专题02 圆锥曲线的方程与几何性质（5大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（江西专用）

专题02 圆锥曲线的方程与几何性质 椭圆、双曲线的定义及应用 1．（23-24高二上·江西·期末）已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（    ） A．5 B．13 C．5或9 D．5或6 2．（23-24高二上·广东河源·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 3. （23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4. （23-24高二上·江西九江·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 5．（23-24高二上·江西九江·期末）双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线方程为，则的值为 .若点在双曲线上，且，则 . 6．（23-24高二上·江西宜春·期末）已知是双曲线的左、右焦点，双曲线上一点P满足，则△的面积是 ． 7.（23-24高二上·江西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，的延长线交椭圆C于点Q，且，的面积为，记与的面积分别为，，则 ． 8．（23-24高二上·江西·期末）已知P为椭圆上的点，F1，F2分别为C的左、右焦点，C的离心率为，的平分线交于点Q，则 ． 椭圆与双曲线标准方程与求法 1．（23-24高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（    ） ①若曲线为椭圆，则且焦距为常数 ②曲线不可能是焦点在轴的双曲线 ③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（江西省部分学校2023-2024学年高二上学期1月期末）若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高二上学期期末）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高二上·江西九江·期末）“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（江西省上饶市广丰中学2023-2024学年高二上学期期末）已知是椭圆的左焦点，第一象限内的点在上，直线与轴交于点为坐标原点，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（江西省2023-2024学年高二上学期期末教学检测）已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可以是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 椭圆的离心率 1．（江西省南昌市第二中学2023-2024学年高二上学期期末）法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·江西九江·期末）一般地，我们把离心率相等的两个椭圆称为相似椭圆已知椭圆和椭圆是相似椭圆，则下列结论中正确的是（    ） A．椭圆与椭圆相似 B．可以取 C．可以取 D．双曲线的离心率为 3．（23-24高二上·江西上饶·期末）如图，离心率相同的两个椭圆和分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆和外接椭圆，则 ． 4．（23-24高二上·江西景德镇·期末）过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 . 5.（江西师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末）虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为厘米，短轴长为厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高二上学期期末）已知为坐标原点，分别是椭圆的左顶点、上顶点和右焦点，点在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7.已知为椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且以为直径的圆过，当，该椭圆的离心率是 . 双曲线的渐近线与离心率 1.（23-24高二上·江西景德镇·期末）共轭双曲线与，有（    ） A．相同的离心率 B．公共焦点 C．公共顶点 D．公共渐近线 2．（23-24高二上·江西九江·期末）已知双曲线的离心率是，，分别是其左、右焦点，过点且与双曲线经过第一、三象限的渐近线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（江西省部分学校2023-2024学年高二上学期1月期末）已知点是双曲线：上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江西九江·期末）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高二上·江西·期末）双曲线的离心率为，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（23-24高二上·江西萍乡·期末）焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 7.（23-24高二上·江西九江·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在轴上，点在上，，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 8．（23-24高二上·江西赣州·期末）已知，为双曲线C：（，）的两个焦点，以为直径的圆与C在第一象限的交点为P，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，连接交左支于点Q.若，且，则双曲线的离心率为 . 10．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的右支交与点，若，则该双曲线的离心率为 ． 抛物线的定义、方程应用 1. （23-24高二上·江西九江·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2. （23-24高二上·江西九江·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）动圆经过定点，且与轴相切，则圆心的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 4.（23-24高二上·江西吉安·期末）抛物线的焦点到点的距离为（    ） A．2 B． C． D．4 5．（23-24高二上·江西九江·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 6. （23-24高二上·江西·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），过的中点作直线的垂线交轴于点，则（    ） A． B． C． D． 7. （23-24高二上·江西鹰潭·期末）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 抛物线中的最值问题 1．（23-24高二上·江西赣州·期末）设F为抛物线C：的焦点，A为平面内定点，若抛物线C上存在点P使得的最小值为5，则点A可以为（    ） A． B． C． D． 2.（多选题）（23-24高二上·江西·期末）已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴的交点为为C上一动点，点，则（    ） A．当时， B．当时， C．的最小值为5 D．的最大值为 3.（23-24高二上·江西新余·期末）过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为 ． 4．（23-24高二上·江西吉安·期末）抛物线上有一动点，过作曲线的切线，其中一个切点为，则的最小值为 . 抛物线中的二级结论应用 1．（多选题）（23-24高二上·江西景德镇·期末）设抛物线的焦点为，点是上不同的两点，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，那么点的横坐标为 C．若，则线段的中点到轴距离为4 D．以线段为直径的圆与轴相切 2. （多选题）（江西省部分学校2023-2024学年高二上学期1月期末）已知倾斜角为的直线经过抛物线：()的焦点，且与抛物线交于，两点(点在第一象限)，与抛物线的准线交于点，则（    ） A．以为直径的圆与轴相切 B．准线上存在唯一点，使得 C． D． 3．（多选题）（23-24高二上·江西鹰潭·期末）已知抛物线与圆交于、两点，且，直线过的焦点，且与交于、两点，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．存在某条直线，使得 D．若点，则周长的最小值为 4.（江西省临川第一中学2023-2024学年高二上学期期末）已知抛物线的准线方程为，则 ，若过点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为 ． 椭圆、双曲线几何性质综合 1. （江西省临川第一中学2023-2024学年高二上学期期末）已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左、右焦点、，两曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 2．（江西省南昌二中2023-2024学年高二上学期期末）已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为 A．3 B．2 C． D． 3．（多选题）（23-24高二上·江西·期末）已知椭圆，将C向右平移4个单位，向上平移3个单位得到椭圆E，若点A，B分别在C，E上，，分别为C，E的中心，则（    ） A．E的方程为 B．C和E没有交点 C．A，B的纵坐标之差可以为7 D．的最大值等于的最大值 4．（多选题）（23-24高二上·江西新余·期末）已知双曲线：的左右焦点分别为，，实轴长为8，离心率为，点，，是双曲线上的任意两点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点.下列说法正确的是（    ） A．若点满足，则的周长为52 B．若点在双曲线的左支，则的最小值为13 C．存在点，使得 D．若直线的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点，则或 5．（多选题）（22-23高二上·江西丰城·期末）已知曲线，，则（    ） A．的长轴长为4 B．的渐近线方程为 C．与的焦点坐标相同 D．与的离心率互为倒数 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆锥曲线的方程与几何性质 椭圆、双曲线的定义及应用 1．（23-24高二上·江西·期末）已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（    ） A．5 B．13 C．5或9 D．5或6 【答案】C 【分析】由双曲线的定义求解. 【详解】由题意可知，，，若，则或9． 故选：C 2．（23-24高二上·广东河源·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义并结合点是的左支上一点可得结果. 【详解】根据双曲线标准方程可知， 由双曲线定义可得， 又为左焦点，点是的左支上一点，所以， 可得. 故选：B 3. （23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到垂直平分线段，则，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求解． 【详解】 因为椭圆方程为， 所以，，， 又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以垂直平分线段，所以， 又因为，所以，， 在直角三角形中，， 于是的面积为． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上转化为垂直平分线段，再结合椭圆定义求解. 4. （23-24高二上·江西九江·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】由向量共线结合椭圆定义即可得解. 【详解】，且四边形为平行四边形， . 故选：B. 5．（23-24高二上·江西九江·期末）双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线方程为，则的值为 .若点在双曲线上，且，则 . 【答案】 【分析】根据渐近线方程求出，再根据双曲线的定义即可求出. 【详解】由题意可得，所以， 因为点在双曲线上，所以， 所以或， 又因为，所以. 故答案为：；. 6．（23-24高二上·江西宜春·期末）已知是双曲线的左、右焦点，双曲线上一点P满足，则△的面积是 ． 【答案】2 【分析】假设在左支上，由双曲线定义及已知条件可得，再用余弦定理求，进而求其正弦值，利用三角形面积公式求△的面积. 【详解】不妨假设在左支上，则，又， 所以，而，则， 所以，故， 综上，△的面积是. 故答案为：2. 7.（23-24高二上·江西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，的延长线交椭圆C于点Q，且，的面积为，记与的面积分别为，，则 ． 【答案】/ 【分析】用椭圆的定义和焦点三角形中余弦定理得到的结论为突破口，结合三角形的面积公式解决问题. 【详解】不妨设，，焦距，如图： 由的面积为，得， 由余弦定理，得，则， 所以，即， 所以， 所以，易得，， 所以，所以，， 所以， 所以， 所以，， 所以． 故答案为： 8．（23-24高二上·江西·期末）已知P为椭圆上的点，F1，F2分别为C的左、右焦点，C的离心率为，的平分线交于点Q，则 ． 【答案】2 【分析】根据角平分线定理及椭圆的定义求解即可. 【详解】   如图，因为平分，则， 设，，则，， 所以，得， 所以． 故答案为：2 椭圆与双曲线标准方程与求法 1．（23-24高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先求方程表示椭圆的的取值范围，再根据集合的包含关系，即可判断选项. 【详解】若方程表示椭圆，则 ，解得：，且， 所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 2．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（    ） ①若曲线为椭圆，则且焦距为常数 ②曲线不可能是焦点在轴的双曲线 ③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据椭圆、双曲线的方程的特征逐一求出参数范围判断①②；对于③，满足条件的点在以为直径的圆上，即，联立方程求解即可判断. 【详解】对于①，曲线是椭圆等价于，解得， 且，，则焦距为常数，故①正确； 对于②，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故②正确. 对于③，若，则曲线为，则， 若曲线上存在点，使， 则点在以为直径的圆上，即， 由，解得或， 所以有4个符合条件的点，故③正确, 所以正确的命题有3个. 故选：D 3．（江西省部分学校2023-2024学年高二上学期1月期末）若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程标准形式可得，从而得解. 【详解】若曲线表示椭圆， 则，解得且， 所以实数的取值范围是． 故选： B． 4．（江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高二上学期期末）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件确定双曲线的焦点和顶点坐标，进而确定，，即可求出双曲线方程. 【详解】由椭圆方程可知椭圆的焦点坐标为，上下顶点坐标为， 所以双曲线的顶点为，，焦点为，，， 所以双曲线方程为. 故选：A 5．（21-22高二上·江西九江·期末）“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】方程表示椭圆，可得，解出的范围即可判断出结论. 【详解】∵方程表示椭圆，∴解得或，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B． 6．（江西省上饶市广丰中学2023-2024学年高二上学期期末）已知是椭圆的左焦点，第一象限内的点在上，直线与轴交于点为坐标原点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系，求出点坐标，代入椭圆方程，即可求出b. 【详解】由题意得.    设，则. 由，得，所以，即， 因为点在上，所以，得， 故. 故选：C 7．（多选题）（江西省2023-2024学年高二上学期期末教学检测）已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可以是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】ABC 【分析】根据圆以及双曲线，以及椭圆的性质即可分类讨论求解. 【详解】当时，，方程可以化简为，曲线是圆； 当，且时，或，曲线是椭圆； 当时，或，曲线是双曲线． 故选:ABC． 椭圆的离心率 1．（江西省南昌市第二中学2023-2024学年高二上学期期末）法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找过右顶点的切线和过上顶点的切线，从而可知这两条切线的交点在蒙日圆上，进而建立的方程，即可求解. 【详解】   如图所示，分别与椭圆相切，显然 所以点C一定在其蒙日圆上，所以，所以， 故椭圆的离心率为. 故选：C. 2．（多选题）（23-24高二上·江西九江·期末）一般地，我们把离心率相等的两个椭圆称为相似椭圆已知椭圆和椭圆是相似椭圆，则下列结论中正确的是（    ） A．椭圆与椭圆相似 B．可以取 C．可以取 D．双曲线的离心率为 【答案】ABC 【分析】根据椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，即可分别求解． 【详解】解：对于A，椭圆与椭圆的离心率分别为，， 椭圆与椭圆相似，故A正确； 对于B，C，根据题意可得或， 解得或，故B，C选项正确； 对于D，因为双曲线的离心率为或， 即双曲线的离心率为或，故D选项错误． 故选：ABC． 3．（23-24高二上·江西上饶·期末）如图，离心率相同的两个椭圆和分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆和外接椭圆，则 ． 【答案】/ 【分析】由离心率相同，可得，由图可得，计算即可得的值. 【详解】由图可得，故有， 由两个椭圆离心率相同，则有，即， 故，即有，故. 故答案为：. 4．（23-24高二上·江西景德镇·期末）过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据点差法的知识，设点的坐标，代入曲线方程，作差，化简整理即可. 【详解】设则两式作差得 整理得 又是线段的中点，且直线的斜率为， 即 故答案为：. 5.（江西师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末）虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为厘米，短轴长为厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，，进而可得离心率. 【详解】由已知可得，， 即，， 所以离心率， 故选：C. 6．（江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高二上学期期末）已知为坐标原点，分别是椭圆的左顶点、上顶点和右焦点，点在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得，再根据直线平行的坐标运算即可得关系，从而得关系，即可得椭圆的离心率. 【详解】    因为，则 又，所以 因为，所以，则，即， 所以 所以. 故选：D. 7.已知为椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且以为直径的圆过，当，该椭圆的离心率是 . 【答案】 【分析】根据题意，由圆的圆周角的性质得出，且，由于，则，，利用椭圆的定义得，即可得出和的关系，从而可求出椭圆的离心率. 【详解】解：由题意知，以为直径的圆过，点为椭圆的右焦点， 则，且， 又，则，， 设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得 由椭圆的定义得，则，即：， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆的离心率和简单几何性质，以及椭圆定义的应用和圆的性质的应用. 双曲线的渐近线与离心率 1.（23-24高二上·江西景德镇·期末）共轭双曲线与，有（    ） A．相同的离心率 B．公共焦点 C．公共顶点 D．公共渐近线 【答案】D 【分析】根据双曲线的离心率、交点、顶点、渐近线等知识确定正确答案. 【详解】双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴上， 所以BC选项错误. 双曲线对应， 对应离心率为，渐近线方程为. 双曲线对应， 对应离心率为，渐近线方程为， 所以A选项错误，D选项正确. 故选：D 2．（23-24高二上·江西九江·期末）已知双曲线的离心率是，，分别是其左、右焦点，过点且与双曲线经过第一、三象限的渐近线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的离心率，求出，求出渐近线方程，求出焦点坐标，利用点斜式求解直线方程即可． 【详解】解：由得，所以双曲线的右焦点是， 经过第一、三象限的渐近线方程是， 于是所求的直线方程是，即． 故选：C． 3．（江西省部分学校2023-2024学年高二上学期1月期末）已知点是双曲线：上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式结合双曲线的渐近线方程即可得答案. 【详解】由双曲线的方程知渐近线方程为，设， 由题意，得，即， 点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以，故B项正确． 故选： B． 4．（23-24高二下·江西九江·期末）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取为的中点，为右焦点，根据得，由在上的投影向量的模为得，利用双曲线的定义可得结果. 【详解】取为的中点，为右焦点， ， ，， 在上的投影为，， ，，， ， ，. 故选：C 5.（23-24高二上·江西·期末）双曲线的离心率为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的基本量关系求解即可. 【详解】由题意，，即，解得. 故选：B 6．（23-24高二上·江西萍乡·期末）焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线标准方程及离心率公式求解. 【详解】因为双曲线方程为， 所以，，， 因为离心率为，所以， 解得：，所以. 故选：C. 7.（23-24高二上·江西九江·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在轴上，点在上，，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】，根据条件表示出，，则可表示出，进而可得离心率. 【详解】如图，令，由，得， 又，则， 即，又由，得， ， 故选：D.    8．（23-24高二上·江西赣州·期末）已知，为双曲线C：（，）的两个焦点，以为直径的圆与C在第一象限的交点为P，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用双曲线的定义，求得，结合，利用勾股定理，得到，再结合离心率的定义，即可求解. 【详解】由双曲线的定义，可得， 因为，可得， 又由以为直径的圆与C在第一象限的交点为，可得， 则满足，可得，即，可得， 所以双曲线的离心率为. 故选：A. 9．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，连接交左支于点Q.若，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】先利用双曲线定义求出，然后把利用面积比求出最后代入余弦定理来求离心率. 【详解】如图所示，由双曲线的定义可知：，结合， 所以，又有， 故由可得， 所以，则， 则为等边三角形，， 由余弦定理可得： ， 解得. 故答案为： 10．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的右支交与点，若，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】求得点坐标并代入双曲线的方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 所以，由于， 所以三角形是等边三角形，所以， 将代入， 得， 整理得，两边除以得， 得， 解得或（舍去）. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用直接法来进行求解，也即通过已知条件求得和，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也即通过已知条件求得或的等量关系式，由此来求得离心率. 抛物线的定义、方程应用 1. （23-24高二上·江西九江·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程求出准线方程. 【详解】解：抛物线的焦点在轴上，且开口向右，，， 抛物线的准线方程为． 故选：B． 2. （23-24高二上·江西九江·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出其标准方程，进而可得出焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为， 所以其焦点坐标为. 故选：C. 3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）动圆经过定点，且与轴相切，则圆心的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识确定正确答案. 【详解】由于动圆经过定点，且与轴相切， 所以到定点的距离，等于到轴的距离， 根据抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线. 故选：D 4.（23-24高二上·江西吉安·期末）抛物线的焦点到点的距离为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】首先求出焦点坐标，再利用距离公式计算可得. 【详解】抛物线的焦点为， 所以点到焦点的距离. 故选：B 5．（23-24高二上·江西九江·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据抛物线焦点在轴上，焦点坐标为即可求解. 【详解】由可知抛物线焦点在轴上，且，所以， 故焦点坐标为：， 故选：D 6. （23-24高二上·江西·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），过的中点作直线的垂线交轴于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据条件得出直线NP的方程为，从而得到，再利用抛物线定义即可求出结果. 【详解】由题意有，设，则，直线OM的斜率为， 易得直线NP的方程为,令，得，即， 由抛物线的定义易得，所以．    故选：C. 7. （23-24高二上·江西鹰潭·期末）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 【答案】 【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可. 【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为， 准线方程为，点到的准线的距离为. 故答案为：. 抛物线中的最值问题 1．（23-24高二上·江西赣州·期末）设F为抛物线C：的焦点，A为平面内定点，若抛物线C上存在点P使得的最小值为5，则点A可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分A在抛物线内外上三种情况结合定义求最值即可得解. 【详解】当A在抛物线内部时，如图所示：设在准线上的射影为，由， 当，，三点共线时，取得最小值，即， 故直线上且在抛物线内部的点均合题意，显然点A在抛物线上时，其纵坐标也为3，故正确，AB错误；    当A在抛物线外部时，设，如图所示，当，，三点共线时取得最小值， 即，经检验D不满足.    故选：C 2.（多选题）（23-24高二上·江西·期末）已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴的交点为为C上一动点，点，则（    ） A．当时， B．当时， C．的最小值为5 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，利用抛物线的定义判断；对于B，与抛物线方程联立，借助对称思想判断；对于C，利用三角形两边的和大于第三边判断；对于D，利用三角形两边的差小于第三边判断，结合抛物线的定义判断作答. 【详解】由题意知，当时，，则，故A错误； 当时，点P为抛物线与圆的交点，二者联立并消去y，得，所以，又，所以，故B正确；    过B作l的垂线，垂足为，当P为与C的交点时，P,B,F三点共线时最小，最小值为5，故C正确；    当点P为线段的延长线与C的交点时，P,B,F三点共线时最大，最大值为，故D正确． 故选:BCD． 3.（23-24高二上·江西新余·期末）过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意设直线，，，且，联立抛物线方程得关于的一元二次方程，从而可求得，，再利用抛物线的定义即可求得，再结合基本不等式即可得最小值． 【详解】依题意可得直线的斜率存在， 设直线，，，且， 联立，得， 则， 则，得， 所以， 当且仅当，时等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 4．（23-24高二上·江西吉安·期末）抛物线上有一动点，过作曲线的切线，其中一个切点为，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标与半径，设，当最小时，即最小，求出的最小值，即可得解. 【详解】曲线即，表示圆心为，半径的圆， 设，当最小时，即最小， 其中，当且仅当时取等号, 即，所以， 所以. 故答案为： 抛物线中的二级结论应用 1．（多选题）（23-24高二上·江西景德镇·期末）设抛物线的焦点为，点是上不同的两点，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，那么点的横坐标为 C．若，则线段的中点到轴距离为4 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的定义以及方程对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】抛物线，对应，抛物线开口向上， 所以焦点为，准线方程为，A选项正确. B选项，若，根据抛物线的定义可知， 由得，B选项正确. C选项，若，根据抛物线的定义可知， 线段的中点到轴的距离为，所以C选项错误. D选项，设是的中点，则， 根据抛物线的定义可知，所以， 所以：以线段为直径的圆与轴相切，D选项正确. 故选：ABD 2. （多选题）（江西省部分学校2023-2024学年高二上学期1月期末）已知倾斜角为的直线经过抛物线：()的焦点，且与抛物线交于，两点(点在第一象限)，与抛物线的准线交于点，则（    ） A．以为直径的圆与轴相切 B．准线上存在唯一点，使得 C． D． 【答案】ABC 【分析】由抛物线的定义和过焦点的直线确定A；由过焦点的线段的长度和准线确定B；由抛物线与直线的关系解三角形确定CD. 【详解】对于A：设，，，的中点为， 由抛物线的定义，得，的中点到轴的距离为， 故以为直径的圆与轴相切，故A正确； 对于B：，的中点到准线的距离为， 因此以为直径的圆与准线相切，故准线上存在唯一点，使得，故B正确； 对于C、D：如图所示，过点，作准线的垂线，垂足分别为点，，由倾斜角为， 可得，设，则，因为， 所以，，故C正确； 设，则，因为， 所以，所以，所以，故D错误． 故选：ABC． 3．（多选题）（23-24高二上·江西鹰潭·期末）已知抛物线与圆交于、两点，且，直线过的焦点，且与交于、两点，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．存在某条直线，使得 D．若点，则周长的最小值为 【答案】ABD 【分析】由则、两点坐标且在抛物线 上，代入方程进而判断选项；直线方程为与抛物线联立，再根据韦达定理代入可求其值则可判断选项B；利用选项B中代入利用不等式求最小值后进行判断选项C；画出大致图像，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，过作垂直于准线，垂足为，结合的周长为，进而判断选项D即可． 【详解】由对称性得点在抛物线上， 所以，解得，故A选项正确； 设直线和双曲线交于两点， 设直线方程为， 代入抛物线方程可得：，， 所以， 所以： 故B选项正确； 则， 当且仅当时等号成立，故C错误； 如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点为，过点作轴的垂线，    过作垂直于准线，垂足为， 所以的周长为， 当且仅当点的坐标为时取等号，故D选项正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：我们在处理有关焦点弦，以及焦半径问题时长度问题时有以下几种方法； （1）常规处理手段，求交点坐标然后用距离公式，含参的问题不适合； （2）韦达定理结合弦长公式，这是此类问题处理的通法； （3）抛物线定义结合焦点弦公式. 4.（江西省临川第一中学2023-2024学年高二上学期期末）已知抛物线的准线方程为，则 ，若过点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】根据抛物线的标准方程得出准线方程，可求出实数的值，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】抛物线的准线方程为，所以，，解得， 设直线的方程为，代入抛物线方程可得，， 所以，即，所以， 故当，即时取到最小值，最小值为. 故答案为：；. 【点睛】本题考查由抛物线准线的方程求参数，同时也考查韦达定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 椭圆、双曲线几何性质综合 1. （江西省临川第一中学2023-2024学年高二上学期期末）已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左、右焦点、，两曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，则，利用双曲线的定义和三角形三边关系求得，然后利用 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，则， 由椭圆和双曲线的定义可得，解得， 又因为，即，解得，即， 所以， 故选：B． 【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线离心率倒数和取值范围的计算，根据题意得出半焦距的取值范围是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 2．（江西省南昌二中2023-2024学年高二上学期期末）已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为 A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论． 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2， 设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则：在△PF1F2中，由余弦定理得， 4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos ∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：， ∴≥2 ∴， 故选D．    【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题． 3．（多选题）（23-24高二上·江西·期末）已知椭圆，将C向右平移4个单位，向上平移3个单位得到椭圆E，若点A，B分别在C，E上，，分别为C，E的中心，则（    ） A．E的方程为 B．C和E没有交点 C．A，B的纵坐标之差可以为7 D．的最大值等于的最大值 【答案】BD 【分析】根据曲线的平移规律可得E的方程，判断A；联立两椭圆方程，结合判别式可判断B；结合椭圆的几何性质，即椭圆的顶点坐标，可判断C；根据椭圆的对称性可判断D. 【详解】对于A，将C向右平移4个单位，向上平移3个单位得到椭圆E， 椭圆E的方程为，A错误；    对于B，将椭圆方程和相减，整理可得， 即，代入中，可得， 由于， 即C和E没有交点，B正确； 对于C，点A，B分别在C，E上，则A点纵坐标最小为， B的纵坐标最大为，故A，B的纵坐标之差最大为，C错误； 对于D，椭圆E是由椭圆C平移得到的，二者仅位置不同，大小形状完全相同， 且，分别为C，E的中心， 根据椭圆的对称性可知的最大值等于的最大值，D正确， 故选：BD 4．（多选题）（23-24高二上·江西新余·期末）已知双曲线：的左右焦点分别为，，实轴长为8，离心率为，点，，是双曲线上的任意两点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点.下列说法正确的是（    ） A．若点满足，则的周长为52 B．若点在双曲线的左支，则的最小值为13 C．存在点，使得 D．若直线的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点，则或 【答案】ABD 【分析】由题意首先得到双曲线方程以及渐近线方程，选项A，根据双曲线定义运算即可判断；选项B，画出图形，通过三角形两边之和大于第三边即可判断；对于C通过基本不等式可求得的最小值，从而即可判断；对于D，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理、判别式垂直平分线的求法即可判断. 【详解】由题可知，所以，，， 双曲线：，渐近线为即. 选项A，若，则，所以，， 则的周长为，所以选项A正确. 选项B，    ， 当且仅当，，三点共线且点在线段上时(即点与点重合)取最小值.所以选项B正确. 选项C，    设，则，所以， ， 当且仅当，即点为或时，取最小值.所以选项C错误. 选项D，设直线的方程为，设，， 联立得， 所以，， 由得，即或； 线段的中点为， 所以线段的垂直平分线方程为， 令得，由得或，所以选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：对于A选项的判断较为常规，判断B选项的关键是数形结合，判断C选项的关键是通过比较的最小值和的大小，判断D选项的关键是联立直线方程和双曲线方程，利用韦达定理、判别式来解决. 5．（多选题）（22-23高二上·江西丰城·期末）已知曲线，，则（    ） A．的长轴长为4 B．的渐近线方程为 C．与的焦点坐标相同 D．与的离心率互为倒数 【答案】BD 【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可得. 【详解】由，即为：，故焦点在轴上， 长轴长为，故A错误； 焦点坐标为，离心率为， 对，渐近线方程为，故B正确； 焦点坐标为，与的焦点坐标不相同，故C错误； 离心率为，与的离心率互为倒数，故D正确. 故选：BD. 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