专题03 圆锥曲线综合（2大基础题+2大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（江西专用）

专题03 圆锥曲线综合 直线与圆锥曲线的位置关系 1．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知是双曲线的一个焦点，则下列选项正确的有（    ） A．双曲线的离心率为 B．到双曲线的一条渐近线的距离为1 C．双曲线与双曲线有相同的渐近线 D．过点的直线与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有两条 5．（江西省上进联盟2023-2024学年高二上学期1月期末联考）已知直线，抛物线与抛物线的焦点分别为，则（   ） A．存在，使得直线过点与 B．存在，使得直线与各有1个公共点 C．若过与的公共点，则与两准线的交点距离为 D．与的交点个数构成的集合为 6．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知实数，满足，则的取值范围是 . 7．（江西省九江市六校2023-2024学年高二上学期期末联考）过点作斜率为k的直线l交双曲线于，两点，线段的中点在直线上，则实数k的值为 ． 弦长与面积计算 1. （23-24高二上·江西上饶·期末）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·江西萍乡·期末）抛物线：（）的焦点为，准线为，过的直线与相交于，两点，且满足，在上的射影为，若的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D．9 3. （23-24高二上·江西吉安·期末）双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（    ） A． B． C．平行四边形各边所在直线斜率均不为 D． 4.（23-24高二上·江西景德镇·期末）若中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，焦距长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线经过椭圆的左焦点，与椭圆相交于两点，求的面积． 5.（23-24高二上·江西九江·期末）已知定点为动点，以为直径的圆和轴相切.记动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程； (2)若过的直线与相交于两点，与圆相交于两点，且在轴上方，，求的方程. 范围与最值问题 1．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知椭圆的两焦点分别为、，且椭圆的离心率为．    (1)求椭圆E的方程； (2)过两焦点的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，若，求平行四边形ABCD面积最大值． 2. （23-24高二上·江西九江·期末）如图，已知椭圆的离心率为，点在上.    (1)求的方程； (2)设点关于原点对称点为为上异于的动点，直线分别交轴于两点，求的最小值. 3. （23-24高二上·江西鹰潭·期末）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条互相垂直的直线、与椭圆交于、两点，证明直线过定点，并求面积的最大值． 定点与定值 1. （23-24高二上·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点A在x轴上滑动，点B在y轴上滑动，A、B两点距离为3，点P满足，且点P的轨迹为曲线C． (1)求点P的轨迹方程； (2)曲线C与x轴负半轴交于点T，过点T的直线TM，TN分别与曲线C交于M，N两点，直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求面积的最大值． 2.（23-24高二下·江西九江·期末）已知，是椭圆C：的左、右焦点，点是C上一点，的中点在y轴上，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知过椭圆上一点的切线方程为.设动直线l：与椭圆C相切于点P，且与直线相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆与轴交于定点. 3. （23-24高二下·江西鹰潭·期末）已知椭圆E：的左焦点，过点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B是椭圆E的左、右顶点，是椭圆E的右焦点，过点F的直线l与椭圆E相交于M，N两点（点M在x轴的上方），直线AM，BN分别与y轴交于点P，Q，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由. 4. （23-24高二上·江西九江·期末）设，为椭圆的左、右两个焦点，为椭圆上一点，且，． (1)求的值； (2)若直线：与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线经过点，证明：为定值． 5.（23-24高二上·江西萍乡·期末）如图，椭圆：（）的上顶点为，右顶点为，离心率，、是椭圆上的两个动点，且满足． (1)求椭圆的标准方程； (2)试判断直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 6．（23-24高二上·江西赣州·期末）已知椭圆C：（）的离心率为，直线l：是椭圆C与圆：的一条公切线． (1)求椭圆C的方程； (2)若点为椭圆C的一点，直线：交圆于M，N两点，以M，N为切点分别作圆的切线，两条切线交于点Q，证明：为定值． 7．（23-24高二上·江西·期末）双曲线的焦距为，点在C上，直线交y轴于点P，过P作直线交C于G，H两点，且的斜率存在，直线，交l分别于M，N两点． (1)求C的方程； (2)求与的斜率之积； (3)证明：A，O，M，N共圆． 8．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）已知动点P到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为k的直线l与曲线交于点为坐标原点，若,证明：为定值． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆锥曲线综合 直线与圆锥曲线的位置关系 1．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 2．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】设切线方程为，联立方程组，，可解. 【详解】根据题意，抛物线在点处的切线的斜率存在， 设切线方程为， 联立方程组，得， 则，解得. 故选：C 3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据给定条件，结合圆的弦长公式求出原点到直线的距离范围，确定直线必过的区域，再逐项判断即可得解. 【详解】圆的圆心为原点，半径为，设点到直线的距离为， 由，得， 平面内到原点距离不大于的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆及内部区域， 因此直线必过区域，以原点为圆心，为半径的圆方程为， 对于A，圆上的点到点的距离，显然，    因此圆内含于圆，则圆与直线一定有公共点，A是； 对于B，点在抛物线内，由消去得， 显然方程无解，即圆与抛物线无公共点，    因此圆在抛物线内，抛物线与直线一定有公共点，B是； 对于C，圆上的点在椭圆外，    直线与椭圆无公共点，而直线过区域，C不是； 对于D，圆上只有两点在双曲线上，其余点都在双曲线外，    直线与双曲线无公共点，而直线过区域，D不是. 故选：AB 【点睛】关键点睛：求出直线必过区域，再判断区域的边界曲线与各选项中曲线的位置关系是解决问题的关键. 4．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知是双曲线的一个焦点，则下列选项正确的有（    ） A．双曲线的离心率为 B．到双曲线的一条渐近线的距离为1 C．双曲线与双曲线有相同的渐近线 D．过点的直线与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有两条 【答案】BD 【分析】求出双曲线的离心率可判断A；由点到直线的距离可判断B；求出双曲线与双曲线的渐近线可判断C；由直线与双曲线的位置关系可判断D. 【详解】由双曲线的方程可得双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距， 所以双曲线的离心率，故A错误； 由题意得，双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为， 由点到直线的距离公式得，到双曲线的渐近线的距离，故B正确； 双曲线的渐近线方程为，故C错误； 点在双曲线的渐近线上， 所以过点的直线与双曲线只有一个公共点的直线有两条， 一条和渐近线平行，一条与右支相切，故D正确. 故选：BD. 5．（江西省上进联盟2023-2024学年高二上学期1月期末联考）已知直线，抛物线与抛物线的焦点分别为，则（   ） A．存在，使得直线过点与 B．存在，使得直线与各有1个公共点 C．若过与的公共点，则与两准线的交点距离为 D．与的交点个数构成的集合为 【答案】ABD 【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，联立直线与抛物线的方程，再逐项判断即可得解. 【详解】抛物线的焦点，准线，抛物线的焦点，准线， 当时，直线过点与，A正确； 由消去y得，由，得，此时直线与只有一个公共点， 由消去x得，由，得，直线与只有一个公共点， 因此当时，直线与各有1个公共点，B正确； 抛物线与的公共点为和，当直线经过点时，直线的方程为， 直线与交于点，与交于点，这两个交点间距离为，C错误； 当时，，与的交点个数为0，当时，与的交点个数为2， 当时，直线与的交点各有两个，而当或时，直线经过了的交点 此时与的交点个数为3，当且且时，与的交点个数为4， 因此与的交点个数构成的集合为，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：联立直线l与抛物线C的方程组，消元后的一元二次方程判别式为： (1)直线l与抛物线C相交；(2)直线l与抛物线C相切；(3)直线l与抛物线C相离. 6．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知实数，满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】方程表示椭圆的右半边，为椭圆上的点与定点的斜率，与椭圆方程联立，求出直线与椭圆相切时的斜率，数形结合即可求得范围. 【详解】因为，所以，， 根据数形结合，，，可看作是椭圆的一半（如下图）： 又等价于过点和点的直线斜率，由图可知，当直线与椭圆相切时，斜率取最值. 设切线为，联立，消得， 令，解得， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 7．（江西省九江市六校2023-2024学年高二上学期期末联考）过点作斜率为k的直线l交双曲线于，两点，线段的中点在直线上，则实数k的值为 ． 【答案】/ 【分析】联立得到韦达定理，解方程，再检验即得解. 【详解】由题意可设l的方程为．联立消去y得，． 显然．设，，则，解得． 由得，显然不适合，适合． 故答案为： 弦长与面积计算 1. （23-24高二上·江西上饶·期末）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点、，设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量的坐标运算结合可得出，代入韦达定理求出的值，再利用抛物线的焦点弦长公式可求得的值. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设点、，    若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意； 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，， 因为，即，可得，即， 所以，，可得， ，所以，，则， 所以，. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 2.（23-24高二上·江西萍乡·期末）抛物线：（）的焦点为，准线为，过的直线与相交于，两点，且满足，在上的射影为，若的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由向量的关系，可得，的横坐标关系，整理可得直线的斜率，再由的面积为，即，整理可得的值，进而求出弦长的大小. 【详解】由题意设直线的方程，设，设， 由，整理可得：，可得，， 因为，可得，代入，可得，再代入 ，可得，即， 设在准线上的射影分别为，的面积为， 所以， 即， 所以 即， 整理可得， 所以， 所以，解得，即, 所以. 故选：B 3. （23-24高二上·江西吉安·期末）双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（    ） A． B． C．平行四边形各边所在直线斜率均不为 D． 【答案】BC 【分析】根据双曲线的标准方程可判定A，由平行四边形与双曲线的对称性及双曲线定义可判定B，利用双曲线的性质可判定C，设直线方程，联立双曲线利用韦达定理及弦长公式结合函数的单调性可判定D. 【详解】由题意可得，，则，故A错误． 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：， 则，B正确． 设任一边所在直线为（斜率存在时），联立双曲线， 联立得， 则，即，C正确． 由， 设：；，，， 联立得， ∴，， 则 ， 设，则， ∴， 又单调递减，则，∴， 故，D错误． 故选：BC 4.（23-24高二上·江西景德镇·期末）若中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，焦距长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线经过椭圆的左焦点，与椭圆相交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆方程. （2）将直线的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式以及点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）由已知，得， 设方程为，则，得， 椭圆方程为. （2）因为左焦点坐标为，所以可得直线，也即， 设， 联立，得，即， ，． 又因为到直线的距离为，. 5.（23-24高二上·江西九江·期末）已知定点为动点，以为直径的圆和轴相切.记动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程； (2)若过的直线与相交于两点，与圆相交于两点，且在轴上方，，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据以为直径的圆与轴相切列出关于的方程，由此化简可求的轨迹方程； （2）设出的方程以及的坐标，结合焦半径公式将转化为横坐标的关系，联立直线与抛物线方程得到横坐标的韦达定理形式，由此可求解出的值，则的方程可知. 【详解】（1）设，所以的中点坐标为， 圆和轴相切，， 化简得， 所以的轨迹方程为. （2）由在轴上方且可知直线的斜率大于， 设直线的方程为， 由，得， 由抛物线的焦半径公式可知：，即， 联立，消去得， ， 即，解得， 的方程为. 范围与最值问题 1．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知椭圆的两焦点分别为、，且椭圆的离心率为．    (1)求椭圆E的方程； (2)过两焦点的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，若，求平行四边形ABCD面积最大值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）由已知焦点与离心率得关系，求解方程组可得； （2）将平行四边形面积转化为的面积，设出直线方程，联立直线与椭圆方程，再利用分割法将的面积转化为，利用韦达定理转化为函数最值研究即可. 【详解】（1）由题意知，解得， 则， 则椭圆E的方程为； （2）易知直线AB的斜率不为0，由（1）知， 不妨设直线AB的方程为， 联立，消去x并整理得， 此时恒成立，设， 由韦达定理得，，    所以， 此时， 椭圆C的内接平行四边形面积为， 令，则. 则， 设，， 则， 则函数在单调递增，所以， 所以当时，S取最大值6，故平行四边形的面积最大值为6． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 2. （23-24高二上·江西九江·期末）如图，已知椭圆的离心率为，点在上.    (1)求的方程； (2)设点关于原点对称点为为上异于的动点，直线分别交轴于两点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率以及椭圆所过的点列方程求解； （2）当直线的斜率存在时，设为，根据可得，表示出直线的方程以及直线的方程，求出点和点的坐标，表示，求其最值即可. 【详解】（1）的离心率为，即， 又， 又点在上，，即，解得， 故的方程为； （2）①当直线的斜率不存在时，，此时， ②当直线的斜率存在时，设为， 则， 则， 又，即， 直线的方程为，令，得，即， 直线的方程为，令，得，即， ，当且仅当时，取等号. 的最小值是. 3. （23-24高二上·江西鹰潭·期末）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条互相垂直的直线、与椭圆交于、两点，证明直线过定点，并求面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析，面积的最大值为 【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线不与轴垂直，设直线的直线方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，由已知可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出的值，可得出直线所过定点的坐标，然后利用三角形的面积公式结合对勾函数的单调性可求得面积的最大值. 【详解】（1）解：由已知可得：，解得：，， 所以，椭圆的方程为． （2）解：易知点，设点、，则， 若直线轴，则，， 所以，，不合乎题意， 设的直线方程为， 联立，整理得， ， 由韦达定理可得，． 因为，且，， 所以， ， ， ， ， 整理得，解得或（舍去）， 所以，直线的方程为， ， 则． 令， 则， 由对勾函数单调性知，函数在上为增函数 ， 则． 所以，当且仅当时，即时等号成立， 此时最大值为． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 定点与定值 1. （23-24高二上·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点A在x轴上滑动，点B在y轴上滑动，A、B两点距离为3，点P满足，且点P的轨迹为曲线C． (1)求点P的轨迹方程； (2)曲线C与x轴负半轴交于点T，过点T的直线TM，TN分别与曲线C交于M，N两点，直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）设，，可列出等式，结合，求出，代入化简，即可得答案； （2）设方程为，并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合化简，可得，即可证明直线过定点；求出面积的表达式，结合换元，以及利用函数的单调性求最值，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可设，， 则，即， 由，得，即， 故，代入，得， 即点P的轨迹方程为； （2）由，可知，结合由题意知直线的斜率不为0， 故设方程为，设， 联立，整理得， 需满足， 则， 则，， 因为，故，即， 即 ，解得，或， 当时，方程为，经过点，不符合题意，舍去； 故，满足， 此时方程为，故直线过定点； 则的面积 ， 令，则设，该函数在上单调递增， 故； 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故面积的最大值为. 【点睛】难点点睛：本题考查了动点的轨迹方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的定点以及三角形面积的最值问题，综合性强，计算量较大，解答的难点就在于复杂的计算，且基本都是有关字母参数的运算，解答时要注意联立直线和椭圆方程，利用根与系数的关系式进行化简，要十分仔细准确计算. 2.（23-24高二下·江西九江·期末）已知，是椭圆C：的左、右焦点，点是C上一点，的中点在y轴上，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知过椭圆上一点的切线方程为.设动直线l：与椭圆C相切于点P，且与直线相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆与轴交于定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据题意求得，结合椭圆的定义求得，进而得到椭圆的方程； （2）由过椭圆上一点的切线方程为，设动点，得到直线l的方程，令，求得Q，设定点为结合，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：设， 由的中点在y轴上，且O为，的中点，可得轴，即， 又由，可得，即，， 所以，即， 解得，则， 所以椭圆C的方程为. （2）解：由（1）和题意，可得过椭圆上一点的切线方程为， 因为点在椭圆，可设点， 则直线l的方程为， 即， 令，则代入①，解得，所以Q坐标为， 假设存在点，使得以为直径的圆与轴交于定点， 则，即，， 于是 整理得， 由该方程对于任意的恒成立，可得，此时点， 所以存在定点符合条件，使得以为直径的圆与轴交于定点. 【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 3、若与面积有关的定值问题，一般用直接法求解，即先利用三角形的面积公式，（如果是其他的凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解），把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可求解. 3. （23-24高二下·江西鹰潭·期末）已知椭圆E：的左焦点，过点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B是椭圆E的左、右顶点，是椭圆E的右焦点，过点F的直线l与椭圆E相交于M，N两点（点M在x轴的上方），直线AM，BN分别与y轴交于点P，Q，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）当时，代入椭圆方程，得，结合椭圆性质可得解； （2）先研究轴，再研究当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理化简，可得解. 【详解】（1）根据题意，当时，代入椭圆方程，得， 所以， 所以椭圆方程为； （2）是定值，理由如下： 由题意可得， 当轴时，直线的方程为，易知， 直线的方程为，所以， 直线的方程为，所以，则； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得，则， 设，则， 直线的方程为，令，则，所以， 直线的方程为，令，则，所以， 所以， 所以， 可得， 综上，. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 4. （23-24高二上·江西九江·期末）设，为椭圆的左、右两个焦点，为椭圆上一点，且，． (1)求的值； (2)若直线：与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线经过点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由，可得点的横坐标，代入椭圆的方程，可得点的纵坐标的绝对值，求出，的表达式，由题意可得的值； （2）联立直线的方程与椭圆的方程，两个两根之和，求出的中点的坐标，由题意可得，由斜率之积为，整理可证得为定值． 【详解】（1）由椭圆的方程可得，，， 因为，则的横坐标为，代入到椭圆的方程可得， 即的纵坐标的绝对值为， 所以，， 因为，即，解得； （2）由（1）可得椭圆的方程为：， 设，， 联立，整理可得， 由，即， 所以，， 所以的中点， 因为的中垂线过，所以，即， 整理可得，即证明为定值，且定值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 5.（23-24高二上·江西萍乡·期末）如图，椭圆：（）的上顶点为，右顶点为，离心率，、是椭圆上的两个动点，且满足． (1)求椭圆的标准方程； (2)试判断直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)椭圆的标准方程为 (2)直线与的斜率之积是定值9 【分析】（1）由题意结合平方关系列出方程组，解方程组即可得解. （2）由题意得，设出直线方程，并与椭圆方程联立，由韦达定理以及两点斜率公式运算化简即可得解. 【详解】（1）依题意：，解得， 故椭圆的标准方程为； （2）直线与的斜率之积是定值，理由如下： 依题意：，，∴， 又∵，∴， 设直线的方程为，、两点的坐标分别为， 联立，得， 则，， ， ∴直线与的斜率之积是定值，定值为9． 【点睛】关键点睛：第二问的关键是利用韦达定理并且巧妙变形，化繁为简，由此即可顺利得解. 6．（23-24高二上·江西赣州·期末）已知椭圆C：（）的离心率为，直线l：是椭圆C与圆：的一条公切线． (1)求椭圆C的方程； (2)若点为椭圆C的一点，直线：交圆于M，N两点，以M，N为切点分别作圆的切线，两条切线交于点Q，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用直线与圆和椭圆相切，得到的方程组求解； （2）利用直线与圆相切得到MN方程，进而对应项系数相等得，再点点距求解 【详解】（1）因为离心率，所以 因为是圆：的一条切线，所以 所以 由，可得 因为是椭圆的一条切线 所以 结合，解得 所以椭圆C的方程为． （2）设点，，，则， 因为M，N为直线QM，QN与圆的切点 所以， 所以直线QM的方程为：，即，即 直线QN的方程为：，即，即 所以点Q满足，即． 所以直线MN的方程为 又因为M，N为直线与圆的交点 所以MN的方程为，即 所以恒成立 所以，即 所以 又因为点为椭圆C上一点，所以 所以为定值． 【点睛】利用切线性质得MN的方程是解决本题的关键. 7．（23-24高二上·江西·期末）双曲线的焦距为，点在C上，直线交y轴于点P，过P作直线交C于G，H两点，且的斜率存在，直线，交l分别于M，N两点． (1)求C的方程； (2)求与的斜率之积； (3)证明：A，O，M，N共圆． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据点在C上可得，再根据焦距为可得即可得方程； （2）设，，，联立直线与双曲线的方程可得韦达定理，再根据求解即可； （3）根据四点共圆可得，进而可得，再根据相似三角形比例关系转证即可. 【详解】（1）由题意得，，得，， 所以C的方程为； （2）由题设知过，故设，，， 由得，其中， 且，即. 故，， 则， 即， 亦即与的斜率之积为. （3）只需证明，即， 亦即证明，有，即，， 即证明（＊），结合， 又， 故（＊）式成立，所以， 所以A，O，M，N共圆．    【点睛】方法点睛： 1.解析几何中求解斜率之积为定值，可考虑设直线与圆锥曲线交点坐标，根据交点坐标表达斜率，并联立直线与圆锥曲线的方程，得出韦达定理，并代入表达式化简； 2.证明四点共圆等问题时，考虑四边形的特征，转化为角度、斜率的关系，再根据韦达定理化简证明. 8．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）已知动点P到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为k的直线l与曲线交于点为坐标原点，若,证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用两点间距离公式计算即可； （2）设直线l的方程及点的坐标，联立方程利用韦达定理计算即可. 【详解】（1）设动点,则, 点P到直线的距离， 由题意知，即， 化简，得，即曲线的方程为． （2）证明：设直线l的方程为, 联立方程，得消去y并整理，得， 则，且, 所以， 所以 ． 因为,所以，即, 所以，所以， ， ， 所以 ， 即为定值．    【点睛】本题第二问难在计算，设线设点、联立方程、韦达定理计算是解决解析几何问题的常用三部曲，关键在于消元转化，需要多加练习提高计算能力即可. ( 32 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$