专题12 三角形相似的五大模型（5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

专题12 三角形相似的五大模型 “A”字模型 1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，是的中线，作于点E． (1)求证； (2)若，，则的长为______． 2．（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 3．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点分别在上，与的交点为，且矩形长是宽的倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． “X”字模型（“8”模型） 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形中，． (1)求与的周长之比； (2)若求． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期末）已知：如图，中，，与交于点，与、分别交于点、． (1)已知点是的中点，求证：； (2)已知，四边形的面积为，求的面积． 4．（23-24九年级上·四川达州·期末）矩形中，连接，的平分线交于点E，交的延长线于点F．在线段上取点G，使． (1)判断三角形的形状，并证明； (2)若，，求及的长． 5．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且． (1)求证：，并求的度数； (2)若，试求的值． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）[基础学习] （1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，交于点，求证：． [尝试应用] （2）如图2，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和于点、和，求的值． [拓展提高] （3）如图3，矩形中（为常数），点是矩形边上的一个动点，延长至点，使，连接，，与相交于点，连接，求的最小值（用的代数式表示）． “母子”模型(共边角模型) 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是的角平分线，点是边上一点，且满足． (1)证明：； (2)若，，求的长． 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平行四边形中，过点D作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，是等边三角形，D，B，C，E四点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的边长． 4．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知中，，平分，，．点分别是边、上的点（点D不与点B、C重合），且，、相交于点F．    (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 5．（23-24七年级下·山东·期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； (2)如图2，中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求和长； (3)在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，请直接写出的度数为__________． “手拉手”模型(旋转模型) 1．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图①，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． (1)在图①中，求的值： (2)如图②将正方形绕点C顺时针方向旋转角，探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 2．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，，，点，分别为，的中点绕点顺时针旋转，设旋转角为，记直线与直线的交点为点． (1)如图，当时，与的数量关系为______ ，与的位置关系为______ ； (2)当时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图的情形进行证明；若不成立，请说明理由； (3)绕点顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中点运动轨迹的长度和点到直线距离的最大值． 3．（23-24九年级上·广东深圳·期末）【模型发现】如图 1，，求证：． 【深入探究】如图2，等边中，，是上的动点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接，当点从运动到时，求点的运动路径长． 【应用拓展】如图3，等腰中，，于，是上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，交于点，连接，若，则的值为_______．    4．（23-24九年级上·福建南平·期末）（1）问题发现：如图（1），在和中，，，，连接，交于点M．填空： ①的值为 ； ②的度数为 ． （2）类比探究 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M．请求出的值及的度数，并说明理由． （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内旋转，，所在直线交于点M．若，，请直接写出当点C与点M重合时的长．    “K”字模型（相似模型） 1．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，于点E； (1)求证：． (2)若，求的值． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 3．（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？    4．（2024·河南周口·三模）在四边形中，是边上一点，在的右侧作 ，且 ，连接． (1)如图，当四边形是正方形时， ． (2)如图，当四边形是菱形时，求 （用含的式子表示）． (3)在（2）的条件下，且 如图，连接交于点；若为边的三等分点，请直接写出的长． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）矩形中，，（），点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F． 【特例证明】（1）如图（1），当时，求证：； 【类比探究】（2）如图（2），当时， ①求的值（用含k的代数式表示）． ②连接交于点H，连接，若，求k的值． 【拓展运用】（3）如图（3），当时，P为边上一点，连接、，若时，，求的长． 6．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）在全等三角形章节学习时，我们曾解决过这样一个问题：“如图，在正方形中，E为边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得线段，连接，求证：．”（无需证明） 解题思路：在上取点G，使得，证，则，从而可证得：，得证． 【问题提出】（1）如图1，在等边中，D为边上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得线段，连接，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在等腰中，底角度数为α，腰长与底边长的比．D为边上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转α得线段l，在线段l上取点E，使，连接，求证：． 【解决问题】（3）如图3，在等腰中，底角度数为α，．点D为延长线上的一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转α得射线l，在射线l上取点E，使，连接交于F，求的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 三角形相似的五大模型 “A”字模型 1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，是的中线，作于点E． (1)求证； (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得， 进而可以证明； （2）由（1）得， 得代入值可得，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明： 在中， ， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 由（1）知： ， ， ， ∴， ． 2．（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键． （1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；　 （3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵分别是和的高， ∴； （2）∵， ∴； 故与的周长之比为 （3）∵， ∴， ∵， ∴． 故的面积为． 3．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点分别在上，与的交点为，且矩形长是宽的倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明、根据矩形的性质求线段长 【分析】（）由矩形的性质可得，即得，，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求证； （）设，，则，由相似三角形的性质可得，解方程求出即可求解； 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴矩形的周长． “X”字模型（“8”模型） 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）通过证明，由相似三角形的性质可求解； （2）通过证明，可得，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是边长为4的正方形， ， ， ， ，即 ； （2）证明：， ， ∵在正方形中，， ， ， ． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形中，． (1)求与的周长之比； (2)若求． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键， （1）由是平行四边形，得，，进而证明，根据相似三角形的性质即可得解； （2）根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵是平行四边形， ∴，， ∴, ， ∴ ∴与周长的比等于相似比等于． （2）解：由（1）得， ∴ ∵ ∴． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期末）已知：如图，中，，与交于点，与、分别交于点、． (1)已知点是的中点，求证：； (2)已知，四边形的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）由可证明根据相似三角形的性质得，同理，最后由点是的中点即可求证； （）证明，由性质可得，同理，再证明，则，设，则，最后代入即可求值； 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则， ∴四边形的面积为， ∴， 解得， ∴． 4．（23-24九年级上·四川达州·期末）矩形中，连接，的平分线交于点E，交的延长线于点F．在线段上取点G，使． (1)判断三角形的形状，并证明； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）根据为的角平分线得，根据四边形是矩形得，可得，则，即可得； （2）根据四边形是矩形得，，在中，根据勾股定理可求出，即可得，根据，可证明，根据相似三角形的性质得，即可得，在中，根据勾股定理得，根据，可证明，即可得，进行计算即可得． 【详解】（1）解：三角形是等腰三角形 证明如下： ∵为的角平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵，， ∴在中，． ∴， ∵，， ∴， ； 又∵，， ∴， ∴， ∴在中，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 5．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且． (1)求证：，并求的度数； (2)若，试求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）依据等边三角形的性质得到，，然后由，依据全等三角形的性质可得到，最后，再依据三角形的外角的性质求解即可； （2）先证明，依据相似三角形的性质得到，从而可得到问题的答案， 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，                  ∴， 在和中，，     ∴， ∴. 又∵， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）[基础学习] （1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，交于点，求证：． [尝试应用] （2）如图2，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和于点、和，求的值． [拓展提高] （3）如图3，矩形中（为常数），点是矩形边上的一个动点，延长至点，使，连接，，与相交于点，连接，求的最小值（用的代数式表示）． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）由题意得：，，根据相似三角形的性质得到，进而证明出结论； （2）过点M作交于点H，交于点N，交于点G，由（1）中结论可得，，根据，证明，，，，根据相似三角形的性质可得，整理可得； （3）如图，连接并延长交于点H，连接，证明，求出，由此可得：点H为定点，点G在线段上运动，当时，有最小值，利用勾股定理求出，由，即可求出的最小值为． 【详解】（1）证明：， ，， ，， ， ； （2）如图，过点M作交于点H，交于点N，交于点G， ∵， 由（1）中结论可得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ； （3）解：如图，连接并延长交于点H，连接， ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由此可得：点H为定点，点G在线段上运动， 当时，有最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． “母子”模型(共边角模型) 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是的角平分线，点是边上一点，且满足． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是4． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题重点考查三角形的角平分线的定义、相似三角形的判定与性质等知识． （1）因为是的角平分线，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，而，，则． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ， ∴； （2）解：∵， ， ，， ， ∴的长是4． 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平行四边形中，过点D作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质， （1）根据平行四边形的性质得到，，，推出，，由此证明，即可得到结论； （2）根据勾股定理求出，利用，得到，求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，是等边三角形，D，B，C，E四点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的性质 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）利用等边三角形的性质结合三角形的外角的性质证明，，从而可得结论； （2）利用相似三角形的性质与等边三角形的性质建立方程求解即可； 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ，， ， ， ，， ； （2）解：， ， 是等边三角形， ， ． ∵，， ∴， ∴； 4．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知中，，平分，，．点分别是边、上的点（点D不与点B、C重合），且，、相交于点F．    (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】(1)10 (2) (3)或1 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到，进而得出，证明，得到，求出，进而得到，即可求出的长； （2）由得到，进而得出，证明，得到，求出，，过点作交于点，得到，，求出，即可得出比值； （3）当时，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质，得出，,进而得出，证明，，得到，，先求出，再求出，即可得到此时长；当时，在上截取点M，使，证明，得出，，得出，再求出即可． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作交于点，   ，， ，， ， ， ； （3）解：当， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 当时，在上截取点M，使，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 综上分析可知：或1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 5．（23-24七年级下·山东·期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； (2)如图2，中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求和长； (3)在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，请直接写出的度数为__________． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、解一元二次方程——配方法 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义可得，再由等角对等边可得为等腰三角形，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据“完美分割线的定义”可得，得，即，求得，再根据相似三角形的性质可得，即可求解； （3）根据是的完美分割线，且为等腰三角形进行分类讨论：或，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和及相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴不是等腰三角形． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴CD是的完美分割线； （2）解：∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴． ∵是的完美分割线， ∴． ∴， ∴， ∴． 解得或（不合题意，舍去）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵是的完美分割线，且为等腰三角形， ∴时，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的性质与判定、解一元二次方程及新定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和似三角形的性质与判定，理解“完美分割线”是解题的关键． “手拉手”模型(旋转模型) 1．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图①，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． (1)在图①中，求的值： (2)如图②将正方形绕点C顺时针方向旋转角，探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似的判定与性质等，解题的关键是利用特殊角作辅助线构造特殊三角形． （1）由正方形的性质可得，，可证，，可得，由平行线分线段成比例可得； （2）由正方形的性质可得，即可证，可得，则． 【详解】（1）四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ； （2） 理由如下： 如图②，四边形，四边形是正方形， ，， ，， ， ，， ，且， ， ，   即 2．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，，，点，分别为，的中点绕点顺时针旋转，设旋转角为，记直线与直线的交点为点． (1)如图，当时，与的数量关系为______ ，与的位置关系为______ ； (2)当时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图的情形进行证明；若不成立，请说明理由； (3)绕点顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中点运动轨迹的长度和点到直线距离的最大值． 【答案】(1)， (2)结论仍然成立，证明见解析 (3)； 【知识点】求弧长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、锐角三角函数等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键． （1）分别求出的长即可解答； （2）先证明，可得，即可解答； （3）利用锐角三角函数可求，由弧长公式可求P点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求P点到直线BC距离的最大值即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ，，， 点，分别为，的中点， ，， ， 故答案为：，； （2）结论仍然成立， 理由如下：，，，， ，， ， 绕点顺时针旋转， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）， 点在以为直径的圆上， 如图，取的中点，作，以点为圆心，为半径作，当是切线时，点到的距离最大，过点作，交的延长线于，连接， 是切线， ， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹为点点点点点， 点运动轨迹的长度， ，， ，， ，， ． 点到直线距离的最大值． 3．（23-24九年级上·广东深圳·期末）【模型发现】如图 1，，求证：． 【深入探究】如图2，等边中，，是上的动点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接，当点从运动到时，求点的运动路径长． 【应用拓展】如图3，等腰中，，于，是上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，交于点，连接，若，则的值为_______．    【答案】模型发现：详见解析 深入探究：点E的运动路径长为3 应用拓展： 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】模型发现：由相似三角形的性质可得，，易得，即可证明； 深入探究：连接，证明是等边三角形，，，证明，得到，即点的运动路径与点的路径等长，即可得到答案； 应用拓展：连接，结合等腰直角三角形的性质可得，，，，即可证明，结合相似三角形的性质可得，证明，由相似三角形的性质并结合已知条件可得，然后进行计算即可． 【详解】模型发现： 证明：， ，， ， ， ； 深入探究： 解：如图，连接，   是等边三角形， ，， 将绕着点逆时针旋转得到， ， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，即点的运动路径与点的路径等长， 为等边三角形，， ， 点从运动到的运动路径长为3， 点的运动路径长为3； 应用拓展： 解：如图，连接，   ，为等腰直角三角形，， ，， ， ，即， 绕着点逆时针旋转得到， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ，即， ， ，即， ， ， ，即， ，为等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，综合性强，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质． 4．（23-24九年级上·福建南平·期末）（1）问题发现：如图（1），在和中，，，，连接，交于点M．填空： ①的值为 ； ②的度数为 ． （2）类比探究 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M．请求出的值及的度数，并说明理由． （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内旋转，，所在直线交于点M．若，，请直接写出当点C与点M重合时的长．    【答案】（1）①  ②  （2）   （3）或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①证明，得，比值为；②由，得，根据即可解题； （2）根据两边的比相等且夹角相等可得，则，由相似三角形的性质得的度数； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图，同理可得：，则，，可得的长． 【详解】（1）①∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2） 理由如下： ∵，， 即. ∴. ， 设交于点，    ∵， ∴. （3）的长为或， 由（2）可知，， 设，则 分两种情况讨论： 如图，当点在上侧重合时， ∵ ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 在中， ， ， 解得 (不合题意，舍去). ∴；    如图，当点在下侧重合时， 同理可得 在中，， ， 解得 (不合题意，舍去)， ； 综上所述，的长为或 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目． “K”字模型（相似模型） 1．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，于点E； (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，证明相似三角形是解题的关键． （1）由正方形的性质及，易得，，即可得； （2）利用相似三角形的性质及已知，即可求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由正方形的性质可得，，然后根据对应边成比例且夹角相等即可得到结论； （2）通过证明，可得，根据可得、，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则 ， ∴； （2）∵四边形为正方形， ∴， ，， ∴， ∴， 又∵，正方形的边长为4， ∴，， ∴，， ∴． 3．（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？    【答案】（1）①见解析；②;（2）或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的常见模型-“一线三等角”，熟悉相关模型的构成及求证是解题关键． （1）①根据可得即可求证；②根据可得，即可求解；（2）证得，分类讨论，，两种情况即可求解； 【详解】（1）①证明：由题意得： ∴ ∴ ∴ ②解：∵， ∴ ∵E为的中点， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵为等腰三角形且 ∴若，则； 若，则， ∴； 综上所述：或 4．（2024·河南周口·三模）在四边形中，是边上一点，在的右侧作 ，且 ，连接． (1)如图，当四边形是正方形时， ． (2)如图，当四边形是菱形时，求 （用含的式子表示）． (3)在（2）的条件下，且 如图，连接交于点；若为边的三等分点，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）作交的延长线于，证出，得到，再根据正四边形的性质得到，从而计算出，即，故，再根据，求出，从而可得出结论． （2）方法1：如图，在的延长线上取点，使得，证明，得出，则即可求解； 方法2：如图，连接，，证明，，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解； （3）作于点，则， 证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当四边形是正方形时，作交的延长线于． ， ， 又， ， 又，且， ， ，， ， ， ． （2）方法1：如图，在的延长线上取点，使得， 则， 又， ∴ ∴，， 由，得 ∴ ∴ 方法2：如图，连接，， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴ （3）由（2）知， ， ∵， ∴， 如图所示，连接交于点， ∵，则 ∴ ∴ 如图，作于点，则， ， 得 则 当，时， 当，时， 综上所述，或 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）矩形中，，（），点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F． 【特例证明】（1）如图（1），当时，求证：； 【类比探究】（2）如图（2），当时， ①求的值（用含k的代数式表示）． ②连接交于点H，连接，若，求k的值． 【拓展运用】（3）如图（3），当时，P为边上一点，连接、，若时，，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）①；②；（3）； 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由“”可证，即可求解； （2）①在上截取，连接，证明，即可求解； ②根据①中的证明方法解答即可； （3）由“”可证，可得，，由“AAS”可证，可证，由（2）①知，则得是中位线，由的长即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在上截取，连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，E是边的中点， ∴，， ∴， ∴； ②如图，设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长、交于Q， 当时，设，则， ∴，则， ∵，， ∴是等腰直角三角形 ∴， 作交的延长线于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作交于N， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 6．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）在全等三角形章节学习时，我们曾解决过这样一个问题：“如图，在正方形中，E为边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得线段，连接，求证：．”（无需证明） 解题思路：在上取点G，使得，证，则，从而可证得：，得证． 【问题提出】（1）如图1，在等边中，D为边上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得线段，连接，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在等腰中，底角度数为α，腰长与底边长的比．D为边上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转α得线段l，在线段l上取点E，使，连接，求证：． 【解决问题】（3）如图3，在等腰中，底角度数为α，．点D为延长线上的一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转α得射线l，在射线l上取点E，使，连接交于F，求的长度． 【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；（）． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（）在上截取，利用证明，得，即可证明结论； （）在上截取，使得 ，根据，得，进而解决问题； （）延长至点，使得 ，根据，得， 再证明，得，设，则，，过点作于点，过点作于点，求出的长，进而解决问题； 【详解】（）证明：在上截取， ∴ ， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （）证明：在上截取，使得， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由同（）理得，， ∴， ∴ ， ∴，， ∴， ∴； （）延长至点，使得 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴, ∴， ∴， ∴， 设，则，，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线及熟练掌握以上知识点的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$