专题05 一元二次方程（6大经典基础题+1大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题05 一元二次方程 一元二次方程的定义 1．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）请写一个一元二次方程 ． 一元二次方程的解法 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）用配方法解方程:，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 3．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）将一元二次方程化成的形式，则 ． 4．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是 5．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 6．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）（1）解方程：   （2）解方程： 7．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）解方程：． 根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）下列一元二次方程，有两个不等的实数根的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实根的个数与的取值有关 D．没有实数根 3．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)当时，求此时方程的根． 4．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值时，此方程总有两个实数根； (2)当方程的一个根为时，求方程的另一个根及k的值． 根据一元二次方程根的情况求参数 1．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则满足（    ） A．且 B． C． D．且 2．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 3．（23-24九年级上·湖南永州·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 4．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若方程的有两个相等的实数根，则 ． 8．（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 9．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)求当a为正整数时方程的根． 一元二次方程根与系数的关系 1．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ． 2．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）设，是方程的两个实数根，则值为 ． 3．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，0成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 4．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)设方程的两根分别为，．若以，的值为对角线长的菱形面积为2，求m的值． 5．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）阅读材料： 材料1：如图，是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，则根据图形可以得到等式． 材料2：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料3：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，_____． (2)应用探究：一元二次方程两个根为，则_______． (3)思维拓展：已知实数分别满足，，其中且，求的值． 一元二次方程的应用 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）某地区去年投入教育经费2500万元，计划明年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）某种品牌运动服的每件零售价为元，经过两次降价，降为元，若每次平均降价率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个． 4．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）武汉某文化公司向市场投放型和型商品共件进行试销，型商品成本价元/件，型商品成本价元/件，要求两种商品的总成本价不超过元，已知型商品的售价为元/件，型商品的售价为元/件，全部售出且获得的利润不低于元．设该公司投放型商品件，销售这批商品的利润为元． (1)求与之间的函数解析式，并求出的取值范围； (2)该公司决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，当该公司售完这件商品并捐献资金后获得的最大收益为元时，求的值． (3)公司发现，将这两款商品成套以的价格销售时可以卖出套。公司决定降价成套出售，经过市场调查发现：销售单价每降价元，可多卖出套.当销售单价为多少元时利润可达到元且尽可能让利于顾客？ 5．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）某商店将每件进价为8元的商品按每件10元出售，一天可售出约100件，该店想通过降价增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件，将这种商品售价降低多少元时能使销售利润达到225元？ 6．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）天佑城服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少？ 7．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加，如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？ 一元二次方程的创新题型 1．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持． (1)求点的坐标（用含的式子表示）； (2)求的大小； (3)若整数使得关于的一元二次方程的两根均为整数，请求出的值及此种情况下面积的最小值． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：有解，所以为“明一方程”． (1)下列方程是“明一方程”的有； ①；②；③． (2)已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，，且当时，关于x的方程为“明一方程”，求该直线解析式； (3)已知为“明一方程”（a，b，c为常数，且）的两个根，试求的取值范围． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“幸福点”，经过点的函数，称为“幸福函数”． (1)若点是“幸福点”，关于x的函数是“幸福函数”，则__________，__________，__________． (2)若关于x的函数和都是“幸福函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值． (3)若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，M是y轴上一点，若将沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处．试问经过C，M两点的一次函数是否可以为“幸福函数”？若可以，请写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由． 4．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）约定：若关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，（），则称该方程为“益−Equation”，点（，）称为该方程的“益−Point”，经过该点的直线称为该方程的一条“益−Line”． (1)已知关于x的一元二次方程是“益−Equation”，求m的取值范围； (2)是否存在实数b，c，使得不论k（）为何值，关于x的“益−Equation”的“益−Point”M始终在直线的图象上，若存在请求出b，c的值，若不存在，说明理由； (3)已知关于x的“益−Equation”的两实根为，（），直线是该方程的一条“益−Line”．当时，y的取值范围恰好是，求直线的解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次方程 一元二次方程的定义 1．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； B、当时，方程不是一元二次方程，故不符合题意； C、方程化为，不是一元二次方程，故不符合题意； D、方程即是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：A．该方程是分式方程，故本选项不合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意； C．当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不合题意； D．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）请写一个一元二次方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义写出一个一元二次方程即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式是（，，为常数，）， 是一个一元二次方程， 故答案为：（答案不唯一）． 一元二次方程的解法 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）用配方法解方程:，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，根据题意把常数项2移项后，应在左右两边分别同时加上一次项系数的一半的平方，即可求出答案． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2024 【分析】由m是方程的一个实数根，可得，进而可得，然后整体代入所求的式子当中求值即可． 本题主要考查了一元二次方程的根，及利用整体代入法求代数式的值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵m是方程的一个实数根， ， ， ． 故答案为：2024 3．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）将一元二次方程化成的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式．由，可得，即，得出，，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解和三角形三边的关系． 利用因式分解法解方程得到，再利用三角形三边的关系得到三角形的第三边为5，然后计算三角形的周长． 【详解】 解得： 当第三边长是1时，，不符合三角形三边关系； 当第三边长是5时，，符合三角形三边关系， ∴这个三角形的周长是 故答案为：． 5．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）利用开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 或； （2）解：， ， 或． 6．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）（1）解方程：   （2）解方程： 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查解一元二次方程配方法、因式分解法，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． （1）根据配方法可以解答此方程； （2）根据提公因式法可以解答此方程． 【详解】解：（1）， 移项得：， 配方得： ， 开平方得：， ，； （2）， ， ， 或， 解得：，． 7．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．利用因式分解法解方程； 【详解】解：∵ ∴， ∴或， ∴，. 根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）下列一元二次方程，有两个不等的实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：A.，方程有两个不等的实数根，故选项A符合题意； B. ，方程没有实数根，故选项B不符合题意； C. ，方程有两个相等的实数根，故选项C不符合题意； D. ，方程有两个相等的实数根，故选项D不符合题意； 故选：A 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实根的个数与的取值有关 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)当时，求此时方程的根． 【答案】(1)证明见解析 (2)，， 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程， ∴ ， ∴此方程总有两不相等实根． （2）当时．方程为 ∴ 解得：，． 4．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值时，此方程总有两个实数根； (2)当方程的一个根为时，求方程的另一个根及k的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的判别式、解一元二次方程；理解一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）计算判别式的结果，得到大于等于0即可证明； （2）先将代入原方程求出k值，再将k值代入原方程，最后求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 不论k为何值时，此方程总有两个实数根； （2）将代入，得， 解得， 原方程为， 解得，． 根据一元二次方程根的情况求参数 1．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则满足（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念以及根的判别式．根据一元二次方程根的判别式求解，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 故选：B． 2．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根， 【详解】解：∵一元二次方程有实数解， ∴， ∴且， 故选：C． 3．（23-24九年级上·湖南永州·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义以及根的情况，熟练掌握一元二次方程根的情况是解题的关键．根据题意得到且即可得到答案． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：D． 4．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义和一元二次方程的定义列解不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， 故选：C． 5．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是本题的关键．根据所给的方程找出a，b，c的值，再根据关于x的一元二次方程有两个实数根，得出，从而求出k的取值范围． 【详解】解：在关于的一元二次方程中， ，而方程有两个实数根， ， ； 故选：C． 6．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，首先根据一元二次方程根的判别式的意义得到，然后解不等式即可，掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键． 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ． 故选：A． 7．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若方程的有两个相等的实数根，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了根的判别式，根据判别式的意义得到，然后解关于k的方程即可． 【详解】解：， ，，， ， 整理得：，即 或， 故答案为：或． 8．（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即实数的取值范围为． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)求当a为正整数时方程的根． 【答案】(1)a的取值范围为 (2)若a为正整数时，方程的根为1和3 【分析】本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不等式是解题的关键． （1）根据判别式即可求出答案； （2）根据a的范围可知，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为． （2）解：∵a为正整数， ∴， ∴原方程为， 即， 解得：，， ∴若a为正整数时，方程的根为1和3． 一元二次方程根与系数的关系 1．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是：熟练掌握元二次方程根与系数的关系． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）设，是方程的两个实数根，则值为 ． 【答案】31 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．根据方程的系数结合根与系数的关系可得出，，将其整体代入中，即可求出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：31． 3．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，0成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且 (2)不存在，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得， ，再由，可得关于k的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得且， 解得且； （2）不存在． 根据题意得， ， ∵0， ∴0，解得， ∵且， ∴不存在实数k，使0成立． 4．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)设方程的两根分别为，．若以，的值为对角线长的菱形面积为2，求m的值． 【答案】(1)见详解 (2)m的值为3 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式的符号即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，又由菱形的面积为，即可求出m的值． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】（1）证明：， 方程总有两个实数根． （2）解：根据根与系数的关系可得， ∵菱形面积为， ∴， 解得， 所以m的值为3． 5．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）阅读材料： 材料1：如图，是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，则根据图形可以得到等式． 材料2：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料3：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，_____． (2)应用探究：一元二次方程两个根为，则_______． (3)思维拓展：已知实数分别满足，，其中且，求的值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系，并灵活应用是解本题的关键． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）首先将变形为，然后代入，求解即可； （3）把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根，可得，，再整体代入求值即可． 【详解】（1）∵一元二次方程两个根为， ∴，； （2）∵， ∴ ∴； （3）解：把，两边同时除以得：， 则实数s和可看作方程的根， ∴，， ∴． 一元二次方程的应用 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）某地区去年投入教育经费2500万元，计划明年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，增长率问题，一般用增长后的量增长前的量+增长率，参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据去年投入2500万元，预计明年投入3600万元即可得出方程． 【详解】解：设这两年投入教育经费的年平均增长率为x， 今年投入教育经费万元， 明年投入教育经费 那么可得方程， 故选：C． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）某种品牌运动服的每件零售价为元，经过两次降价，降为元，若每次平均降价率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设每次平均降价率为，根据题意列出一元二次方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设每次平均降价率为，依题意得：， 故选：． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个． 【答案】9 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用---传播问题，等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支． ， ， 解得（不合题意，舍去），， 故答案为：9． 4．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）武汉某文化公司向市场投放型和型商品共件进行试销，型商品成本价元/件，型商品成本价元/件，要求两种商品的总成本价不超过元，已知型商品的售价为元/件，型商品的售价为元/件，全部售出且获得的利润不低于元．设该公司投放型商品件，销售这批商品的利润为元． (1)求与之间的函数解析式，并求出的取值范围； (2)该公司决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，当该公司售完这件商品并捐献资金后获得的最大收益为元时，求的值． (3)公司发现，将这两款商品成套以的价格销售时可以卖出套。公司决定降价成套出售，经过市场调查发现：销售单价每降价元，可多卖出套.当销售单价为多少元时利润可达到元且尽可能让利于顾客？ 【答案】(1)， (2) (3)元 【分析】（）根据题意即可得出与之间的函数关系式，根据两种商品的总成本价不超过元，全部售出且获得的利润不低于元，列不等式组可得的范围； （）根据题意得，再根据一次函数的性质解答即可求解； （）设销售单价为元时，利润可达到元，根据题意列出一元二次方程即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确题意，正确列出一次函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∵两种商品的总成本价不超过元，全部售出且获得的利润不低于元， ∴， 解得， ∴与之间的函数解析式为，的取值范围是； （2）解：根据题意可知一共捐出元， ∴， 当时, 的最大值小于，不符合最大收益为元， ∴.这种情况不存在； 当时，可知时，取最大值， ∴， 解得， ∴的值为； （3）解：设销售单价为元时，利润可达到元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：当销售单价为元时利润可达到元且尽可能让利于顾客． 5．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）某商店将每件进价为8元的商品按每件10元出售，一天可售出约100件，该店想通过降价增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件，将这种商品售价降低多少元时能使销售利润达到225元？ 【答案】将这种商品售价降低元时能使销售利润达到225元 【分析】根据题意可知设售价定为元，则利润为元，销售的总件数为；根据“涨价后每件的利润涨价后的销售量总利润”可列方程，求出即可．本题主要考查一元二次方程的应用，解决本题的关键是找出等量关系． 【详解】解：设这种商品的售价定为元时，能使每天的销售利润达到225元， 根据题意得： ， 整理得：， 解方程得：， ∴（元） ∴将这种商品售价降低元时能使销售利润达到225元 6．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）天佑城服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少？ 【答案】每件童装应降价20元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出平均每天就可多售出的件数，再根据题意列出现在一天可售出的件数及每件盈利的总钱数，找出题中的等量关系列出方程求解即可． 设每件童装降价元，那么平均每天就可多售出元，根据平均每天销售这种童装盈利1200元，即销量每件的利润元，列出方程求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元，则 ， 即：， 解得：，， 要扩大销售量，减少库存， 舍去． 答：每件童装应降价20元． 7．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加，如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)12个老旧小区 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题、一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，结合“某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．”进行列式，即可作答． （2）结合“2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加”，得，解出不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． （2）解：设该市在2024年可以改造y个老旧小区， 依题意得：， 解得：， 的最大值为12． 答：该市在2024年最多可以改造12个老旧小区． 一元二次方程的创新题型 1．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持． (1)求点的坐标（用含的式子表示）； (2)求的大小； (3)若整数使得关于的一元二次方程的两根均为整数，请求出的值及此种情况下面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3)，此种情况下面积的最小值为 【分析】（1）作轴于，先求出，再根据勾股定理求出即可表示出点的坐标； （2）连接，证明，进一步得出结果； （3）先根据题意且为整数求出的值，再设，用表示出的面积，再利用配方法和平方式的非负性求出其最小值． 【详解】（1）解：如图，作轴于， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ； （2）解：如图，连接， 四边形是菱形， ，，，， ， 是等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：设方程两个根为，， ， ， ， 当时，， 此时（舍去）， 当时，， 此时（舍去）， 当时，， 此时， 当时，， 此时， 当时，， 此时（舍去）， 当时， 此时（舍去）， 综上所述，， 此时，， ， 连接， 由（2）证得， ， ， ， 过作于， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 过作交的延长线于，则， ， ， ， ， ， 设， ， ， 点在线段上且不与、重合， ， ， ， ，， 当时，有最小值，为， ，此时面积的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程根与系数的关系、配方法等知识点，灵活运用这些知识点解决问题是解题的关键． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：有解，所以为“明一方程”． (1)下列方程是“明一方程”的有； ①；②；③． (2)已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，，且当时，关于x的方程为“明一方程”，求该直线解析式； (3)已知为“明一方程”（a，b，c为常数，且）的两个根，试求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)所求直线解析式为或或 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程根与系数的关系及方程的解，理解“明一方程”的定义是解决本题的关键． （1）将分别代入各个方程，按“明一方程”的定义进行判断即可； （2）由题意可得直线过点，可得，即，得出函数关系式为，再求出点A、B的坐标，再根据列出方程求解即可； （3）由为“明一方程”，可得，又，从而得出，且有，解不等式组得：．再由为的两根，且为其一个解，可得另一个解为，再求解即可． 【详解】（1）解：①将代入方程得，， 是方程的解， 为“明一方程”； ②将代入方程得，， 不是方程的解， 不是“明一方程”； ③将代入方程得，， 是方程的解， 为“明一方程”； 故答案为：①③； （2）解：当时，关于x的方程为“明一方程”， 直线过点， ，即， 函数关系式为， 令，得，即， 令，得，解得：，即， ， ， 解得：或， 直线解析式为或或； （3）解：已知为“明一方程”， 所以，又， 所以，且有， 解不等式组得：． 为的两根，且为其一个解， 所以另一个解为， 所以，令， 则是关于的一次函数，由一次函数的增减性可得： 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“幸福点”，经过点的函数，称为“幸福函数”． (1)若点是“幸福点”，关于x的函数是“幸福函数”，则__________，__________，__________． (2)若关于x的函数和都是“幸福函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值． (3)若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，M是y轴上一点，若将沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处．试问经过C，M两点的一次函数是否可以为“幸福函数”？若可以，请写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)0或 (3)存在， 【分析】（1）根据“幸福点”的概念列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后根据两个函数图象有且只有一个交点，得到只有一个根，然后利用一元二次方程的判别式求解即可； （3）根据题意分点M在y轴正半轴上和点M在y轴负半轴上两种情况讨论，分别根据“幸福函数”的性质求解即可． 【详解】（1）∵为“幸福点”， ∴， ∴， 将代入，解得，． 故答案为：，，； （2）①当时，， ∵函数是“幸福函数”， ∴，此时，符合题意， ②当时， 将分别代入与中，有 ∵两个函数图象有且只有一个交点， ∴只有一个根，即：， ∴， ∴， ∴k的值为0或； （3）①如图所示，当点M在y轴正半轴上时， 设沿直线将折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有， 由直线可得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 设M点坐标为，则，， ∴， ∴，解得， ∴，设直线解析式为，将，代入， 解得，． ∴，若该函数为“幸福函数”，则直线过“幸福点”． ∴， 解得（与矛盾，舍去）， ∴此时，不存在“幸福函数”． ②如图所示，当点M在y轴负半轴上时， ， 设M点坐标为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，又， 同理，用待定系数法可求得直线解析式为：， 若该函数为“幸福函数”，则直线过“幸福点”． ∴，得． ∴， 综上所述，存在“幸福函数”． 【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质，一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 4．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）约定：若关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，（），则称该方程为“益−Equation”，点（，）称为该方程的“益−Point”，经过该点的直线称为该方程的一条“益−Line”． (1)已知关于x的一元二次方程是“益−Equation”，求m的取值范围； (2)是否存在实数b，c，使得不论k（）为何值，关于x的“益−Equation”的“益−Point”M始终在直线的图象上，若存在请求出b，c的值，若不存在，说明理由； (3)已知关于x的“益−Equation”的两实根为，（），直线是该方程的一条“益−Line”．当时，y的取值范围恰好是，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)存在，，； (3)或或． 【分析】（1）由题意可得，，求出m的范围即可； （2）由题意可得，将点M代入，再结合题意可求； （3）分和两种情况讨论，利用点的坐标的意义以及根与系数的关系可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：存在实数b，c，理由如下： 由题意可得， 设方程的两个实数根分别是， ∴， ∴“益−Point”M为， ∵“益−Point”M始终在直线的图象上， ∴， ∴， 由题可得：； （3）解：∵， ∴， 当时，y的取值范围恰好是， 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴直线的解析式为， 根据题意点在直线上， 而，， ∴， 整理得， 解得或， ∴或， ∴直线的解析式为或， 综上，直线的解析式为或或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$