专题13 圆—期末专题复习（6大经典基础题+2大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题13 圆—期末专题复习 利用圆的性质求角度 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，四边形内接于，若其外角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质即可，利用圆内接四边形的性质即可．证明即可得到答案． 【详解】解：，， ． 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，点、、、在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求得，根据圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点、、、在上， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，掌握圆周角定理是解题的关键． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，为的直径，为的弦，D为上一点，且，连接，若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形判定和性质，连接，交于点，易得垂直平分，利用勾股定理求出的长，得到为等腰直角三角形，得到，圆周角定理，得到，，利用三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：连接，交于点，则：， ∵， ∴垂直平分，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∴； 故选C 4．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，是的直径，过外一点作的两条切线，切点为，．若，则的大小是（    ） A．70° B．65° C．75° D．60° 【答案】A 【分析】先根据切线的性质和四边形内角和定理求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的两条切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，正确求出的度数是解题的关键． 5．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而求出，再根据圆内接四边形对角互补，即可解答． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 利用圆的性质求解线段 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，的半径为5，弦心距，则弦的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】连接，由勾股定理求出，再根据垂径定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵为弦心距， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，四边形内接于半径为5的⊙，，，则的长为（    ） A．5 B． C． D．10 【答案】B 【分析】连接，．首先证明，推出，可得结论． 【详解】解：如图，连接，． ， 点是的外接圆的圆心， ， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的关键是证明． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，是圆O的弦，且，点C是弧中点，点D是优弧上的一点，，则圆心O到弦的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线． 连接，交于点E，则，根据垂径定理得出，进而得出，根据勾股定理可得，列出方程求出即可解答． 【详解】解：连接，交于点E， ∵， ∴， ∵点C是弧中点，， ∴， ∴，则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：（负值舍去）， ∴圆心O到弦的距离等于， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，内接于圆，于点，于点，交于点，交圆于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，证明，又，利用等腰三角形三线合一即可得证； 【详解】证明：连接，则． ∵于点F，∴， ∴． 同理．∴． ∵．∴． ∴是等腰三角形． ∵于点F，∴．∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质，熟练运用圆的有关性质是解答本题的关键． 5．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，是的外接圆，，，垂足为，，，则 【答案】/ 【分析】连接，，，作于，于，，四边形是矩形，证明，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，最后由线段和差即可求解． 【详解】如图，连接，，，作于，于， 则，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 弧长与扇形面积 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）在半径为的圆中，所对的圆周角为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，直接根据弧长公式计算即可． 【详解】的长为． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）已知扇形面积为，半径为6，则扇形构成圆锥的底面半径长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了扇形的面积公式，扇形与对应圆锥的关系；设圆锥的底面半径长，扇形弧长为，由扇形面积公式得，可求出，再由扇形与对应圆锥的关系即可求解；理解扇形的弧长是对应圆锥底面圆的周长是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的底面半径长，扇形弧长为，则有 ， 解得：， ， 解得：， 故答案：． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，在扇形中，，，将扇形沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在弧的点D处，折痕交于点C，则弧的长为 （结果保留π）．    【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，弧长公式以及翻折变换的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明是等边三角形，求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， 是由翻折得到， ，， 是等边三角形， ， ， ． 弧的长． 故答案为：．    4．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好与切于点D，分别交于点． (1)求证：平分 (2)若，，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，扇形的面积，勾股定理，熟记圆的相关性质是解题关键． （1）连接，得即，由可得，即可求证． （2）利用圆周角定理得，再根据含度的直角三角形三边关系计算，然后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明∶连接OD，如图 ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）解∶设， ， ， ， 由（1）可知∶， ， ， 根据勾股定理得∶，即， 解得，即， ， ， ． 证明相切——知半径，证垂直 1．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，是的直径，相交于点E，过点C作，与的延长线相交于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.8 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，三角形中位线定理，关键是由圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，推出到，由勾股定理列出关于的方程． （1）连接，连接交于M，由圆心角、弧、弦的关系推出，由，得到，又，因此半径，即可证明是的切线； （2）设，由勾股定理得到，求出，由三角形中位线定理，得到． 【详解】（1）证明：连接，连接交于M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴半径， ∴是的切线； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，是角平分线，点O在上，以点O为圆心，长为半径作圆经过点D，交于点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】此题考查了切线的判定“切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键； （1）连接，由为角平分线得到一对角相等，根据，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出与平行，利用两直线平行同位角相等得到为直径，即可得证； （2）过作垂直于，可得出四边形为矩形，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，由垂径定理可得． 【详解】（1）证明：连接，    ∵为平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 则为圆O的切线； （2）解：过O作，连接，    ∴四边形为矩形， ∴， 在中，利用勾股定理得：， ∴， ∵， ∴． ∴． 证明相切——作垂直，证半径 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，是直径，点C是的中点，过点C作于点E，连接，交于点F，在的延长线上取一点P，使，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由等边对等角的性质，得出，，再由直角三角形两锐角互余，得出，即可证明结论； （2）连接，由平行线的性质，得到，由垂径定理，可得，进而求出，再利用圆周角定理，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴ ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，圆的切线的判定，垂径定理，圆周角定理等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图1，为直径，与相切于点B，D为上一点，连接，若． (1)求证：为的切线； (2)如图2，过点A作交延长线于点E，连接交于点F，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （2）设，根据切线长定理可得，过点E作于M，可得，由勾股定理求出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又为半径， ∴为的切线； （2）解：如图，连接， 设， ∵， ∴， ∵， ∴为的切线， ∵为的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 过点E作于M，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用，是一道综合性较强的题目． 尺规作图——作圆 1．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，在中，． (1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于为半径在两侧作圆弧，连接圆弧的交点，与的交点为O，以O为圆心，为半径画圆即可； （2）连接，得，根据三角形外角与内角的关系求出，结合已知可得，运用角所对的直角边等于斜边的一半求出，最后由代入求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）由（1）可知，连接 又 故的半径为：2 【点睛】本题考查了尺规作图，圆的基本性质，与三角形有关的角的计算以及“角所对的直角边等于斜边的一半”；利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知如图，中，，平分． (1)尺规作图：以上一点为圆心（不含端点、），作与相切，与相交（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，与相离，求半径的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的平分线交于点H，再线段上任取一点O，作于点E，再以点O为圆心，的长为半径画圆，即可求解； （2）当与相切时，设与的切点为点F，与的切点为点E，过点O作与于点G，则，证明四边形是正方形，可得，再证明与相切，根据切线长定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，当与相切时，设与的切点为点F，与的切点为点E，过点O作交于点G，则， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴与相切， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴当与相离时，半径的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，切线长定理，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质和判定，切线长定理是解题的关键． 与圆有关的动点最值问题 1．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于P，交半圆O于E， 根据对称性有：， 则有：， 则线段的长即为的长度最小值，E ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故的长度最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，为的直径，C为上一点，其中，P为上的动点，连接，取中点Q，连，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论、半圆所对的圆周角是直角、勾股定理、含30°角的直角三角形等知识点，正确寻找点Q的运动轨迹、构造辅助圆解决问题成为解题的关键．如图：连接，作于H，先证明点Q的运动轨迹为以为直径的，连接，当点Q在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于H， ∵Q是中点， ∴， 根据垂径定理的推论可得， ∴， ∴点Q的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点Q在的延长线上时，的值最大， ∵在直角中，， ∴，， ∴，， 又∵在直角中，， ∴， ∴，即的最大值为． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先求出，，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，由轴对称的性质可得：，，当、、在同一直线上时，最小，由勾股定理可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，当时，， 解得，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， 点关于抛物线对称轴的对称点为点， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接， ， 由轴对称的性质可得：，， 当、、在同一直线上时，最小，此时， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理，圆的基本性质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．（23-24九年级上·福建三明·期末）已知：如图，抛物线的图象关于轴对称，且抛物线过点，点为抛物线上的动点，以点为圆心的与轴相切，当点运动对，始终经过轴上的一个定点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的半径为时，与轴交于两点，求的长； (3)求定点到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的图象关于轴对称可得对称轴为直线则，将点代入求出，即可得抛物线的解析式； （2）过点作于， 由可得的半径为，则点的纵坐标为，根据抛物线 可得点的坐标，根据垂径定理可得，利用勾股定理求出NH即可得的长； （3）设直线与轴交于点，当直线时距离最大，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）∵抛物线的图象关于轴对称， ∴对称轴为直线，则， ∵抛物线过点， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）过点作于， 连接， ， ， ∴的半径为， ∵与轴相切， ∴点的纵坐标为， ， ， ∴点的坐标为或， ， ， ， ， ， ； （3）设直线与轴交于点， ， ∴点， 设， ∴的半径为， ， ， ， ∵点为定点， ∴的值与无关， ，解得 ， ∴定点， 过定点， ∴当直线时距离最大， ， ∴定点到直线的距离的最大值为． 【点睛】本题是二次函数综合题.考查了抛物线与直线交点的求法，切线的性质，垂径定理等．解题的关键是掌握抛物线与直线交点的求法，圆的有关性质．运用数形结合、方程思想是解题的关键． 圆与相似三角形 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，经过两点的与边交于点，与边交于点，过点作的切线，与交于点，且，连接并延长与交于点．    (1)求证：； (2)连接，若平分，求证：是等边三角形； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据切线的性质得出，证明，得出，证明四边形为矩形，得出，即可得证； （2）连接，，证明，得出，得出，根据为直角三角形，得出，证明，得出，证明，即可证明结论； （3）根据等边三角形的性质得出，求出，解直角三角形得出，，根据相似三角形的性质得出，求出，得出，求出的长度即可． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； （2）证明：连接，，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为直角三角形， ∴， ∵， ∴为的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：根据解析（1）可知，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，直角所对的弦是直径，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在 Rt中，，以为直径的交于点E，点D是边上的中点，连接．    (1)求证：与相切； (2)连接交于点F，若的半径为3，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接、，先证，再证明，，即可证出，即可证出与相切. （2连接，先求出的长，证明与相切，根据切割线定理求出，再证明OD是的中位线，得出比例式即可求出的值. 【详解】（1）    证明：连接、，如图所示： ， ， 是直径， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 且点E在圆上， 与相切； （2）连接，如图所示：    ， ， ， ， ， 与相切 ， O是的中点，D是的中点， OD是的中位线， ，， ． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质以及中位线定理的运用；主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 圆—期末专题复习 利用圆的性质求角度 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，四边形内接于，若其外角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，点、、、在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，为的直径，为的弦，D为上一点，且，连接，若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，是的直径，过外一点作的两条切线，切点为，．若，则的大小是（    ） A．70° B．65° C．75° D．60° 5．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为 ． 利用圆的性质求解线段 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，的半径为5，弦心距，则弦的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，四边形内接于半径为5的⊙，，，则的长为（    ） A．5 B． C． D．10 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，是圆O的弦，且，点C是弧中点，点D是优弧上的一点，，则圆心O到弦的距离等于 ． 4．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，内接于圆，于点，于点，交于点，交圆于点，求证：． 5．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，是的外接圆，，，垂足为，，，则 弧长与扇形面积 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）在半径为的圆中，所对的圆周角为，则的长为 ． 2．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）已知扇形面积为，半径为6，则扇形构成圆锥的底面半径长为 ． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，在扇形中，，，将扇形沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在弧的点D处，折痕交于点C，则弧的长为 （结果保留π）．    4．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好与切于点D，分别交于点． (1)求证：平分 (2)若，，求阴影部分的面积（结果保留π）． 证明相切——知半径，证垂直 1．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，是的直径，相交于点E，过点C作，与的延长线相交于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，是角平分线，点O在上，以点O为圆心，长为半径作圆经过点D，交于点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 证明相切——作垂直，证半径 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，是直径，点C是的中点，过点C作于点E，连接，交于点F，在的延长线上取一点P，使，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图1，为直径，与相切于点B，D为上一点，连接，若． (1)求证：为的切线； (2)如图2，过点A作交延长线于点E，连接交于点F，若，求的长． 尺规作图——作圆 1．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，在中，． (1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知，求的半径． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知如图，中，，平分． (1)尺规作图：以上一点为圆心（不含端点、），作与相切，与相交（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，与相离，求半径的取值范围． 与圆有关的动点最值问题 1．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，为的直径，C为上一点，其中，P为上的动点，连接，取中点Q，连，则线段的最大值为 ． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值是 ． 4．（23-24九年级上·福建三明·期末）已知：如图，抛物线的图象关于轴对称，且抛物线过点，点为抛物线上的动点，以点为圆心的与轴相切，当点运动对，始终经过轴上的一个定点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的半径为时，与轴交于两点，求的长； (3)求定点到直线的距离的最大值． 圆与相似三角形 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，经过两点的与边交于点，与边交于点，过点作的切线，与交于点，且，连接并延长与交于点．    (1)求证：； (2)连接，若平分，求证：是等边三角形； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在 Rt中，，以为直径的交于点E，点D是边上的中点，连接．    (1)求证：与相切； (2)连接交于点F，若的半径为3，，求的值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$