为：，即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且轴 折叠纸片使点落在轴上点处，折痕为， ，， ∴ 四边形是平行四边形 又 四边形为菱形． （2）解：点与点重合， 设，则，， 在中，，即， 解得， 点的坐标为； （3）解：由(2)得坐标为， 设点坐标为， 点都在反比例函数的图象上， ，， 即：， 解得， 坐标为， 作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，则，， 连结， ，， 四边形的周长， 当四点共线时四边形的周长最小， 设直线的解析式为，把，，代入，得 ， 解得， 直线的解析式为：， 令，即，得， 点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定定理、勾股定理、反比例函数的图象与性质、一次函数的应用、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【题型五】反比例函数与菱形的综合问题（共4题） 21．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点O与坐标原点重合，顶点B在x轴正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图像经过点D． (1)求的长及k的值； (2)反比例的图像上存在点E，使得的面积为，求点E的坐标． 【答案】(1)5，22 (2)或 【知识点】利用菱形的性质求线段长、已知两点坐标求两点距离、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数与几何，平行四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用两点间距离公式求即可，利用平行四边形的性质可得出D的坐标，然后把D的坐标代入求解即可； （2）设E的纵坐标为，则E到的距离为，然后利用的面积求，在把代入反比例函数解析式求出E的横坐标即可． 【详解】（1）解∶∵点A的坐标为 ∴， ∵菱形， ∴，轴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 代入，得； （2）解：设E的纵坐标为，则E到的距离为， ∵的面积为， ∴， 解得或2， 由（1）知：反比例函数解析式为， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴E的坐标为或． 22．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和荾形，点，在轴上，以点为圆心，长为半径作，连接    (1)求值； (2)计算图形阴影部分面积之和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求其他不规则图形的面积、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．涉及菱形的性质，扇形的面积． （1）直接将点代入解析式求值即可； （2）利用分割法得到，求解即可． 正确的求出函数解析式，掌握相关图形的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）∵点在反比例函数图象上， ； （2）连接交于点．      ∵四边形是菱形   ∴与相互垂直平分,， ∴，， ∴是等边三角形 ， 又 ． 23．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图1，菱形的边在平面直角坐标系中的x轴上，菱形对角线交于点，过点C的反比例函数与菱形的边交于点E．    (1)求点C的坐标和反比例函数的表达式； (2)如图2，连接，求出的面积． 【答案】(1)， (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合 【分析】（1）由中点坐标公式求出点C的坐标，再用待定系数法即可求解的表达式； （2）先求出点B的坐标，再求出点E的坐标，然后用割补法求得的面积，即可求解． 【详解】（1）解：由菱形的性质知，点M是A，C的中点， ∵，， 由中点坐标公式，， 则， ， 即点， 将点代入反比例函数表达式得：， 则反比例函数的表达式为：； （2）解：过E作于点H，交y轴于点P，如图所示：    设， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴，即， 设的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 则的解析式为， 联立①②式，即， 解得（舍去），， 即 那么． 【点睛】本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、菱形的性质等，有一定的综合性，难度适中． 24．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上的一个动点，过点A作轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以为边作菱形，过点D作轴于点F，交反比例函数的图象于点E． (1)已知当时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是 　 　，点D的横坐标是 　 　，求该反比例函数的表达式； (2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求的值． 【答案】(1)3，8：y= (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）过点C作于点T，利用菱形面积求出，再利用勾股定理求出，从而可设出点C的坐标为，则点A的坐标为，得到，求出m的值即可得到答案； （2）设点，过点C作轴于点N，交于点M，利用菱形面积得到，即可得到点C的纵坐标为，则，进一步推出，点D的坐标为，点E的坐标为，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：过点C作于点T， ∴菱形面积， ∴， 在中，， ∴， ∴点C的横坐标为3，点D的横坐标为， 设点C的坐标为，则点A的坐标为， ∴， 解得：， ∴，， ∴反比例函数的表达式为：，， 故答案为：3，8； （2）解：设点，过点C作轴于点N，交于点M， ∵菱形面积是48， ∴， ∴， ∴点C的纵坐标为， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，正确利用菱形的面积求出对应线段的长度是解题的关键 【题型六】反比例函数与正方形的综合问题（共4题） 25．（23-24九年级上·山东济宁·期末）正方形的边长为4，交于点．在点处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点，完成填空：点的坐标是______．点的坐标是______，双曲线的解析式是______． (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点．当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)满足条件的的值为2或 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质和正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的边长可确定点的坐标，再利用正方形的性质得出点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可； （2）根据点的坐标求出的长，再分两种情况讨论分别求出的值即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为交于点， ∵点是的中点， 将点坐标代入双曲线， 得， 解得， ∴双曲线的解析式为； （2）∵正方形边长为4， 由（1）知， ①当时， ∵，点、在反比例函数图象上， ②当时，点与点重合， ∵，点、在反比例函数图象上， 综上所述，满足条件的的值为2或． 26．（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点A在正比例函数图象上，过点A作轴于点B，四边形是正方形，点D是反比例函数图象上． (1)若点A的横坐标为，求k的值； (2)若设正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k值． 【答案】(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，利用正方形的边长相等来表示各个点坐标是解题的关键； （1）先求A的横坐标，就可以得到D的坐标，即可得出结论； （2）由正方形的面积为m，得出边长，可表示出D和A的纵坐标，进而求出D的坐标，代入反比例函数即可． 【详解】（1）点A的横坐标为，在正比例函数图象上， 当时，， A的坐标为：， 点A作轴于点B，四边形是正方形， ， ， D的坐标为：， 点D是反比例函数图象上 ， （2）正方形的面积为m， ， 点D和A得纵坐标为， A的坐标为：， ， D的坐标为：， 代入得： 27．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，正方形的边长为3，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)点是对角线上的一个动点，在（2）的条件下，是否存在点，使得的值最小？如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)反比例函数的解析式为 (3)存在， 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、正方形的性质，在解答此题时要注意整体思想的运用． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得出，故可得出结论； （2）根据列方程，解方程即可得出m的值，进而可得出反比例函数的解析式； （3）根据题意可得直线与的交点即为点P，求出直线的解析式，进而得到P点的坐标即可． 【详解】（1）证明：正方形的边长为3， ∴，， ∵点E和F在上， ∴点E的坐标为，点F的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴反比例函数解析式为； （3）解：由题可知点E，F关于直线对称， 则连接交于点P，则长最小， ∵点F的坐标为，点D的坐标为， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 同理可求：直线的解析式为， 解方程组得， ∴点的坐标为． 28．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)①的值为4；②m，的值为1，3； (2)当时，； (3) 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论； ②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论； （2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可； （3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得． ，的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； （3）解：由（2）得，，又， ∴， ，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ， 设，， ，， 点是的中点， ； ， ， 点在上， ，整理得， （舍）或； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用，表达出点，的坐标是解题关键． 【题型七】反比例函数与实际应用的综合（共6题） 29．（22-23八年级下·四川乐山·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示．    (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； (2)问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？ 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，下降阶段的函数关系式为． (2)15小时 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、求反比例函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可； （2）根据题意得出在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围． 【详解】（1）解：当时，设直线解析式为：， 将代入得：，解得：， 故直线解析式为：； 当时，设反比例函数解析式为： ， 将代入得： ，解得：a=32， 故反比例函数解析式为： ； 所以血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为， 下降阶段的函数关系式为． （2）解：如图：由题意：，解得：；，， ∴ ∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间为15小时．    【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意得出函数解析式是解题关键． 30．（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 31．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）综合实践：自制密度秤测量液体密度． 问题情境：实验小组利用天平制作了一台密度秤．如图，支点固定不变，左侧托盘固定在点，，托盘上放置质量为的砝码；右侧托盘点在上滑动，，托盘上放置纸杯，实验时分别向杯中倒入的不同液体，滑动点，使天平保持平衡．（杠杆原理：砝码的质量杯中液体的质量．液体的质量液体的密度体积，） 问题解决： (1)设右侧托盘液体的密度为，的长为，若，求关于的函数表达式．并求出的取值范围． (2)若在纸杯中倒入的水时，滑动点，当点到达点处时，天平保持平衡：若向纸杯中倒入等体积的某种液体后，点从点向右滑动至点处，天平保持平衡．刻度显示：点处的读数正好是点处的读数的，求这种液体的密度． 【答案】(1)； (2) 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，根据杠杆平衡条件列出等式． （1）根据杠杆平衡条件，列出函数解析式，根据，求出的取值范围即可； （2）设点处的读数为，则点N处的读数为，根据杠杆平衡条件得出，根据，求出． 【详解】（1）解：根据杠杆平衡原理可得：， 即， ∴， ∵， ∴； （2）解：设点处的读数为，则点N处的读数为， 即，， 根据杠杆平衡条件得：， ， ∴， 即， ∵， ∴． 32．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2． (1)请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数． (2)求关于的函数表达式． (3)移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 【答案】(1)图见解析，反比例函数 (2) (3) 【知识点】判断（画）反比例函数图象、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）描线，画出函数图象即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据反比例函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图： 它是反比例函数． （2）设这个反比例函数的表达式为 由图像可知，图像过， ∴， ∴． （3）时，中随的增大而减小， 当的值最大时，最小． 即当时， 33．（23-24八年级下·江苏常州·期末）古希腊数学家、物理学家阿基米德曾说过一句豪言壮语：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话夸赞的其实是“杠杆原理”．如图1，“杠杆原理”可通俗地理解为：动力×动力臂=阻力×阻力臂．生活中，筷子、剪刀、羊角锤、钓鱼竿、跷跷板……，“杠杆原理”的应用无处不在． (1)最简单的“杠杆原理”应用：天平． 如图2，天平两端的托盘底部中心与支点的距离分别是、，且，设左侧托盘所放物体的质量是，右侧托盘所放砝码的质量是．当游码归零时，天平恰好保持平衡，由“杠杆原理”得与的数量关系为__________； (2)现代人的杠杆智慧：手机自拍杆． 如图3，一只手的握点O为支点，另一只手在点A处竖直向上用力，手机放置在自拍杆的点B处，且自拍杆与水平方向的夹角始终保持不变，手机的重力是，由“杠杆原理”得： ①当点A固定，增大时，所用的力F__________（填“增大”或“减小”）； ②当点B固定，增大时，所用的力F__________（填“增大”或“减小”）； (3)古代人的杠杆智慧：杆秤． 如图4，将质量为的待测物挂于秤钩处，提起提纽，在秤杆上移动质量为的秤砣，，，秤杆总长度是． ①当秤杆保持水平时，m与l的函数表达式为__________，m的最大值是___________； ②将待测物与秤砣互换位置，在秤杆上移动待测物．当秤杆保持水平时，求m与l的函数表达式．此时，m是否有最大值？请说明理由． 【答案】(1) (2)①增大；②减小 (3)①，19；②，没有最大值，理由见解析 【知识点】实际问题与反比例函数、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了正比例函数，反比例函数的应用，正确理解题意，弄清楚各量间的数量关系是解题的关键． （1）由“杠杆原理”得，再根据即得答案； （2）由“杠杆原理”得，所以，①根据正比例函数的性质，即可得到答案；②根据反比例函数的性质，即可得到答案； （3）①根据“杠杆原理”得，再根据正比例函数的性质，即可解答；②根据“杠杆原理”得，再根据反比例函数的性质，即可解答． 【详解】（1）由“杠杆原理”得，而， 所以； 故答案为：． （2）由“杠杆原理”得， 所以 ①当点A固定，增大时，和G不变，所以F是关于正比例函数，所以当增大时，所用的力F也随之增大； ②当点B固定，增大时，和G不变，所以F是关于反比例函数，所以当增大时，所用的力F反而减小； 故答案为：①增大；②减小． （3）①根据“杠杆原理”得， ， ， ， ， ， 随着l的增大而增大， 当时，取最大值，最大值为19； 故答案为：，19． ②由“杠杆原理”得， 与l的函数表达式为， 根据反比例函数的性质， m随l的增大而减小， ， 没有最大值． 34．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)1 (2)见解析，减小 (3)不能，理由见解析 【知识点】实际问题与反比例函数、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数关系式及其应用： （1）①选用相应的已知值代入函数解析式求解即可；②描点，连线得出函数图象， （2）观察函数图象解答即可； （3）先求出电子称通过最大电流时的电阻，再求出质量与电阻之间的函数关系式，代入最大电阻即可得出电子体重秤可称的最大质量，进而判断是否能称出质量为 的物体的质量． 【详解】（1）①解：∵， 当时，； ②描点，连线，如图： （2）观察图象可知，电流随可变电阻的增大而减小，可变电阻随物体质量m的增大而减小， 故电流随物体质量m的增大而减小， 故答案为：减小； （3）不能，理由如下： 当电流取最大时，电子秤所称重的质量最大，此时接入电阻值最小， 即，， ∴， 设， 当时，，代入得：； 当，代入得，，解得，； ∴与的关系式为； 当时，， 解得， 即电子体重秤可称的最大质量为千克， 所以该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． $$专题02 反比例函数（易错必刷34题7种题型专项训练） 目录 【题型一】已知比例系数求特殊图形的面积（共6题） 1 【题型二】根据图形面积求比例系数（解析式）（共7题） 7 【题型三】反比例函数与平行四边形的综合问题（共3题） 13 【题型四】反比例函数与矩形的综合问题（共4题） 21 【题型五】反比例函数与菱形的综合问题（共4题） 30 【题型六】反比例函数与正方形的综合问题（共4题） 37 【题型七】反比例函数与实际应用的综合（共6题） 45 【题型一】已知比例系数求特殊图形的面积（共6题） 1．（23-24九年级上·陕西汉中·期末）如图，是反比例函数的图象上一点，是轴正半轴上一点，连接，若，则的面积是 ． 2．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴交x轴于点B，点C、D均在y轴上，且，的值为 ． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 4．（23-24九年级上·山西大同·期末）如图，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在反比例函数的图像上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是 ． 5．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点A，B是曲线上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，构成多个矩形分别代表所在的小矩形的面积，则的值是 ． 6．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，动点M在反比例函数的图象上，过点M分别作轴，轴，垂足分别为P，Q，直线分别交，于点C，D． （1）矩形的面积为 ． （2）的值为 ． 【题型二】根据图形面积求比例系数（解析式）（共7题） 7．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，双曲线上有一点，过点作轴于点，的面积为，则该双曲线的解析式为 ． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，第二象限内的点满足，反比例函数的图象经过点，若的面积为2，则的值为 ． 9．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，若，则的值为 ．    10．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，如图，已知双曲线与直线交于、两点，轴于点，若，则 ． 11．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C在x轴上，且，若的面积为3，则m的值为 ． 12．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，平面直角坐标系中有一个由个边长为的正方形所组成的图形，反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为点，点，若线段把该图形分成面积为的两部分，则的值为 ． 13．（23-24八年级下·浙江金华·期末）点是反比例函数图像上一点，过点作轴、轴的平行线，交反比例函数的图象于两点，连接，若，则 ． 【题型三】反比例函数与平行四边形的综合问题（共3题） 14．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，、为第一象限中两点，为轴正半轴上一点，且四边形为平行四边形，已知，，反比例函数的图像经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)若反比例函数的图像经过中点，把向上平移，对应得到，当在的图像上时，求的坐标． 15．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直线上，若，则四边形是半对角四边形． (1)如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，则______． (2)如图3，以的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)如图4，在（2）的条件下，若点E是反比例函数图像上的动点，当点E运动时，点B恰好在反比例函数的图像上运动，请直接写出k的值______． 16．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图1，已知点，，且a、b满足，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线上经过C、D两点.                  (1)求k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求出其值. 【题型四】反比例函数与矩形的综合问题（共4题） 17．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，矩形的两边的长分别为3，8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F. (1)若点B坐标为，求m的值； (2)若，求反比例函数的表达式? 18．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，轴于点A．点D为边中点，过点D作交该函数图象于点E，过点E作轴于点F，过点E的正比例函数的图象与该函数的另一个交点为点G． (1) ． (2)求点E的坐标及四边形的面积． (3)当正比例函数的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围． 19．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，反比例函数分别与边、交于E、F两点，连接、，作直线EF分别交y轴、x轴于点G、H． (1) _______（填“”、“”、“”）； (2)若，，，求k的值； (3)当，时，求的值． 20．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图1，将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为，过点作轴的平行线交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，当点与点重合时，求点的坐标； (3)如图3，在(2)的条件下，点是线段上一动点，点是线段上一动点，过点的反比例函数的图象与线段相交于点，连接，，，，当四边形的周长最小时，求点，点的坐标． 【题型五】反比例函数与菱形的综合问题（共4题） 21．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点O与坐标原点重合，顶点B在x轴正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图像经过点D． (1)求的长及k的值； (2)反比例的图像上存在点E，使得的面积为，求点E的坐标． 22．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和荾形，点，在轴上，以点为圆心，长为半径作，连接    (1)求值； (2)计算图形阴影部分面积之和． 23．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图1，菱形的边在平面直角坐标系中的x轴上，菱形对角线交于点，过点C的反比例函数与菱形的边交于点E．    (1)求点C的坐标和反比例函数的表达式； (2)如图2，连接，求出的面积． 24．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上的一个动点，过点A作轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以为边作菱形，过点D作轴于点F，交反比例函数的图象于点E． (1)已知当时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是 　 　，点D的横坐标是 　 　，求该反比例函数的表达式； (2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求的值． 【题型六】反比例函数与正方形的综合问题（共4题） 25．（23-24九年级上·山东济宁·期末）正方形的边长为4，交于点．在点处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点，完成填空：点的坐标是______．点的坐标是______，双曲线的解析式是______． (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点．当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 26．（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点A在正比例函数图象上，过点A作轴于点B，四边形是正方形，点D是反比例函数图象上． (1)若点A的横坐标为，求k的值； (2)若设正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k值． 27．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，正方形的边长为3，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)点是对角线上的一个动点，在（2）的条件下，是否存在点，使得的值最小？如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 28．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【题型七】反比例函数与实际应用的综合（共6题） 29．（22-23八年级下·四川乐山·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示．    (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； (2)问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？ 30．（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 31．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）综合实践：自制密度秤测量液体密度． 问题情境：实验小组利用天平制作了一台密度秤．如图，支点固定不变，左侧托盘固定在点，，托盘上放置质量为的砝码；右侧托盘点在上滑动，，托盘上放置纸杯，实验时分别向杯中倒入的不同液体，滑动点，使天平保持平衡．（杠杆原理：砝码的质量杯中液体的质量．液体的质量液体的密度体积，） 问题解决： (1)设右侧托盘液体的密度为，的长为，若，求关于的函数表达式．并求出的取值范围． (2)若在纸杯中倒入的水时，滑动点，当点到达点处时，天平保持平衡：若向纸杯中倒入等体积的某种液体后，点从点向右滑动至点处，天平保持平衡．刻度显示：点处的读数正好是点处的读数的，求这种液体的密度． 32．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2． (1)请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数． (2)求关于的函数表达式． (3)移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 33．（23-24八年级下·江苏常州·期末）古希腊数学家、物理学家阿基米德曾说过一句豪言壮语：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话夸赞的其实是“杠杆原理”．如图1，“杠杆原理”可通俗地理解为：动力×动力臂=阻力×阻力臂．生活中，筷子、剪刀、羊角锤、钓鱼竿、跷跷板……，“杠杆原理”的应用无处不在． (1)最简单的“杠杆原理”应用：天平． 如图2，天平两端的托盘底部中心与支点的距离分别是、，且，设左侧托盘所放物体的质量是，右侧托盘所放砝码的质量是．当游码归零时，天平恰好保持平衡，由“杠杆原理”得与的数量关系为__________； (2)现代人的杠杆智慧：手机自拍杆． 如图3，一只手的握点O为支点，另一只手在点A处竖直向上用力，手机放置在自拍杆的点B处，且自拍杆与水平方向的夹角始终保持不变，手机的重力是，由“杠杆原理”得： ①当点A固定，增大时，所用的力F__________（填“增大”或“减小”）； ②当点B固定，增大时，所用的力F__________（填“增大”或“减小”）； (3)古代人的杠杆智慧：杆秤． 如图4，将质量为的待测物挂于秤钩处，提起提纽，在秤杆上移动质量为的秤砣，，，秤杆总长度是． ①当秤杆保持水平时，m与l的函数表达式为__________，m的最大值是___________； ②将待测物与秤砣互换位置，在秤杆上移动待测物．当秤杆保持水平时，求m与l的函数表达式．此时，m是否有最大值？请说明理由． 34．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． $$