专题01-2 反比例函数（6个考点清单+9种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

专题01-2 反比例函数（6个考点清单+9种题型解读） 目录 【考点题型一】根据定义判断是否是反比例函数 4 【考点题型二】判断点是否在反比例函数上 6 【考点题型三】已知双曲线发布的象限求参数范围 8 【考点题型四】判断反比例函数的增减性 10 【考点题型五】反比例函数的图象和性质 11 【考点题型六】比较反比例函数值或自变量的大小 14 【考点题型七】一次函数与反比例函数图象综合判断 15 【考点题型八】一次函数与反比例函数的交点问题 19 【考点题型九】待定系数法求反比例函数的表达式 23 【知识点01】反比例函数的概念 1）反比例函数的概念 一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2）反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围 反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数． 【知识点02】反比例函数的图象和性质 1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【知识点03】反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点． 注： 1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点． 2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0． 3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 【知识点04】反比例函数解析式的确定 1．待定系数：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 1）设反比例函数解析式为（k≠0）； 2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解这个方程求出待定系数k； 4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 【知识点05】反比例函数中|k|的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． 1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； 2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； 3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 【知识点06】反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。 针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或． 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况七、反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围． 【考点题型一】根据定义判断是否是反比例函数 【例1】（23-24九年级上·四川达州·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24七年级下·山东·期末）下列函数中，是关于的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24九年级上·重庆渝中·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】判断点是否在反比例函数上 【例2】（23-24八年级下·河北张家口·期末）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）已知反比例函数，则下列各点中，在这个反比例图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·安徽·期末）已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 【考点题型三】已知双曲线发布的象限求参数范围 【例3】（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图是反比例函数的图像，写出一个符合要求的整数的值是 ． 【变式3-1】（23-24八年级上·上海普陀·期末）如果反比例函数（是常数，）的图像位于第二、四象限，那么 ．（只需写一个数值） 【变式3-2】（23-24九年级上·河南·期末）若反比例函数的图象经过第二、四象限，写出一个符合条件的的整数值 ． 【变式3-3】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【考点题型四】判断反比例函数的增减性 【例4】（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）反比例函数的图象，当时，随的增大而 ． 【变式4-1】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则n的取值范围是 ． 【变式4-2】（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象经过点，那么当，这个函数中的函数值随自变量值的增大而 ．（填写“增大”或“减小”） 【考点题型五】反比例函数的图象和性质 【例5】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象关于直线对称 C．图象位于第二、四象限 D．在每一个象限内，y随着x的增大而增大 【变式5-1】（23-24九年级上·湖南娄底·期末）关于反比例函数的图象和性质，下列说法不正确的是（    ） A．函数图象经过点 B．函数图象在第二、四象限 C．比例系数是 D．当时，随的增大而减小 【变式5-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，反比例函数的图象经过，则以下说法错误的是（      ） A． B．图象也经过点 C．若时，则 D．，y随x的增大而减小 【变式5-3】（23-24九年级上·广东深圳·期末）关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 【考点题型六】比较反比例函数值或自变量的大小 【例6】（24-25九年级上·江苏南通·期末）若点，，在该反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是 （用“”连接）． 【变式6-1】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则 （填“”“<”或“”）． 【变式6-2】（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知反比例函数的图象位于二、四象限，点在该反比例函数图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【变式6-3】（22-23九年级上·河南郑州·期末）若点，，都在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系为 （用“”连接） 【考点题型七】一次函数与反比例函数图象综合判断 【例7】（23-24八年级下·四川宜宾·期末）一次函数与反比例函数（为常数且均不等于）．在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【变式7-2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）二次函数的图形如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为（　　） A．B．C． D． 【变式7-3】（2024·河南南阳·一模）若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【考点题型八】一次函数与反比例函数的交点问题 【例8】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，点是直线与双曲线的其中一个交点，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，双曲线与直线交于点M，N，并且点M坐标为，点N坐标为，根据图象信息可得关于不等式的解为（　　） A． B． C． D． 或 【变式8-2】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【变式8-3】（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图像，当时，x的取值范围为或；③若点P在x轴上，且，点P的坐标．其中所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【考点题型九】待定系数法求反比例函数的表达式 【例9】（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，点在第一象限，轴，垂足为，，，反比例函数的图象经过的中点，与交于点． (1)求值； (2)求的面积． 【变式9-1】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数的图象在第一象限相交于C点，作轴于D点，若，，．    (1)求反比例函数的解析式； (2)的面积为________． 【变式9-2】（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点A，B，点B的坐标为，连接，，过点B作轴于点D，交于点C，且．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积． 【变式9-3】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，点在第一象限，且在反比例函数的图象上，点是点关于轴的对称点，的面积是4． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点的横坐标为1，延长交反比例函数的图象于点，连接，点在反比例函数图象上，满足的面积等于的面积，求直线的解析式． 【变式9-4】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01-2 反比例函数（6个考点清单+9种题型解读） 目录 【考点题型一】根据定义判断是否是反比例函数 4 【考点题型二】判断点是否在反比例函数上 6 【考点题型三】已知双曲线发布的象限求参数范围 8 【考点题型四】判断反比例函数的增减性 10 【考点题型五】反比例函数的图象和性质 11 【考点题型六】比较反比例函数值或自变量的大小 14 【考点题型七】一次函数与反比例函数图象综合判断 15 【考点题型八】一次函数与反比例函数的交点问题 19 【考点题型九】待定系数法求反比例函数的表达式 23 【知识点01】反比例函数的概念 1）反比例函数的概念 一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2）反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围 反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数． 【知识点02】反比例函数的图象和性质 1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【知识点03】反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点． 注： 1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点． 2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0． 3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 【知识点04】反比例函数解析式的确定 1．待定系数：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 1）设反比例函数解析式为（k≠0）； 2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解这个方程求出待定系数k； 4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 【知识点05】反比例函数中|k|的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． 1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； 2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； 3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 【知识点06】反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。 针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或． 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况七、反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围． 【考点题型一】根据定义判断是否是反比例函数 【例1】（23-24九年级上·四川达州·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数，根据反比例函数的定义：一般地，形如或（是常数，）的函数叫做是的反比例函数，逐项判断即可得．熟记定义是解题关键． 【详解】解：A、是正比例函数，则此项不符题意； B、叫做是的反比例函数，则此项不符题意； C、是正比例函数，则此项不符题意； D、是反比例函数，则此项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（23-24七年级下·山东·期末）下列函数中，是关于的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】根据反比例函数的定义，进行判断作答即可． 【详解】解：A．不是关于x的正比例函数，故A错误； B．是关于x的反比例函数，故B正确； C．不是关于x的反比例函数，故C错误； D．不是关于x的反比例函数，D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义,熟练掌握形如 (k为常数且)的函数是反比例函数是解题的关键． 【变式1-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：A、，y是的反比例函数，不符合题意； B、，，y是x的反比例函数，符合题意； C、，y不是x的反比例函数，不符合题意； D、，y不是x的反比例函数，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（23-24九年级上·重庆渝中·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据“一般地，形如()的函数，叫做反比例函数”逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是反比例函数，符合题意； D、不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，不符合题意． 故选：C． 【考点题型二】判断点是否在反比例函数上 【例2】（23-24八年级下·河北张家口·期末）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断（画）反比例函数图象、求反比例函数值 【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键． 分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：当时，，图象一定经过，故A符合要求； 当时，，图象不经过，故B不符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：A． 【变式2-1】（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）已知反比例函数，则下列各点中，在这个反比例图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据，得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于，就在函数图象上． 【详解】解：A、，故不在函数图象上，不合题意； B、，故在函数图象上，符合题意； C、，故不在函数图象上，不合题意； D、，故不在函数图象上，不合题意； 故选：B． 【变式2-2】（23-24九年级上·安徽·期末）已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求反比例函数值、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质，先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，再由反比例函数图象的性质得到在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数图象上的点横纵坐标一定满足其解析式， ∴在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为， A、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； B、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； C、，该点在反比例函数的图象上，符合题意； D、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象上的点一定满足其解析式得到，进而推出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【考点题型三】已知双曲线发布的象限求参数范围 【例3】（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图是反比例函数的图像，写出一个符合要求的整数的值是 ． 【答案】1（或2或3） 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题主要考查反比例函数图像的性质：（1）时，图像是位于一、三象限；（2）时，图像是位于二、四象限． 反比例函数是常数，的图像在第一象限，则，再根据反比例函数的图像经过点，找出符合上述条件的的一个值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像在一象限， ， 又∵反比例函数的图像经过点时，． ， ∴的值可以是1． 故答案为：1． 【变式3-1】（23-24八年级上·上海普陀·期末）如果反比例函数（是常数，）的图像位于第二、四象限，那么 ．（只需写一个数值） 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据“反比例函数，当时，函数过一、三象限，当时，函数过二、四象限”，即可解答． 【详解】解：反比例函数（是常数，）的图像位于第二、四象限， ， ， 故答案为：． 【变式3-2】（23-24九年级上·河南·期末）若反比例函数的图象经过第二、四象限，写出一个符合条件的的整数值 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】此题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象经过第二、四象限，则有，求出即可，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质及其应用． 【详解】∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴，解得：，则只要满足条件即可， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3-3】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围．对于反比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ 故答案为： 【考点题型四】判断反比例函数的增减性 【例4】（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）反比例函数的图象，当时，随的增大而 ． 【答案】减小 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】根据反比例函数解析式及反比例函数的性质即可解答．本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小是解答此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小， 故答案为：减小． 【变式4-1】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则n的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，直接利用反比例函数的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象，在同一象限内，y随x的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式4-2】（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象经过点，那么当，这个函数中的函数值随自变量值的增大而 ．（填写“增大”或“减小”） 【答案】增大 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】此题考查了反比例函数的性质，根据题意，利用待定系数法解出系数的符号，再根据值的正负确定函数值的增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 【详解】设反比例函数的图象解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：增大． 【考点题型五】反比例函数的图象和性质 【例5】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象关于直线对称 C．图象位于第二、四象限 D．在每一个象限内，y随着x的增大而增大 【答案】B 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性、求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，故反比例函数的图象不经过，原说法错误，不符合题意； B、反比例函数的图象分布在第一三象限，关于直线对称，原说法正确，符合题意； C、反比例函数的图象分布在第一三象限，原说法错误，不符合题意； D、反比例函数的图象，在每一个象限内，随着的增大而减小，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】（23-24九年级上·湖南娄底·期末）关于反比例函数的图象和性质，下列说法不正确的是（    ） A．函数图象经过点 B．函数图象在第二、四象限 C．比例系数是 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【知识点】用反比例函数描述数量关系、求反比例函数值、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查反比例函数的定义及反比例函数图象和性质，依据函数图象上点的坐标特征判断选项A；依据反比例函数的定义判断选项C；依据反比例函数图象的性质判断选项B和D作答．解题的关键是掌握反比例函数图象和性质：①当时，图象分别位于第一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小；②当时，图象分别位于第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大． 【详解】解：A．当时，得， ∴函数图象经过点，原说法正确，故此选项不符合题意； B．∵， ∴函数图像在第二、四象限，原说法正确，故此选项不符合题意； C．∵反比例函数的解析式为， ∴比例系数是，原说法正确，故此选项不符合题意； D．∵， ∴图像分别位于第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，原说法不正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式5-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，反比例函数的图象经过，则以下说法错误的是（      ） A． B．图象也经过点 C．若时，则 D．，y随x的增大而减小 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、求反比例函数值、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要考查反比例函数的性质，题目较好，难度适中． 把代入反比例函数的解析式能求出k，把A的坐标代入一次函数的解析式得出关于k的方程，求出方程的解即可． 【详解】】 解：把代入反比例函数的解析式得：，故A正确； ∵反比例函数的解析式为， 把代入求得， ∴图象也经过点，故B正确； 由图象可知时，则，故C错误； ， 随x的增大而减小， ，y随x的增大而减小，故D正确； 故选：C． 【变式5-3】（23-24九年级上·广东深圳·期末）关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由于，反比例函数图像在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意； B、由于，反比例函数图像在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意； C、由于点在函数的图像上，则，从而点和都在函数的图像上，该选项说法正确，不符合题意； D、当时，，由于反比例函数图像在第二、四象限，则当时，，该选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【考点题型六】比较反比例函数值或自变量的大小 【例6】（24-25九年级上·江苏南通·期末）若点，，在该反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．将点，，代入反比例函数的解析式分别求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵点，，在该反比例函数， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则 （填“”“<”或“”）． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小，根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，且， ∴双曲线过二，四象限， ∵， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴； 故答案为：． 【变式6-2】（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知反比例函数的图象位于二、四象限，点在该反比例函数图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据，反比例函数的图象位于二、四象限且在每一个象限内，y随x的增大而增大进行比较即可． 【详解】反比例函数的图象位于二、四象限， ，且在每一个象限内，随的增大而增大． ． 故答案为：． 【变式6-3】（22-23九年级上·河南郑州·期末）若点，，都在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系为 （用“”连接） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，先证明，则反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，再由，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小， ∵， ∴， 故答案为： 【考点题型七】一次函数与反比例函数图象综合判断 【例7】（23-24八年级下·四川宜宾·期末）一次函数与反比例函数（为常数且均不等于）．在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象和性质，先根据一次函数图象确定的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可求解，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解题的关键． 【详解】解：、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象不符，故该选项不合题意； 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∴， ∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象不符，故该选项不合题意； 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∴， ∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象相符，故该选项符合题意； 、∵一次函数图象经过第二、三、四象限， ∴，， ∴， ∴反比例函数图象经过一、三象限，与选项图象不符，故该选项不合题意； 故选：． 【变式7-1】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断（画）反比例函数图象、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图像综合判断，分和先判断反比例函数和一次函数的图像所在的象限，再结合一次函数图像与坐标轴的交点即可求解． 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且经过点；反比例函数的图像在第一、三象限，没有选项中的图像符合题意； 当时，一次函数的图像经过第二、三、西象限，且经过点，反比例函数的图像在第二、四象限，选项C中图像符合题意，选项A、B、D中图像不符合题意， 综上，选项C符合题意， 故选：C． 【变式7-2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）二次函数的图形如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数、反比例函数和一次函数的图像与系数的关系，根据抛物线图像可得，，由时，，即可得出答案．掌握二次函数的图像与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴的交点在负半轴上， ∴，， ∴一次函数的图像经过一、二、三象限，故选项B、D不符合题意； ∵当时，， ∴反比例函数图像的两个分支分别在二、四象限，故选项A不符合题意． 故选：C． 【变式7-3】（2024·河南南阳·一模）若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、一次函数、二次函数图象综合判断、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】先由反比例函数图象与性质得到，再根据选项中同一平面直角坐标系下一次函数和二次函数的图象，假设直线图象正确，判断二次函数图象是否正确即可得到答案． 【详解】解：由反比例函数的图象在二、四象限可知， A、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在正半轴上， 故选项正确，符合题意； B、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象与轴交点在正半轴上，故选项错，不符合题意； C、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在正半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴、与轴交点在负半轴上，故选项错，不符合题意； D、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴，故选项错，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质、一次函数图象与性质、二次函数图象与性质等知识，熟练掌握此类题目的解法，先假设其中一个图象正确，再判断另一个图象是否正确是解决问题的关键． 【考点题型八】一次函数与反比例函数的交点问题 【例8】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，点是直线与双曲线的其中一个交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． 根据正比例函数图象上点的坐标特征得到，再结合反比例函数图象上点的坐标特征求解，即可解题． 【详解】解：∵点是直线与双曲线的其中一个交点， ∴将点代入中，可得， 解得， ∴点坐标为， 将点代入中，可得， 解得， 故选：A． 【变式8-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，双曲线与直线交于点M，N，并且点M坐标为，点N坐标为，根据图象信息可得关于不等式的解为（　　） A． B． C． D． 或 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，利用图象法，确定不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知：不等式的解集为： 或； 故选D． 【变式8-2】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出正比例函数，反比例函数，画出函数图象，结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴，， ∴正比例函数，反比例函数， 画出函数图象如图所示：    由图象可得：不等式的解集为或， 故选：B． 【变式8-3】（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图像，当时，x的取值范围为或；③若点P在x轴上，且，点P的坐标．其中所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标围成的三角形面积问题．①先把点代入中求出a得到，然后利用待定系数法即可得到反比例函数的表达式；②根据图象得出取值范围；③先求得，进而得出，设，则，利用三角形面积公式得到关于t的方程，求解即可． 【详解】解：把点点代入，得， ∴， 把代入反比例函数， ∴； ∴反比例函数的表达式为，故结论①正确； 把代入，得：， ∴， 根据图象可知，当时，x的取值范围为或，故结论②正确； 如图，连接，    对于， 当时，， ∴点， ∵， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：或， ∴或，故结论③错误． 故选：A． 【考点题型九】待定系数法求反比例函数的表达式 【例9】（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，点在第一象限，轴，垂足为，，，反比例函数的图象经过的中点，与交于点． (1)求值； (2)求的面积． 【答案】(1)2 (2)1.5 【知识点】用勾股定理解三角形、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数图象上点的特征，三角形面积，中点坐标公式，解题的关键是根据待定系数法求出反比例函数的解析式，本题属于中等题型． （1）先根据，可得，根据，由此可得的坐标，由是的中点，可得点的坐标，从而得的值； （2）先求点的坐标，根据面积差可得结论． 【详解】（1），， ， ， 由勾股定理得：， ，， ， 是的中点， ， ； （2）当时，， ， ， ． 【变式9-1】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数的图象在第一象限相交于C点，作轴于D点，若，，．    (1)求反比例函数的解析式； (2)的面积为________． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据题意求出，，及，代入，即可求解， （2）将，，代入一次函数，求出一次函数解析式，当时，求出的长度，即可求解， 本题考查了求反比例函数解析式，求一次函数解析式，解题的关键是：熟练掌握反比例函数． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：； （2）解：将，，代入一次函数， ，解得：， ∴一次函数的解析式为：， 当时，， ∴， ∴的面积为：， 故答案为： ． 【变式9-2】（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点A，B，点B的坐标为，连接，，过点B作轴于点D，交于点C，且．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式； （2）先求出的解析式，进而求出，用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴交于E，    ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵， ∴， ∵轴，， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的纵坐标为4， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为 ； （2）解：如图，过点A作轴于F交于G，    ∵， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，平行线分线段成比例，解本题的关键是用待定系数法求出直线的解析式． 【变式9-3】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，点在第一象限，且在反比例函数的图象上，点是点关于轴的对称点，的面积是4． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点的横坐标为1，延长交反比例函数的图象于点，连接，点在反比例函数图象上，满足的面积等于的面积，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识． （1）设与轴交于点．是点关于轴的对称点，的面积是4，则．得到．又．则．即可得到反比例函数的解析式； （2）依次求出、、，过点作，直线与反比例函数在第一象限的图象的交点为所求点，则．求出直线解析式为．由可设直线的解析式为，将代入上式，得到，解得．即可求出直线的解析式． 【详解】（1）解：如图，设与轴交于点． ∵是点关于轴的对称点，的面积是4， ∴． ∴，即． 又． ∴． ∴反比例函数的解析式． （2）∵点的横坐标为1， 当时，， ∴． 由点与点关于轴对称得． 由题可得，点与点关于原点对称， ∴， 过点作，直线与反比例函数在第一象限的图象的交点为所求点， ∴． 设直线的解析式为． 将代入上式，得， ∴直线解析式为． ∵， ∴可设直线的解析式为， 将代入上式，得到， 解得． ∴直线的解析式为． 【变式9-4】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形面积，解题的关键是数形结合； （1）先求出点的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可； （2）由一次函数的解析式求得点的坐标，利用反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据即可求解； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ， 解得， 点的坐标为， ， 反比例函数的对应的函数关系为； （2）解：当时，， 解得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，根据对称性， 点的坐标为， ； （3）解：由图象可得， 当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上面 ∴当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$