专题06 离散型变量的分布列与期望（6大基础题+2大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（江西专用）

专题06 离散型变量的分布列与期望 条件概率 1．（2024·江西萍乡·期末）A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江西·期末）已知事件与事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 3. （23-24高二上·江西萍乡·期末）某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（    ） A． B． C． D． 4. （23-24高二下·江西新余·期末）已知为随机事件，，则. . 5. （23-24高二下·江西抚州·期末）小王喜爱逛街和吃火锅．在周末，她下午去逛街的概率为．若她下午去逛街，则晚上一定去吃火锅；若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为．已知小王在某个周末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为 ． 全概率公式 1．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24高二下·江西吉安·期末）已知某厂甲、乙两车间生产同一批锂电池，合格率分别为，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的．现从该厂生产的一批锂电池中任取一件，则取到合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 3. （23-24高二下·江西新余·期末）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（    ） A． B． C． D． 4. （23-24高二下·江西上饶·期末）某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（    ） A． B． C． D． 5.（多选题）（江西省南昌市第二中学2023-2024学年高二上学期期末考试）一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用，表示事件“第一次取出白球，”“第一次取出红球”；分别用B，C表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6. （23-24高二上·江西·期末）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日在成都开幕．大运会组委会给运动员准备了丰富的饮食服务．大运村共有两个餐厅：餐厅、餐厅，运动员甲第一天随机地选择一个餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6．则运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为 ． 7. （江西师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末）设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为 . 随机变量的分布列、期望与方差 1. （23-24高二上·江西上饶沙溪·期末）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（江西师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末）设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.（多选题）（23-24高二上·江西·期末）设离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江西抚州·期末）设，，随机变量X的分布列是（    ） a 则方差（    ） A．既与有关，也与有关 B．与有关，但与无关 C．与有关，但与无关 D．既与无关，也与无关 5. （23-24高二上·江西新余·期末）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知取出的3个球全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为X，则 ． 6. （23-24高二下·江西吉安·期末）将4个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入4个编号为且最多容纳4个排球的排球筐内，记编号为2的排球筐内放入的排球个数为． (1)求该排球筐内有球的概率； (2)求的分布列． 7.（23-24高二上·江西萍乡·期末）在一次智力游戏中，甲、乙两人轮流答题，每人每次答一题，游戏开始时由甲先答题，约定：先答对题者为游戏获胜方：当游戏分出胜负或两人各答错3次时游戏均结束，两人各答错3次视为平局．已知甲每次答对题的概率均为，乙每次答对题的概率均为，且每次答题互不影响． (1)求两人共答题不超过4次时，甲获胜的概率； (2)求游戏结束时乙答题次数的分布列与数学期望． 超几何分布的分布列、期望 1. （23-24高二上·江西上饶·期末）一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； (3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 二项分布的分布列、期望与方差 1.（23-24高二上·江西九江·期末）一袋中有除颜色外完全相同的7个白球和3个红球.现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到白球出现10次时停止.设停止时共取了次球，则（    ） A． B． C． D． 2. （多选题）（23-24高二上·江西上饶·期末）若随机变量，下列说法中正确的有（    ） A． B．期望 C．期望 D．方差 3．（多选题）（23-24高二下·湖南·期中）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高二上·江西·期末）设随机变量，若，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 5.（23-24高二上·江西南昌·期末）在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取白球的个数为X．若，则 ． 正态分布 1.（23-24高二下·江西吉安·期末）已知随机变量X服从正态分布，则（    ） A．0.52 B．0.44 C．0.28 D．0.26 2．（23-24高二上·江西·期末）若随机变量X服从正态分布，，则（    ） A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9 3.（23-24高二上·江西萍乡·期末）若随机变量，且，则展开式中项的系数是 ． 4．（23-24高二上·江西·期末）已知随机变量，若，则 . 5．（23-24高二上·江西九江·期末）某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有 件. （注：） 6．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 7.（23-24高二上·江西鹰潭·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 8. （23-24高二上·江西·期末）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 方案选择与判断 1．（23-24高二下·江西九江·期末）新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项，题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分. (1)若某道多选题的正确答案是BD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，并求该考生得0分的概率； (2)若某道多选题的正确答案是ABD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项；在某考生此题已得正分的条件下，求该考生得2分的概率； (3)若某道多选题的正确答案是2个选项的概率是，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案： 方案一：只选择A选项； 方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项； 方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项. 2．（江西省临川第一中学2023-2024学年高二上学期期末）某班组织投篮比赛，比赛分为两个项目.比赛规则是：①选手在每个项目中投篮5次，每个项目投中3次及以上为合格；②第一个项目投完5次并且合格后才可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；③选手进入第二个项目后，投篮5次，无论投中与否均结束比赛.已知选手甲在项目比赛中每次投中的概率都是0.5. (1)求选手甲参加项目合格的概率； (2)已知选手甲参加项目合格的概率为0.6.比赛规定每个项目合格得5分，不合格得0分.设累计得分为，为使累计得分的期望最大，选手甲应选择先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？请说明理由. 3．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知只小白鼠中有只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案．方案甲：将只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止．方案乙：先取只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠． (1)若用方案甲，求化验次数为次的概率； (2)若平均化验次数少的方案好，请你确定方案甲、方案乙哪个更好． 4．（23-24高二上·江西南昌·期末）矮化密植是指应用生物或栽培措施使果树生长树冠紧凑的方法，它与常规的矮小栽培相比有许多优势，如采用这种矮化果树可以建立比常规果园定植密度更高的果园，不仅能提高土壤及光能利用率，还能够获得更多的早期经济效益.某乡镇计划引进A，B两种矮化果树，已知A种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益7.5万元；B种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益9万元.假设种植不成功时，种植A，B两种矮化果树每公顷均损失1.5万元，每公顷是否种植成功相互独立. (1)甲种植户试种两种矮化果树各1公顷，总收益为X万元，求X的分布列及数学期望； (2)乙种植户有良田6公顷，本计划全部种植A，但是甲劝说乙应该种植两种矮化果树各3公顷，请按照总收益的角度分析一下，乙应选择哪一种方案? 概率中的最值问题 1.（江西省抚州市2023-2024学年高二下学期学生学业质量监测）某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且． (1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）； (2)奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值． 附：若，则． 2．（23-24高二上·江西南昌·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望： (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，且，假设每轮答题结果互不影响，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 3．（23-24高二上·江西赣州·期末）现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的． (1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望； (2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？ 4．（江西省部分重点中学2023-2024学年高二上学期期末联考）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%. (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 离散型变量的分布列与期望 条件概率 1．（2024·江西萍乡·期末）A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 2．（23-24高二上·江西·期末）已知事件与事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据事件与事件相互独立，得到，由条件概率公式求出答案. 【详解】因为事件与事件相互独立，所以， 又， 则． 故选：A． 3. （23-24高二上·江西萍乡·期末）某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性，利用全概率公式求出的值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性， 由题意可知，，， 所以， 现在某人的化验结果呈阳性，则此人是癌症患者的概率为：. 故选：D 4. （23-24高二下·江西新余·期末）已知为随机事件，，则. . 【答案】0.5/ 【分析】根据条件概率的公式即可求解. 【详解】， ， 由条件概率公式得： ；， 所以，， 故答案为：. 5. （23-24高二下·江西抚州·期末）小王喜爱逛街和吃火锅．在周末，她下午去逛街的概率为．若她下午去逛街，则晚上一定去吃火锅；若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为．已知小王在某个周末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为 ． 【答案】/ 【分析】借助条件概率公式计算即可得. 【详解】设其周末晚间去吃火锅的概率为，下午去逛街的概率为， 则，， 则. 故答案为：. 全概率公式 1．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由全概率公式即可得解. 【详解】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为，，， 从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为， 则 ， 解得，则的最大值为6． 故选：C. 2．（23-24高二下·江西吉安·期末）已知某厂甲、乙两车间生产同一批锂电池，合格率分别为，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的．现从该厂生产的一批锂电池中任取一件，则取到合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设出事件，结合全概率公式，准确运算，即可求解. 【详解】记事件“任取一件，取得优品”，事件“取到甲车间的产品”，事件“取得乙车间的产品”，则，且， 所以取得优品的概率为：. 故选：A. 3. （23-24高二下·江西新余·期末）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答. 【详解】令“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”， 则，且互斥，，， 依题意，，解得， 所以所求近视的概率为. 故选：B 4. （23-24高二下·江西上饶·期末）某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设，应用全概率公式可直接求得该同学第2天去餐厅用餐的概率. 【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”， 由题意得：，，， 由全概率公式，得：， 因此，该同学第天去餐厅用餐的概率为. 故选：B. 5.（多选）（江西省南昌市第二中学2023-2024学年高二上学期期末考试）一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用，表示事件“第一次取出白球，”“第一次取出红球”；分别用B，C表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据条件概率公式和全概率公式依次判断选项即可. 【详解】由题得，， 根据条件概率公式，得. ，故A，B正确. 对选项C，， 所以， 故C错误. 对选项D，， ，故D错误. 故选：AB 6. （23-24高二上·江西·期末）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日在成都开幕．大运会组委会给运动员准备了丰富的饮食服务．大运村共有两个餐厅：餐厅、餐厅，运动员甲第一天随机地选择一个餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6．则运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为 ． 【答案】0.7/ 【分析】设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，由条件概率和全概率公式求解即可. 【详解】设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”， 则，且与互斥， 根据题意得，，， 则． 故答案为：. 7. （江西师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末）设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为 . 【答案】 【分析】利用条件概率计算公式即可求得若取到的芯片是次品则该芯片是甲厂生产的概率. 【详解】记芯片分别由甲、乙、丙三条生产线生产为事件， 记取到的芯片是次品为事件， 则， ， ， 故， 则若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为. 故答案为： 随机变量的分布列、期望与方差 1. （23-24高二上·江西上饶沙溪·期末）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】＋＋＋＝，A错误； ＋＝，B错误； ，C正确； ＋＝，D错误. 故选：C 2.（江西师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末）设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分布列中所有概率和为1求解． 【详解】由题意，． 故选：A． 3. （23-24高二上·江西·期末）设离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用分布列的性质求得，从而利用期望与方差公式与性质即可得解. 【详解】由分布列的性质知，则， 故，故A正确； ，故C错误； 则，故B正确； 所以，故D正确． 故选：ABD． 4．（23-24高二上·江西抚州·期末）设，，随机变量X的分布列是（    ） a 则方差（    ） A．既与有关，也与有关 B．与有关，但与无关 C．与有关，但与无关 D．既与无关，也与无关 【答案】B 【分析】根据方差公式求出方差，再判断即可. 【详解】由分布列可得， 故. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握期望和方差的公式. 5. （23-24高二上·江西新余·期末）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知取出的3个球全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为X，则 ． 【答案】 【分析】利用组合与古典概型求得黑球的个数，从而求得的分布列，进而求得的期望，由此得解. 【详解】依题意，设黑球的个数为，由，得，则， 记取出3个球中黑球的个数为，的取值可以为1，2，3； ，，， 则分布列如下： 1 2 3 所以. 故答案为：. 6. （23-24高二下·江西吉安·期末）将4个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入4个编号为且最多容纳4个排球的排球筐内，记编号为2的排球筐内放入的排球个数为． (1)求该排球筐内有球的概率； (2)求的分布列． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设事件“编号为2的排球筐内有球”为事件A，则，根据古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为0，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得到分布列． 【详解】（1）设事件“编号为2的排球筐内有球”为事件A， 则 （2）由题意，的可能取值为0，1，2，3，4， ， , , , ， ∴的分布列为： 0 1 2 3 4 7.（23-24高二上·江西萍乡·期末）在一次智力游戏中，甲、乙两人轮流答题，每人每次答一题，游戏开始时由甲先答题，约定：先答对题者为游戏获胜方：当游戏分出胜负或两人各答错3次时游戏均结束，两人各答错3次视为平局．已知甲每次答对题的概率均为，乙每次答对题的概率均为，且每次答题互不影响． (1)求两人共答题不超过4次时，甲获胜的概率； (2)求游戏结束时乙答题次数的分布列与数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析；期望为． 【分析】（1）利用独立事件和互斥事件的概率计算公式即可得到答案； （2）首先写出所有可能的取值，再计算对应的概率，最后根据数学期望公式即可得到答案. 【详解】（1）计，分别表示甲、乙在第次答题答对，则，，， 记“甲获胜”为事件，则； （2）的所有可能为：0，1，2，3， ， ， ， ， 综上所述，的分布列为： 0 1 2 3 数学期望（次）． 超几何分布的分布列、期望 1. （23-24高二上·江西上饶·期末）一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知可取，然后利用超几何分布公式求出相应的概率，从而求解出期望. 【详解】由题意知， 则，，． 所以．故A正确. 故选：A. 2．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； (3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)13个工时 【分析】（1）根据条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式进行求解即可； （2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可； （3）根据数学期望公式和性质进行求解即可. 【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件. 则， 所以. （2）依题意知服从超几何分布，且， ， 所以的分布列为： 0 1 2 ； （3）设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为， 则的所有可能取值为，的所有可能取值为， ，， ，， 有名女生参加活动，则男生有名参加活动.， 所以. 即两人工时之和的期望为13个工时. 二项分布的分布列、期望与方差 1.（23-24高二上·江西九江·期末）一袋中有除颜色外完全相同的7个白球和3个红球.现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到白球出现10次时停止.设停止时共取了次球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知最后一次一定取到白球，前11次中有2次取到红球，然后由独立重复试验的概率公式可得. 【详解】由题知第12次必须取到白球，所以在前面11次取球中取到2次红球， 所以， 故选：C. 2.（23-24高二上·江西上饶·期末）若随机变量，下列说法中正确的有（    ） A． B．期望 C．期望 D．方差 【答案】AC 【分析】利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用二项分布的期望公式可判断B选项；利用期望的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】因为随机变量，则，， ， 由期望的性质可得， 由方差的性质可得，AC对，BD错. 故选：AC. 3．（23-24高二下·湖南·期中）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用二项分布的期望、方差公式可判断A,B,C，利用离散型随机变量的均值的性质可判断D. 【详解】对于，由题意可得服从二项分布，故，故正确； 对于：因为， 所以，故B错误； 对于，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 4.（23-24高二上·江西·期末）设随机变量，若，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的数学期望得的范围，再根据二项分布方差运算公式结合二次函数的单调性求得的最大值. 【详解】随机变量，由得，解得. ， 易知二次函数的开口向下，对称轴为，所以在上单调递增， 于是时取得最大值，即最大值为. 故选：C. 5.（23-24高二上·江西南昌·期末）在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取白球的个数为X．若，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，可知X服从二项分布，由二项分布的期望公式可求出m，进而可得. 【详解】由题意知． 因为，所以，解得， 所以． 故答案为： . 正态分布 1.（23-24高二下·江西吉安·期末）已知随机变量X服从正态分布，则（    ） A．0.52 B．0.44 C．0.28 D．0.26 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】, 故， ， 故选：D 2．（23-24高二上·江西·期末）若随机变量X服从正态分布，，则（    ） A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性可求答案. 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以； 所以. 故选：B. 3.（23-24高二上·江西萍乡·期末）若随机变量，且，则展开式中项的系数是 ． 【答案】48 【分析】先利用正态分布的性质可求，再利用二项展开式的通项公式可求的系数. 【详解】根据正态曲线的性质可知，，解得， 所以，代入可得 ， 的展开式的通项公式为，， 令，则，所以， ∴的展开式中的系数为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·江西·期末）已知随机变量，若，则 . 【答案】0.14/ 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为，所以， 故答案为：0.14. 5．（23-24高二上·江西九江·期末）某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有 件. （注：） 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性来求得正确答案. 【详解】满足正态分布， ， 直径在之间的零件大约有件. 6．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态分布的对称性求解指定区间的概率即可. 【详解】随机变量服从正态分布，且， 所以， 所以， 故答案为： 7.（23-24高二上·江西鹰潭·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 【答案】0.36 【分析】根据正态分布的对称性求解 【详解】随机变量X服从正态分布，， 由正态分布图像的对称性可得曲线关于对称。 ， . 故答案为：0.36. 8. （23-24高二上·江西·期末）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)人 【分析】（1）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可求出结果； （2）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可得到答案. 【详解】（1）设学生的物理得分为随机变量， 则，所以，， 所以， ， 所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为． （2）由题意，得，， 即，， 所以，， 所以． 又， 所以全市物理成绩在内的学生人数估计为人． 方案选择与判断 1．（23-24高二下·江西九江·期末）新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项，题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分. (1)若某道多选题的正确答案是BD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，并求该考生得0分的概率； (2)若某道多选题的正确答案是ABD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项；在某考生此题已得正分的条件下，求该考生得2分的概率； (3)若某道多选题的正确答案是2个选项的概率是，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案： 方案一：只选择A选项； 方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项； 方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项. 【答案】(1) (2) (3)方案二 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求出该考生不得0分的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可； （2）设“某题的答案是ABD，该考生得正分”， “某题的答案是ABD，该考生得2分”，利用古典概型的概率公式求出其概率，再根据条件概率公式求解即可； （3）设方案一、二、三的得分分别为，，，分别求出，，的分布列，进而求出期望，比较期望的大小即可求解. 【详解】（1）设事件表示“某题的答案是BD，该考生得0分”，则， 所以. （2）设“某题的答案是ABD，该考生得正分”，则， 所以， 设“某题的答案是ABD，该考生得2分”，则， 所以， 所以该考生此题已得正分的条件下，则该考生得4分的概率为. （3）设方案一、二、三的得分分别为，，， 方案一：的所有可能取值为， ，， 所以的分布列为： 2 3 则； 方案二：的所有可能取值为， ，，， 所以的分布列为： 0 4 6 则； 方案三：的所有可能取值为， ，， 所以的分布列为： 0 6 则， 因为， 所以以得分的数学期望作为判断依据选择方案二更恰当. 2．（江西省临川第一中学2023-2024学年高二上学期期末）某班组织投篮比赛，比赛分为两个项目.比赛规则是：①选手在每个项目中投篮5次，每个项目投中3次及以上为合格；②第一个项目投完5次并且合格后才可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；③选手进入第二个项目后，投篮5次，无论投中与否均结束比赛.已知选手甲在项目比赛中每次投中的概率都是0.5. (1)求选手甲参加项目合格的概率； (2)已知选手甲参加项目合格的概率为0.6.比赛规定每个项目合格得5分，不合格得0分.设累计得分为，为使累计得分的期望最大，选手甲应选择先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？请说明理由. 【答案】(1)0.5 (2)选手甲应选择先进行项目，理由见解析 【分析】（1）由题意选手甲需要在5次投篮中投中3，4或5次及格，再求解概率和即可； （2）分别分析先进行A项目和项目的得分数学期望，再判断即可. 【详解】（1）由题意选手甲需要在5次投篮中投中3，4或5次，每次中与不中的概率均为， 故合格的概率为. （2）选手甲应选择先进行项目，理由如下： 由题意，若选手甲先参加A项目，则的所有可能取值为0，5，10， 则，，. 所以累计得分的期望； 若选手甲先参加项目，则的所有可能取值为0，5，10， 则，，. 所以累计得分的期望， 所以为使累计得分的期望最大，选手甲选择先进行项目比赛. 3．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知只小白鼠中有只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案．方案甲：将只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止．方案乙：先取只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠． (1)若用方案甲，求化验次数为次的概率； (2)若平均化验次数少的方案好，请你确定方案甲、方案乙哪个更好． 【答案】(1) (2)方案乙更好，利用见解析 【分析】（1）若用方案甲，设化验次数为，利用独立事件的概率公式可求得的值； （2）计算出使用方案甲、乙时试验次数的期望值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）解：若用方案甲，设化验次数为，则可能取值为、、、、、、、、， 若用方案乙，设化验次数为，则可能取值为、、、， 由题意可得. 所以，若用方案甲，化验次数为次的概率为. （2）解：由（1）可知，，，， ，， ，， ， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： X P 所以，， 由题意可知，随机变量可能取值为、、、，则， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，， 则，所以方案乙比方案甲好. 4．（23-24高二上·江西南昌·期末）矮化密植是指应用生物或栽培措施使果树生长树冠紧凑的方法，它与常规的矮小栽培相比有许多优势，如采用这种矮化果树可以建立比常规果园定植密度更高的果园，不仅能提高土壤及光能利用率，还能够获得更多的早期经济效益.某乡镇计划引进A，B两种矮化果树，已知A种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益7.5万元；B种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益9万元.假设种植不成功时，种植A，B两种矮化果树每公顷均损失1.5万元，每公顷是否种植成功相互独立. (1)甲种植户试种两种矮化果树各1公顷，总收益为X万元，求X的分布列及数学期望； (2)乙种植户有良田6公顷，本计划全部种植A，但是甲劝说乙应该种植两种矮化果树各3公顷，请按照总收益的角度分析一下，乙应选择哪一种方案? 【答案】(1)分布列见解析； (2)乙应选择两种果树各种植3公顷 【分析】（1）依题意，分析得的可能取值及对应的概率，从而得解； （2）依题意，求得全种植的收益期望与各种一半的收益期望，比较之即可得解. 【详解】（1）依题意，当均种植成功时，，此时， 当种植不成功，种植成功时，，此时， 当种稙成功，种植不成功时，，此时， 当均种植不成功时，，此时， 所以的可能取值为：，的分布列为： 16.5 7.5 6 数学期望为. （2）全种植的收益期望为万元， 由（1）得，各种一半的收益期望为万元 因为， 乙应选择两种果树各种植3公顷. 概率中的最值问题 1.（江西省抚州市2023-2024学年高二下学期学生学业质量监测）某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且． (1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）； (2)奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值． 附：若，则． 【答案】(1)159 (2)取得最大值时n的值为8 【分析】（1）利用正态分布的对称性可求，故可估算年龄不低于60岁的人数. （2）利用不等式组可求取得最大值时的值. 【详解】（1）因为，所以， 则， 所以现场年龄不低于60岁的人数大约为(人)． （2）依题意可得，， 设， 所以， 所以 所以，因为整数，所以， 所以当取得最大值时的值为8． 2．（23-24高二上·江西南昌·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望： (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，且，假设每轮答题结果互不影响，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结果； （2）先求出每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数. 【详解】（1）由题意知，的可能取值有， ，， ，， 所以的分布列为 . （2）因为甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率为， 由，又，得到， 则，又，所以， 令，则，当时，取到最大值为， 要使答题轮数取得最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值， 设甲、乙两人在轮答题中取得胜利的次数为，则， 所以，由，解得， 又，则，理论上至少要参加11轮竞赛. 3．（23-24高二上·江西赣州·期末）现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的． (1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望； (2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？ 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2)获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大. 【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求出数学期望； （2）根据二项分布的知识求得获得“挑战达人”勋章的枚数的分布列，由此求得正确答案. 【详解】（1）由题知：可取2，4，6，8， 则，， ，， 故的分布列为： 2 4 6 8 则的期望. （2）解法一：由（1）知参赛选手在一轮比赛中获得“挑战达人”勋章的概率为， 则某参赛选手在5轮挑战比赛中，记获得“挑战达人”勋章的枚数为，则， 故（）， 假设当时，概率最大，则， 解得，而. 故某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大． 解法二：由（1）知参赛选手在一轮获得“挑战达人”勋章的概率为， 则某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得“挑战达人”勋章的枚数为，则， 故（）， 所以Y的分布列为： 0 1 2 3 4 5 从分布列中可以看出，概率最大为， 所以参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大． 4．（江西省部分重点中学2023-2024学年高二上学期期末联考）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%. (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值. 【答案】(1)0.75 (2)6 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据二项分布的概率公式，利用不等式即可求解最值. 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件， 由题意，，，则 ， . （2）依题意，，， 当最大时，有 即解得：，， 故当最大时，. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$