专题05 计数原理（5大基础题+2大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（江西专用）

专题05 计数原理 两个基本原理 1. 1．（23-24高二上·江西·期末）某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．90种 B．30种 C．14种 D．11种 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理求解即可. 【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种． 故选：C． 2．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）某校组队参加辩论赛，从7名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．360 【答案】D 【分析】由分步乘法原理计算，先排甲，再排其余6人即可. 【详解】分步完成：甲不担任四辩，共有3种方法；剩下6名同学任选3人，且任意排序，共有种，所以一共有种， 故选：D. 3．（23-24高二上·江西九江·期末）从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（    ） A．30个 B．42个 C．41个 D．39个 【答案】D 【分析】分是否取两类，当不取时，排除重复的即可得解. 【详解】当取时，则只能为真数，此时这个对数值为， 当不取时，底数有种，真数有种， 其中， 故此时有个， 所以共有个. 故选：D. 4．（23-24高二上·江西·期末）从这7个数字中取出4个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【答案】(1)720 (2)420 【分析】（1）按照千位，百位，十位，个位的顺序，利用分布乘法计数原理即可求； （2）个位数字可能为0，2，4，6，有四种情况，利用分类加法计数原理即可求. 【详解】（1）第一步：千位不能为0，有6种选择； 第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择； 第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择； 第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择． 根据分步计数原理，能组成个没有重复数字的四位数． （2）第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个； 第二类：当个位数字是2时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个； 第三类：当个位数字是4时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个； 第四类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个． 根据分类计数原理．能组成个没有重复数字的四位偶数． 排列与组合直接计算 1．（23-24高二上·江西新余·期末）已知，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据组合数性质有，再由即可得解. 【详解】由组合数性质知，， 因为，所以， 所以，得. 故选：C. 2．（23-24高二上·江西·期末）若，则的值可以是（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】AC 【分析】由组合数性质求解即可. 【详解】由组合数性质知，或，所以，或， 都满足且． 故选：AC． 3．（多选题）（23-24高二上·江西上饶·期末）下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据排列和组合的定义，公式和性质进行判断，得到答案. 【详解】A选项，，A错误； B选项，根据组合公式得到，B正确； C选项，， ， 故，C正确； D选项，，D错误. 故选：BC 4．（多选题）（23-24高二上·江西上饶庆丰·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知，则可能取值为6 B．已知，则可能取值为7 C．在的二项式展开式中，常数项是84 D．在的二项式展开式中，常数项是 【答案】BC 【分析】对于选项A和选项B，根据组合数公式，有两种情况：，或，求解即可； 对于选项C和选项D，根据二项展开式的通项公式，当时为常数项，代入求解即可. 【详解】对于选项A和选项B， 因为，故，或，得， 故A错误，B正确； 对于选项C和选项D， 根据二项展开式的通项公式， 令，解得，∴，故C正确、D错误. 故选：BC. 5.（23-24高二上·江西·期末）方程（且）的解为 ． 【答案】2或4 【分析】结合排列数与组合数运算即可得. 【详解】由题意，可知，则，所以或. 故答案为：2或4. 6．（23-24高二下·江西九江·期末）产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，从产品中随机抽件做检查，请计算当N=16，M=8时， ；若，，请计算 .（用组合数表示） 【答案】 / 【分析】根据超几何分布概率和为1，转化求解组合数式子的值. 【详解】当，，时，， 因为， 故． 当，时， 因为，即， 所以 故答案为：， 7．（23-24高二上·江西宜春·期末）若，则x的可能的值是 . 【答案】1或2或3. 【分析】由组合数的性质即可得到. 【详解】由题得或 ∴或, 又，且， ∴的可能的值是或或. 故答案为：1或2或3. 8.（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由组合数公式计算即可； （2）由组合数公式计算即可. 【详解】（1）因为， ， 所以； （2）因为， ， 所以． 9．（23-24高二上·江西南昌·期末）（1）求值：． （2）已知，求x． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用组合数性质，即可求出结果. （2）利用组合数性质，即可求出结果. 【详解】（1）因为， （2）由，得到或，解得或， 经验证，符合题意，所以或. 利用排列与组合解决计数问题 1. （23-24高二上·江西·期末）甲、乙、丙等6人站在一起，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（    ） A．108种 B．96种 C．84种 D．72种 【答案】B 【分析】分类讨论：乙丙及中间人占据首四位、乙丙及中间人占据中间四位、乙丙及中间人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果. 【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间人占据首四位或中间四位或尾四位， 当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩最后2位，甲不在两端， 第一步先排末位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种， 由分步乘法计数原理可得有种； 当乙丙及中间人占据中间四位，此时两端还剩2位，甲不在两端， 第一步先排两端有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种， 由分步乘法计数原理可得有种； 乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩前2位，甲不在两端， 第一步先排首位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种， 由分步乘法计数原理可得有种； 由分类加法计数原理可知，一共有种排法. 故选：B. 2．（23-24高二上·江西·期末）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．504种 B．432种 C．384种 D．240种 【答案】A 【分析】分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论 【详解】由题意分为两种情况：第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法； 第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法， 故总共有种排法. 故选：A. 3．（23-24高二上·江西·期末）某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（    ） A．18 B．21 C．23 D．72 【答案】A 【分析】根据特殊元素优先安排的方法，先安顿好甲，再安排其他同学即可. 【详解】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分成两步完成： ① 让甲在三个项目中任选一个，有种方法； ② 让另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，有种方法. 由分步乘法计数原理，可得符合条件的报名方法种数为. 故选：A. 4. （23-24高二上·江西萍乡·期末）有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（    ） A．462 B．630 C．672 D．882 【答案】C 【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分两种情况讨论： 若用两种颜色涂色，有种涂色方法； 若用三种颜色涂色，有种涂色方法； 所以有种不同的涂色方法. 故选：C. 5．（23-24高二上·江西上饶·期末）名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生，则不同的分配方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次分配第一、二、三组，结合平均分组法可得出不同的分配方法种数. 【详解】名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生 则不同的分配方法种数为种. 故选：B. 6.（23-24高二上·江西九江·期末）四名同学分别到3个小区参加九江市创文志愿者活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数是（    ） A．36 B．24 C．64 D．81 【答案】A 【分析】确定必有2名同学去同一个小区，选出这2名同学，然后将3组同学分到3个小区，即可求得答案. 【详解】由题意可知必有2名同学去同一个小区， 故不同的安排方法种数是（种）. 故选：A 7．（23-24高二上·江西南昌·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若，，，且，则满足条件的点共有（    ） A．15个 B．20个 C．35个 D．56个 【答案】D 【分析】根据讨论是否相等，结合组合数运算求解. 【详解】若，则满足条件的点共有个； 若中只有2个相等，可知或，则满足条件的点共有个； 若互不相等，则满足条件的点共有个； 综上所述：满足条件的点共有个. 故选：D. 8.（23-24高二上·江西九江·期末）从集合中任取个元素分别作为直线方程中的、、，所得的经过坐标原点的直线有 条用数值表示 【答案】 【分析】先根据条件知道，再根据计算原理计算即可． 【详解】解：若直线方程经过坐标原点，则， 那么，任意取两个即可，有. 故答案为：． 9．（23-24高二上·江西宜春·期末）从4位男同学5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有 种. 【答案】70 【分析】分两种情况，结合组合知识求出答案. 【详解】若选出的1男2女，此时选法有种， 若选出的2男1女，此时选法有种， 故男女生都要有的选法有种. 故答案为：70 10．（23-24高二上·江西萍乡·期末）将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有 种．（用数字作答） 【答案】50 【分析】将问题分为甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人两类，进而结合排列组合知识进行分配即可求得答案. 【详解】由题意知将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生， 包括甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人， 当甲和乙两个屋子住4人、2人，共有种， 当甲和乙两个屋子住3人、3人，共有种， 根据分类计数原理得到共有（种）. 故答案为：50 二项式定理求特定项 1.（23-24高二下·江西鹰潭·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A．28 B．－28 C．30 D．360 【答案】A 【分析】写出二项展开式的通项公式，由求出值，回代入计算即得. 【详解】二项式的通项公式为：，， 由解得，，代入通项得：,即常数项为28. 故选：A. 2．（23-24高二上·江西九江·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用二项式的展开式求出结果． 【详解】根据二项式展开式：，； 故当时，展开式中的系数为， 故． 故选：D． 3.（江西省部分重点中学2023-2024学年高二上学期期末联考）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C． D． 【答案】A 【分析】根据二项展开式公式求解即可. 【详解】由题意中含的项为，则的系数为60， 故选：A 4.（23-24高二上·江西赣州·期末）展开式中的常数项为 ． 【答案】15 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为，求出的值，从而可得展开式中的常数项. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：15 5．（23-24高二上·江西·期末）若的展开式中的系数为70，则实数 ． 【答案】2 【分析】先得到的通项公式，进而得到的展开式中含的项为，从而得到不等式，求出答案. 【详解】的通项公式为， 当时，，当时，， 故的展开式中含的项为， 由题意知，解得． 故答案为：2 6．（23-24高二上·江西新余·期末）若的展开式中的系数为2025，则实数 ． 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出的项的系数，结合，即可得的值． 【详解】因为，的通项公式为， 所以的系数为，解得． 故答案为：. 7．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）在的展开式中，含项的系数是 . 【答案】164 【分析】根据二项式定理结合组合数的计算性质，即可求解. 【详解】因为的二项展开式为， 可知的展开式中，含项的系数是， 由的展开式中， 可得项的系数 ， 所以含项的系数是164. 故答案为：164. 8. （23-24高二上·江西·期末）的展开式中，二项式系数之和为a，各项系数之和为b，且． (1)求n的值； (2)求的展开式中的常数项． 【答案】(1)9 (2)672 【分析】（1）根据，，可求解出的值； （2）写出展开式的通项公式，然后考虑的指数为，由此可求对应的值，代入可求常数项. 【详解】（1）由题意得，， 因为，所以， 所以，解得． （2）的展开式的通项， 令，得， 所以的展开式中的常数项为． 二项式定理系数和 1. （多选题）（23-24高二上·江西上饶·期末）已知，则下列结论成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设，可得出，可判断A选项；利用二项展开式通项可判断B选项；由可判断C选项；由可判断D选项. 【详解】设， 对于A选项，，A对； 对于B选项，的展开式通项为， 所以，，B对； 对于CD选项，， 解得，，C错D对. 故选：ABD. 2．（多选题）（23-24高二上·江西九江·期末）在的展开式中，下列命题正确的是（    ） A．不含常数项 B．二项式系数之和为32 C．系数最大项是 D．各项系数之和为 【答案】ABC 【分析】对于A：写出展开式的通项公式，然后令的次数为即可求解；对于B：直接根据二项式定理求解；对于C：求出系数为正的正数，即可求最大值；对于D：令计算可得答案. 【详解】对于A：的展开式的通项为 . 令，得（不符题意），A正确； 对于B：二项式系数之和，B正确； 对于C：系数为正依次是，故系数最大项是，C正确； 对于D：令，得各项系数之和为，D错误. 故选：ABC. 3．（多选题）（23-24高二上·江西南昌·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法逐项分析判断. 【详解】因为， 对于选项A：令，可得，故A正确； 对于选项BC：令，可得， 所以，，故B正确，C错误； 对于选项D：令，可得， 所以，故D正确； 故选：ABD. 4．（多选题）（23-24高二上·江西景德镇·期末）二项式的展开式中（    ） A．前三项的系数之和为22 B．二项式系数最大的项是第4项 C．常数项为15 D．所有项的系数之和为64 【答案】BC 【分析】 首先写出二项式展开式的通项，选项A中根据通项求前三项系数之和即可；选项B中二项式系数中最大的是；选项C，常数项满足通项中的指数为，可得；选项D中将代入即可. 【详解】二项式展开式的通项为： ； 对于选项A，前三项的系数之和为：，A错误； 对于选项B，二项式系数中最大的是，恰好是第4项，B正确； 对于选项C，常数项时，通项公式中满足，得，即，C正确； 对于选项D，将代入，可得所有项的系数之和，结果为，D错误； 故选：BC. 5. （23-24高二上·江西·期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由组合性质进行计算. 【详解】 , 由题意可得，第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为 , 故选：B． 6. （多选题）（23-24高二上·江西吉安·期末）的展开式中（    ） A．二项式系数之和为32 B．最高次项系数为32 C．所有项系数之和为 D．所有项系数之和为1 【答案】ABD 【分析】根据二项式系数和的性质判断A，结合展开式通项求解最高次项系数判断B，令得所有项系数之和判断CD. 【详解】二项式系数之和为，A正确； 设的展开式第项为， 令得的展开式中最高次项的系数为，B正确； 令得，所有项系数之和为，C错误，D正确. 故选：ABD 计数原理与古典概型综合 1. （23-24高二上·江西上饶·期末）盒子中有红球3个，黄球4个，任取3个球，则抽到2个红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由古典概型概率公式可得. 【详解】盒子中有红球3个，黄球4个，从盒子中任取3个球，共有种取法， 3球中抽到个红球，则有个黄球，故取法有种， 由古典概型的概率公式得所求事件的概率为. 故选：A. 2.（23-24高二上·江西九江·期末）如图，从正六边形的六个顶点中任取三个点构成三角形，则能成为等腰三角形的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出从正六边形的六个顶点中任取三个点可以构成三角形的总数，再列举出能构成的等腰三角形，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】从正六边形的六个顶点中任取三个点可以构成三角形的个数为， 其中等腰三角形有：， 共8个， 故所求概率为， 故选：C 3．（23-24高二上·江西九江·期末）现有名北京冬奥会志愿者，其中名女志愿者，名男志愿者随机从中一次抽出名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务则抽出的名都是女志愿者的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据组合计数可求基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可求概率. 【详解】现有名北京冬奥会志愿者，其中名女志愿者，名男志愿者， 随机从中一次抽出名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务， 基本事件总数， 抽出的名都是女志愿者包含的基本事件个数， 则抽出的名都是女志愿者的概率是． 故选：B． 4．（23-24高二上·江西宜春·期末）某校有甲、乙等5名同学到4个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到不同的社区的概率为（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据捆绑法和分步计数乘法原理求得分法的种数，再结合古典概型概率公式即可求解. 【详解】先在5名同学中选出2名同学分配到一个社区，有（种）分配方法， 再将另外3人分配到3个社区且每个社区各1人，则共有（种）分配方法， 其中甲、乙2人被分配到同一个社区的分法有（种）， 则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率. 故甲、乙2人被分配到不同的社区的概率为. 故选：B. 5. （多选题）（23-24高二上·江西新余·期末）在某次太空旅行中，宇航员们要对需要完成的A，B，C，D，E，F六个科学实验进行排序，则下列说法正确的是（    ） A．若A，B相邻，则不同的排序种数有240种 B．若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有96种 C．若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有504种 D．A排在B，C之前的概率为 【答案】ACD 【分析】对于ABC，根据题意结合排列数、组合数分析求解；对于D，根据排列组合结合古典概型分析求解. 【详解】对于A，若A，B相邻，则不同的排序种数有种，故A正确； 对于B，若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有种，故B错误； 对于C，若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有种，故C正确； 对于D，A排在B，C之前的概率为，故D正确. 故选：ACD. 6.（23-24高二上·江西吉安·期末）第19届杭州亚运会开幕前需在某高中招募10名志愿者作为高中组志愿者代表，分成两组，每组5人，共有15人报了名．其中小王、小张也报了名，则两人都被选中且被分在不同组的概率为 ． 【答案】 【分析】根据分组分配问题，结合古典概型的概率公式求解. 【详解】该两人都被选中且被分在不同组为目标分组，分法种数为， 15人选10人分两组的分法种数为， ∴两人都被选中且被分在不同组的概率． 故答案为： 7．（23-24高二下·江西吉安·期末）如图，数轴上一质点受随机外力的作用从原点O出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位长度，则移动6次后，最终质点位于数轴上的位置4的概率为 ． 【答案】 【分析】第一空质点位于4的位置可知质点向左移动1次，向右移动5次，根据古典概型的概率公式即可求解； 【详解】质点移动6次，共有2×2×2×2×2×2＝64种情况， 质点位于4的位置时需向左移动1次，向右移动5次，共＝6种情况， 所以质点位于4的概率为， 故答案为： 8. （23-24高二上·江西吉安·期末）有5对夫妇和A，B共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法），而后进行合影留念. (1)就餐时，5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A，B不相邻，共有多少种坐法； (2)合影时，若随机选择5人站成一排进行合影，求有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻的概率． 【答案】(1)1152种 (2) 【分析】（1）先排甲、乙二人的太太及这两对夫妇，再排余下3对夫妇，最后用插空法排，，借助分步乘法计数原理计算即得. （2）有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻，分都被选中，只有一个被选中，都没被选中，三种情况，再按古典概型求概率. 【详解】（1）分成三步来完成第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法， 甲、乙二人的座位也随之确定； 第二步，排其余3对夫妇的座位，有种坐法； 第三步，排，，二人的座位，有种坐法， 根据分步乘法计数原理，共有种坐法. （2）若随机选择5人站成一排进行合影，有种， 有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻， 分为：当都被选中，有种， 当只有一个被选中，有种， 当都没被选中，有种， 则概率为：. 二项式的单调性与系数最值 1. （多选题）（23-24高二上·江西宜春·期末）已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（       ） A． B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32 C．展开式中的常数项为540 D．展开式中二项式系数最大的项是第四项 【答案】ABD 【分析】令，可求出，然后再结合组合的知识、二项式系数的性质、系数的变化规律逐项判断． 【详解】令，得，得，故A正确； 展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确， 由上得二项式为，常数项为，故C错误； 最大的二项式系数为，即第四项的二项式系数最大，故D正确； 故选：ABD． 2．（多选题）（江西省临川第一中学2023-2024学年高二上学期期末）在的展开式中（    ） A．常数项为 B．项的系数为 C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项 【答案】BCD 【分析】根据二项展开式的通项公式可得，对A、B：分别令、，运算求解即可；对于C：可得第项的系数为，结合数列单调性分析运算；对于D：令，分析运算即可. 【详解】的展开式的通项公式， 对于A：令，解得，可得， 即常数项为，故A错误； 对于B：令，解得，可得， 即项的系数为，故B正确； 对于C：由通项公式可得：第项的系数为， 当为偶数时，；当为奇数时，； 取为偶数，令，则， 整理得，解得， 所以系数最大项为第3项，故C正确； 对于D：令，则， 所以有理项共有5项，故D正确； 故选：BCD. 3．（多选题）（23-24高二上·江西上饶·期末）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．所有二项式系数之和为 B．第4项的二项式系数最大 C．所有项的系数的和为 D．的系数是 【答案】ABC 【分析】由二项式系数的性质可判断AB，令可判断C，由通项公式可判断D 【详解】在的展开式中，所有二项式系数之和为，故A正确； 的展开式共有7项，其中最中间的第4项的二项式系数最大，故B正确； 令，则在的展开式中，所有项的系数的和为，故C正确； 的展开式的通项公式为， 令，得，此时的系数是，故D错误； 故选：ABC 4. （23-24高二上·江西鹰潭·期末）已知①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为；②展开式中的前三项的二项式系数之和为16，在这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答． 问题：已知二项式，________． (1)求展开式中的二项式系数最大的项； (2)求展开式中的系数最大的项． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当选填条件①时，由题意列式求得，当选填条件②时，由前3项的二项式系数和为16，求得.把代入，由，可知第三、四项的二项式系数最大，由二项展开式的通项得答案； （2）由二项展开式的通项，得展开式系数，由，求得展开式系数最大的项. 【详解】（1）选①：令得所有项的系数和为，又二项式系数和为，所以， 解得：. 选②：由题意：，化简得：，所以，   所以展开式中的二项式系数最大的项为第三、四项， 因为， 即：， . （2）展开式第项为， 由得且， 所以，所以系数最大的项为. 5．（23-24高二上·江西新余·期末）已知二项式． (1)若，，求二项式的值被7除的余数； (2)若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入，，将二项式转化为，利用二项式定理即可得解； （2）先由题意求得，再利用二项展开通项公式得到关于系数最大的项的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）因为，， ， 显然能被7整除，， 所以二项式的值被7除的余数为. （2）因为的二项式系数之和为128， ， 则的展开通项公式为， 假设展开式中系数最大的项为第项， 则，即， 即，解得， 所以展开式中系数最大的项为第6，7项， 即. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是熟练掌握组合数公式，从而得解. 6．（23-24高二·江西上饶·期末）已知①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为；②展开式中的前三项的二项式系数之和为16，在这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答． 问题：已知二项式，________． (1)求展开式中的二项式系数最大的项； (2)求展开式中的系数最大的项． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当选填条件①时，由题意列式求得，当选填条件②时，由前3项的二项式系数和为16，求得.把代入，由，可知第三、四项的二项式系数最大，由二项展开式的通项得答案； （2）由二项展开式的通项，得展开式系数，由，求得展开式系数最大的项. 【详解】（1）选①：令得所有项的系数和为，又二项式系数和为，所以， 解得：. 选②：由题意：，化简得：，所以，   所以展开式中的二项式系数最大的项为第三、四项， 因为， 即：， . （2）展开式第项为， 由得且， 所以，所以系数最大的项为. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 计数原理 两个基本原理 1. 1．（23-24高二上·江西·期末）某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．90种 B．30种 C．14种 D．11种 2．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）某校组队参加辩论赛，从7名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．360 3．（23-24高二上·江西九江·期末）从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（    ） A．30个 B．42个 C．41个 D．39个 4．（23-24高二上·江西·期末）从这7个数字中取出4个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 排列与组合直接计算 1．（23-24高二上·江西新余·期末）已知，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（23-24高二上·江西·期末）若，则的值可以是（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 3．（多选题）（23-24高二上·江西上饶·期末）下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（23-24高二上·江西上饶庆丰·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知，则可能取值为6 B．已知，则可能取值为7 C．在的二项式展开式中，常数项是84 D．在的二项式展开式中，常数项是 5.（23-24高二上·江西·期末）方程（且）的解为 ． 6．（23-24高二下·江西九江·期末）产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，从产品中随机抽件做检查，请计算当N=16，M=8时， ；若，，请计算 .（用组合数表示） 7．（23-24高二上·江西宜春·期末）若，则x的可能的值是 . 8.（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 9．（23-24高二上·江西南昌·期末）（1）求值：． （2）已知，求x． 利用排列与组合解决计数问题 1. （23-24高二上·江西·期末）甲、乙、丙等6人站在一起，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（    ） A．108种 B．96种 C．84种 D．72种 2．（23-24高二上·江西·期末）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．504种 B．432种 C．384种 D．240种 3．（23-24高二上·江西·期末）某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（    ） A．18 B．21 C．23 D．72 4. （23-24高二上·江西萍乡·期末）有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（    ） A．462 B．630 C．672 D．882 5．（23-24高二上·江西上饶·期末）名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生，则不同的分配方法种数为（    ） A． B． C． D． 6.（23-24高二上·江西九江·期末）四名同学分别到3个小区参加九江市创文志愿者活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数是（    ） A．36 B．24 C．64 D．81 7．（23-24高二上·江西南昌·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若，，，且，则满足条件的点共有（    ） A．15个 B．20个 C．35个 D．56个 8.（23-24高二上·江西九江·期末）从集合中任取个元素分别作为直线方程中的、、，所得的经过坐标原点的直线有 条用数值表示 9．（23-24高二上·江西宜春·期末）从4位男同学5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有 种. 10．（23-24高二上·江西萍乡·期末）将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有 种．（用数字作答） 二项式定理求特定项 1.（23-24高二下·江西鹰潭·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A．28 B．－28 C．30 D．360 2．（23-24高二上·江西九江·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 3.（江西省部分重点中学2023-2024学年高二上学期期末联考）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C． D． 4.（23-24高二上·江西赣州·期末）展开式中的常数项为 ． 5．（23-24高二上·江西·期末）若的展开式中的系数为70，则实数 ． 6．（23-24高二上·江西新余·期末）若的展开式中的系数为2025，则实数 ． 7．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）在的展开式中，含项的系数是 . 8. （23-24高二上·江西·期末）的展开式中，二项式系数之和为a，各项系数之和为b，且． (1)求n的值； (2)求的展开式中的常数项． 二项式定理系数和 1. （多选题）（23-24高二上·江西上饶·期末）已知，则下列结论成立的有（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·江西九江·期末）在的展开式中，下列命题正确的是（    ） A．不含常数项 B．二项式系数之和为32 C．系数最大项是 D．各项系数之和为 3．（多选题）（23-24高二上·江西南昌·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（23-24高二上·江西景德镇·期末）二项式的展开式中（    ） A．前三项的系数之和为22 B．二项式系数最大的项是第4项 C．常数项为15 D．所有项的系数之和为64 5. （23-24高二上·江西·期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 6. （多选题）（23-24高二上·江西吉安·期末）的展开式中（    ） A．二项式系数之和为32 B．最高次项系数为32 C．所有项系数之和为 D．所有项系数之和为1 计数原理与古典概型综合 1. （23-24高二上·江西上饶·期末）盒子中有红球3个，黄球4个，任取3个球，则抽到2个红球的概率是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·江西九江·期末）如图，从正六边形的六个顶点中任取三个点构成三角形，则能成为等腰三角形的概率为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江西九江·期末）现有名北京冬奥会志愿者，其中名女志愿者，名男志愿者随机从中一次抽出名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务则抽出的名都是女志愿者的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江西宜春·期末）某校有甲、乙等5名同学到4个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到不同的社区的概率为（ 　 ） A． B． C． D． 5. （多选题）（23-24高二上·江西新余·期末）在某次太空旅行中，宇航员们要对需要完成的A，B，C，D，E，F六个科学实验进行排序，则下列说法正确的是（    ） A．若A，B相邻，则不同的排序种数有240种 B．若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有96种 C．若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有504种 D．A排在B，C之前的概率为 6.（23-24高二上·江西吉安·期末）第19届杭州亚运会开幕前需在某高中招募10名志愿者作为高中组志愿者代表，分成两组，每组5人，共有15人报了名．其中小王、小张也报了名，则两人都被选中且被分在不同组的概率为 ． 7．（23-24高二下·江西吉安·期末）如图，数轴上一质点受随机外力的作用从原点O出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位长度，则移动6次后，最终质点位于数轴上的位置4的概率为 ． 8. （23-24高二上·江西吉安·期末）有5对夫妇和A，B共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法），而后进行合影留念. (1)就餐时，5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A，B不相邻，共有多少种坐法； (2)合影时，若随机选择5人站成一排进行合影，求有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻的概率． 二项式的单调性与系数最值 1. （多选题）（23-24高二上·江西宜春·期末）已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（       ） A． B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32 C．展开式中的常数项为540 D．展开式中二项式系数最大的项是第四项 2．（多选题）（江西省临川第一中学2023-2024学年高二上学期期末）在的展开式中（    ） A．常数项为 B．项的系数为 C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项 3．（多选题）（23-24高二上·江西上饶·期末）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．所有二项式系数之和为 B．第4项的二项式系数最大 C．所有项的系数的和为 D．的系数是 4. （23-24高二上·江西鹰潭·期末）已知①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为；②展开式中的前三项的二项式系数之和为16，在这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答． 问题：已知二项式，________． (1)求展开式中的二项式系数最大的项； (2)求展开式中的系数最大的项． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 5．（23-24高二上·江西新余·期末）已知二项式． (1)若，，求二项式的值被7除的余数； (2)若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项． 6．（23-24高二·江西上饶·期末）已知①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为；②展开式中的前三项的二项式系数之和为16，在这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答． 问题：已知二项式，________． (1)求展开式中的二项式系数最大的项； (2)求展开式中的系数最大的项． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$