专题10 反比例函数与几何图形、实际应用的综合问题（2大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

专题10 反比例函数与几何图形、实际应用的综合问题 已知比例系数求特殊图形的面积 1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A 向y轴作垂线，垂足为点B，点C、D在x轴上，且，则四边形的面积为 ． 2．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C是点B关于原点O的对称点，连接，则的面积为 ． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，函数图象上两点A，B的横坐标分别是a，b，点O为坐标原点，则的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为 ． 5．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点．交的图象于点．下结论正确有 ． ①与的面积相等；②与始终相等；③；④四边形面积不变； 根据图形面积求比例系数（解析式） 1．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴，y轴的垂足分别为点B，C，若，，则k的值为 ． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，，四边形的面积为12，则这个反比例函数的表达式为 ． 3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，中，，点在轴的正半轴，点在第一象限，函数（）的图象与边，分别交于点，若，，则的值为 ． 4．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，过反比例函数图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数于点B．连接、．若，则k的值为 ． 5．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 反比例函数与平行四边形的综合问题 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，、为第一象限中两点，为轴正半轴上一点，且四边形为平行四边形，已知，，反比例函数的图像经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)若反比例函数的图像经过中点，把向上平移，对应得到，当在的图像上时，求的坐标． 2．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直线上，若，则四边形是半对角四边形． (1)如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，则______． (2)如图3，以的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)如图4，在（2）的条件下，若点E是反比例函数图像上的动点，当点E运动时，点B恰好在反比例函数的图像上运动，请直接写出k的值______． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图1，已知点，，且a、b满足，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线上经过C、D两点.                  (1)求k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求出其值. 反比例函数与矩形的综合问题 1．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，矩形的两边的长分别为3，8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F. (1)若点B坐标为，求m的值； (2)若，求反比例函数的表达式? 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，轴于点A．点D为边中点，过点D作交该函数图象于点E，过点E作轴于点F，过点E的正比例函数的图象与该函数的另一个交点为点G． (1) ． (2)求点E的坐标及四边形的面积． (3)当正比例函数的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围． 3．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，反比例函数分别与边、交于E、F两点，连接、，作直线EF分别交y轴、x轴于点G、H． (1) _______（填“”、“”、“”）； (2)若，，，求k的值； (3)当，时，求的值． 4．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图1，将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为，过点作轴的平行线交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，当点与点重合时，求点的坐标； (3)如图3，在(2)的条件下，点是线段上一动点，点是线段上一动点，过点的反比例函数的图象与线段相交于点，连接，，，，当四边形的周长最小时，求点，点的坐标． 反比例函数与菱形的综合问题 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点O与坐标原点重合，顶点B在x轴正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图像经过点D． (1)求的长及k的值； (2)反比例的图像上存在点E，使得的面积为，求点E的坐标． 2．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和荾形，点，在轴上，以点为圆心，长为半径作，连接    (1)求值； (2)计算图形阴影部分面积之和． 3．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图1，菱形的边在平面直角坐标系中的x轴上，菱形对角线交于点，过点C的反比例函数与菱形的边交于点E．    (1)求点C的坐标和反比例函数的表达式； (2)如图2，连接，求出的面积． 4．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上的一个动点，过点A作轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以为边作菱形，过点D作轴于点F，交反比例函数的图象于点E． (1)已知当时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是 　 　，点D的横坐标是 　 　，求该反比例函数的表达式； (2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求的值． 反比例函数与正方形的综合问题 1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）正方形的边长为4，交于点．在点处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点，完成填空：点的坐标是______．点的坐标是______，双曲线的解析式是______． (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点．当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 2．（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点A在正比例函数图象上，过点A作轴于点B，四边形是正方形，点D是反比例函数图象上． (1)若点A的横坐标为，求k的值； (2)若设正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k值． 3．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，正方形的边长为3，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)点是对角线上的一个动点，在（2）的条件下，是否存在点，使得的值最小？如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 反比例函数与实际应用的综合 1．（23-24八年级下·全国·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示． (1)开始学习后第5分钟时与第40分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)某校博雅课堂学习大致可分为三个环节：即“自学自测展素养，研学随练展收获，检学综练展成效”．其中重点环节“研学随练展收获”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．    (1)写出功率P关于电阻R的函数关系式． (2)这个用电器功率的范围是多少？ 3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题． (1)求y关于x的函数表达式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）小江制作了如图一款托盘天平，在天平支点O左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘P（可在上左右移动，）中放置一个可以装水的容器（容器的质量忽略不计）．在容器中加入一定质量的水，改变托盘P与点O的距离，可以使天平左右平衡，记录天平平衡时容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘P与点O的距离x/cm 40 24 20 16 12 10 加入的水的质量y/g 6 10 12 15 20.1 24 (1)①请在所给的平面直角坐标系中作出y关于x的函数图象． ②观察函数图象，并求y关于x的函数表达式． (2)若在容器中加入的水的质量y（g）满足，求天平平衡时托盘P与点O的距离x（cm）的取值范围． (3)根据杠杆原理，天平平衡时，左盘物体质量右盘物体质量（不计托盘与横梁质量），其中．小江为了改进托盘天平使得它能在右盘倒入小于6g水时天平也能平衡，不妨设小江在天平右盘容器中倒入5g水，他准备更换左盘中的物体，更换的物体质量分别有，和三款可供选择，保持其他条件不变．请你通过计算帮助小江从上述三款物体中挑选合适质量的物体，并求此时天平保持平衡时托盘P离O点的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 反比例函数与几何图形、实际应用的综合问题 已知比例系数求特殊图形的面积 1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A 向y轴作垂线，垂足为点B，点C、D在x轴上，且，则四边形的面积为 ． 【答案】2 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查反比例函数k的几何意义，如图，过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，根据反比例函数系数k的几何意义可得，然后证明四边形是平行四边形，根据平行四边形面积的求法计算即可． 【详解】解：过点A作轴，垂足为E， ∵A是反比例函数的图象上一点， ∴， ∵轴，轴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：2． 2．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C是点B关于原点O的对称点，连接，则的面积为 ． 【答案】10 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据题意先求出，再根据点，关于原点对称得到计算即可．熟练掌握值几何意义是关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点B， ∴， ∵点，关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：10． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，函数图象上两点A，B的横坐标分别是a，b，点O为坐标原点，则的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数k值的几何意义，分别过点A、B作x轴、y轴的平行线，交y轴于点C，交x轴于点D，两直线交于点E，根据题意可知，利用代入求值即可． 【详解】解：如图，分别过点A、B作x轴、y轴的平行线，交y轴于点C，交x轴于点D，两直线交于点E， 根据题意可知， ， 点A、B在反比例函数图象上， ， ， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据和都是等腰直角三角形可得出、，设，，则点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，再根据三角形的面积即可得出与的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 设，， 则点的坐标为， ∵反比例函数在第一象限的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点．交的图象于点．下结论正确有 ． ①与的面积相等；②与始终相等；③；④四边形面积不变； 【答案】①③④ 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义以及利用分割图形法求图形面积．设点的坐标为，则，，，．①根据反比例函数系数的几何意义即可得出；②由点的坐标可找出，，由此可得出只有时；③结合点的坐标即可找出，，由此可得出该结论成立；④利用分割图形法求图形面积结合反比例系数的几何意义即可得知该结论成立．问题得解． 【详解】解：设点的坐标为，则，，，． ①，， 与的面积相等，故①正确； ②，， 令，即， 解得：． 当时，，故②不正确； ③，， ， ，故③正确． ④． 四边形的面积大小不会发生变化，故④正确； 故答案为：①③④． 根据图形面积求比例系数（解析式） 1．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴，y轴的垂足分别为点B，C，若，，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于． 根据反比例函数的几何意义可得，再根据图象在第二象限可确定，进而得到解析式． 【详解】解：， ， 图象在第二象限， ， ， 故答案为∶． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，，四边形的面积为12，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，反比例函数k的几何意义，求反比例函数的解析式，先设这个反比例函数的表达式为，再通过证明四边形是平行四边形，并利用平行四边形的性质及反比例函数的性质得出k的值，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】设这个反比例函数的表达式为， ∵轴于点B， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，中，，点在轴的正半轴，点在第一象限，函数（）的图象与边，分别交于点，若，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握几何面积计算反比例系数的方法是解题的关键． 根据题意，连接，过点作于点，过点作于点，可得，可证，得到，设，则，点，根据，可得，则有，再根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴， ∵， ∴，且点三点共线， ∴点三点的横坐标都相同， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点在反比函数图象上， ∴，即， ∵点三点的横坐标都相同， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点， ∴ ， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 4．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，过反比例函数图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数于点B．连接、．若，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，令交轴于，由题意可得，求出，即可得解． 【详解】解：如图：令交轴于， ， ∵点在反比例函数上，且轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 【答案】6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键． 根据反比例函数中的几何意义：反比例函数图象上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于，数形结合可以得到，根据图象均在第一象限可知，再由四边形的面积为3，得到，即可得到答案． 【详解】解：矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 四边形的面积为3， 由图可知，， 即，解得， ， 故答案为：6． 反比例函数与平行四边形的综合问题 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，、为第一象限中两点，为轴正半轴上一点，且四边形为平行四边形，已知，，反比例函数的图像经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)若反比例函数的图像经过中点，把向上平移，对应得到，当在的图像上时，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、利用平行四边形的性质求解 【分析】过作于，根据勾股定理得到，求得，得到，于是得到结论； 根据平行四边形的性质得到，，得到点的纵坐标为，把代入得得到，过作轴于，根据勾股定理得到，把代入即可得到结论． 【详解】（1）解：过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴点的纵坐标为， ∵点是的中点， ∴点的纵坐标为， ∴把代入得，， ∴， ∵， ∴， 过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得，， ∵把向上平移，对应得到▱，当在的图象上时， ∴ ． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直线上，若，则四边形是半对角四边形． (1)如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，则______． (2)如图3，以的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)如图4，在（2）的条件下，若点E是反比例函数图像上的动点，当点E运动时，点B恰好在反比例函数的图像上运动，请直接写出k的值______． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)8 【知识点】利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定、反比例函数与几何综合、坐标与图形 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形、反比例函数图像上点的坐标特征等知识，理解题中定义，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据平行四边形的性质得到，， ，再根据题中定义得到，然后得到，根据等角对等边得到，进而可求解； （2）先根据平行四边形的性质得到，，进而证得，根据等边对等角得到，然后利用三角形的外角性质推导出，进而根据题中定义可得结论； （3）根据等腰三角形的判定推导出E为的中点，设，利用中点坐标公式可得，，进而可得点B的坐标为，利用反比例函数图像上点的坐标特征可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴， ∵四边形为半对角四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是半对角四边形； （3）解：由（2）知，，， ∵， ∴， ∴，则， ∴E为的中点， 设，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 由题意，点B的坐标为， ∵点E是反比例函数图像上，点B恰好在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， 故答案为：8． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图1，已知点，，且a、b满足，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线上经过C、D两点.                  (1)求k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求出其值. 【答案】(1) (2)或或 (3)不变， 【知识点】利用平行四边形的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、反比例函数与几何综合、坐标与图形 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，得出A、B两点的坐标，设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t，由D的坐标即可求出反比例函数表达式； （2）由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标． （3）连接，易证，故，，，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴， ∴，， ∴，， ∵E为中点，且横坐标为，根据中点坐标的计算方法， ∴， 设， 由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B， 则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点， ∴， ∴， ∴，， ∵D点在反比例函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点P在双曲线上，点Q在y轴上， ∴设，， ①当为边时： 如图1所示：若为平行四边形， ∵，，则， 解得， 此时，； 如图2所示，若为平行四边形， ∵，，则， 解得， 此时，； ②如图3所示，当为对角线时：，且； ∵，， ∴， 解得， ∴，； 故点Q的坐标为：或或； （3）解：如图4，连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 四边形中，，而， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式等知识，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键，当然除用中点坐标公式外，也可通过构造全等三角形来解决第（1）题和第（2）题． 反比例函数与矩形的综合问题 1．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，矩形的两边的长分别为3，8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F. (1)若点B坐标为，求m的值； (2)若，求反比例函数的表达式? 【答案】(1) (2) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了求反比例函数、矩形的性质、勾股定理等知识点，掌握反比例函数的定义成为解题的关键． （1）根据矩形的性质可得E两点坐标，再根据反比例函数的特征求解即可； （2）根据勾股定理可得的长，根据线段的和差可得，可得F点坐标，再根据根据待定系数法求得m的值即可． 【详解】（1）解：点B坐标为，，E是的中点， ∴点， 函数图象经过E点， ∴． （2）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，则， 设E点坐标为，则F点坐标为， ∵E，F两点在函数图象上， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，轴于点A．点D为边中点，过点D作交该函数图象于点E，过点E作轴于点F，过点E的正比例函数的图象与该函数的另一个交点为点G． (1) ． (2)求点E的坐标及四边形的面积． (3)当正比例函数的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)8 (2)，四边形的面积为4 (3)或 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据正方形的性质与判定求面积、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用函数图象求出不等式的取值范围是解题的关键． （1）直接把点代入反比例函数，求出的值即可； （2）根据点为边中点求出点坐标，进而可得出点坐标，由轴，轴可知四边形是正方形，进而可得出其面积； （3）先求出点坐标，再由函数图象可直接得出结论． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， 解得， 故答案为：8； （2）解：∵点为边中点，， ∴， ∵， ∴反比例函数的解析式为， ∵交该函数图象于点， ∴当时，， 解得， ∴， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积； （3）解：∵， ∴， ∴当或时，正比例函数的值大于反比例函数的值． 3．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，反比例函数分别与边、交于E、F两点，连接、，作直线EF分别交y轴、x轴于点G、H． (1) _______（填“”、“”、“”）； (2)若，，，求k的值； (3)当，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】矩形性质理解、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数k值意义，矩形的性质，待定系数求一次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）利用k的几何意义求解即可； （2）先求出，，利用待定系数法求出的解析式，再求出H的坐标，然后根据得出关于k的方程，求解即可； （3）设，，利用矩形的性质，k的几何意义可求出，，，，，利用待定系数法求出的解析式，再求出H的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数分别与矩形的边、交于E、F两点， ∴ ，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵反比例函数分别与矩形的边、交于E、F两点，，， ∴， 设的解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：设，，则，， ∴， ∴， ∴，， 设的解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图1，将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为，过点作轴的平行线交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，当点与点重合时，求点的坐标； (3)如图3，在(2)的条件下，点是线段上一动点，点是线段上一动点，过点的反比例函数的图象与线段相交于点，连接，，，，当四边形的周长最小时，求点，点的坐标． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)点的坐标为，点的坐标为 【知识点】证明四边形是菱形、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、反比例函数与几何综合 【分析】（1）由题意得出，推出，由折叠的性质得出，，从而得出，推出四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）由折叠可得，由勾股定理可得，推出，设，则，，再由勾股定理计算即可得解； （3）由(2)得坐标为，设点坐标为，根据反比例函数的性质得出坐标为，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，则，，连结，，得出，，四边形的周长，推出当四点共线时四边形的周长最小，待定系数法求出直线的解析式为：，即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且轴 折叠纸片使点落在轴上点处，折痕为， ，， ∴ 四边形是平行四边形 又 四边形为菱形． （2）解：点与点重合， 设，则，， 在中，，即， 解得， 点的坐标为； （3）解：由(2)得坐标为， 设点坐标为， 点都在反比例函数的图象上， ，， 即：， 解得， 坐标为， 作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，则，， 连结， ，， 四边形的周长， 当四点共线时四边形的周长最小， 设直线的解析式为，把，，代入，得 ， 解得， 直线的解析式为：， 令，即，得， 点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定定理、勾股定理、反比例函数的图象与性质、一次函数的应用、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 反比例函数与菱形的综合问题 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点O与坐标原点重合，顶点B在x轴正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图像经过点D． (1)求的长及k的值； (2)反比例的图像上存在点E，使得的面积为，求点E的坐标． 【答案】(1)5，22 (2)或 【知识点】利用菱形的性质求线段长、已知两点坐标求两点距离、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数与几何，平行四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用两点间距离公式求即可，利用平行四边形的性质可得出D的坐标，然后把D的坐标代入求解即可； （2）设E的纵坐标为，则E到的距离为，然后利用的面积求，在把代入反比例函数解析式求出E的横坐标即可． 【详解】（1）解∶∵点A的坐标为 ∴， ∵菱形， ∴，轴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 代入，得； （2）解：设E的纵坐标为，则E到的距离为， ∵的面积为， ∴， 解得或2， 由（1）知：反比例函数解析式为， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴E的坐标为或． 2．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和荾形，点，在轴上，以点为圆心，长为半径作，连接    (1)求值； (2)计算图形阴影部分面积之和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求其他不规则图形的面积、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．涉及菱形的性质，扇形的面积． （1）直接将点代入解析式求值即可； （2）利用分割法得到，求解即可． 正确的求出函数解析式，掌握相关图形的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）∵点在反比例函数图象上， ； （2）连接交于点．      ∵四边形是菱形   ∴与相互垂直平分,， ∴，， ∴是等边三角形 ， 又 ． 3．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图1，菱形的边在平面直角坐标系中的x轴上，菱形对角线交于点，过点C的反比例函数与菱形的边交于点E．    (1)求点C的坐标和反比例函数的表达式； (2)如图2，连接，求出的面积． 【答案】(1)， (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合 【分析】（1）由中点坐标公式求出点C的坐标，再用待定系数法即可求解的表达式； （2）先求出点B的坐标，再求出点E的坐标，然后用割补法求得的面积，即可求解． 【详解】（1）解：由菱形的性质知，点M是A，C的中点， ∵，， 由中点坐标公式，， 则， ， 即点， 将点代入反比例函数表达式得：， 则反比例函数的表达式为：； （2）解：过E作于点H，交y轴于点P，如图所示：    设， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴，即， 设的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 则的解析式为， 联立①②式，即， 解得（舍去），， 即 那么． 【点睛】本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、菱形的性质等，有一定的综合性，难度适中． 4．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上的一个动点，过点A作轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以为边作菱形，过点D作轴于点F，交反比例函数的图象于点E． (1)已知当时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是 　 　，点D的横坐标是 　 　，求该反比例函数的表达式； (2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求的值． 【答案】(1)3，8：y= (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）过点C作于点T，利用菱形面积求出，再利用勾股定理求出，从而可设出点C的坐标为，则点A的坐标为，得到，求出m的值即可得到答案； （2）设点，过点C作轴于点N，交于点M，利用菱形面积得到，即可得到点C的纵坐标为，则，进一步推出，点D的坐标为，点E的坐标为，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：过点C作于点T， ∴菱形面积， ∴， 在中，， ∴， ∴点C的横坐标为3，点D的横坐标为， 设点C的坐标为，则点A的坐标为， ∴， 解得：， ∴，， ∴反比例函数的表达式为：，， 故答案为：3，8； （2）解：设点，过点C作轴于点N，交于点M， ∵菱形面积是48， ∴， ∴， ∴点C的纵坐标为， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，正确利用菱形的面积求出对应线段的长度是解题的关键 反比例函数与正方形的综合问题 1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）正方形的边长为4，交于点．在点处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点，完成填空：点的坐标是______．点的坐标是______，双曲线的解析式是______． (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点．当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)满足条件的的值为2或 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质和正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的边长可确定点的坐标，再利用正方形的性质得出点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可； （2）根据点的坐标求出的长，再分两种情况讨论分别求出的值即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为交于点， ∵点是的中点， 将点坐标代入双曲线， 得， 解得， ∴双曲线的解析式为； （2）∵正方形边长为4， 由（1）知， ①当时， ∵，点、在反比例函数图象上， ②当时，点与点重合， ∵，点、在反比例函数图象上， 综上所述，满足条件的的值为2或． 2．（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点A在正比例函数图象上，过点A作轴于点B，四边形是正方形，点D是反比例函数图象上． (1)若点A的横坐标为，求k的值； (2)若设正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k值． 【答案】(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，利用正方形的边长相等来表示各个点坐标是解题的关键； （1）先求A的横坐标，就可以得到D的坐标，即可得出结论； （2）由正方形的面积为m，得出边长，可表示出D和A的纵坐标，进而求出D的坐标，代入反比例函数即可． 【详解】（1）点A的横坐标为，在正比例函数图象上， 当时，， A的坐标为：， 点A作轴于点B，四边形是正方形， ， ， D的坐标为：， 点D是反比例函数图象上 ， （2）正方形的面积为m， ， 点D和A得纵坐标为， A的坐标为：， ， D的坐标为：， 代入得： 3．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，正方形的边长为3，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)点是对角线上的一个动点，在（2）的条件下，是否存在点，使得的值最小？如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)反比例函数的解析式为 (3)存在， 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、正方形的性质，在解答此题时要注意整体思想的运用． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得出，故可得出结论； （2）根据列方程，解方程即可得出m的值，进而可得出反比例函数的解析式； （3）根据题意可得直线与的交点即为点P，求出直线的解析式，进而得到P点的坐标即可． 【详解】（1）证明：正方形的边长为3， ∴，， ∵点E和F在上， ∴点E的坐标为，点F的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴反比例函数解析式为； （3）解：由题可知点E，F关于直线对称， 则连接交于点P，则长最小， ∵点F的坐标为，点D的坐标为， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 同理可求：直线的解析式为， 解方程组得， ∴点的坐标为． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)①的值为4；②m，的值为1，3； (2)当时，； (3) 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论； ②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论； （2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可； （3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得． ，的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； （3）解：由（2）得，，又， ∴， ，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ， 设，， ，， 点是的中点， ； ， ， 点在上， ，整理得， （舍）或； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用，表达出点，的坐标是解题关键． 反比例函数与实际应用的综合 1．（23-24八年级下·全国·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示． (1)开始学习后第5分钟时与第40分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)某校博雅课堂学习大致可分为三个环节：即“自学自测展素养，研学随练展收获，检学综练展成效”．其中重点环节“研学随练展收获”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1)第40分钟时更集中 (2)合理，理由见解析 【知识点】实际问题与反比例函数、其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，此题属于分段函数，根据实际情况，结合图象，求出相对应的函数解析式，计算出数值，代入相应的函数解析式解决问题． （1）从图象上看，表示的函数为一次函数，是平行于轴的线段，为双曲线的一部分，设出解析式，代入数值可以解答，把自变量的值代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值比较得出； （2）求出相对应的自变量的值，代入相对应的函数解析式，求出注意力指标数与40相比较，得出答案． 【详解】（1）解：设，把，代入函数解析式解得，， 由图象直接得到， 设，把代入函数解析式解得； 把代入，得， 把代入，得， 因为， 所以第40分钟时学生的注意力更集中； （2）解：由题意知，注意力指数不低于40 即当在， 同时 即 即当开始上课分钟直至上课37.5分钟时学生的注意力指数均不小于40． 而， 该学习设计合理． 2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．    (1)写出功率P关于电阻R的函数关系式． (2)这个用电器功率的范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】（1）将代入中，即可得P与 R的函数关系式为； （2）根据R的范围，将R的最小值和最大值分别代入中，即可求出P的最大值和最小值，由此可得P的范围． 本题主要考查了反比例函数的定义和性质，利用反比例函数解决实际问题．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解∶根据电学知识，当时，由得． （2）解：将电阻的最小值代入， 得 ． 将电阻的最大值代入， 得． 所以用电器功率的范围是． 3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题． (1)求y关于x的函数表达式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2)小孔到蜡烛的距离为 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．熟练掌握反比例函数的图象和性质，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． （1）设．把，代入，求得k的值，即得； （2）把代入，求得x值即可． 【详解】（1）根据题意，设． 把，代入， 得， ∴y关于x的函数表达式为． （2）把代入， 得． 故小孔到蜡烛的距离为． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 【答案】(1) (2) (3)饮水机内水温约为，共有6次达到 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可知，当时是一次函数， 设将代入得： ， 解得， ∴水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为：； （2）在水温下降过程中，设水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为， 依据题意得：，解得， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， 解得：； （3）由（2），结合图象，可知每分钟图象重复出现一次， 经历时间为分钟， ， ∴当时，， 答：饮水机内水温约为，共有6次达到． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）小江制作了如图一款托盘天平，在天平支点O左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘P（可在上左右移动，）中放置一个可以装水的容器（容器的质量忽略不计）．在容器中加入一定质量的水，改变托盘P与点O的距离，可以使天平左右平衡，记录天平平衡时容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘P与点O的距离x/cm 40 24 20 16 12 10 加入的水的质量y/g 6 10 12 15 20.1 24 (1)①请在所给的平面直角坐标系中作出y关于x的函数图象． ②观察函数图象，并求y关于x的函数表达式． (2)若在容器中加入的水的质量y（g）满足，求天平平衡时托盘P与点O的距离x（cm）的取值范围． (3)根据杠杆原理，天平平衡时，左盘物体质量右盘物体质量（不计托盘与横梁质量），其中．小江为了改进托盘天平使得它能在右盘倒入小于6g水时天平也能平衡，不妨设小江在天平右盘容器中倒入5g水，他准备更换左盘中的物体，更换的物体质量分别有，和三款可供选择，保持其他条件不变．请你通过计算帮助小江从上述三款物体中挑选合适质量的物体，并求此时天平保持平衡时托盘P离O点的距离． 【答案】(1)①见解析   ② (2) (3)小江挑选质量为20（g）的物体，这时长为 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的实际应用． （1）①描出各点连线得到图象； ②根据图象可得到反比例函数，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据题意列出方程组，求解即可，然后根据增减性解题即可； （3）把三个数据分别代入，计算长，然后作出判断即可． 【详解】（1）①解：描出各点连线得到图象为： ②由图象可得与成反比例函数， 设反比例关系式为，则， ∴反比例关系式为； （2）解：当时，； 当时，； ∵在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当，则； （3）解：当左盘中的物体质量为35（g）时，，不符合题意； 当左盘中的物体质量为29（g）时，，不符合题意； 当左盘中的物体质量为20（g）时，，符合题意； ∴小江挑选质量为20（g）的物体，这时长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$