专题08 点与圆、直线与圆、求弧长、求扇形面积（5大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

专题08 点与圆、直线与圆、求弧长、求扇形面积 点与圆的位置关系 1．（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点在 （选填“圆内”，“圆上”，“圆外”）． 2．（23-24九年级上·吉林·期末）若的面积为，在同一平面内有一点，若，则点在 （填内或上或外）． 3．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）在中，，，．以点A为圆心，以长为半径画圆，点B与的位置关系是 ． 4．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知的半径为5，线段的长为d，若点A在外，则d的取值范围为 ． 求弧长 1．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 2．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为 ．    3．（23-24九年级上·河南许昌·期末）扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知，，的长为，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知点在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．，，则的长为 ． 求扇形的面积 1．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ．（结果保留） 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 3．（23-24九年级上·吉林·期末）中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审美的艺术价值．如图，一件扇形艺术品完全打开后，测得，则由线段，弧，线段，弧围成扇面的面积是 （结果保留）． 4．（23-24九年级上·北京海淀·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，，．若的半径为3，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．    与圆锥有关的计算问题 1．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是 ． 2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）用一个圆心角为，半径为2的扇形围城一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ． 3．（23-24九年级上·云南德宏·期末）某圆锥形生日帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 ． 4．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，张敏同学用纸板制作一个高为、底面半径为的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是 （用表示）． 正多边形和圆 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在正六边形中，连接、相交于点，则的值为 ．    2．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为 m2． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，已知正五边形，经过C，D两点的与分别相切于点M，N，连接，则 °. 4．（23-24九年级上·陕西西安·期末）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为 （结果保留根号） 求某点的弧形运动路径长度 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转到 的位置，点B的对应点D首次落在斜边上，则点A的运动路径的长为 ．    2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，边长为1的正方形的顶点，在半径为1的圆上，顶点，在圆内，将正方形沿圆的内壁按逆时针方向作无滑动的滚动，当点再一次落在圆上时，点运动的路径长为 ． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图所示，四边形为正方形，在等腰中，，若绕点A顺时针旋转，D、B的对应点分别为F、H，直线与直线相交于点P，则点P运动的路径长度是 ．    4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，，是弧上一动点，过点作，交于点，连接，，分别平分、，当点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ． 求图形旋转后扫过的面积 1．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，将绕点A按逆时针方向旋转到（点A、B、E在同一直线上），则在运动过程中所扫过的面积为 ． 2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，已知是的直径，且，点为半圆上的一个动点（不与点重合），在延长线上，作，的平分线，相交于点，则 ；在点移动的过程中，线段扫过的面积 ． 3．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，在矩形中，已知，将矩形绕点旋转，到达的位置，则在转动过程中，边扫过的图形的面积 ． 4．（22-23九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在，将绕点O逆时针旋转至，点在的延长线上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．（结果保留π） 求其他不规则图形的面积 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 ． 3．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在扇形中，，点C为的中点，交弧于点E，以点O为圆心，的长为半径作弧交于点D，若，则阴影部分的面积为 ． 4．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在扇形中，，，点为的中点，连接，，交点为，点为的中点，连接，，，则图中阴影部分的面积为 ． 直线与圆的位置关系 1．（24-25九年级上·全国·期末）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图1，在矩形中，，，点P从A开始沿折线以的速度移动，点Q从C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)t为何值时，四边形为矩形？ (2)当P在上运动时，t为何值时，直线与以为直径的圆相切？ (3)如图2，如果和的半径都是，那么t为何值时，和外切？ 3．（23-24九年级上·广东汕尾·期末）综合探究 如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 4．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 5．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为的直径，弦于点E，连接，，，F为中点，且． (1)求的长； (2)当时， ① ； ②求阴影部分的周长和面积． 6．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 与圆有关的新定义型问题 1．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【定义新知】 定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由． 2．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与___________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 3．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）【定义新知】 如图1，，是上两点，且在直径的上方，若直径上存在一点，连接，，满足，则称是的“幸运角”． 【问题探究】 （1）如图2，是的直径，弦，是上的一点，连接交于点，连接． ①是的“幸运角”吗？请说明理由； ②设所对的圆心角为，请用含的式子表示的“幸运角”的度数； 【拓展延伸】 （2）如图3，在（1）的条件下，若直径，的“幸运角”为，，求的长． 4．（23-24九年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和x轴上的点P，给出如下定义：若将线段绕点P旋转180°可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段为以点P为中心的“关联线段”． (1)如图，已知点，，，，在线段，，中，以点P为中心的“关联线段”是______； (2)已知点，线段是以点P为中心的“关联线段”，求点F的横坐标的取值范围； (3)已知点，若直线上存在点F，使得线段是以点P为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 点与圆、直线与圆、求弧长、求扇形面积 点与圆的位置关系 1．（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点在 （选填“圆内”，“圆上”，“圆外”）． 【答案】圆外 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，掌握点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外是解题的关键． 【详解】解：点到圆心的距离， 点在外． 故答案为：圆外． 2．（23-24九年级上·吉林·期末）若的面积为，在同一平面内有一点，若，则点在 （填内或上或外）． 【答案】内 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点在圆内是解题的关键． 根据面积求半径，比较半径与点到圆心的距离的大小，然后作答即可． 【详解】解：∵的面积为， ∴的半径为， ∵， ∴点在内， 故答案为：内． 3．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）在中，，，．以点A为圆心，以长为半径画圆，点B与的位置关系是 ． 【答案】点B在上 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】根据点到圆心的距离等于半径，则点在圆上，进行判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴以点A为圆心，以长为半径画圆，点B与的位置关系是：点B在上， 故答案为∶点B在上．    【点睛】此题主要是考查了点与圆的位置关系，能够熟记点到圆心的距离等于半径，则点在圆上是解题的关键． 4．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知的半径为5，线段的长为d，若点A在外，则d的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，，即可得到答案． 【详解】解：若点A在外， ． 故答案为：． 求弧长 1．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为 ．    【答案】 【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、求弧长 【分析】本题考查了圆的基本性质，弧长公式；连接，，，由同弧所对的圆周角相等得，由圆周角定理得，再由弧长公式即可求解；掌握性质及弧长公式，添加辅助线，求出所对的圆心角是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，，   ， ， ， ， ， 的长为， 故答案：． 3．（23-24九年级上·河南许昌·期末）扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知，，的长为，则的长为 ． 【答案】50 【知识点】求弧长 【分析】本题考查求弧长，掌握弧长公式是解题的关键．先求出的度数，再利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：∵，，的长为， ∴，， ∴的长为； 故答案为：50． 4．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知点在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、已知圆内接四边形求角度、求弧长 【分析】取点在上的对应点E，连接，过点作于点，根据四边形内接于，有，根据折叠的性质有，可证明，即是等腰三角形，则有，进而有，再解直角三角形求得，然后利用勾股定理求得，易证得是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求得即可． 【详解】解：取点在上的对应点，连接，过点作于点，如图， ∵四边形内接于， ∴， ∵点在上的对应点为点， ∴根据折叠的性质有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 求扇形的面积 1．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ．（结果保留） 【答案】/ 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查了扇形的面积公式，利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：扇形的面积为 故答案为：． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【知识点】求弧长、求扇形面积 【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积的计算等知识点，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积弧长．设扇形的半径为，根据弧长公式和已知条件得出，求出，再根据扇形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 扇形的圆心角为，弧长为， ， 解得：， 扇形的面积为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·吉林·期末）中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审美的艺术价值．如图，一件扇形艺术品完全打开后，测得，则由线段，弧，线段，弧围成扇面的面积是 （结果保留）． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式．根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：， 扇面的面积为： ． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·北京海淀·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，，．若的半径为3，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．    【答案】 【知识点】切线的性质定理、求扇形面积 【分析】题考查了切线的性质，四边形的内角和，扇形的面积．先根据切线的性质得到，然后根据四边形的内角和得到，再根据扇形面积公式计算是解题的关键． 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 与圆锥有关的计算问题 1．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是 ． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，高为， ∴圆锥的母线长， ∴圆锥的侧面展开图的面积； 故填：． 2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）用一个圆心角为，半径为2的扇形围城一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与圆锥的底面半径之间的关系，设这个圆锥的底面圆的半径为R，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题． 【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R，由题意： ， 解得． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·云南德宏·期末）某圆锥形生日帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 ． 【答案】/120度 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，设侧面展开扇形的圆心角为，则，代入数据即可求解． 【详解】设侧面展开扇形的圆心角为，则， ． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，张敏同学用纸板制作一个高为、底面半径为的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是 （用表示）． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求弧长、求扇形面积、求圆锥侧面积 【分析】本题主要考查勾股定理，扇形面积的计算，根据勾股定理可得母线长，弧长，再根据扇形面积的计算方法即可求解，掌握扇形面积的计算是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的母线长，， ∴． 故答案为：． 正多边形和圆 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在正六边形中，连接、相交于点，则的值为 ．    【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正六边形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键． 由正六边形的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，证出，根据正六边形的边长等于半径可得，进而可得出答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， ， ， 根据正六边形的边长等于半径，得 ， ， ． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为 m2． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 【详解】解：把正六边形分成6个全等的正三角形，易得每个正三角形的边长为，高为， ∴正六边形的面积为， 故答案为：. 3．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，已知正五边形，经过C，D两点的与分别相切于点M，N，连接，则 °. 【答案】36 【知识点】多边形内角和问题、切线的性质定理、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了切线的性质，正多边形，圆周角定理，连接，根据切线的性质和正多边形内角，可求得的度数，再利用圆周角定理，可得的度数，熟练求出正多边形的内角，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 与分别相切于点M，N， ， 五边形是正五边形， ， ， ． 故答案为：36． 4．（23-24九年级上·陕西西安·期末）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为 （结果保留根号） 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算．过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正六边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正六边形的一条边，点是正六边形的中心，过作于，    在正六边形中， ，则， ，， ， ∴正六边形的面积为， ， ， 的近似值为， 故选：B． 求某点的弧形运动路径长度 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转到 的位置，点B的对应点D首次落在斜边上，则点A的运动路径的长为 ．    【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的性质，由旋转的性质可求，可证是等边三角形，可得，由弧长公式可求解． 【详解】解： ∵将绕点C逆时针旋转到的位置， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点A的运动路径的长为， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，边长为1的正方形的顶点，在半径为1的圆上，顶点，在圆内，将正方形沿圆的内壁按逆时针方向作无滑动的滚动，当点再一次落在圆上时，点运动的路径长为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求弧长、求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质及其应用问题以及弧长公式．画出图形，找到每一次的旋转角度和旋转中心以及弧长，利用弧长公式解答即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由图可得：连接，，，， ， ，，，为等边三角形， B到的运动轨迹是以A为圆心的弧形 ， 由旋转的性质可得： 连接，由题意得为正方形的对角线，则 ， ， ， ， 点的运动路径长为， 故答案为：． 【详解】详解片段 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图所示，四边形为正方形，在等腰中，，若绕点A顺时针旋转，D、B的对应点分别为F、H，直线与直线相交于点P，则点P运动的路径长度是 ．    【答案】 【知识点】根据正方形的性质证明、求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是掌握正方形四边相等，四个角都是直角，旋转前后对应角相等，对应边相等，对应边的夹角等于旋转角． 根据题意画出图形，通过证明，得出，进而得出，则点P在以为直径的圆上运动，连接，当绕点A顺时针旋转时，点A和点P重合，此时，根据弧长公式，即可解答． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到，四边形为正方形， ∴，，， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴点P在以为直径的圆上运动， 连接， ∵， ∴点D为中点， ∴，    当绕点A顺时针旋转时，点A和点P重合， 此时， ∴点P经过的路程为， 故答案为：．    4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，，是弧上一动点，过点作，交于点，连接，，分别平分、，当点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、求某点的弧形运动路径长度 【分析】根据、分别平分、，求出，连接，证明，得到，得到点路径为以为弦，所对圆心角为的圆弧，构造，求出，，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，， ， ，分别平分、， ， 连接， ，，， ， ， 点的路径为以为弦，所对圆心角为的圆弧的一部分， 过点、、作圆，作圆内接四边形，则， ， ，， ， 当重合时， 则， ，则是等边三角形 点的运动路径长为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点问题根据题意确定点所经过的路径，角平分线的定义，三角形内角和定理，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，求弧长，转化为定边对定角问题是解题的关键． 求图形旋转后扫过的面积 1．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，将绕点A按逆时针方向旋转到（点A、B、E在同一直线上），则在运动过程中所扫过的面积为 ． 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积的计算，矩形的性质，根据旋转的性质可得，然后根据扇形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在矩形中，∵， 由旋转的性质得，， ∴， ∴在运动过程中所扫过的面积． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，已知是的直径，且，点为半圆上的一个动点（不与点重合），在延长线上，作，的平分线，相交于点，则 ；在点移动的过程中，线段扫过的面积 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，角平分线的定义，三角形的外角性质，勾股定理，扇形的面积等知识，设，，构建方程组求出 ；取的中点，以为圆心， 为半径作，是直径，则点在上运动，则扫过的面积扇形的面积的面积，利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可求解；解题的关键是找到点的运动轨迹． 【详解】解：∵的平分线相交于点， ∴可以假设，， 则有，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴； 取的中点，以为圆心，为半径作，是直径，则点在上运动， ∵，，， ∴， 则扫过的面积扇形的面积的面积， ， ； 故答案为：，． 3．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，在矩形中，已知，将矩形绕点旋转，到达的位置，则在转动过程中，边扫过的图形的面积 ． 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查了扇形面积的计算．先设，再根据勾股定理求出的值，再根据扇形的面积公式求解． 【详解】解：设， 则， ， 扫过的图形为扇环， 面积， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在，将绕点O逆时针旋转至，点在的延长线上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】根据旋转的性质得出，，，，根据直角三角形的性质求出，，求出，根据图形得出阴影部分的面积，再求出答案即可． 【详解】解：将绕点逆时针旋转至△，， ，，，， ，，， ，， ， ， 阴影部分的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，旋转的性质，直角三角形的性质等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 求其他不规则图形的面积 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解、求扇形面积、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据题意求出圆的半径和的度数，再计算出与的差，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴分别与相切于点， ∴四边形是正方形， 设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，解得：， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，勾股定理，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键．根据旋转的性质得到，，进而得到，再结合扇形面积公式和勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转得到， ，， ， 在中，，， ， 上式． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在扇形中，，点C为的中点，交弧于点E，以点O为圆心，的长为半径作弧交于点D，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．如图所示，连接，先证明是等边三角形，得到，，利用勾股定理求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点C为的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在扇形中，，，点为的中点，连接，，交点为，点为的中点，连接，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查求不规则图形的面积，用扇形的面积减去三角形的面积得到弓形阴影的面积，再加上两个三角形阴影的面积，求解即可． 【详解】解：∵在扇形中，，，点为的中点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为； 故答案为：． 直线与圆的位置关系 1．（24-25九年级上·全国·期末）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、证明某直线是圆的切线 【分析】本题主要考查了切线的判定、同弧所对的圆周角相等、等边对等角、圆周角定理、三角形内角和定理、垂径定理、含度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． （1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，由等边对等角得到，利用圆周角定理得到，利用三角形内角和定理，求得，即可证明直线是的切线； （2）根据垂径定理得到，根据含度角的直角三角形的性质，得到，根据勾股定理计算，由，得出答案即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接， ∵是的直径，，垂足为，的半径为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图1，在矩形中，，，点P从A开始沿折线以的速度移动，点Q从C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)t为何值时，四边形为矩形？ (2)当P在上运动时，t为何值时，直线与以为直径的圆相切？ (3)如图2，如果和的半径都是，那么t为何值时，和外切？ 【答案】(1) (2) (3)，， 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、切线的性质定理 【分析】（1）四边形为矩形，也就是，分别用含t的代数式表示，列方程求解即可； （2）利用切线的性质定理以及勾股定理得出，进而求出即可； （3）主要考虑有四种情况，一种是P在上；一种是P在上时．一种是P在上时，又分为两种情况，一种是P在Q右侧，一种是P在Q左侧．并根据每一种情况，找出相等关系，解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， 根据题意，当时，四边形为矩形． 此时：， 解得． 答：t为时，四边形为矩形； （2）解：如图所示：当切圆于点E，过点Q作于点F， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）或 故t为时，直线与以为直径的圆相切； （3）解：当时，与外切． ①如果点P在上运动．如图3 只有当四边形为矩形时，． 由（1）得； ②如果点P在上运动，如图 此时，则，， ∴与外离； ③如果点P在上运动，且点P在点Q的右侧，如图． 可得，，当时，与外切． 此时，， 解得； ④如果点P在上运动，且点P在点Q的左侧，如图． 当时，与外切． 此时，， 解得 ， ∵点P从A开始沿折线移动到D需要，点Q从C开始沿边移动到D需要，而， ∴当t为，，时，与外切． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，矩形的判定与性质，勾股定理，一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 3．（23-24九年级上·广东汕尾·期末）综合探究 如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）根据已知条件先证明，然后利用即可证明． （2）由（1）可得，由已知条件可得，得出，推出，再由平行线的性质可得． （3）连接，可得，且，进一步求得和，即可求得． 【详解】（1）证明：∵以为直径的交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （3）解：连接，如图， ∵，且以为直径 ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查直径所对圆周角为直角、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、切线的判定定理、勾股定理以及三线合一的性质，解题的关键是熟练直径所对圆周角为直角和切线的判定． 4．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，求解扇形的面积，熟练的证明圆的切线是解本题的关键． （1）连接，由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到，即可证明结论； （2）先证明，可得，，利用含的直角三角形的性质与勾股定理可得，，结合，从而可得答案． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， 是⊙O的切线． （2）解：∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ． 5．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为的直径，弦于点E，连接，，，F为中点，且． (1)求的长； (2)当时， ① ； ②求阴影部分的周长和面积． 【答案】(1)2 (2)①；②周长，面积 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用垂径定理求值、圆周角定理、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，，从而求得的值，最后根据垂径定理即可得出； （2）①根据含角度直角三角形和勾股定理可得的长，再根据垂径定理即可求得的长； ②连接，圆周角定理可得，从而可得，再根据含角度直角三角形和勾股定理可得的长，最后根据扇形的面积公式和弧长公式即可解题． 【详解】（1）解：为的直径， ， 为中点，O为中点， 且， ， ， ∵弦于点E， ， ； （2）解：①∵弦于点E， ，， ，， ，， ． 故答案为：； ②连接， ，， ， ． 在， ，，， ，， 的长， 阴影部分的周长， 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，含角度直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，扇形的面积公式和弧长公式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 6．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）由与相切于点A，可得出，由角平分线线的性质定理即可得出，即可得出是的切线． （2）利用勾股定理得出，线段的和差得出，设，则，利用勾股定理解，即可求出x． （3）根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵与相切于点A， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为2， ∴， ∵，， ∴，， ∵，都是的切线， ∴设，则， ∴在中 ，即， 解得， ∴． （3）在中，，， ∴，， ∴， ∴， ，， ∴ 【点睛】本题主要考查了证明某直线是圆的切线，角平分线的性质定理，勾股定理以及求不规则图形的面积等知识． 与圆有关的新定义型问题 1．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【定义新知】 定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①60；②（2） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用勾股定理计算即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明即可． 【详解】（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴, ∴, 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径,连接, 则 ∵圆的半径为5， ∴, ∵， ∴. ∴． （2）关系为：，理由如下： 如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴, ∴, 解得， ∴, ∵平分， ∴, ∴是等边三角形， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴, ∴, ∵, ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与___________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 【答案】(1)（或） (2)见解析 (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题属于圆的综合题，主要全等三角形判定与性质，垂径定理及其推论，圆周角所对弦是直径，圆内接四边形． （1）由矩形可得，，再由内接四边形可得是直径，即可根据“勾股弦”定义解答； （2）由垂径定理可得，，再由“勾股弦”定义得到，再结合勾股定理可得，，即可证明； （3）利用（2）中规律得到，，再设，半径为r，则，，，，，由列方程解得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：连接，如图①， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵矩形是的内接四边形， ∴是直径， ∴与或是一组“勾股弦”， 故答案为：（或）； （2）证明：∵，， ∴，，，， ∵、是的一组“勾股弦”， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， 在和中 ， ∴； （3）解：解：连接，，如图③， ∵N、Q分别为、的中点， ∴，，，， ∵、是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， ∵， ∴设，半径为r，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 3．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）【定义新知】 如图1，，是上两点，且在直径的上方，若直径上存在一点，连接，，满足，则称是的“幸运角”． 【问题探究】 （1）如图2，是的直径，弦，是上的一点，连接交于点，连接． ①是的“幸运角”吗？请说明理由； ②设所对的圆心角为，请用含的式子表示的“幸运角”的度数； 【拓展延伸】 （2）如图3，在（1）的条件下，若直径，的“幸运角”为，，求的长． 【答案】（1）①是的“幸运角”，理由见解析；②的 “幸运角”度数为n；（2）或 【知识点】根据三线合一证明、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形性质，解题的关键是作辅助线． （1）①根据是的直径，弦，可得，从而得到结合等腰三角形底边上三线合一即可得到答案； ②根据圆周角定理可得，，结合可得结合内外交关系即可得到答案； （2）连接连接，，由（1）可得，，，即可得到、，设，则有，根据“幸运角”为结合勾股定理即可得到答案． 【详解】解：（1）①是的“幸运角”，理由如下： 是的直径，弦， ， ， ， ， ， ， 是的“幸运角”； ②所对的圆心角为， ， ， ， ， 的 “幸运角”度数为n； （2）如图，连接，， 的“幸运角”为， ，，， ， ， ， ， ， 设，则有， ， 解得：，， 或． 4．（23-24九年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和x轴上的点P，给出如下定义：若将线段绕点P旋转180°可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段为以点P为中心的“关联线段”． (1)如图，已知点，，，，在线段，，中，以点P为中心的“关联线段”是______； (2)已知点，线段是以点P为中心的“关联线段”，求点F的横坐标的取值范围； (3)已知点，若直线上存在点F，使得线段是以点P为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)和 (2) (3) 【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、切线的应用、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由题知“关联线段”是关于P点成中心对称的，根据中心对称的性质即可得和是以点P为中心的“关联线段”． （2）由与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上，点在上，可得点的坐标为，P点坐标为，由此可得，根据与F点关于对称，可得F点的横坐标的取值范围． （3）作关于P点的对称圆，则F点既在上，又在直线上， 因此F点是和直线的交点．当直线与相切时，即可求出m的最大范围．分两种情况：切线在左边和在右边．根据等腰直角三角形的性质可求得F点坐标，再代入即可求出m的最大值和最小值，进而可得m的取值范围． 【详解】（1） 如图， ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴线段是以点为中心的“关联线段”； ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴若线段是以点P为中心的“关联线段”， 则与关于P点成中心对称， 则， 而的坐标只能是， ∴不可能在上， ∴线段不是以点P为中心的“关联线段”， 综上，以点P为中心的“关联线段”是和， 故答案为：和． （2）∵与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上， ∴点的纵坐标为． 又∵点在上， ∴点的坐标为，P点坐标为． ∵是的弦， ． ∵与F点关于对称， ． （3） ∵P点在x轴上， ∴的对应点只能为． ∵P点是的中点， ． 将绕P点旋转得， 则，且F点在上． 又∵F点在直线上， ∴F点是和直线的交点． 当与相切于时，连接作轴， 设直线于x轴的交点为A点， 则，， 则，， ∴点的横坐标为，纵坐标为． 将代入得， ， 解得． 当与相切于时，连接作轴于G点， 设直线于x轴的交点为B点， 则，， 且，， ∴点的横坐标为，纵坐标为． 将代入得， ， 解得， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题考查了中心对称图形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的小册子、一次函数的图像的性质，熟练掌握以上知识和数形结合思想、分类讨论思想和解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$