专题04 分式（8大经典基础题+2大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题04 分式 分式的定义 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列各式中是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南永州·期末）若分式无意义，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若分式的值为0，则 ． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如果分式有意义，则的取值范围是 ． 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）代数式无意义，则的值是 ． 分式的基本性质的应用 1．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）下列分式中 最简分式是（      ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）将方程中分母化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若把分式中都扩大3倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的 4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若把分式的x、y同时扩大10倍，则分式的值（    ） A．扩大10倍 B．缩小10倍 C．不变 D．缩小2023倍 5．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 同底数幂的除法、零指数幂和负整数指数幂 1．（23-24八年级上·湖南永州·期末）2020年 10月22日华为公司发布的麒麟9000芯片采用全球顶级工艺制程打造．已知，则这个数用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）已知，，则 ． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末），，则 ． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）科学记数法： ． 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）用科学记数法表示 ． 6．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）计算 ． 整数指数幂的运算 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末） ． 3．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）计算 ． 4．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）计算： ． 5．（23-24七年级下·湖南永州·期末）计算：． 6．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）计算： 7．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）计算： 分式的混合运算 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 2．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）计算：． 分式的化简求值 1．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）先化简，再求值：，其中在1，，中选一个你喜欢的数代入求值． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中． 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）先化简，再求值：，然后从，，，，中选择你喜欢的值带入求值． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）先化简，再求值：，其中 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）先化简，再求值：，其中． 6．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）先化简，再求值：，其中． 分式方程的解法 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）若关于的分式方程的解，则 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）解方程：． 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）解分式方程：． 4．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）解方程： 分式方程的实际应用 1．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）某县城要在一河道两旁建造休闲文化长廊，计划栽种一名贵树种960棵，由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务，若设原计划每天种树棵，根据题意列的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）闽江奇秀清澈又雄浑宽阔，江上自然景色和人文名胜交相辉映，旅游资源丰富．坐游船游览美丽的闽江便是其旅游项目之一．已知游船在静水中的最大航速，它以最大航速顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？若设江水流速为，则依题意可列方程 ． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）分式方程的应用 核酸检测时采集的样本必须在小时内送达检测中心，超过时间，样本就会失效．两个采样点到检测中心的路程分别为、，两个采样点的送检车有如下信息： 信息一：采样点送检车的平均速度是采样点送检车的倍； 信息二：两个采样点送检车行驶的时间之和为小时． 若采样点从开始采集样本到送检车出发用了小时，则采样点采集的样本会不会失效？ 4．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）桑植到张家界的距离约为，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从桑植去张家界，小刘比小张晚出发15分钟，最后两车同时到达张家界，已知小轿车的速度是大货车速度的1.2倍，求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答） 5．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）米粉是长沙的特色美食，五一广场某小吃店推出两款米粉，一款是“经典手工酸辣粉”，另一款是“牛肉哨子粉”，已知2份“经典手工酸辣粉”和3份“牛肉哨子粉”需56元；4份“经典手工酸辣粉”和5份“牛肉哨子粉”需100元． (1)求“经典手工酸辣粉”和“牛肉哨子粉”的单价； (2)红薯粉条是制作辣粉的原材料之一，该小吃店老板发现今年第三季度平均每千克红薯粉条的价格比第二季度上涨了，第三季度花600元买到的红薯粉条数量比第二季度花同样的钱买到的红薯粉条数量少了10千克，求第三季度红薯粉条的单价． 6．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）为顺利通过“文明城市”验收，某市拟对城区部分排水主干道公用设施全面更新改造，为响应城市建设的需要，需在一个月内完成工程，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的倍，若甲、乙两工程队合作只需12天完成． (1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ (2)若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是3万元，现提供以下三种方案，请你选择其中一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少． 方案一：甲工程队单独完成； 方案二：乙工程队单独完成； 方案三：甲、乙工程队合作完成． 分式的阅读理解类问题 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）已知∶且，，则 ． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）我们规定：在最简分式中，分子、分母都是各项系数为整数的整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式与一个真分式的和为整式，则称与互为“和整分式”． (1)已知：下列分式与假分式互为“和整分式”的是________． ①；②；③． (2)若假分式，存在一个真分式与互为“和整分式”． ①求真分式；②当时，求的值． (3)若与均与真分式互为“和整分式”，直接写出当整数为何值时，分式的值为整数． 3．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）阅读下列材料： 【材料一】 我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：再如这样的分式就是真分式． 类似的假分式也可以化为带分式．如：． 【材料二】 问题：用配方法求代数式的最值． 解：∵，而， ∴， 故当时，的最小值为． 解答下列问题： (1)分式是_________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可以化为带分式_________的形式； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． (3)求分式的最值． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)求所有符合条件的整数x的值，使得的值为整数． 分式方程无解情况 1．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）若关于x的方程有增根，则的值为（  ） A． B． C．0 D．1 2．（23-24八年级上·湖南永州·期末）若关于x的方程有增根，则m值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如果关于的分式方程 有增根，那么的值为 ． 4．（23-24八年级上·湖南常德·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若关于的分式方程有增根，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 分式 分式的定义 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列各式中是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，熟悉分式的定义是解题的关键． 根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案． 【详解】解：A、是整式，不是分式，不符合题意； B、是整式，不是分式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、是整式，不是分式，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级上·湖南永州·期末）若分式无意义，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母等于零即可解答． 【详解】解：若分式无意义，则， ∴， ∴当时，分式无意义． 故选：C． 3．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若分式的值为0，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式值为的条件，根据分子为且分母不为，得出，，求出结果即可；熟练掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如果分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 根据分式有意义的条件：分母不等于，列不等式求解即可． 【详解】解：分式有意义， ， 解得． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）代数式无意义，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义分母为零，得出，然后进行计算即可，解题的关键是由分式无意义分母为零，列出方程并正确求解． 【详解】解：∵代数式无意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 分式的基本性质的应用 1．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）下列分式中 最简分式是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简分式，以及约分，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．找出分式分子分母没有公因式的即可． 【详解】解：A、原式为最简分式，符合题意； B、原式，不符合题意； C、原式，不符合题意； D、原式，不符合题意． 故选：A． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）将方程中分母化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查将分母化为整数，分子分母各自乘一个不为零的数，或等式左右两边同乘一个不为零的数，根据上述两种方式逐一进行判断即可． 【详解】解：根据题意得，整理得，故C正确，A错误； 或，整理得，故B和D错误． 故选：C． 3．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若把分式中都扩大3倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质解决此题． 【详解】解：把分式中都扩大3倍，则 ， 分式的值不变． 故选：B． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若把分式的x、y同时扩大10倍，则分式的值（    ） A．扩大10倍 B．缩小10倍 C．不变 D．缩小2023倍 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．把分式的x，y同时扩大10倍，与原式比较即可． 【详解】解：把分式的x，y同时扩大10倍，得 而， ∴分式的值不变． 故选C． 5．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A、等号右边分子分母同时乘以，得左边，故A错误，不合题意； B、分式的分子分母同时加一个非零的数，得到的分式值与原分式不一定相等，故B错误，不合题意； C、，故C错误，不合题意； D、分子分母同时乘以，即，故D正确，符合题意． 故选：D 同底数幂的除法、零指数幂和负整数指数幂 1．（23-24八年级上·湖南永州·期末）2020年 10月22日华为公司发布的麒麟9000芯片采用全球顶级工艺制程打造．已知，则这个数用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：， 故选C． 2．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）已知，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂的除法．根据同底数幂除法的运算法则运算即可． 【详解】解：∵，， ． 故答案为：2． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末），，则 ． 【答案】2 【分析】根据，计算即可得答案． 本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，的逆运用． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）科学记数法： ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）用科学记数法表示 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 根据科学记数法定义，这里，． 【详解】． 故答案为：． 6．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，利用积的乘方和负指数幂公式计算即可求解，掌握积的乘方和负指数幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 整数指数幂的运算 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘除法、合并同类项法则、幂的乘方分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末） ． 【答案】 【分析】此题考查了积的乘方，分式的乘方和除法，负整数指数幂，单项式乘以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算积的乘方，分式的乘方，然后计算单项式乘以单项式，将除法转化成乘法，然后计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）计算 ． 【答案】1 【分析】本题考查了零指数幂，熟记“任何不等于0的数的0次幂都等于1”是解题关键． 【详解】解：， 故答案为：1． 4．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）计算： ． 【答案】 【分析】利用积的乘方法则、单项式的乘除法法则以及负整数指数幂法则计算即可． 【详解】解：原式＝4x2y﹣2•xy÷（﹣2x﹣2y） ＝4x3y﹣1÷（﹣2x﹣2y）， ＝﹣2x5y﹣2， ＝﹣． 【点睛】本题主要考查了积的乘方法则、单项式的乘除法法则以及负整数指数幂法则，解题的关键是熟记负整数幂的法则及同底数幂的乘除法则． 5．（23-24七年级下·湖南永州·期末）计算：． 【答案】9 【分析】根据零指数幂公式，负整数指数幂公式，有理数乘方的计算，解答即可． 本题考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 6．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）计算： 【答案】0 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂、平方差和乘方，再进行加减计算即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、平方差和乘方运算是解题的关键． 【详解】 7．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了含零指数幂、负整指数幂的实数运算，注意计算的准确性即可 【详解】解：原式                     分式的混合运算 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算． （1）利用平方差公式展开，然后提公因式化简即可． （2）先算括号里面的，然后提公因式化简即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 2．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，乘法公式，根据相关运算法则计算即可． 【详解】解： ． 分式的化简求值 1．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）先化简，再求值：，其中在1，，中选一个你喜欢的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查分式化简求值，涉及异分母减法运算、通分、因式分解、约分及分式乘除运算等知识，先运用分式混合运算化简，再由分式有意义的条件选取值，代入求解即可得到答案，熟练掌握分式的混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， 由分式有意义的条件可知，且，则当时，原式． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【分析】本题考查分式的混合运算，先将括号里的加法运算进行通分计算，再将分式的除法运算里的分子分母分解因式，然后根据分式的乘除运算进行约分化简即可，再代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）先化简，再求值：，然后从，，，，中选择你喜欢的值带入求值． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值及分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的运算法则，将原式化简为最简分式或整式，再代入求值． 【详解】解：， ， ， ， 由题意得：， 当时，原式． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母，熟悉相关性质是解题的关键． 先对进行化简，再把的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，． 6．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键主要是进行通分，通分的关键是找最简公分母，分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公分母； 首先将括号里通分运算，再利用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 分式方程的解法 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）若关于的分式方程的解，则 【答案】 【分析】本题考查了根据分式方程的解求参数，先解分式方程得，再由分式方程的解为得，解之即可求解，掌握解分式方程及分式方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 检验：把代入， ∴是原方程的解． 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”．把分式方程转化为整式方程求解，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：，即， 解得：，， 经检验是增根，所以分式方程的解为． 4．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．根据去分母，去括号，合并同类项，化系数为1，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， 原方程的解为：． 分式方程的实际应用 1．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）某县城要在一河道两旁建造休闲文化长廊，计划栽种一名贵树种960棵，由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务，若设原计划每天种树棵，根据题意列的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的实际应用．根据题意列方程即可得到本题答案． 【详解】解：设原计划每天种树棵，则实际种树为， 根据题意可列：， 故选：C． 2．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）闽江奇秀清澈又雄浑宽阔，江上自然景色和人文名胜交相辉映，旅游资源丰富．坐游船游览美丽的闽江便是其旅游项目之一．已知游船在静水中的最大航速，它以最大航速顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？若设江水流速为，则依题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设江水流速为，则游船顺流航行的速度为，逆流航行的速度为，再根据时间路程速度列出方程即可． 【详解】解：设江水流速为， 根据题意可得：， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）分式方程的应用 核酸检测时采集的样本必须在小时内送达检测中心，超过时间，样本就会失效．两个采样点到检测中心的路程分别为、，两个采样点的送检车有如下信息： 信息一：采样点送检车的平均速度是采样点送检车的倍； 信息二：两个采样点送检车行驶的时间之和为小时． 若采样点从开始采集样本到送检车出发用了小时，则采样点采集的样本会不会失效？ 【答案】不会失效． 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设采样点送检车的平均速度为千米/小时，则采样点送检车的平均速度为千米/小时，根据题意，列出分式方程，求出的值，即可求出采样点送检车的平均速度，进而求出采样点送达检测中心需要时间，最后求出总时间与比较即可判断求解，根据题意，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设采样点送检车的平均速度为千米/小时，则采样点送检车的平均速度为千米/小时， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴采样点送检车的平均速度为千米/小时， ∴采样点送达检测中心需要时间为：小时， ∵， ∴采样点采集的样本不会失效． 4．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）桑植到张家界的距离约为，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从桑植去张家界，小刘比小张晚出发15分钟，最后两车同时到达张家界，已知小轿车的速度是大货车速度的1.2倍，求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答） 【答案】小轿车的速度是，大货车的速度是． 【分析】本题主要考查分式方程的应用-行程问题，设大货车的速度是，则小轿车的速度是，列出方程，解题的关键是掌握列分式方程的步骤：审清题意，弄清已知量和未知量，找等量关系，设未知数，列出分式方程，解方程，检验，写出答案． 【详解】设大货车的速度是，则小轿车的速度是，由题意可得： 解得： 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， ∴小轿车的速度是，大货车的速度是． 5．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）米粉是长沙的特色美食，五一广场某小吃店推出两款米粉，一款是“经典手工酸辣粉”，另一款是“牛肉哨子粉”，已知2份“经典手工酸辣粉”和3份“牛肉哨子粉”需56元；4份“经典手工酸辣粉”和5份“牛肉哨子粉”需100元． (1)求“经典手工酸辣粉”和“牛肉哨子粉”的单价； (2)红薯粉条是制作辣粉的原材料之一，该小吃店老板发现今年第三季度平均每千克红薯粉条的价格比第二季度上涨了，第三季度花600元买到的红薯粉条数量比第二季度花同样的钱买到的红薯粉条数量少了10千克，求第三季度红薯粉条的单价． 【答案】(1)“经典手工酸辣粉”的单价为元，“牛肉哨子粉”的单价为元； (2)第三季度红薯粉条的单价为元/千克． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，根据题意正确列方程（组）是解题关键． （1）设“经典手工酸辣粉”的单价为元，“牛肉哨子粉”的单价为元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设第二季度红薯粉条的单价为元/千克，则第三季度红薯粉条的单价为元/千克，根据题意列分式方程求解，检验后即可得到答案． 【详解】（1）解：设“经典手工酸辣粉”的单价为元，“牛肉哨子粉”的单价为元， 由题意得：，解得：， 答：“经典手工酸辣粉”的单价为元，“牛肉哨子粉”的单价为元， （2）解：设第二季度红薯粉条的单价为元/千克，则第三季度红薯粉条的单价为元/千克， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：第三季度红薯粉条的单价为元/千克． 6．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）为顺利通过“文明城市”验收，某市拟对城区部分排水主干道公用设施全面更新改造，为响应城市建设的需要，需在一个月内完成工程，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的倍，若甲、乙两工程队合作只需12天完成． (1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ (2)若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是3万元，现提供以下三种方案，请你选择其中一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少． 方案一：甲工程队单独完成； 方案二：乙工程队单独完成； 方案三：甲、乙工程队合作完成． 【答案】(1)甲单独完成此项工程，甲需要20天，乙需要30天 (2)方案一，既能按时完工，又能使工程费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要12天”，列出分式方程，解方程即可； （2）根据（1）中的结果可知，符合要求的施工方案有三种，方案一：甲工程队单独完成；方案二：乙工程队单独完成；方案三：甲、乙两队合作完成．分别计算出所需的工程费用，再比较即可． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队天， 由题意：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：甲单独完成此项工程，甲需要20天，乙需要30天； （2）解：由题意：甲独做、乙独做，或者甲乙合作，均可如期完成工程， 若甲独做，其费用为：（万）， 若乙独做，其费用为：（万）， 若甲、乙合作，其费用为：（万）， ， 综上：甲工程队单独完成此项工程，既能按时完工，又能使工程费用最少． 分式的阅读理解类问题 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）已知∶且，，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了数字计算类的规律探究，分式的加减法计算法则，分式的化简，正确掌握运算法则得到计算结果的规律是解题的关键．分别求出、、 ，发现：每三个为一个循环，用2011除以3即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴发现：每三个为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）我们规定：在最简分式中，分子、分母都是各项系数为整数的整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式与一个真分式的和为整式，则称与互为“和整分式”． (1)已知：下列分式与假分式互为“和整分式”的是________． ①；②；③． (2)若假分式，存在一个真分式与互为“和整分式”． ①求真分式；②当时，求的值． (3)若与均与真分式互为“和整分式”，直接写出当整数为何值时，分式的值为整数． 【答案】(1)② (2)①；② (3)当整数为或或或或或时，分式的值为整数 【分析】本题考查分式的加减运算，求代数式，分式为整数， （1）根据“和整分式”的定义进行判断即可； （2）①根据“和整分式”的定义可得的值；②根据，得到，然后代入计算即可； （3）根据“和整分式”的定义可得出为整数，即可求解； 掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵ ， 则该分式与假分式的和不是整式， ∴该分式与假分式不是互为“和整分式”； ②∵， 则该分式与假分式的和是整式， ∴该分式与假分式互为“和整分式”； ③∵， 则该分式与假分式的和不是整式， ∴该分式与假分式不是互为“和整分式”； 故答案为：②； （2）①∵， 又∵存在一个真分式与互为“和整分式”， ∴； ②∵， ∴， 当时，； （3）∵与均与真分式互为“和整分式”， 设，， ∴，都是整式，且， ∵的值为整数， ∴为整数， ∴能被整除，且即， ∴或或， 解得：或或或或或， ∴当整数为或或或或或时，分式的值为整数． 3．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）阅读下列材料： 【材料一】 我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：再如这样的分式就是真分式． 类似的假分式也可以化为带分式．如：． 【材料二】 问题：用配方法求代数式的最值． 解：∵，而， ∴， 故当时，的最小值为． 解答下列问题： (1)分式是_________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可以化为带分式_________的形式； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． (3)求分式的最值． 【答案】(1)真分式； (2) (3) 【分析】（1）根据材料一的定义与例题判断化简即可； （2）将化为真分式，然后对分母进行赋值即可； （3）先将根据材料一化为真分式，然后根据材料二对分母转化求最值即可． 【详解】（1）解：1为0次，为1次， 故分式是真分式； ； 故答案为：真分式， （2）解：， ，解得； ，解得； ，解得； ，解得． 故满足条件的整数x的值为 （3）解： ， 故当时，分式的最小值为． 【点睛】本题考查了新定义，相关知识点有：分式加法的逆用，多项式的配方等知识点，充分理解题意是解题关键． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)求所有符合条件的整数x的值，使得的值为整数． 【答案】(1)真； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的化简运算，正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】（1）解：∵的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真． （2）解：． （3）解： ， ∵与x均为整数， ∴或或1或， ∴或或0或， ∵ ，，，， ∴，0，，1． ∴． 分式方程无解情况 1．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）若关于x的方程有增根，则的值为（  ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 先去分母，化为整式方程，再根据有增根确定的值，代入整式方程，解关于的一元一次方程即可得答案． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， ∵关于x的方程有增根， ∴， ∴． 故选：A． 2．（23-24八年级上·湖南永州·期末）若关于x的方程有增根，则m值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根，在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．先让方程两边同乘以，化为整式方程，再把代入计算，即可求m． 【详解】解：方程两边同乘以， 则， 关于x的方程有增根， ，即， 把代入，可得：， 解得． 故选：B． 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如果关于的分式方程 有增根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是熟练掌握增根的概念，可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此解答即可． 【详解】解：， 去分母得：， 即， 关于的分式方程有增根， ，即， ， 解得：． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·湖南常德·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解无解的意义是解题的关键． 解方程得，由方程无解，可知1，即可求． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， ∵方程无解， 故答案为：1． 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若关于的分式方程有增根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的知识，根据分式方程有增根，则该方程无解，解出，即可求出． 【详解】解： 去分母得，， 移项，合并同类项得，， ∵有增根， ∴该方程无解，即， 解得：， ∴ ∴． 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