专题05 利用二次函数解决实际问题（6大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

专题05 利用二次函数解决实际问题 拱桥问题 1．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）如图，一座石桥的主桥拱是类抛物线形，某时刻测得水面的宽度为，拱高（的中点到水面的距离）为．求图像的解析式． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）学校体育器材室有一扇长2米，宽1米的矩形窗户，现需设计一个不锈钢的护栏．数学兴趣小组的同学提出的设计方案如下：如图，底部设计一条抛物线，抛物线的顶点到底部距离为0.5米，为牢固起见，抛物线上方按相等间距加设三根不锈钢管立柱．请你根据兴趣小组同学的设计，求出所需三根不锈钢管立柱的总长度． 3．（23-24九年级上·河南郑州·期末）你见过“倒过来的桥”吗？位于我国湖南省邵阳洞口县的淘金大桥，大桥的位置在一个山谷当中，桥全长70米，这座桥桥面是水平的，而桥底则是近似为抛物线，桥面和桥底用若干混凝土石柱竖直支撑．小明在研究淘金大桥时测得当距离桥头35米时，桥面和桥底的支撑石柱最长，为20米，小明以桥面为x轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥底的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)思考： ①若该桥平均分布9根石柱支撑，求离桥头最近的石柱的长度； ②若石柱的长度为16.8米，则这根石柱安放的位置距离桥头有多远？ 4．（23-24九年级上·河南南阳·期末）【综合与实践】小东在复习二次函数时，遇到这样一个问题： 如图1，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其底部宽，最大高度．车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙．你能否根据这些要求，建立适当的平面直角坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？ 如图2，小东以点为原点，地面所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 请你帮小东解决问题： (1)求出这条抛物线的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)求出通过隧道车辆的高度限制应为多少？ (3)老师说：隧道检修过程中，计划搭建一个由矩形的三条边组成的“支撑架”，使两点在抛物线上，两点在地面上，如图3所示．为了筹备材料，需求出这个“支撑架”三根木杆、的长度之和的最大值是多少，请你帮忙计算一下． 投球问题 1．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素） 2．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)求小球P在x轴上的落点坐标； (3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数． 3．（22-23九年级上·吉林·期末）一名身高为的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方处（点A）出手，篮球在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式； (2)求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？ 4．（23-24九年级上·河南郑州·期末）在巩义市第一届青少年科技运动会上，某校课外科技活动小组依据压缩空气能产生动力这一科学原理，研制了气压火箭，通过实验，收集了火箭相对于出发点的飞行水平距离（单位：m），飞行高度（单位：m）的变化数据如表． 飞行水平距离 0 8 12 20 24 飞行高度 0 3.2 4.2 5 4.8 探究发现与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述． (1)直接写出关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台发射该火箭．根据上面的探究发现解决下列问题： ①若发射平台相对于地面的高度为，求火箭落到地面时飞行的水平距离； ②在地面上设置回收区域．为了能使火箭落到内（不包括端点，我们可以通过调节发射平台的高度来实现，求发射平台相对于地面的高度的变化范围． 喷水问题 1．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）小明和小亮玩打水仗，两人相距米，两人身高都是米．以水平线为轴，小明所站立线为轴建立如图所示直角坐标系，点是小明水枪的喷口，小明的喷水枪喷出的水行走的路线为抛物线，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标为，小亮水枪喷出的水行走路线为抛物线，且其过点． (1)请通过计算说明小明能否喷到小亮； (2)如果是抛物线的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明． 3．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1），他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，通过研究发现，以地面为轴，以喷枪所在直线为轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），设水流的最高点到地面的距离为，水流的最高点与喷枪的水平距离为，且满足．    请解答下列问题： (1)该喷枪的出水口到地面的距离为______m； (2)当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，求水流的最高点到地面的距离； (3)在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米（精确到，参考数据）． 4．（22-23九年级上·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为，水柱的最大高度为． (1)当射水鱼在原点处时，求水柱的解析式； (2)如图2，昆虫在处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发． ①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？ ②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以的速度水平向右逃离，同时射水鱼以的速度水平向右追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？ 图形问题 1．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，用长为米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为米，花圃面积为平方米．    (1)求关于的函数解析式； (2)求的最大面积． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为x米，花圃的面积为米． (1)如果要围成面积为45米的花圃，的长是多少米？ (2)当x为________时，花圃的面积最大，最大面积是________ 3．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤作为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的两块矩形区域；已知岸堤的可用长度不超过，设的长为，矩形区域的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并求自变量x的取值范围； (2)当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少？ 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米． (1)请用含x的代数式表示的长； (2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长； (3)求小型农场的最大面积． 图形运动问题 1．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合）．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发；    (1)求出的面积随出发时间的函数解析式； (2)求经过多少秒，四边形的面积最小？最小值是多少？ 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动．已知、两点分别从点，同时出发．问： (1)经过几秒，的面积等于？ (2)五边形的面积最小值是多少？ 3．（23-24九年级上·重庆武隆·期末）如图，在中，，动点P从点A出发沿射线方向以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点Q到达C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为，的面积为y． (1)当时，求的面积； (2)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）； (3)在给定的直角坐标系内画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质． 4．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，在点由点到点的运动过程中，关于的函数解析式为__________； (2)在点由点到点的运动过程中，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． (3)若存在3个时刻对应的正方形的面积均相等．若，则此时正方形的面积等于_________． 销售问题 1．（24-25九年级上·全国·期末）某商店销售一种台灯，若按每个元的价格销售，每周可卖出个，若按每个元的价格销售，每周可卖出个，已知每周销售量（个）与价格（元/个）之间满足一次函数关系． (1)试求与之间的函数关系式； (2)这种台灯的进价是元/个，当价格定为多少时，才能使每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 2．（23-24九年级上·云南昆明·期末）某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种商品每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）年月日，甘肃发生级地震．某商场为了将利润捐献给灾区，特准备以元的价格购进一种商品，对外试销售过程中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的售价（元）满足以下表格中的一次函数关系： （元） … … （件） … 6 … (1)求关于的函数解析式； (2)求商场卖这种商品每天的销售利润与每件的售价间的函数关系式； (3)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 4．（23-24九年级上·河南郑州·期末）巩义特产小相菊花茶深受顾客喜爱，小相菊花茶进价为元/两，某商店对销售情况作了调查，结果发现月最大销售量（两）与售价（元/两）之间的函数关系如图中的线段所示．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出两数） (1)求出与之间的函数表达式； (2)若该菊花茶某月的总销售利润元，求关于的函数表达式，当售价为多少元/两时，销售利润最大，该月进货数量应定为多少？ (3)若该商店某月进货两，如果销售不完，就以亏本元/两计入总利润，当销售单价定为多少时，当月月利润最大？（注：“两”是一种质量单位） 5．（23-24九年级上·福建漳州·期末）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． (1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (2)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且），帮助做“交通安全”宣传，捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 6．（22-23九年级上·河南南阳·期末）消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销．已知该消毒洗手液的进价为每瓶22元，经市场调查，每天洗手液的销售量y（瓶）与销售单价x（元/瓶）之间满足一次函数关系，部分数据记录如表所示： x（元/瓶） 22 24 26 27 y（瓶） 90 80 70 65 (1)直接写出y与x之间的函数关系式；（不需要写自变量x的取值范围） (2)若该药店每天想从这批消毒洗手液的销售中获利325元，又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每瓶的售价为多少元？ (3)该药店上级主管部门规定，消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的，设这种消毒洗手液每天的总利润为w元，那么售价定为多少元时该药店可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 利用二次函数解决实际问题 拱桥问题 1．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）如图，一座石桥的主桥拱是类抛物线形，某时刻测得水面的宽度为，拱高（的中点到水面的距离）为．求图像的解析式． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，设所在直线为x轴，所在直线为y轴，C为坐标系原点，先由题意得，，进而可得A、B、D三点坐标，再用待定系数法求图象的解析式即可． 【详解】解：设所在直线为x轴，所在直线为y轴，C为坐标系原点， 由题意得，，， 则，，， ∵抛物线过，，三点， ∴可设抛物线解析式为， 将将入得，， 解得：， 图象的解析式为：（答案不唯一）． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）学校体育器材室有一扇长2米，宽1米的矩形窗户，现需设计一个不锈钢的护栏．数学兴趣小组的同学提出的设计方案如下：如图，底部设计一条抛物线，抛物线的顶点到底部距离为0.5米，为牢固起见，抛物线上方按相等间距加设三根不锈钢管立柱．请你根据兴趣小组同学的设计，求出所需三根不锈钢管立柱的总长度． 【答案】米 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以中点O为原点建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线解析式，根据解析式求出和，进而求出和，即可求解． 【详解】解：如图，以中点O为原点建立平面直角坐标系， 由题意知，，， ，，，， 设抛物线解析式为， 将，代入，得， 解得， 抛物线解析式为， 当时，， ， ， ， 即所需三根不锈钢管立柱的总长度为米． 3．（23-24九年级上·河南郑州·期末）你见过“倒过来的桥”吗？位于我国湖南省邵阳洞口县的淘金大桥，大桥的位置在一个山谷当中，桥全长70米，这座桥桥面是水平的，而桥底则是近似为抛物线，桥面和桥底用若干混凝土石柱竖直支撑．小明在研究淘金大桥时测得当距离桥头35米时，桥面和桥底的支撑石柱最长，为20米，小明以桥面为x轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥底的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)思考： ①若该桥平均分布9根石柱支撑，求离桥头最近的石柱的长度； ②若石柱的长度为16.8米，则这根石柱安放的位置距离桥头有多远？ 【答案】(1) (2)①7.2米 ②21米或49米 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是关键． （1）依据题意，用待定系数法进行计算可得抛物线的解析式； （2）①依据题意，由桥长70米，该桥平均分布9根石柱支撑，每两根石柱间的距离是(米)，再结合（1），当时求出y的值即可； ②结合（1），当时，求出x的值即可得解． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的解析式为，将代入得： ， 解得， ∴， 答：该函数图象的解析式为； （2）解：①若该桥平均分布9根石柱支撑，则每根石柱的距离为（米）， 即离桥头最近的石柱桥面位置距桥头为7米， 在平面直角坐标系中，这个点的横坐标为7，代入解析式可得， 当时，， ∴离桥头最近的石柱长度为7.2米． ②若石柱的高度为16.8米，由题意得， 当时，， 解得或， ∴若石柱的高度为16.8米，则这根石柱安放的位置距离桥头有21米或49米． 4．（23-24九年级上·河南南阳·期末）【综合与实践】小东在复习二次函数时，遇到这样一个问题： 如图1，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其底部宽，最大高度．车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙．你能否根据这些要求，建立适当的平面直角坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？ 如图2，小东以点为原点，地面所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 请你帮小东解决问题： (1)求出这条抛物线的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)求出通过隧道车辆的高度限制应为多少？ (3)老师说：隧道检修过程中，计划搭建一个由矩形的三条边组成的“支撑架”，使两点在抛物线上，两点在地面上，如图3所示．为了筹备材料，需求出这个“支撑架”三根木杆、的长度之和的最大值是多少，请你帮忙计算一下． 【答案】(1) (2)3米 (3)这个支架总长的最大值为15米 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查二次函数解析式，二次函数图象与性质以及二次函数的应用： （1）先根据所建坐标系求出顶点P的坐标，再设解析式为顶点式，把原点O的坐标代入解析式，运用待定系数法即可求出函数解析式； （2）把代入解析式，求出的值，再减去即可； （3）设点，则 ，，然后根据列出函数解析式，由二次函数的性质求最大值． 【详解】（1）解：∵某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度为12米， ∴， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∵（米） ∴通过隧道车辆的高度限制应为3米； （3）解：设点，则 ，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值是15， ∴这个支架总长的最大值为15米． 投球问题 1．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素） 【答案】(1) (2)球不能射进球门 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）当时，，即可求解． 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为，设抛物线， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：当时， ， 球不能射进球门． 2．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)求小球P在x轴上的落点坐标； (3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数． 【答案】(1)抛物线L的函数解析式为； (2)小球P在x轴上的落点坐标为； (3)竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）由题意知，抛物线L的顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）对于，令，求解一元二次方程，据此计算即可求解； （3）由题意先求出，当和时，求得对应的值，再设竖直摆放的回收箱有个，根据题意得出关于的不等式组，求出的整数解即可． 【详解】（1）解：∵从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线L对应的函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线L对应的函数解析式为； （2）解：对于， 令，则， 解得，， ∴小球P在x轴上的落点坐标为； （3）解：∵，， ∴，对于， 当时，； 当时，； 设竖直摆放的回收箱有个， 则， 解得， ∵是正整数， ∴可以是3或4或5或6或7， 答：竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个． 3．（22-23九年级上·吉林·期末）一名身高为的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方处（点A）出手，篮球在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式； (2)求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？ 【答案】(1) (2)0.2米 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值即可； （2）设篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度为，求出A的坐标为，然后把A的坐标代入（1）中所求解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为． 由题意可知，抛物线上的点B的坐标为． ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度为． ，． 由题意可得点A的坐标为， ∴， ∴． ∴篮球出手时，运动员跳离地面的高度是0.2米； 4．（23-24九年级上·河南郑州·期末）在巩义市第一届青少年科技运动会上，某校课外科技活动小组依据压缩空气能产生动力这一科学原理，研制了气压火箭，通过实验，收集了火箭相对于出发点的飞行水平距离（单位：m），飞行高度（单位：m）的变化数据如表． 飞行水平距离 0 8 12 20 24 飞行高度 0 3.2 4.2 5 4.8 探究发现与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述． (1)直接写出关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台发射该火箭．根据上面的探究发现解决下列问题： ①若发射平台相对于地面的高度为，求火箭落到地面时飞行的水平距离； ②在地面上设置回收区域．为了能使火箭落到内（不包括端点，我们可以通过调节发射平台的高度来实现，求发射平台相对于地面的高度的变化范围． 【答案】(1)； (2)①火箭落到地面时飞行的水平距离为40m；②发射平台相对于地面的高度的变化范围是大于且小于． 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据待定系数法求解即可； （2）①令二次函数代入函数解析式即可求解； ②设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度，然后代入两个端点即可求解． 【详解】（1）解：由表中数据可知，与成二次函数关系， ∴设，且过三点， ∴， 解得，， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：①当时，， 解得，（舍去），， 所以，火箭落到地面时飞行的水平距离为； ②∵， ∴ 设发射平台相对于安全线的高度为，则飞行高度为， 当时，， 解得，； 当时，， 解得，， ∴，即发射平台相对于地面的高度的变化范围是大于且小于． 喷水问题 1．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 【答案】6米 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意、正确求出抛物线的解析式是解题的关键．以直线作为y轴，以地面为x轴，由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，设抛物线解析式为，将代入求出完整解析式，再表示出将喷头再调高4米后的抛物线解析式，将代入求解即可． 【详解】解：以直线作为y轴，以地面为x轴， 由题意可得，抛物线的顶点为，经过点， ∴设抛物线解析式为， 将代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变， ∴调高后的抛物线解析式为，即， 将代入得， 整理得：， ， 解得：，（舍去）， ∴将喷头再调高4米后，喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 答：此时喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）小明和小亮玩打水仗，两人相距米，两人身高都是米．以水平线为轴，小明所站立线为轴建立如图所示直角坐标系，点是小明水枪的喷口，小明的喷水枪喷出的水行走的路线为抛物线，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标为，小亮水枪喷出的水行走路线为抛物线，且其过点． (1)请通过计算说明小明能否喷到小亮； (2)如果是抛物线的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明． 【答案】(1)小明能喷到小亮，理由见解析； (2)小亮能喷到小明，理由见解析． 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】（）根据抛物线过点，代入求出，得出抛物线解析式，在将代入解析式求出即可判断； （）根据抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，再根据抛物线过点，即可求出抛物线解析式，再算出时，的值，即可判断； 本题考查了二次函数的实际应用，熟悉掌握二次函数图象上点的坐标特征及性质是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线， ∵当时，， ∵且小于， ∴小明能喷到小亮； （2）∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线 ∵抛物线过点， ∴ ， 解得：， ∴抛物线为， 又∵当时，， ∵且小于， ∴小亮能喷到小明． 3．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1），他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，通过研究发现，以地面为轴，以喷枪所在直线为轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），设水流的最高点到地面的距离为，水流的最高点与喷枪的水平距离为，且满足．    请解答下列问题： (1)该喷枪的出水口到地面的距离为______m； (2)当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，求水流的最高点到地面的距离； (3)在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米（精确到，参考数据）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用： （1）将代入即可求解； （2）将代入即可求解； （3）根据（2）中结论设出抛物线的顶点式为，将代入求出a的值，再令，求出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 即该喷枪的出水口到地面的距离为， 故答案为：； （2）解：将代入，得， 即水流的最高点到地面的距离为； （3）解：由（2）知，水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为， 此时抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得， ， 当时，， 解得，（负值舍去）， 水流的射程约为． 4．（22-23九年级上·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为，水柱的最大高度为． (1)当射水鱼在原点处时，求水柱的解析式； (2)如图2，昆虫在处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发． ①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？ ②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以的速度水平向右逃离，同时射水鱼以的速度水平向右追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？ 【答案】(1) (2)①射水鱼需要向右游动才能击中昆虫；②经过射水鱼恰好能击中昆虫 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的应用喷水问题： （1）运用待定系数法求解即可； （2）①令，求出x的值，再进行判断即可；②根据“时间=路程÷速度”求解即可 【详解】（1）解：水柱的最大高度为， ， 射水鱼在原点处， 将代入8，得， 解得或（舍去）， 水柱的解析式为 （2）解：①令，得， 解得或， ， ， 射水鱼需要向右游动才能击中昆虫． ②由题意得，， 经过射水鱼恰好能击中昆虫． 图形问题 1．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，用长为米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为米，花圃面积为平方米．    (1)求关于的函数解析式； (2)求的最大面积． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（）根据矩形的面积公式即可求解； （）根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意求出关于的函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 即； （2）解：， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为x米，花圃的面积为米． (1)如果要围成面积为45米的花圃，的长是多少米？ (2)当x为________时，花圃的面积最大，最大面积是________ 【答案】(1)5米 (2)4；48 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的应用： （1）用总长减去三个宽即为的长，利用长方形的面积公式列出方程求解即可； （2）用总长减去三个宽即为的长，进而表示出长方形面积，求出最值即可． 【详解】（1）解：设花圃的宽为x米，则花圃的长为米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， 答：的长是5米； （2）解：根据题意得：， 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴当时，S取得最大值，最大值为48， 即当x为4时，花圃的面积最大，最大面积是． 故答案为：4；48 3．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤作为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的两块矩形区域；已知岸堤的可用长度不超过，设的长为，矩形区域的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并求自变量x的取值范围； (2)当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)的长度是时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． （1）根据题意和图形，可以写出y与x的函数关系式，再根据岸堤的可用长度不超过和，可以求得x的取值范围； （2）将（1）中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质和x的取值范围，即可得到当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少． 【详解】（1）解：设的长为，则的长为， ， 岸堤的可用长度不超过， ， 解得， 又， ， ， y与x之间的函数解析式是，自变量x的取值范围是； （2）， 当时，y随x的增大而减小， ， 当时，y取得最大值，此时， 答：的长度是时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米． (1)请用含x的代数式表示的长； (2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长； (3)求小型农场的最大面积． 【答案】(1) (2)的长为米 (3)12平方米 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题主要考查的是二次函数的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键. （1）根据题意结合图形即可求解； （2）根据矩形的面积公式列方程求解即可； （3）设小型农场的面积为，求出关于的长的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答. 【详解】（1）∵点在线段上， 米， （2）解：∵点在线段上， ，即， ； ∵的面积为平方米， ∴， 解得（舍去），， ∴的长为米； （3）解：设小型农场的面积为， 则， ∵ ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，最大，最大为12平方米． 图形运动问题 1．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合）．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发；    (1)求出的面积随出发时间的函数解析式； (2)求经过多少秒，四边形的面积最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，四边形面积最小，最小值是 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握三角形面积公式，割补法求四边形面积，二次函数解析式配方求最值，是解决问题的关键． （1）根据，，得到， 根据，，运用三角形的面积公式计算即可； （2）根据，结合（1）结论列出函数关系式，配方求最小值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵中，，， ∴； （2） ， ∵ ， ∴当时，四边形面积最小，最小值是． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动．已知、两点分别从点，同时出发．问： (1)经过几秒，的面积等于？ (2)五边形的面积最小值是多少？ 【答案】(1)经过4秒或2秒，的面积等于 (2)五边形的面积最小，最小值为 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是二次函数的最值问题及一元二次方程的应用； （1）设经过秒，的面积等于，再由三角形的面积公式即可得出结论； （2）设经过秒，五边形的面积最小，根据题意得出五边形的面积表达式，求出其最小值即可． 【详解】（1） 设经过秒，的面积等于， ，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动， ，， 的面积， 解得或2， 经过4秒或2秒，的面积等于； （2） 设经过秒，五边形的面积最小， 由（1）知，的面积， 五边形的面积 ， 当时，五边形的面积最小，最小值为． 3．（23-24九年级上·重庆武隆·期末）如图，在中，，动点P从点A出发沿射线方向以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点Q到达C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为，的面积为y． (1)当时，求的面积； (2)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）； (3)在给定的直角坐标系内画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质． 【答案】(1) (2) (3)图象见解析，随着的增大先增大，然后减小，最后再增大，最大值为3 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象、列二次函数关系式 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的应用，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）当时，则，根据，计算求解即可； （2）由题意知，当时，，，，则，当时，，则，然后作答即可； （3）根据函数表达式画图象，然后根据图象写性质即可． 【详解】（1）解，当时，，， ∴ ∴， ∴的面积为； （2）解：由题意知，当时，，，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，； （3）解：图象如下： 由图象可知，随着的增大先增大，然后减小，最后再增大，最大值为3． 4．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，在点由点到点的运动过程中，关于的函数解析式为__________； (2)在点由点到点的运动过程中，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． (3)若存在3个时刻对应的正方形的面积均相等．若，则此时正方形的面积等于_________． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得， ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或， ∴； （3）解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 销售问题 1．（24-25九年级上·全国·期末）某商店销售一种台灯，若按每个元的价格销售，每周可卖出个，若按每个元的价格销售，每周可卖出个，已知每周销售量（个）与价格（元/个）之间满足一次函数关系． (1)试求与之间的函数关系式； (2)这种台灯的进价是元/个，当价格定为多少时，才能使每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价定为元/件时，每周的最大利润元 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据单个利润乘以数量等于总利润构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可。 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，由题意，得 ， 解得：． 与的函数关系式为：； （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴当时，， ∴售价定为元/件时，每周的最大利润元． 2．（23-24九年级上·云南昆明·期末）某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种商品每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)该商品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元； (3)售价应定为每千克25元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据条件得出函数解析式或方程是解题的关键． （1）根据利润销量一件的利润列出关系式即可； （2）把函数关系式化成顶点式求解即可； （3）把代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴w与x之间的函数解析式为； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴当时，w有最大值，且最大值为； ∴该商品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元； （3）解：当时，可得， 解得：， ∵， ∴舍去， ∴该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克25元． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）年月日，甘肃发生级地震．某商场为了将利润捐献给灾区，特准备以元的价格购进一种商品，对外试销售过程中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的售价（元）满足以下表格中的一次函数关系： （元） … … （件） … 6 … (1)求关于的函数解析式； (2)求商场卖这种商品每天的销售利润与每件的售价间的函数关系式； (3)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 【答案】(1) (2) (3)每件商品的售价定为元最合适，最大销售利润为元 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）依题意得，； （3）由题意知，，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴； （2）解：依题意得，， ∴； （3）解：由题意知，， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为， ∴每件商品的售价定为元最合适，最大销售利润为元． 4．（23-24九年级上·河南郑州·期末）巩义特产小相菊花茶深受顾客喜爱，小相菊花茶进价为元/两，某商店对销售情况作了调查，结果发现月最大销售量（两）与售价（元/两）之间的函数关系如图中的线段所示．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出两数） (1)求出与之间的函数表达式； (2)若该菊花茶某月的总销售利润元，求关于的函数表达式，当售价为多少元/两时，销售利润最大，该月进货数量应定为多少？ (3)若该商店某月进货两，如果销售不完，就以亏本元/两计入总利润，当销售单价定为多少时，当月月利润最大？（注：“两”是一种质量单位） 【答案】(1)； (2)，销售单价为元时利润最大，该月进货数量应定为两； (3)售价定为元/两时，当月月利润最大． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）设当月月利润为元，可得，进而可得抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，函数值越大，由得，据此即可求解； 本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 点在函数上， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）解：由题意可得，， ∵， 当时，取得最大值，此时， 即关于的函数表达式是，销售单价为元时利润最大，该月进货数量应定为两； （3）解：设当月月利润为元， 则， ∵， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，函数值越大， 该商店进货两， ， 解得， 当时，取得最大值， 答：售价定为元/两时，当月月利润最大． 5．（23-24九年级上·福建漳州·期末）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． (1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (2)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且），帮助做“交通安全”宣传，捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 【答案】(1)每顶头盔应降价20元； (2)或4． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶，根据每周销售头盔获得的利润每顶头盔的销售利润平均每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合每顶售价不高于58元，即可确定的值； （2）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价为元，利用每周销售头盔获得的利润每顶头盔的销售利润平均每周的销售量，即可得出关于的函数关系式，利用二次函数的性质可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合且为整数，即可得出的值． 【详解】（1）解：设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ， ， ． 答：每顶头盔应降价20元； （2）解：设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价为元， 依题意得：． 抛物线的对称轴为，开口向下，当时，利润仍随售价的增大而增大， ， 解得：， 又∵，且为整数， 或． 6．（22-23九年级上·河南南阳·期末）消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销．已知该消毒洗手液的进价为每瓶22元，经市场调查，每天洗手液的销售量y（瓶）与销售单价x（元/瓶）之间满足一次函数关系，部分数据记录如表所示： x（元/瓶） 22 24 26 27 y（瓶） 90 80 70 65 (1)直接写出y与x之间的函数关系式；（不需要写自变量x的取值范围） (2)若该药店每天想从这批消毒洗手液的销售中获利325元，又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每瓶的售价为多少元？ (3)该药店上级主管部门规定，消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的，设这种消毒洗手液每天的总利润为w元，那么售价定为多少元时该药店可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为 (2)这批消毒洗手液每瓶的售价为27元 (3)售价定为31元时该药店可获得的利润最大，最大利润是405元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了求一次函数的表达式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，根据题意找出等量关系，正确列出利润的表达式． （1）设与之间的函数关系式为，将表格中的数据代入求解即可； （2）根据总利润=单个利润×数量，列出方程求解即可， （3）根据题意，列出总利润的函数表达式，化为顶点式，再根据每瓶利润不允许高于进价的确定自变量的取值，即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将时，和时代入得， ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为． （2）由（1）可知，每瓶售价为x元，每天销售量为y瓶， ， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∵尽量给顾客实惠， ∴． 答：这批消毒洗手液每瓶的售价为27元． （3） ， ∵每瓶利润不允许高于进价的， ∴， 解得：， ∴当时，总利润为最大，此时（元）． ∴售价定为31元时该药店可获得的利润最大，最大利润是405元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$