专题01 直线与圆（6大基础题+2大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（江西专用）

专题01 直线与圆 直线的斜率与倾斜角 1．（23-24高二上·江西·期末）已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（    ） A．1 B．45 C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知直线l的倾斜角为， 则l的斜率为， 故选：C 2．（23-24高二上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率可得答案. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：D. 3.（23-24高二上·江西吉安·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线一般式求得直线的斜率，进而得到其倾斜角，从而得解. 【详解】直线的斜率，其倾斜角（）， 则，∴． 故选：C. 4.（23-24高二上·江西赣州·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 5．（23-24高二上·江西·期末）已知直线的倾斜角为，则实数k的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用倾斜角与斜率之间的关系代入计算即可得. 【详解】由题意可知，直线的斜率为， 解得． 故选：B． 求直线方程 1.（江西省2023-2024学年高二上学期期末教学检测）过点且与直线平行的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 将点代入得，解得， 所以所求直线的方程为. 故选：A. 2. （23-24高二上·江西鹰潭·期末）若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与l的交点在直线上，并且直线上任取一点，该点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程. 【详解】联立，解得，即与l的交点为. 又点在上，设A关于l的对称点为， 则，解得，即， 所以直线的斜率， 从而直线的方程为， 即. 故选：D 3.（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为 ． 【答案】（答案不唯一：或） 【分析】分截距是否为0分类讨论即可求解. 【详解】由题意若过点的直线在坐标轴上的截距均为0，则显然满足题意，即， 否则设满足题意的直线方程为，将代入得，即也满足题意. 故答案为：（答案不唯一：或）. 4. （23-24高二上·江西临川·期末）过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 【答案】或 【分析】设直线方程为，由直线在两坐标轴上的截距相等列方程求出即可. 【详解】过点的直线在两坐标轴上的截距相等，所以直线的斜率存在且不为零， 设直线方程为， 令，得到；令，得到， 所以，解得或， 所以直线方程为或． 故答案为：或. 由直线平行与垂直求参 1．（23-24高二上·江西赣州·期末）已知直线：和：．若，则m的值为（    ） A． B．3 C．1或3 D．或3 【答案】B 【分析】借助直线平行的性质计算即可得，注意检验是否重合. 【详解】由，则有，即， 解得或， 当时，有，， 即两直线重合，不符，故舍去， 当时，有，， 符合要求，故. 故选：B. 2.（多选题）（23-24高二上·江西九江·期末）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 【答案】BD 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率、截距的定义，以及直线垂直的性质，即可求解． 【详解】对于A，直线：， 则的斜率为，故A错误； 对于B，令，解得， 故在轴上的截距为，故B正确； 对于C，当时，直线：，平行于轴，故C错误； 对于D，当时，直线与直线显然垂直， 当时，直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以，故D正确． 故选：BD． 3. （多选题）（23-24高二上·江西临川·期末）已知直线，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 【答案】BCD 【分析】对于AB，根据线线位置关系判断即可；对于C，由题得即可解决；对于D，数形结合即可. 【详解】由题知，直线 对于A，当时，，解得或，故A错误； 对于B，当时，，解得，故B正确； 对于C，在直线中， 当时，，当时，， 所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确； 对于D，由题知当时，的图象为 故D正确； 故选：BCD 4. （23-24高二上·江西九江·期末）（1）直线与直线平行，求的值； （2）直线与直线垂直，求的值. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据两直线平行的充要条件计算即可； （2）根据两直线垂直的充要条件计算即可. 【详解】（1）因为直线与直线平行， 所以，解得， 经检验，当时，两直线重合， 所以； （2）因为直线与直线垂直， 所以，解得或. 交点坐标与距离公式 1. （23-24高二上·江西吉安·期末）两平行直线和间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线间的距离公式计算即可. 【详解】直线，即， 则平行线间距离． 故选：B. 2.（23-24高二上·江西新余·期末）若直线与直线平行，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再利用两平行线之间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或， 当时，与重合，不符合题意； 当时，与平行，符合题意； 此时，可化为， 则与之间的距离. 故选：D. 3. （23-24高二上·江西上饶·期末）若直线与相交于点P，O为坐标原点，则的值可以为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】ABC 【分析】由几类特殊情况可得ABC，由两直线互相垂直得点的轨迹，可得的范围可排除D. 【详解】已知直线与， 由，得. 由直线，则不垂直于轴，不过原点， 令， 则直线恒过定点， 当点与重合时，则过，，解得， 此时，故A正确； 由直线，直线不垂直于轴，也不过原点， 令， 则直线恒过定点， 当点与重合时，则过，，解得， 此时，故B正确； 当时，，则两直线交点， 此时，故C正确； 当点不与重合时， 设两条直线交于点，则， 则交点的轨迹为以为直径的圆，且点与或重合时，都满足题意，但原点除外. 且圆的圆心为的中点，圆的半径， 则圆的方程为，不包含原点. 由，则点也在圆上，则的取值范围为， 故，故D错误. 故选：ABC.    4．（多选题）（23-24高二上·江西九江·期末）已知两条平行直线.若直线被截得的线段长为，则直线的倾斜角可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据平行线距离公式计算结合倾斜角定义即可求解. 【详解】直线被截得的线段长为， 两平行直线的距离直线和的夹角为， 又直线的倾斜角为，直线的倾斜角可能是或. 故选:AC. 圆的方程求法 1. （江西省部分学校2023-2024学年高二上学期1月期末）已知，直线与的交点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线过定点以及垂直关系确定点在以为直径的圆上，进而根据两圆的位置关系即可求解. 【详解】由直线，的方程知直线过定点，直线过定点， 又，所以，即，所以点在以为直径的圆上， 的中点,, 故在圆上，又在圆上，所以圆与圆有交点， 即，又，所以，即的取值范围是． 故选:D． 2.（23-24高二上·江西吉安·期末）若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据圆的一般方程中得到不等式，求出答案. 【详解】∵二元二次方程表示圆， ∴，故，解得． 故答案为： 3.（江西省上进联盟2023-2024学年高二上学期1月期末联考）《测圆海镜》是金元时期李治所著中国古代数学著作，是中国古代论述容圆的一部专著，如第2卷第8题的“弦外容圆”问题是一个勾股形（直角三角形）外与弦相切的旁切圆问题，已知在中，，，点在第一象限，直线的方程为，圆与延长线、延长线及线段都相切，则圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意首先确定圆心在的平分线上，再利用点到直线距离列方程解得圆心为，即可得出圆的标准方程. 【详解】根据题意可知，直线的方程为， 由可得，所以直线的方程为， 联立直线和的方程，可得； 由圆与延长线、延长线及线段都相切，由对称性可得圆心在的平分线上，即上；如下图所示： 设，且， 由直线与圆相切可得，解得或（舍）； 结合图形可知，此时圆心为，半径为； 因此圆的标准方程为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用图形确定出圆心在的平分线上，且在线段的上方，列方程即可求得圆心坐标. 4. （江西省部分学校2023-2024学年高二上学期1月期末）已知两点，直线． (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）易知直线的斜率为2，再根据结合直线经过点求解； （2）方法一：求得的中垂线方程，再由圆心C在直线l上，由求得圆心即可；方法二：根据圆C的圆心在直线l上，可设圆心C的坐标为，半径为r，再由P，Q两点在圆C上，代入圆的方程求解. 【详解】（1）解：直线的斜率为2， 设直线的斜率为k，由，得，解得， 又直线经过点， 所以直线的方程为，即． （2）方法一：，所以的中垂线的斜率为， 又的中点为，所以的中垂线的方程为，即． 因为两点在圆C上，所以圆心C在的中垂线上， 又圆心C在直线l上，由得即圆心C的坐标为， 又圆C的半径， 所以圆C的方程为． 方法二：因为圆C的圆心在直线l上，所以可设圆心C的坐标为，半径为r， 所以圆C的方程为， 又P，Q两点在圆C上， 所以，解得 所以圆C的方程为． 5.（23-24高二上·江西上饶·期末）已知点和圆． (1)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)点在圆上运动，满足，求点的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，利用点到直线的距离公式求出相应的参数值，综合可得出直线的方程； （2）设点，利用中点坐标公式可得出点，将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）解：因为圆，所以，圆的圆心为，半径， 因为直线过点，且被圆截得的弦长为， 所以，圆心到直线的距离为， ①当直线的斜率存在时，设其方程为， 即，则，解得， 故直线的方程为，即； ②当直线的斜率不存在时，因为直线过点，则直线的方程为， 圆心到直线的距离为，符合题意. 综上所述，直线的方程为或． （2）解：设点，因为，则点为线段的中点， 设点，由中点坐标公式可得，可得，即点， 因为点在圆上运动，则，可得， 故点的轨迹方程为． 6.（23-24高二上·江西九江·期末）已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若圆经过点，且与直线相切，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直得出斜率再根据点斜式得出直线方程； （2）根据点到直线距离得出圆心及半径，再根据圆的标准方程即可求出圆的方程. 【详解】（1）直线的斜率为 又直线的斜率为1 又直线过点直线的方程为 即 （2）设， 圆经过点，化简得① 又圆与直线相切，，化简得② 联立①②得 圆的半径 故圆的方程为 与圆有关的位置关系 1.（江西省丰城中学2023-2024学年高二上学期1月期末）已知圆：与圆：相内切，则（    ） A．11 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】求出两个圆的圆心坐标及半径，利用两圆内切列式求解即得. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 显然点在圆外，由圆与圆相内切，得，于是，解得， 所以. 故选：B. 2. （多选题）（23-24高二上·江西景德镇·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据给定条件，结合圆的弦长公式求出原点到直线的距离范围，确定直线必过的区域，再逐项判断即可得解. 【详解】圆的圆心为原点，半径为，设点到直线的距离为， 由，得， 平面内到原点距离不大于的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆及内部区域， 因此直线必过区域，以原点为圆心，为半径的圆方程为， 对于A，圆上的点到点的距离，显然，    因此圆内含于圆，则圆与直线一定有公共点，A是； 对于B，点在抛物线内，由消去得， 显然方程无解，即圆与抛物线无公共点，    因此圆在抛物线内，抛物线与直线一定有公共点，B是； 对于C，圆上的点在椭圆外，    直线与椭圆无公共点，而直线过区域，C不是； 对于D，圆上只有两点在双曲线上，其余点都在双曲线外，    直线与双曲线无公共点，而直线过区域，D不是. 故选：AB 【点睛】关键点睛：求出直线必过区域，再判断区域的边界曲线与各选项中曲线的位置关系是解决问题的关键. 3．（多选题）（23-24高二上·江西萍乡·期末）曲线：，直线：与：，下列结论错误的是（    ） A．曲线的图象一定关于对称 B．当时，与间的距离为 C．当时， D．若与曲线有2个交点，则的取值范围是 【答案】ABC 【分析】求解曲线的形状可判断A；由求出，再由平行线间的距离可判断B；由求出或可判断C；利用直线与曲线的交点个数可判断D. 【详解】化简可得，即， 所以曲线：，曲线的图象关于对称，故A错误； 当时，，解得：， 所以直线：，与：，即， 与间的距离为，故B错误； 当时，，解得：或，故C错误； ：，恒过，当直线与曲线相切时，切点为， 如图，：的斜率为， 当直线与曲线有2个交点，可知， ，， 所以若与曲线有2个交点，则的取值范围是，故D正确. 故选：ABC. 4.（江西省宜春市上高二中2023-2024学年高二上学期期末）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为 B．圆截轴所得的弦长为 C．圆上的点到直线的最小距离为 D．圆与圆相离 【答案】BC 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A；利用几何法求出弦长可判断B；求出圆心到直线的距离再减去半径可判断C；求出圆的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由可得，所以的半径为，故选项A不正确； 对于B：圆心为到轴的距离为，所以圆截轴所得的弦长为 ，故选项B正确； 对于C：圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，故选项C正确； 对于D：由可得，所以圆心，半径，因为，所以两圆相外切，故选项D不正确； 故选：BC. 5.（23-24高二上·江西新余·期末）已知直线，直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由曲线表示以点为圆心，以为半径的圆的下半圆，考察直线过点以及直线与曲线相切，利用直线与圆的位置关系求解. 【详解】直线的方程可化为即为，所以，直线是过点，且斜率为的直线， 由可得，可得， 整理可得，即， 所以，曲线表示以点为圆心， 以为半径的圆的下半圆，如图所示： 其中，， 当直线与曲线相切时， 则圆心到直线的距离为，且， 整理可得，解得（舍去）或， 若直线与曲线有两个公共点， 由图象知：实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（23-24高二上·江西上饶·期末）以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】求出两圆圆心距，利用两圆外切求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】设圆的半径为，圆的圆心为坐标原点，半径为， 两圆圆心距为，故， 因此，以为圆心且与圆外切的圆的方程为. 故答案为：. 7. （23-24高二上·江西吉安·期末）已知为过点，，三点的圆． (1)求圆的方程； (2)若直线：与圆有公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为：，代入，，三点坐标，解方程求出，即可得出答案. （2）直线与圆有交点，即到的距离，求解即可得出答案. 【详解】（1）设圆的方程为：， 代入，，三点坐标可得 解得 ∴圆的方程为： （2）由（1）知， 即圆心，半径为， 由题意可知到：的距离， 解得： 故的取值范围为：. 弦长与公共弦计算 1．（23-24高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 【答案】C 【分析】判断出圆心在直线上即可求解. 【详解】圆即，故圆心为， 显然圆心在直线上， 故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为. 故选：C． 2．（23-24高二上·江西吉安·期末）一条经过点的直线与圆：交于，两点，若，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】当直线的斜率不存在时，不合要求，设直线的方程为，由点到直线距离公式和垂径定理得到方程，求出或，得到直线方程. 【详解】由题意知，，设圆的半径为，则， 当直线的斜率不存在时，即直线方程为，此时圆心到直线距离为， 此时，舍去， 设直线的方程为，即， 点到直线的距离， 又， 故，解得或， 代入得或． 故选：D 3．（江西省2023-2024学年高二上学期期末教学检测）已知直线与圆相交于A,B两点，则的周长为（    ） A．26 B．18 C．14 D．13 【答案】B 【分析】先得到圆心和半径，进而求得弦长即可. 【详解】由，得， 所以圆心为,半径， 圆心C到直线l的距离， 所以， 所以的周长为． 故选：B． 4. （23-24高二上·江西鹰潭·期末）已知圆：和直线：，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，利用等面积法表示出，通过分析转化为圆心到直线的距离最小，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程就可以得到直线的方程. 【详解】由题意可得: , 所以, 要使得最小，只需直线上的动点到点的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离，此时，且满足. 所以此时直线的方程为：，即， 联立，解得：，即， 由于四点共圆，以为直径的圆的方程：， 即：，联立两个圆的方程， 得到直线的方程为：. 故选：A. 5. （23-24高二上·江西九江·期末）直线与圆交于、两点，、两点的坐标分别为，，且是方程的两根． (1)求弦的长； (2)若圆的圆心为，求圆的一般方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用两点间距离公式计算即得. （2）利用点到直线的距离公式求出圆的半径，再确定圆的方程． 【详解】（1）依题意，，，， 则， 所以弦的长为. （2）圆心到直线的距离， 设圆的半径为，则，因此圆的半径长为， 所以圆的方程是，即． 6.（23-24高二上·江西丰城·期末）（1）求直线被圆截得的弦长． （2）求过原点且与圆相切的直线的方程； 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用弦长公式计算即可； （2）利用直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】（1）易知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则弦长； （2）易知轴与圆相切，即符合题意， 当切线斜率存在时可设切线方程为， 易知的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，即符合题意， 综上过原点与圆相切的直线为或. 直线与圆中的最值与范围 1．（23-24高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程求得其圆心和半径，求出圆心到直线l的距离，确定当时，取最大值，结合，求出，结合圆的切线性质，即可求得答案. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆心到直线的距离为，即l与圆相离， 由于，故，    故当时，最小，此时最大，则也取最大值， 此时，， 故选：C. 2.（23-24高二上·江西景德镇·期末）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的标准方程为，设小球大圆圆周方程，联立方程组求出，或，分析，可得最大值. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得的坐标为， 设抛物线的标准方程为，则，解得， 故该抛物线的标准方程为， 设小球大圆圆周方程， 联立方程组，解得或， 要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则小球与杯子有且只有一个交点， 就是抛物线的顶点，所以或无效， 考虑到抛物线不可能在轴下方，所以不成立，即， 所以，解得， 所以最大值为. 故选：C 3.（23-24高二上·江西上饶·期末）已知圆，直线.则（    ） A．直线与圆可能相切 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】BD 【分析】直线l：，由求出定点，由点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，即可判断A选项；令，求出圆与y轴交点纵坐标可得弦长，即可判断B选项；根据直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线l，由弦长公式即可判断C选项，求出直线l的方程即可判断D选项. 【详解】，则恒成立， 故，则直线恒过， 因为，所以点在圆内部， 因为直线恒过定点，所以直线与圆恒相交，所以A错； 对于圆，令，得，解得，所以圆被轴截得的弦长为，所以B选项正确； 对于选项：由于点在圆的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线，最短弦长为，故C错； 因为圆心，直线恒过定点，直线被圆截得的弦长最短时，可知直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以D正确； 故选：BD. 4．（23-24高二上·江西九江·期末）由直线：上的一点向圆：引两条切线，，A，是切点，则（    ） A．线段长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．的最大值是 D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 【答案】AD 【分析】对于A：根据题意结合切线长性质分析求解；对于B：根据面积关系结合A中结论分析判断；对于C：根据题意结合倍角公式分析求解；对于D：分析可知点在以为直径的圆上，结合相交弦方程的求法分析运算. 【详解】将化为标准方程：， 可知圆的圆心为，半径为． 对于选项A：因为圆心到直线：的距离， 可知，可得， 所以线段长的最小值为，故A正确； 对于选项B：因为四边形面积， 由选项A可知：四边形面积的最小值为，故B错误； 对于选项C：因为， 所以的最小值为，故C错误； 对于选项D：因为，可知点在以为直径的圆上， 当点的坐标为时，则的中点为，且， 即点在圆，即上， 将与作差可得， 所以切点弦所在的直线方程，故D正确． 故选：AD．    5. （23-24高二上·江西鹰潭·期末）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（    ） A．直线l过定点 B．圆C的半径为3 C．当时， D．圆心C到直线l的最大距离是2 【答案】BCD 【分析】根据直线方程求恒过的定点求解选项A；根据圆的一般方程求圆的半径求解选项B；根据直线截圆所得的弦长公式求解选项C；根据垂直关系确定时，圆心C到直线l的距离最大，即可求解选项D. 【详解】 对A，由可得，， 所以直线l过定点，A错误； 对B，圆C：的圆心为 半径，B正确； 对C，时，直线l：， 圆心到直线的距离为2， 所以，C正确； 对D，设l过定点，则, 当时，圆心C到直线l的距离最大，最大为，D正确； 故选:BCD. 6. （23-24高二下·江西鹰潭·期末）设点为圆上任意一点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用表示的几何意义，作图先求出两条切线的斜率，再结合图形理解即得其范围. 【详解】 如图，作出圆，因点是圆上一点，故可看成圆上的点与原点连线的斜率. 考虑直线与圆相切时，设切线斜率为，则圆心到直线的距离为， 解得，由图知要使过原点的直线与圆有公共点， 需使直线倾斜角不小于切线的倾斜角，或不超过切线的倾斜角， 故直线的斜率或，即的范围为. 故答案为：. 7.（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知圆是的外接圆，圆心为，顶点，，且______. 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答. ①顶点；②；③. (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线：上一动点，过点作圆的切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）选①：设圆的标准方程为，利用弦的垂直平分线过圆心求解圆心坐标，代入两点距离公式求解半径即可；选②：由是直角三角形得圆心为斜边BC中点，半径为，即可求解圆的方程；选③：由向量相等得圆心为BC中点，为圆的直径，即可求解圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，然后根据切线长公式转化求解即可. 【详解】（1）若选①：方法一：设圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆过点，，所以圆心在直线上，即； 因为圆过点，，所以圆心在直线上，即， 所以圆的圆心为，半径， 所以圆的标准方程为； 若选②：因为，所以是直角三角形， 所以的外接圆圆心为斜边的中点， 设圆的标准方程为，圆心为，半径为， 由题知，圆心为，半径， 所以圆的标准方程为； 若选③：因为，所以圆心为边的中点，为圆的直径， 设圆的标准方程为，圆心为，半径为， 由题知，圆心为，半径， 所以圆的标准方程为； （2）依题意：， 圆心到直线：的距离为， 又因为，所以，即， 所以的最小值为3. ( 26 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线与圆 直线的斜率与倾斜角 1．（23-24高二上·江西·期末）已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（    ） A．1 B．45 C． D． 2．（23-24高二上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高二上·江西吉安·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高二上·江西赣州·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江西·期末）已知直线的倾斜角为，则实数k的值为（    ） A． B． C．1 D． 求直线方程 1.（江西省2023-2024学年高二上学期期末教学检测）过点且与直线平行的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2. （23-24高二上·江西鹰潭·期末）若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为 ． 4. （23-24高二上·江西临川·期末）过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 由直线平行与垂直求参 1．（23-24高二上·江西赣州·期末）已知直线：和：．若，则m的值为（    ） A． B．3 C．1或3 D．或3 2.（多选题）（23-24高二上·江西九江·期末）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 3. （多选题）（23-24高二上·江西临川·期末）已知直线，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 4. （23-24高二上·江西九江·期末）（1）直线与直线平行，求的值； （2）直线与直线垂直，求的值. 交点坐标与距离公式 1. （23-24高二上·江西吉安·期末）两平行直线和间的距离为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·江西新余·期末）若直线与直线平行，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3. （23-24高二上·江西上饶·期末）若直线与相交于点P，O为坐标原点，则的值可以为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（多选题）（23-24高二上·江西九江·期末）已知两条平行直线.若直线被截得的线段长为，则直线的倾斜角可能是（    ） A． B． C． D． 圆的方程求法 1. （江西省部分学校2023-2024学年高二上学期1月期末）已知，直线与的交点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·江西吉安·期末）若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围是 ． 3.（江西省上进联盟2023-2024学年高二上学期1月期末联考）《测圆海镜》是金元时期李治所著中国古代数学著作，是中国古代论述容圆的一部专著，如第2卷第8题的“弦外容圆”问题是一个勾股形（直角三角形）外与弦相切的旁切圆问题，已知在中，，，点在第一象限，直线的方程为，圆与延长线、延长线及线段都相切，则圆的标准方程为 . 4. （江西省部分学校2023-2024学年高二上学期1月期末）已知两点，直线． (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程． 5.（23-24高二上·江西上饶·期末）已知点和圆． (1)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)点在圆上运动，满足，求点的轨迹方程． 6.（23-24高二上·江西九江·期末）已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若圆经过点，且与直线相切，求圆的方程. 与圆有关的位置关系 1.（江西省丰城中学2023-2024学年高二上学期1月期末）已知圆：与圆：相内切，则（    ） A．11 B． C．9 D． 2. （多选题）（23-24高二上·江西景德镇·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）（23-24高二上·江西萍乡·期末）曲线：，直线：与：，下列结论错误的是（    ） A．曲线的图象一定关于对称 B．当时，与间的距离为 C．当时， D．若与曲线有2个交点，则的取值范围是 4.（江西省宜春市上高二中2023-2024学年高二上学期期末）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为 B．圆截轴所得的弦长为 C．圆上的点到直线的最小距离为 D．圆与圆相离 5.（23-24高二上·江西新余·期末）已知直线，直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是 ． 6．（23-24高二上·江西上饶·期末）以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 7. （23-24高二上·江西吉安·期末）已知为过点，，三点的圆． (1)求圆的方程； (2)若直线：与圆有公共点，求的取值范围． 弦长与公共弦计算 1．（23-24高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 2．（23-24高二上·江西吉安·期末）一条经过点的直线与圆：交于，两点，若，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（江西省2023-2024学年高二上学期期末教学检测）已知直线与圆相交于A,B两点，则的周长为（    ） A．26 B．18 C．14 D．13 4. （23-24高二上·江西鹰潭·期末）已知圆：和直线：，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5. （23-24高二上·江西九江·期末）直线与圆交于、两点，、两点的坐标分别为，，且是方程的两根． (1)求弦的长； (2)若圆的圆心为，求圆的一般方程． 6.（23-24高二上·江西丰城·期末）（1）求直线被圆截得的弦长． （2）求过原点且与圆相切的直线的方程； 直线与圆中的最值与范围 1．（23-24高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·江西景德镇·期末）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为（    ） A． B． C． D． 3.（21-22高二上·江西上饶·期末）已知圆，直线.则（    ） A．直线与圆可能相切 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 4．（23-24高二上·江西九江·期末）由直线：上的一点向圆：引两条切线，，A，是切点，则（    ） A．线段长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．的最大值是 D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 5. （23-24高二上·江西鹰潭·期末）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（    ） A．直线l过定点 B．圆C的半径为3 C．当时， D．圆心C到直线l的最大距离是2 6. （23-24高二下·江西鹰潭·期末）设点为圆上任意一点，则的取值范围是 . 7.（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知圆是的外接圆，圆心为，顶点，，且______. 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答. ①顶点；②；③. (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线：上一动点，过点作圆的切线，切点为，求的最小值. ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$