第3章勾股定理测试卷-2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第3章勾股定理测试卷-2024-2025学年数学八年级上册苏科版 一、单选题 1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．5，12，13 B．12，16，20 C． D．4，5，6 2．如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在中，，，，点C为线段上一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 4．如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是（   ） A．10 B．25 C．225 D．500 5．如图，在中，，，．如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（   ） A．4.8 B．9.6 C．10 D．10.8 6．如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知勾股数的两个数分别是，，则勾股数的第三个数是 ． 8．如图，已知，点P在射线上，点M在射线上，若，，求出的长 ． 9．如图，若，且，，，则 ． 10．如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ． 11．如图，，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ． 12．如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为 ．    三、解答题 13．在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树跑到离树处的池塘A 处，另一只爬到树顶C后直接跃到A 处，如果两只猴子所经过的路程相等，且路程以直线计算，试求这棵树的高度． 14．在四边形中，已知，，，，且，求：四边形的面积． 15．如图，在等边三角形中，以点A为坐标原点，边所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．若点B的坐标为，求点C的坐标． 16．如图，点为定角的平分线上的一个定点，，，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与，相交于，两点． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 17．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D B C B D 1．D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，逐项分析即可． 【详解】解：A、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D 2．D 【分析】本题考查了格点与勾股定理，等腰三角形，掌握等腰三角形的定义和性质是解题的关键． 根据网格的特点，勾股定理，等腰三角形的定义和性质作图即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴点为所求点； ∵，，， ∴是等腰三角形， ∴点为所求点； 综上所述，点有4个， 故选：D ． 3．B 【分析】本题考查了勾股定理和垂线段最短，根据勾股定理得，根据垂线段最短，可知当时，最小，根据面积法即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，最小， 此时 解得， ∴的最小值为4.8． 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查勾股定理，根据正方形的面积与边长的关系，可知，则由此即可求解． 【详解】解：设正方形的边长分别为,依题意，，即 ∴， ∴ 故选C． 5．B 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，涉及轴对称的性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积，运用了等积变换的思想．掌握对称的性质是解题的关键．作点关于的对称点，作点，交于点，则，所以，即的最小值为． 【详解】解：作点关于的对称点，作点，交于点，连接， ∴， ∴， 即的最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，设与交于点，由折叠性质可知，，垂直平分，则，，由勾股定理求出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出， 再根据即，求出，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设与交于点， 由折叠性质可知：，， ∴垂直平分，即有， ∵，，， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 由， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， 故选：． 7． 【分析】此题考查了勾股数，构成一个直角三角形的三边的一组正整数，叫做勾股数，根据勾股数的的定义列式计算即可，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：设第三个数为， ∵是一组勾股数， 则， ∴，是整数，符合题意； ， ∴，不是整数，不符合题意； 综上可知：勾股数的第三个数是， 故答案为：． 8．8 【分析】本题考查解直角三角形，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点P作于点H．解直角三角形求出，即可． 【详解】解：如图，过点P作于点H． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 9．5 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，根据，得出，因为，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：5． 10． 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质将周长转换为是解本题的关键．根据勾股定理求得，利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，，将三角形周长转化为，求出即可． 【详解】解：在中，， ∴ 为的平分线，为的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ， ，， 周长为， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理，连接并延长，证明，得到点D的轨迹，最后利用垂线段最短和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论． 【详解】解：如图，连接并延长，过点D作于点M，于点N． ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴点D的轨迹为的平分线， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值，此时， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 12．169 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的性质，正方形的面积为，正方形的面积为，两正方形的面积和为，对于，由勾股定理得，代入即可得出答案． 【详解】解：由题意得，正方形面积为，正方形的面积为，两正方形的面积和为，在中， ∴， 故答案为：169． 13． 【分析】本题主要考查了线段的和与差，勾股定理，解一元一次方程，代数式求值等知识点，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 设，则，，利用勾股定理可得，即，解方程即可求出这棵树的高度． 【详解】解：如图， 由题意可得：，， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 这棵树的高度是． 14． 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 15． 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，过点C作轴于点D，利用三线合一求出，利用勾股定理求出，进而可得点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D，则是等边三角形的中垂线． ∴， 根据题意，得点A的坐标为． ∵，， ∴． ∴，． 在中，由勾股定理得． ∴． ∴点C的坐标为． 16．(1)为等边三角形，证明见解析 (2)的值是定值， 【分析】（1）如图，作于E，于F，只要证明即可； （2）证明，可得，由，可得，进而可求的值． 【详解】（1）为等边三角形． 证明：如图作于，于． ， ， ， 又， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ， ． 又，， ， 为等边三角形． （2）的值是定值． 理由：在和中， ， ， ，， 又， ， ． 在中，， ， ，， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 17．(1)①见解析；②； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键． ①用两种不同的方法去求正方形的面积即可． ②利用①中发现的结论即可解决问题． 设，根据勾股定理建立关于m的方程即可解决问题． 【详解】（1）解：①证明：中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为 又四个直角三角形的面积为：， 大正方形的面积为： 又大正方形的边长为c， 大正方形的面积还可以表示为， ； ②解：由①可知， ， ， ， ， ， 舍负， 即直角三角形两直角边之和为； （2）解：设， ， 外围轮廓实线的周长为48， ， 则 在中， ， 解得， 即， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$