专题05 三角形（7大经典基础题+2大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题05 三角形 三角形的有关概念 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的分类，求出最大的内角的度数，进行判断即可． 【详解】解：∵三角形三个内角的度数之比是，三角形的内角和的度数为180度， ∴最大的内角的度数为， ∴这个三角形一定是直角三角形； 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）在中，下列条件能说明是直角三角形的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形按角分类，解题的关键是求出三角形中最大内角的度数． 利用三角形内角和定理，结合已知条件求出三角形的最大内角，即可判断． 【详解】解：A、∵，， ∴， 是锐角三角形，故此选项不符合题意． B、∵，， ∴， 是等边三角形，故此选项不符合题意． C、，， ， 是直角三角形，故此选项符合题意． D、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 是钝解三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，学校门口设置的移动拒马护栏做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案，掌握“三角形具有稳定性”是解题的关键． 【详解】解：因为学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形， 所以这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故选：B． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（    ） A．美观性 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 【答案】B 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，根据三角形具有稳定性即可求解． 【详解】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性， 故选：B． 5．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．4，5，10 B．1，2，3 C．2，2， D．5，5，10 【答案】C 【分析】本题主要考查了能否构成三角形，根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行判断即可． 【详解】解：．∵， ∴不能组成三角形，故该选项不符合题意； ．∵， ∴不能组成三角形，故该选项不符合题意； ．∵， ∴可以构成三角形，故该选项符合题意； ．∵， ∴不能组成三角形，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）若三条能组成三角形线段的长分别是2，3，，则的取值不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系．解题的关键在于熟练掌握组成三角形的三边关系即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】解：由三角形三边关系可知， 即， 的取值不可能是． 故选：D． 7．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，测量得，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质，折叠的性质，利用三角形的外角的性质，折叠的性质，计算即可．解题的关键是掌握三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和． 【详解】解：∵， ∴， ∵将三角形纸片沿折叠， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 8．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质的应用， 首先根据三角形外角性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 9．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 . 【答案】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律，注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数． 【详解】解：观察图形可知： 从点首先连接，不同的三角形个数为， 再连接，不同的三角形个数为， 再连接，不同的三角形个数为， ， ∴连接到时，图中有个三角形(n为正整数)， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键． （1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论； （2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论； （3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴（等底等高）， ∴， ∴ （2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，    则， ∴， ∴． （3）解：连接，    ∵， ∴， ∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比）， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知， ∵由（2）可知，，即， ∴， ∴ ∴． 11．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，在中，的平分线交于点D．作交于点E． (1)求证：； (2)点M为射线上一点（不与点A重合）连接，的平分线交射线于点N．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由角平分线的定义得出，结合题意得出，即可得证； （2）分两种情况：当点在线段上时；当点在的延长线上时，分别画出图形，依据图形中，角之间的相互关系，转化到一个三角形中，利用三角形的内角和定理，设未知数，列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，由内角和定理得：， 解得：， ∴； 如图，当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，由内角和定理得：， 解得：， ∴； 综上所述，的度数为或． 命题与证明 1．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题都是由题设和结论两部分组成的．根据命题的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．两点之间线段最短，是命题； B．在同一个平面内两直线不平行就相交，是命题； C．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题； D．对顶角相等，是命题． 故选：C． 2．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）以下命题是假命题的是（    ） A．的算术平方根是2 B．有两边相等的三角形是等腰三角形 C．三角形三个内角的和等于180° D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】分别利用算术平方根、等腰三角形的判定、三角形内角和公式、平行的相关内容，进行分析判断即可． 【详解】解：A、的算术平方根应该是， A是假命题， B、有两边相等的三角形是等腰三角形，B是真命题， C、三角形三个内角的和等于180°，C是真命题， D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，D是真命题， 故选：A． 【点睛】本题主要是考查了真假命题，正确的命题为真命题，错误的命题为假命题，根据所学知识，对各个命题的正确与否进行分析，这是解决该题的关键． 3．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等 C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】先找出各命题的逆命题，再根据所学知识进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，此逆命题是假命题，不符合题意； B、“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等形”，此逆命题是假命题，不符合题意； C、“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是“如果ab＞0，那么a＞0，b＞0”，此逆命题是假命题，不符合题意； D、“两直线平行，内错角相等”的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，此逆命题是真命题，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了命题的判断，掌握命题的概念及分类并能利用所学知识判断命题是解题的关键． 4．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）命题：若两数相等，则它们的绝对值相等它的逆命题是 ． 【答案】若两数的绝对值相等，则这两数相等 【分析】把一个命题的条件和结论对调就得到它的逆命题． 【详解】命题：“若两数相等，则它们的绝对值相等”的条件是“若两数相等”，结论是“它们的绝对值相等”，故其逆命题是“若两数的绝对值相等，则这两个数相等”. 故答案为：若两数的绝对值相等，则这两个数相等． 【点睛】本题考查了对逆命题的理解，熟练掌握逆命题的定义是解题关键． 等腰三角形的性质与判定 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角度数为 °． 【答案】100 【分析】本题主要考查了等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理，结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为， ∴它的顶角度数为：， 故答案为：100． 2．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）已知等腰三角形一底角为，则这个等腰三角形顶角的大小是 度． 【答案】120 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为，可以求出其底角或顶角的度数． 【详解】解：等腰三角形顶角的大小是， 故答案为：120． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，射线线段，垂足为B，，垂足为D，，，．点E为射线l上的一动点，当的周长最小时， ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积公式，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则，，证明出、为等腰直角三角形，得出，当、、在同一直线上时，的周长最小，最后由三角形面积公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，， 则，， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 的周长， 当、、在同一直线上时，的周长最小，， 当的周长最小时，， 故答案为：3． 4．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，分别平分，交于点，过点作直线平行于，分别交，于点，，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的性质和两直线平行的性质，解答本题的关键在于熟练掌握角平分线的性质和两直线平行的性质，利用角平分线的性质和等腰三角形的性质证明，，本题即可求解． 【详解】解：∵，分别平分，， ，， 又 ，， ， 为等腰三角形，即， 同理，， 为等腰三角形， ∴， 又∵，，， ， 故答案：． 5．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）（1）动手操作：如图①，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么度数为______； （2）观察发现：小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为，展平纸片后得到（如图③）．小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由； （3）实践运用：将矩形纸片按如下步骤操作：将纸片对折得折痕，折痕与边交于点E，与边交于点F；将矩形与矩形分别沿折痕和折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有（如图④），求的大小． 【答案】（1）；（2）同意，见解析；（3） 【分析】本题考查了图形的折叠、等腰三角形的性质、轴对称等知识点，熟练理解折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质得对应角相等，结合三角形内角和定理与平角的定义即可得出答案； （2）由折叠的性质得对应角相等，结合三角形内角和定理可推出两角相等，结合等腰三角形的判定即可得出答案； （3）由折叠和对称的性质得对应角和对应线段相等，从而得出三角形全等，全等三角形的对应角相等和两直线平行同旁内角互补，即可得出答案． 【详解】解：（1） 由折叠可得： ∴ （2）同意． 如图，设与交于点． 由折叠知，平分，所以． 由折叠知， 所以， 所以．所以， 即为等腰三角形． （3）由题意得： ， 由对称性可知， 而由题意得出：， 在和中， 而 即 ． 等边三角形的性质与判定 1．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图，直线，等边的两个顶点A，分别在直线和上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，等边三角形的性质，过点C作，根据平行线的性质得，根据是等边三角形得，即可得，根据直线，得，根据两直线平行，内错角相等即可得；掌握平行线的判定与性质，等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵直线，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵直线，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，将三个现状、大小完全一样的等边三角形的一个顶点重合放置，，则 ． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）下列四个说法中：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于的三角形是等边三角形；③有一个角是的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形. 其中不正确的是 （填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了等边三角形的判定，熟练掌握判断是解题的关键． 【详解】①三个角都相等的三角形是等边三角形，正确，不符合题意； ②有两个角等于的三角形是等边三角形；正确，不符合题意； ③有一个角是的等腰三角形是等边三角形；正确，不符合题意； ④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形. 不正确，符合题意； 故答案为：④． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图，已知，若，则 ．    【答案】/50度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据全等三角形对应角相等可得，然后在中利用三角形内角和定理即可求出求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图所示，已知是等边三角形，点分别在上，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质与判定，过点M作，则，，再由等边三角形的性质得到，再由角的和差关系即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点M作， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 6．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）已知：如图，，，． (1)求证：为等边三角形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质和可得，得到，再由可得，即可证明； （2）根据等边三角形的性质和三角形外角的定义即可求解． 【详解】（1） ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形． （2） 为等边三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的定义，熟练掌握等边三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． 线段垂直平分线的性质与判定 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，边上的垂直平分线交于点，交于点，，的周长为，则的长为（      ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级上·湖南永州·期末）如图，在等边三角形中，高，是上的动点，是边上的动点，在点、运动的过程中，的最小值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查轴对称求最短距离，确定的最小值为的长是解题的关键．根据等边三角形的性质，可知B与C关于对称，过C作交于点E，交于点F，则的最小值为的长，求出的长即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，D是边中点， ∴，， ∴B与C关于对称， 过C作交于点E，交于点F， 则，则的最小值为的长， ∵，， ∴， 故答案为8． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在等边中，是边的中点，是边上的中线，是上的动点，若，则最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，连接，由等边三角形的性质可得，，进而得到为的垂直平分线，即得，得到，可知当点三点共线时，的值最小，最小值即为线段的长，又由等边三角形的性质可得，由三角形的面积可得，即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为等边三角形，是边上的中线， ∴，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值即为线段的长， ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （）先根据相等垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可. 本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，对顶角相等，解题关键是熟练掌握知识点的应用. 【详解】（1）证明：如图所示， 连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； （2）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， 设，， ∴，，， ， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图所示，在中，，为的中点，且，已知的周长为，且，求、的长． 【答案】， 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握其性质． 根据题意可知，然后根据，可得出、的长度． 【详解】解： ∵的周长为8， ∴ ∵的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，． 6．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图所示：线段的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)若，的周长是18，求的长； (2)若的周长为18，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了垂直平分线的性质， （1）首先根据垂直平分线的性质得到，然后结合题意得到，求出，进而求解即可； （2）根据的周长为18，得到，然后由垂直平分求出，进而求解即可． 【详解】（1）∵垂直平分 ∴ ∵的周长是18， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）∵的周长为18， ∴ ∵， ∴，即 ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴． 7．（23-24七年级下·湖南常德·期末）中，垂直平分线段，交于点，垂直平分线段，交于点，与的交点恰好在的一边上． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及平行线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得，，等量代换得，从而可证结论成立； （2）由等腰三角形的性质得，由三线合一得，可证，从而． 【详解】（1）连接， ∵垂直平分线段， ∴． ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 全等三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）如图，已知，要证，我们将用到全等三角形的判定理或基本事实是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．连接，利用“边边边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等证明即可． 【详解】证明：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴． 故选D． 2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 (填序号)． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查全等三角形的判定、等边对等角，垂直平分线的判定定理等知识，由垂直平分线的判定可得垂直平分，即①②正确，根据可证明，可得③正确，根据等边对等角即可判断④正确．解题的关键是推导垂直平分．运用对称思想解本题会更直观，更形象生动，便于理解． 【详解】解：∵，， ∴点B、D在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ∴，，即①②正确 在与中， ， ，故③正确； ， ∵， ∴，故④正确； 综上正确的有：①②③④． 故答案为：①②③④． 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知，若以“”为依据证明，还要添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理可直接得出答案． 【详解】解：添加的条件， 在与中， ， ． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·湖南永州·期末）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，可以判断出，则判断的理由是： ． 【答案】/角角边 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据所给条件可利用证明． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）已知：如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）利用即可证明； （）由可得，进而可得，得到，再根据平行线的判定即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 6．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）已知和位置如图所示，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质： （1）由证明，得出对应角相等即可； （2）证出，由全等三角形的性质得出，由证明，得出对应边相等即可． 【详解】（1）在和中， ， ∴， （2）∵， ∴， 即， 由（1）得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 7．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在四边形中，平分，点E在线段上，，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）由平分．得出，结合已知条件即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 尺规作图 1．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作法易得，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作法易得， 在与中， ， ∴（）， ∴（全等三角形的对应角相等）． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键． 2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如下图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判定的依据是 ． 【答案】 【分析】用直尺和圆规作一个角等于已知角，根据作图步骤有，从而可知，判断的依据是． 【详解】解：由用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图步骤可知，如图所示： ， 判断的依据是， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形尺规作图中作两个角相等得到的三角形全等的判定定理，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）人教版初中数学教科书八年级上册第页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知：． 求作：的平分线． 作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． 画射线，射线即为所求如图． 请你根据提供的材料完成下面问题． （1）这种作已知角的平分线的方法的依据是______（填序号）． （2）请你完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知， 在和中， ______ ． ______ ． 为的角平分线．    【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）根据证明，即可； （2）由作图可知，，利用证明，即可． 【详解】解：（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是． 故答案为： （2）由作图可知：，， 在和中， ， ， ． 为的角平分线， 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握作已知角的平分线的作法，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 4．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）请画图举例：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不全等（标出相等的边和角）． 【答案】画图证明见解析 【分析】先画，满足AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，再说明两个三角形不全等即可． 【详解】解：如图即为所求．其中AB=AB，AD=AC，∠B=∠B， 显然两个三角形不重合，所以△ABC与△ABD不全等． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是准确画出图形，画图的关键是不能画成直角． 全等三角形的辅助线问题 1．（23-24八年级上·湖南永州·期末）已知是中边上的中线，，，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到E，使，证明，从而求的取值范围． 【详解】延长到E，使，连接 ∵是边上的中线 ∴            即 ． 故选D． 【点睛】本题考查了延长线的应用、全等三角形的判定定理以及三角形的两边之和大于第三边，合理的作辅助线是解题的关键． 2．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）问题发现： 如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B、D，E在同一直线上，连接CE，求的度数，并确定线段BD与CE的数量关系． 拓展探究： 如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，，且点B，D，E在同一直线上，于F，连接CE，求的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系． 【答案】问题发现：∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE，理由见解析；拓展探究：∠BEC＝90°，BF＝CE＋AF，理由见解析 【分析】问题发现：证明△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，由点B，D，E在同一直线上，可得∠BEC＝60°； 拓展探究：方法同上，证明△ABD≌△ACE（SAS），可得BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，由点A，D，E在同一直线上，可得∠ADB＝∠AEC＝135°，进而可得∠DAE＝90°，由AD＝AE，AF⊥DE，可得AF＝DF＝EF，即可得出BF＝BD＋DF＝CE＋AF． 【详解】问题发现：∵△ACB和△ADE均为等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA， ∵点B，D，E在同一直线上， ∴∠ADB＝180－60＝120°， ∴∠AEC＝120°， ∴∠BEC＝∠AEC－∠AED＝120－60＝60°， 综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE． 拓展探究： ∵△ACB和△DAE均为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADB＝180－45＝135°， ∴∠AEC＝135°， ∴∠BEC＝∠AEC－∠AED＝135－45＝90°； ∵∠DAE＝90°，AD＝AE，AF⊥DE， ∴AF＝DF＝EF， ∴DE＝DF＋EF＝2AF， ∴BF＝BD＋DF＝CE＋AF． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）已知：如图，在等腰三角形ABC中，120BAC180，ABAC，ADBC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，ACE与ABC在直线AC的异侧，直线BE交直线AD于点F，连接FC交AE于点M． （1）求EFC的度数； （2）求证：FE+FA=FC．    【答案】(1)；(2)详见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠1＝∠2，由直线AD垂直平分BC，求出FB＝FC，根据等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，然后求出AB＝AE，根据等腰三角形的性质得出∠3＝∠5，等量代换求出即可得到； （2）在FC上截取FN，使FN＝FE，连接EN，根据等边三角形的判定得出△EFN是等边三角形，求出∠FEN＝60°，EN＝EF，再求出∠5＝∠6，根据SAS推出△EFA≌△ENC，根据全等得出FA＝NC，即可证得结论． 【详解】解：（1）如图1，∵，    ∴， ∵， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在等边三角形中，， ∴； （2）在上截取，使，连接，如图2，    ∵， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 4．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直线m经过点A，过点B作BD⊥m于D， CE⊥m于E．我们把这种常见图形称为“K”字图． （1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE＝BD＋CE，现请你替悟空同学完成证明过程． （2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则结论DE＝BD＋CE，还成立吗？如果成立，请证明之． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）先证∠ABD=∠EAC，再证△ABD ≌ △CAE（AAS）即可； （2）先证出∠ABD ＝ ∠EAC，再证△ABD ≌ △CAE（AAS）即可． 【详解】证明：（1）∵AB⊥AC,BD⊥DE,CE⊥DE, ∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°, ∴∠DAB+∠ABD=∠EAC+∠DAB=90°, ∴∠ABD=∠EAC, 在△ABD和 △CAE中， ， ∴ △ABD ≌ △CAE（AAS）， ∴ BD ＝ AE ，AD ＝ CE， ∴ DE ＝ AE ＋ DA ； （2）成立， 理由如下：∵  ∠BAC ＋ ∠BAD ＋ ∠EAC ＝ 180° ，   ∠ADB＋ ∠BAD ＋ ∠ABD  ＝ 180°， ∠BAC ＝ ∠BDA， ∴∠ABD ＝ ∠EAC ， 在△ABD和 △CAE中， ， ∴ △ABD ≌ △CAE（AAS）， ∴ BD ＝ AE，AD ＝ CE， ∴ DE ＝ AE ＋ DA ＝ BD ＋ CE． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． 5．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）如图，在等边三角形中，，点为边上一点，点为边上一点，连接． (1)如图①，过点E作交于点，延长交延长线于点，若，求的长； (2)如图②，将绕点逆时针旋转60°得到，连接，请猜想、、的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）证明是等边三角形，，证明，再利用全等三角形的性质可得答案； （2）过点作，交于点，由（1）可知是等边三角形，由旋转可知，，证明是等边三角形，再证明，， 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），证明如下： 过点作，交于点， 由（1）可知是等边三角形， ∴， 由旋转可知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 全等三角形的综合问题 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积； (3)求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)四边形的面积为32 (3)的度数为 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据同角的余角相等可得，再根据“边角边”的判定方法即可求证； （2）由（1）可得，则，结合题意可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （3）根据等腰直角三角形的性质可得，由全等的性质可得，根据，可得，结合即可求解． 【详解】（1）证明：∵，即， ∴，且， ∴； （2）解：∵，且， 则， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为32； （3）解：已知， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴的度数为． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）能够完全重合的两个图形叫做全等形． （1）下列图形：①边长都为的两个正方形；②边长都为的两个四边形；③边长都为的两个三角形；④半径都是的两个圆．其中是全等图形的有______（填序号）； （2）数学课上，我们学习了直角三角形全等的判定（即“”）后，好学的小明继续对直角三角形全等判定进行研究，如图①，在和中，，，和的周长相等．求证：． 证明：如图②，在和中，分别延长至G，H，使得，，连接．根据小明的思考，请继续完成小明的证明； （3）根据全等多边形的定义，我们把四个角，四条边分别相等的两个凸四边形叫做全等四边形，记作：四边形四边形．如图③，若，，，，，求证：四边形四边形，并用一句话概括第（3）问中四边形全等的判定方法． 【答案】（1）①④；（2）见解析；（3）证明见解析；有三个角以及两条邻边分别对应相等的两个四边形全等 【分析】（1）根据全等多边形的定义，即可求解； （2）在和中，分别延长至G，H，使得，，连接，根据和的周长相等，可得，可证明，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质可得，即可求证； （3）连接，证明，可得，，再证明，可得，即可求证． 【详解】解：（1）①边长都为的两个正方形；②边长都为的两个四边形；③边长都为的两个三角形；④半径都是的两个圆．其中是全等图形的有①④； 故答案为：①④ （2）证明：如图②，在和中，分别延长至G，H，使得，，连接． ∵和的周长相等， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （3）如图，连接， 在四边形和四边形中， ∵四边形的内角和等于360度，，，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， ， 在和中， ∵， ，， ∴， ∴， 在四边形和四边形中， ∵，，，，， ，， ∴四边形四边形． 判定方法：有三个角以及两条邻边分别对应相等的两个四边形全等 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，并灵活做辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及性质. （1）易证，即可证明，即可解题； （2）过点作交于点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据可证，根据，，即可解题； （3）过作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为中点； （3）解：过作的延长线交于点，如图， ，，， ， 由（1）（2）知：，， ，， ， ， ， ． 故答案为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形 三角形的有关概念 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 2．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）在中，下列条件能说明是直角三角形的是（    ） A．， B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（    ） A．美观性 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 5．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．4，5，10 B．1，2，3 C．2，2， D．5，5，10 6．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）若三条能组成三角形线段的长分别是2，3，，则的取值不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，测量得，，则为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 . 10．（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 11．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，在中，的平分线交于点D．作交于点E． (1)求证：； (2)点M为射线上一点（不与点A重合）连接，的平分线交射线于点N．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 命题与证明 1．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 2．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）以下命题是假命题的是（    ） A．的算术平方根是2 B．有两边相等的三角形是等腰三角形 C．三角形三个内角的和等于180° D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等 C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0 D．两直线平行，内错角相等 4．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）命题：若两数相等，则它们的绝对值相等它的逆命题是 ． 等腰三角形的性质与判定 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角度数为 °． 2．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）已知等腰三角形一底角为，则这个等腰三角形顶角的大小是 度． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，射线线段，垂足为B，，垂足为D，，，．点E为射线l上的一动点，当的周长最小时， ． 4．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，分别平分，交于点，过点作直线平行于，分别交，于点，，若，，则的长度为 ． 5．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）（1）动手操作：如图①，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么度数为______； （2）观察发现：小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为，展平纸片后得到（如图③）．小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由； （3）实践运用：将矩形纸片按如下步骤操作：将纸片对折得折痕，折痕与边交于点E，与边交于点F；将矩形与矩形分别沿折痕和折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有（如图④），求的大小． 等边三角形的性质与判定 1．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图，直线，等边的两个顶点A，分别在直线和上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，将三个现状、大小完全一样的等边三角形的一个顶点重合放置，，则 ． 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）下列四个说法中：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于的三角形是等边三角形；③有一个角是的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形. 其中不正确的是 （填序号） 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图，已知，若，则 ．    5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图所示，已知是等边三角形，点分别在上，求的度数． 6．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）已知：如图，，，． (1)求证：为等边三角形； (2)求的度数． 线段垂直平分线的性质与判定 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，边上的垂直平分线交于点，交于点，，的周长为，则的长为（      ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南永州·期末）如图，在等边三角形中，高，是上的动点，是边上的动点，在点、运动的过程中，的最小值是 ． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在等边中，是边的中点，是边上的中线，是上的动点，若，则最小值 ． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图所示，在中，，为的中点，且，已知的周长为，且，求、的长． 6．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图所示：线段的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)若，的周长是18，求的长； (2)若的周长为18，，，求的长． 7．（23-24七年级下·湖南常德·期末）中，垂直平分线段，交于点，垂直平分线段，交于点，与的交点恰好在的一边上． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 全等三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）如图，已知，要证，我们将用到全等三角形的判定理或基本事实是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 (填序号)． 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知，若以“”为依据证明，还要添加的条件是 ． 4．（23-24八年级上·湖南永州·期末）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，可以判断出，则判断的理由是： ． 5．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）已知：如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)求证： 6．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）已知和位置如图所示，． (1)求证：； (2)求证：． 7．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在四边形中，平分，点E在线段上，，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 尺规作图 1．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如下图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判定的依据是 ． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）人教版初中数学教科书八年级上册第页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知：． 求作：的平分线． 作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． 画射线，射线即为所求如图． 请你根据提供的材料完成下面问题． （1）这种作已知角的平分线的方法的依据是______（填序号）． （2）请你完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知， 在和中， ______ ． ______ ． 为的角平分线．    4．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）请画图举例：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不全等（标出相等的边和角）． 全等三角形的辅助线问题 1．（23-24八年级上·湖南永州·期末）已知是中边上的中线，，，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）问题发现： 如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B、D，E在同一直线上，连接CE，求的度数，并确定线段BD与CE的数量关系． 拓展探究： 如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，，且点B，D，E在同一直线上，于F，连接CE，求的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）已知：如图，在等腰三角形ABC中，120BAC180，ABAC，ADBC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，ACE与ABC在直线AC的异侧，直线BE交直线AD于点F，连接FC交AE于点M． （1）求EFC的度数； （2）求证：FE+FA=FC．    4．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直线m经过点A，过点B作BD⊥m于D， CE⊥m于E．我们把这种常见图形称为“K”字图． （1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE＝BD＋CE，现请你替悟空同学完成证明过程． （2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则结论DE＝BD＋CE，还成立吗？如果成立，请证明之． 5．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）如图，在等边三角形中，，点为边上一点，点为边上一点，连接． (1)如图①，过点E作交于点，延长交延长线于点，若，求的长； (2)如图②，将绕点逆时针旋转60°得到，连接，请猜想、、的数量关系并证明． 全等三角形的综合问题 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积； (3)求的度数． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）能够完全重合的两个图形叫做全等形． （1）下列图形：①边长都为的两个正方形；②边长都为的两个四边形；③边长都为的两个三角形；④半径都是的两个圆．其中是全等图形的有______（填序号）； （2）数学课上，我们学习了直角三角形全等的判定（即“”）后，好学的小明继续对直角三角形全等判定进行研究，如图①，在和中，，，和的周长相等．求证：． 证明：如图②，在和中，分别延长至G，H，使得，，连接．根据小明的思考，请继续完成小明的证明； （3）根据全等多边形的定义，我们把四个角，四条边分别相等的两个凸四边形叫做全等四边形，记作：四边形四边形．如图③，若，，，，，求证：四边形四边形，并用一句话概括第（3）问中四边形全等的判定方法． 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$