专题07 垂径定理、圆心角、圆周角（6大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

专题07 垂径定理、圆心角、圆周角 利用垂径定理求值 1．（23-24九年级上·北京·期末）如图，的半径为，弦的长为，，交于点，交于点，则 ． 【答案】8 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】根据垂径定理可得，再由勾股定理计算即可； 本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：8． 2．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，弦垂直于的直径，垂足为H，且，，则的长为 ． 【答案】1 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理． 首先根据垂径定理得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】∵弦垂直于的直径， ∴， ∵ ∴． 故答案为：1． 3．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，C为的中点，且C到的距离为3，则圆的半径为 ． 【答案】/ 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接，连接交于点H，设圆的半径为r，根据垂径定理得到，，再根据勾股定理列方程求出圆的半径即可． 【详解】解：连接，连接交于点H，设圆的半径为r， ∵弦，C为的中点， ∴，， ∵C到的距离为3， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得 即的半径为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在半径为2的中，弦，弦，且，则与之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图， 过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图， 过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，弦交于点P，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，构造辅助线利用垂径定理是解题的关键；作于H，连接，；在中，由含30度直角三角形的性质，可求得，在中，由勾股定理求得，从而可求得的长． 【详解】解：作于H，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，是的直径，，，则 ．    【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】根据同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 2．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，已知、是的直径，，，则 【答案】/64度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】根据等弦所对圆心角相等，即可求解，解题的关键是：找到等弦所对的圆心角． 【详解】解：， ， 又， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在中，圆心角是的中点，作，与交于，则图中与相等的线段有 条． 【答案】3 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质与判定；连接，，根据圆心角、弧的关系求出，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据等边三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，是的中点， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 图中与相等的线段有条， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了圆心角的性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，    根据轴对称的性质可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴ 此时最小，即最小， ∴的最小值为的长， ∵A是半圆上一个三等分点， ∴， 又∵点B是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴的最小值是． 故答案为：． 利用圆周角定理求角 1．（23-24九年级下·新疆阿克苏·期末）如图，点A，B，C在上，，则的度数为 ． 【答案】110 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键． 根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可． 【详解】解：∵点、、在上，， ， 故答案为：110． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，C，D是上直径两侧的两点，设，则 ． 【答案】/55度 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理，由是直径可得，由可知，再根据圆周角定理可得的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线与相切于点，直线与相交于点，连接．若，则 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】连接，如图，先利用切线的性质得到，则根据三角形内角和得到，再根据圆周角定理得到，加上，所以，从而可求出的度数，然后利用三角形外角性质可计算出的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 【详解】解：连接，如图， 直线与相切于点， ， ， ， ，， ， 解得， ， ． 故答案为：． 4．（22-23九年级上·云南红河·期末）如图，的半径为4，弦长为，C是上一点（不同于A，B），则的度数是 ． 【答案】或 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查圆周角定理，分点在优弧和劣弧上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∴， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，； 故答案为：或． 半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．（23-24九年级下·江苏常州·期末）如图，在中，为直径，为圆上一点，的角平分线与交于点，若， ． 【答案】 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，先根据圆的性质得到，，再由三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵的角平分线与交于点， ∴， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，是的直径，弦，若，则 ． 【答案】65 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的特征，根据直径所对的圆周角是直角，再利用平行线的性质得到，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ，， ， ， 故答案为：65． 3．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查了圆周角定理．熟练运用圆周角定理的推论是解题的关键．连接，根据圆周角定理的推论可得，进而，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，将一个半圆形量角器放置在矩形上，刻度线的两端点，分别在边，上滑动，，点在半圆上，且在（或）刻度处． （1）若点在靠近点处，连接，则 ； （2）当点与点的距离最大时， ． 【答案】 /10度 或 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、等边对等角 【分析】（1）由直径所对圆周角是直角，和，确定点在半圆量角器的半圆所在的圆上，由点在靠近点处，确定的度数，根据同弧所对圆周角，是其圆心角的一半，即可求解， （2）根据两边之和大于第三边，得到为的直径，分两种情况进行讨论，即可求解， 本题主要考查了，直径所对圆周角是直角，圆周角定理以及推论，等边对等角的性质，解题的关键是：得出点在半圆形量角器所在的圆上． 【详解】（1）解：在矩形中，， 点在半圆量角器的半圆所在的圆（记为）上， 若点在靠近点处，即点在刻度处，连接，， ， ， （2）当点与点的距离最大时，为的直径， ， 若点在刻度处， ， ， , 若点在刻度处，， ， ， 故答案为：；或． 90°的圆周角所对的弦是直径 1．（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、圆周角定理 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理和圆周角定理，根据题意得到点的运动轨迹，结合圆的性质得到最小时的情形，再利用正方形的性质和勾股定理求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理和圆周角定理的应用． 【详解】如图， ∵， ∴点在以中点为圆心，为直径的圆上， 则长的最小时，点三点共线， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，在正方形中，，点是对角形上的一个动点，且不与端点重合，连接，过点作，垂足为，连接．则的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、根据正方形的性质求线段长、求一点到圆上点距离的最值 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，正方形的性质；取的中点，连接，依题意得出在为直径的上运动，进而勾股定理求得，根据的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵ ∴， ∴在为直径的上运动， ∵在正方形中，， ∴ ∴ ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，当过，，三点的圆面积最小时，则 ． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、已知圆内接四边形求角度、等边三角形的判定和性质、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】设为经过三点的圆的圆心，设与交于点，连接，设， 则，进而得出，勾股定理求得，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，设为经过三点的圆的圆心，设与交于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∴ 设， 则， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴是的直径， ∵是圆内接四边形， ∴， ∴，则是等边三角形 ∴，则 ∴ 在中， 在中， ∵是的直径， ∴当取得最小值时，的面积最小， ∴当时，的面积最小， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直角所对的弦是直径，二次函数的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键 已知圆内接四边形求角度 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则的度数是 ．    【答案】/160度 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查圆内接四边形性质，以及圆周角定理，根据平角的的定义求出，利用圆内接四边形对角互补得到，最后根据圆周角定理即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，的内接四边形，E为延长线上一点．若，则的度数为 ． 【答案】/119度 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角解答． 【详解】解：四边形是的内接四边形，是四边形的一个外角， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，，则 °.    【答案】60 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理．先根据是的直径得出，故可得出，由可知，故可得出，故，根据可知，再由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：是的直径，   ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ，即， ． 故答案为：60． 4．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，四边形是的内接四边形，平分，连接， ． 【答案】 【知识点】垂径定理的推论、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理，根据圆内接四边形的对角互补求出，根据垂径定理得到，进而求出，根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ， ， ， ， 平分， ， 故答案为：． 垂径定理解决实际问题 1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）    【答案】 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，连接，根据垂径定理可得，再在中，根据勾股定理解得的值，进而获得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    ∴，， ∵， ∴， ∵直径为， ∴， 在中，根据勾股定理， 可得， ∴， ∴水的最大深度为． 2．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？ 【答案】这根圆形木材的直径为26寸 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．解决问题的关键是从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解． 【详解】解：由题可知， ∵为半径， ∴尺寸， 设， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴这根圆形木材的直径为26寸． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、垂径定理的实际应用、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质及勾股定理是解题的关键， （1）在拱门上找任意一点，分别与相连，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）先证四边形是矩形，设，再根据勾股定理求得的值，即可得到拱门的圆弧半径． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 过点 作于， 交优弧于点， 交于， 则 ，，， 设， 则， ， 在中，， ∴， ， 解得， ∴拱门的圆弧半径为． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1)图见解析， (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理的内容和正确作出辅助线是解题的关键． （1）由题意作出图形，由垂径定理和勾股定理即可得出答案； （2）作出垂径，由垂径定理和勾股定理可得出弦长，根据题意即可得出答案． 【详解】（1）解：， 如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中， ， ， 的长为； （2）过作，连接， 由题得，， 在中，， ， ， 水面截线减少了． 利用弧、弦、圆心角的关系求证 1．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形 【分析】（）由是弧的中点可知，故，再由可得出结论； （）设与交于点，由（）知，垂直平分，得出，根据勾股定理求出的长，设的半径为r，则，，在中利用勾股定理求出的值即可； 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：设与交于点，如图， 由（）知，垂直平分， ∴， ， ∵， ∴， 设的半径为，则，， 在中由勾股定理得，即， 解得：， ∴的半径为． 2．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆O的半径长． 【答案】(1)的度数是； (2)圆的半径长为． 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，从而可得，即可解答； （2）根据垂径定理可得，然后设圆的半径长为，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：是圆的一条弦，， ， ， 的度数是； （2）解：是圆的一条弦，， ， 设圆的半径长为， 在中，， ， ， ∴圆的半径长为． 3．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为． (1)求的度数． (2)若，，求点A，B到直线的距离的和． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用弧、弦、圆心角的关系求解、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由弧与圆心角的关系可得，，再结合等腰三角形的性质可得答案； （2）过A作于Q，过B作于F，可得，再利用直角三角形的性质可得答案； 【详解】（1）解：∵在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为， ∴，，，， ∴，， ∴； （2）解：过A作于Q，过B作于F，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 由勾股定理得：，， 解得：， ， 所以点A，B到直线的距离的和是． 【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，弧与圆心角的关系，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据弧的度数求出，再利用等边对等角结合三角形内角和定理即可得出的度数； （2）利用平行线的性质可得，，结合从而得出，即可得证； （3）连接，交于点，先根据勾股定理得出，再利用勾股定理求出，最后再利用勾股定理进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，   ，的度数为， ， ， ； （2）证明：， ，， 又∵， ， ； （3）解：连接，交于点，   ，弦是直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)13 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基本知识． （1）欲证明，只要证明即可； （2）过点O作于点E，交于点F，连接，根据 得出，在中利用勾股定理求出，设的半径为r，则，利用勾股定理求出r即可． 【详解】（1）证明：， ， ，即， ； （也可通过证明三角形全等解决） （2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，， ，， 又，， ， ， 在中，， 设的半径为，中，， ， 解得，即的半径为13． 利用半圆（直径）所对的圆周角是直角求解答题 1．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点，连接，点在弦上，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了角平分线、圆周角、三角形外角的定义和性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角的性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，进而证明结论； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质求出，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，可有， 即，解得， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，． (1)设的半径为r，用含r的代数式表示线段． (2)若，求的半径． 【答案】(1) (2)5 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、与三角形中位线有关的求解问题、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）根据圆周角定理求出，再根据勾股定理求解即可； （2）连接交于点E，根据垂径定理易得，，根据三角形中位线定理求出，由（1）知，，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：连接， 是直径，   ， ，， ； （2）解：连接交于点E， ， ，， 又， 是的中位线， ， ， 在中，， 即，   解得：，（舍去）， 的半径为5． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、中位线定理，掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 3．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． (1)求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求圆的半径． 【答案】(1) (2)6 【知识点】等边三角形的判定和性质、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）根据圆周角定理推出根据角平分线的定义得出，根据圆的内接四边形定理得出，进而得出，即可求解； （2）通过证明得出垂直平分线段，进而得出是等边三角形，再证明，则，设圆心为O，则点O是中点，连接，通过证明是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）证明： 平分， 平分， ， ； （2）解：， ∴ 垂直平分线段， 又， 是等边三角形， ， ∴， ， ∵， ， ， ， ∴是直径，设圆心为O，则点O是中点，连接， ， ∴是等边三角形， ，即圆的半径为6． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）【初识模型】（1）如图1，、是的两条弦，，连接、． 求证：； 【模型应用】（2）如图2，在（1）的条件下，过作交于点，垂足为．若，，求的半径； 【拓展提升】（3）如图3，已知的半径为，弦与相交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析、（2）的半径为、（3） 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】（1）根据平行线的性质可得则弧弧，得出； （2）连接．可得得出A、E、D、B四点都在上且为的直径．勾股定理即可求解． （3）过作，连接、、、，过作，交的延长线与点．得出，进而勾股定理求得，在中，得出，进而在中，勾股定理求得，得出，由（1）中结论得：． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∴弧弧， ∴． （2）连接． ∵，， ∴， ∴． ∵A、E、D、B四点都在上， ∴， ∴为的直径． 由（1）可知， 又∵， ∴， ∴的半径为． （3）过作，连接、、、，过作，交的延长线与点． ∵，， ∴， ∴，． ∴ 在中，∵， ∴． 在中，∵， ∴， ∴． ∵， ∴．在中，， ∴． 由（1）中结论得：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，弧与弦的关系，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 利用90°的圆周角所对的弦是直径求解答题 1．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点E，，且． (1)求证：． (2)若，点C为的中点，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、已知圆内接四边形求角度、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，圆的基本性质等； （1）根据圆内接四边形的性质得，再根据等边对等角可得∠E＝∠DCE，再根据等量代换，即可求解； （2）连接，根据的圆周角所对的弦是直径得出为的直径，由等角对等边得，根据勾股定理得，即可求解； 掌握相关的性质，能由找出连接的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形内接于， ∴， ∵ ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， ∴， 是的直径， ， ， ， 点C为的中点， ， 在中， ， 的半径为． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图1，，是直径，，与交于点F． (1)求证：； (2)如图2，点G在上，且． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求解其他问题、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】（1）作辅助线，根据弧长之间的关系得到角度之间的关系，证明即可得到答案； （2）①连接，,根据同弧所对的圆周角相等，可证明出来四边形是平行四边形，即可得到答案；②根据四边形是平行四边形，得到，根据中位线定理可得到，根据勾股定理可以求得的半径R，再利用勾股定理即可求得结果． 【详解】（1）解：证明：连接， ∵，是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴即； （2）解：①连接，,    ∵是的直径， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∴； ②∵四边形是平行四边形， ∴， 由（1）得，且是直径， ∴F是的中点， ∴是的中位线, ∴， 设的半径为R， 在中，， 在中，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∵是的直径， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了垂径定理、勾股定理和圆心角、弧、弦的关系，找到弦长之间以及角度之间的关系是解题的关键． 3．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）在中，，，为平面内的一点． (1)如图1，当点在边上时，，且，求的长； (2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：； (3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段问题(旋转综合题)、用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】（1）将沿折叠，得到，连接，利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可； （2）过作，且，连接，利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可； （3）连接交于G，证明出，得到，然后证明出为直角三角形，点P在以中点M为圆心，为半径的圆上，连接交所在直线于点N，当时，点P到直线的距离最大，然后利用三角形中位线和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，将沿折叠，得到，连接，    ∵， ∴， 将沿折叠，得到， ∴ ∴，，， ∴， ∴为等边三角形，为等腰直角三角形 ∴， ∴； （2）如图，过作，且，连接，    ∵ ∴， 又∵， ∴ ∴ 又∵， ∴，，即 ，， ∴ ∴； （3）如图3，连接交于G点 ∵绕A点旋转 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴为直角三角形 ∴点P在以中点M为圆心，为半径的圆上，连接交所在直线于点N， 当时，点P到直线的距离最大， ∵ ∴A、P、B、C四点共圆 ∵， ∴N是的中点 ∵M是的中点 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴点P到所在直线的距离的最大值为 ． ∴的面积最大值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线性质，四点共圆性质，勾股定理等知识，作出辅助线是解本题的关键． 利用圆内接四边形求解答题 1．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知四边形内接于，． (1)如图1，连接，若的半径为6，，求的长； (2)如图2，连接，若，，对角线平分，求的长． 【答案】(1) (2)AC 【知识点】用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）由90度的圆周角所对的弦是直径得到是直径，则，再利用勾股定理求解即可； （2）如图2，连接，作于H，先利用勾股定理得到，再由角平分线的定义得到，则可证明，求出，由勾股定理可得． 再证明是等腰直角三角形，同理可得．在中，，据此可得答案． 【详解】（1）解：， 是直径， ∵的半径为6， ． 在中，由勾股定理，得， ∵ ∴， ； （2）解：如图2，连接，作于H， ，，， ． 平分， ， ， ． 四边形内接于，， ， 在中，由根据勾股定理，得， ∴， ∴． ， ∴是等腰直角三角形， 同理可得． 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质等等，熟知90度的圆周角所对的弦是直径是解题的关键． 2．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，四边形的四个顶点都在上，平分，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键； （1）根据圆周角定理得到，在证，根据圆周角定理得结论； （2）根据圆内接四边形的性质和勾股定理即可解答； 【详解】（1）平分， ， ， ， ， ， （2）四边形的四个顶点都在上，， ， 又， ， 又， 是等边三角形， ，． 设交于点E， 则 在中， ，即， 解得： 故 即的半径为6． 3．（23-24九年级上·天津宁河·期末）已知内接于，，，D是上的点．    (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，，垂足为E，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题主要考查圆的内接四边形，圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． （1）由四边形是的内接四边形的性质求出答案即可； （2）根据等弧所对的圆周角相等求出答案． 【详解】（1）解：， ． 四边形是的内接四边形， ． ， ； （2）解：连接． ， ． ． ． ．    4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，内接于，，点是上的动点（不与点，，重合），连接，，．    (1)当点在上时（不与点，重合），求的度数；（用含的式子表示） (2)如图，当点在上时，过点作于点． ①请探究线段，和之间的数量关系，并证明； ②若，则________； (3)若，在点运动过程中，，过点作于点，求的长． 【答案】(1) (2)①，见解析；② (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得．再根据圆内接四边形性质即可得解； （2）①如图，在上截取，连接，证得，进而根据等腰三角形的性质可得，即可得解；②由，得．进而得．由，得．再根据即可得解． （3）分点在上和点在两种情况，利用圆周角定理及全等三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）解： ． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ． （2）解：①．理由如下： 如图，在上截取，连接，   ，，， ∴． 又 ， ． ②， ． 由①得， ， ， ． ， ． ∴与同底等高， ． （3）解：如图，当点在上时，在上截取，连接，过点作于点．   ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 由（）知，， ； 如图，当点在上时，延长至点，使得，连接，过点作延长线于点．    ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ， ， ． ，， ， ， ， ． 在中，， ， ． 综上，或． 【点睛】主要考查了圆内接四边形对角互补的性质、同孤所对的圆周角相等、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，平行线的性质等，在求线段的和差关系时，通常会用“裁长补短”法作辅助线将不共线的线段转化到同一直线上：当已知条件中出现平行线及三角形的面积时，通常会用到相似三角形的性质或同底等高的三角形面积相等这一知识点解题；在求解第（）问时要注意对点的位置分情况讨论是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 垂径定理、圆心角、圆周角 利用垂径定理求值 1．（23-24九年级上·北京·期末）如图，的半径为，弦的长为，，交于点，交于点，则 ． 2．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，弦垂直于的直径，垂足为H，且，，则的长为 ． 3．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，C为的中点，且C到的距离为3，则圆的半径为 ． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在半径为2的中，弦，弦，且，则与之间的距离为 ． 5．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，弦交于点P，，则的长为 ． 利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，是的直径，，，则 ．    2．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，已知、是的直径，，，则 3．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在中，圆心角是的中点，作，与交于，则图中与相等的线段有 条． 4．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 ． 利用圆周角定理求角 1．（23-24九年级下·新疆阿克苏·期末）如图，点A，B，C在上，，则的度数为 ． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，C，D是上直径两侧的两点，设，则 ． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线与相切于点，直线与相交于点，连接．若，则 ． 4．（22-23九年级上·云南红河·期末）如图，的半径为4，弦长为，C是上一点（不同于A，B），则的度数是 ． 半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．（23-24九年级下·江苏常州·期末）如图，在中，为直径，为圆上一点，的角平分线与交于点，若， ． 2．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，是的直径，弦，若，则 ． 3．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数是 ． 4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，将一个半圆形量角器放置在矩形上，刻度线的两端点，分别在边，上滑动，，点在半圆上，且在（或）刻度处． （1）若点在靠近点处，连接，则 ； （2）当点与点的距离最大时， ． 90°的圆周角所对的弦是直径 1．（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为 ． 2．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，在正方形中，，点是对角形上的一个动点，且不与端点重合，连接，过点作，垂足为，连接．则的最小值是 ． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，当过，，三点的圆面积最小时，则 ． 已知圆内接四边形求角度 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则的度数是 ．    2．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，的内接四边形，E为延长线上一点．若，则的度数为 ． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，，则 °.    4．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，四边形是的内接四边形，平分，连接， ． 垂径定理解决实际问题 1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）    2．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？ 3．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 利用弧、弦、圆心角的关系求证 1．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 2．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆O的半径长． 3．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为． (1)求的度数． (2)若，，求点A，B到直线的距离的和． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 利用半圆（直径）所对的圆周角是直角求解答题 1．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点，连接，点在弦上，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，． (1)设的半径为r，用含r的代数式表示线段． (2)若，求的半径． 3．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． (1)求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求圆的半径． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）【初识模型】（1）如图1，、是的两条弦，，连接、． 求证：； 【模型应用】（2）如图2，在（1）的条件下，过作交于点，垂足为．若，，求的半径； 【拓展提升】（3）如图3，已知的半径为，弦与相交于点，若，，求的长． 利用90°的圆周角所对的弦是直径求解答题 1．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点E，，且． (1)求证：． (2)若，点C为的中点，求的半径． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图1，，是直径，，与交于点F． (1)求证：； (2)如图2，点G在上，且． ①求证：； ②若，，求的长． 3．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）在中，，，为平面内的一点． (1)如图1，当点在边上时，，且，求的长； (2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：； (3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值． 利用圆内接四边形求解答题 1．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知四边形内接于，． (1)如图1，连接，若的半径为6，，求的长； (2)如图2，连接，若，，对角线平分，求的长． 2．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，四边形的四个顶点都在上，平分，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 3．（23-24九年级上·天津宁河·期末）已知内接于，，，D是上的点．    (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，，垂足为E，求的大小． 4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，内接于，，点是上的动点（不与点，，重合），连接，，．    (1)当点在上时（不与点，重合），求的度数；（用含的式子表示） (2)如图，当点在上时，过点作于点． ①请探究线段，和之间的数量关系，并证明； ②若，则________； (3)若，在点运动过程中，，过点作于点，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$