13.3.1等腰三角形的性质 课件2024-2025学年华东师大版数学上册

第13章 全等三角形 13.3 等腰三角形 1.等腰三角形的性质 雪枫实验东校区 夏皎 1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点) 2.经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.(难点) 学习目标 生活中的数学美 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A C B 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 复习引入 动手操作，观察猜想 如图：把一张长方形纸片按图中的虚线对折,并剪去红线下方的部分,再把它展开,得△ABC A B C 等腰三角形的性质 做一做 大胆猜想 1.等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请说出对称轴？ A B C D 2.通过刚才的折叠，你发现∠B和C有怎样的关系？ 等腰三角形是轴对称图形，折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴. 等腰三角形的两底角相等 A B C 已知：在△ABC中， AB=AC 求证：∠B=C 思考 （1）如何验证这两个角相等？ （2）如何构造两个全等的三角形？ A B C 方法Ⅰ 已知：在△ABC中， AB=AC 求证：∠B=C D 证明： 作顶角的平分线AD 则有∠BAD=∠CAD 在△ABD和△ACD中 ∴ △ABD △ACD （SAS） ∴ ∠B=∠C AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD （公共边） （已知） （已证） A B C 方法Ⅱ 已知：在△ABC中， AB=AC 求证：∠B=C D 证明： 作底边的中线AD 则有BD=CD 在△ABD和△ACD中 ∴ △ABD △ACD （SSS） ∴ ∠B=∠C AB=AC BD=CD AD=AD （公共边） （已知） （已证） A B C 方法Ⅲ 已知：在△ABC中， AB=AC 求证：∠B=C D 证明： 作底边的高线AD 在Rt△ABD和Rt△ACD中 ∴ Rt△ABD Rt△ACD ∴ ∠B=∠C 则有 ∠ADB=∠ADC =90º AB=AC AD=AD （公共边） （已 知） （HL） 等腰三角形的性质1： 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 几何语言： ∵AB=AC （已知） ∴∠B=∠C（等边对等角） C B A 【注意】“等边对等角”的前提是在同一个三角形中。 例 1 在△ABC中，AB=AC，∠B=80°，求∠C 、∠A的度数。 C B A 变式1：若将“∠B=80°”改为“∠C=80°”，求∠B、∠A度数； 变式2：若将“∠B=80°”改为“∠A=80°”，求∠B、∠C度数； 变式3：若将“∠B=80°”改为“∠B =100°”，能求∠C、∠A吗？ 变式4：若将“∠B=80°”改为“∠A=100°”，求∠B、∠C度数。 结论 ①顶角度数+2×底角度数=180°； ② 0°＜顶角度数＜180°； ③ 0°＜底角度数＜90° 解：∵AB =AC ∴∠B=∠C=80° 又∵∠A+∠B+∠C =180° ∴∠A=180°-80°- 80° =20° 想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C ，你还能发现什么? 重合的线段 重合的角 　 A B D C AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∠B ＝ ∠C ∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB ＝∠ADC =90° 性质2 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线，互相重合（简称“三线合一”）. A B C D ( ( 1 2 填一填:根据等腰三角形性质完成下列填空. 在△ABC中， AB=AC时， （1）∵ AB=AC ，AD⊥BC ∴∠_____ = ∠_____，____= ____. (2) ∵AB=AC，BD=CD ∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____. (3) ∵AB=AC，∠1=∠2 ∴____ ⊥____ ，_____ =_____. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BC AD CD 14 例 2 如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B=30°， （1）求∠ADC的度数；（2）∠1的度数 A B C 1 2 D 解：(1)∵AB＝AC，BD=DC(已知） ∴AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”） (2)∵∠1+∠B+∠ADB=180°(三角形的内角和等于180°） ∠B=30°（已知） ∴∠1=180°-∠B-∠ADB(等式的性质） =180°-30°-90° =60° ∴∠ADC=∠ADB=90° 当堂练习 1. 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数. A B C 120° A B C 36° ∠B=∠C = 72° ∠B=∠C = 30° 2. (1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 ； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ____________________； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 . 75°, 30° 72°,72°或36°,108° 30°，30° 课堂小结 等腰三角形的性质 等边对等角 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线、底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质. 三线合一 2、(选做）如图,点D,E在△ABC的边BC上,且AB=AC,AD=AE,求证：BD=CE E A B C D 作业布置 1、(必做)教材第81页练习第1、2题． $$