专题03 二次函数的定义、图象和性质（6大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

专题03 二次函数的定义、图象和性质 二次函数的识别 1.（23-24九年级上·上海奉贤·期末）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24九年级上·上海松江·期末）下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3.（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4.（23-24九年级上·上海杨浦·期末）下列函数中， 属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 5.（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ． 利用二次函数的定义求参数 1．（23-24九年级上·四川广安·期末）若关于的函数的图象是抛物线，则的值是 ． 2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若函数（m是常数）是二次函数，则m的值是 ． 3．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果函数是二次函数，则m的值为 ． 4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）若是关于x的二次函数．则m的值为 ． 5．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知函数的图象是抛物线，则 ． 把y=ax²+bx+c化成顶点式 1.（23-24九年级上·甘肃白银·期末）用配方法将函数写成的形式是 ． 2.（23-24八年级下·云南昆明·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 3.（23-24九年级上·四川广元·期末）若把二次函数化为的形式，其中为常数，则 ． 4.（23-24九年级上·四川眉山·期末）已知二次函数可以写成，则的取值范围是 ． 5.（23-24九年级上·北京东城·期末）用配方法将二次函数化为的形式为 ． 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1.（23-24九年级上·上海长宁·期末）下列关于抛物线的描述正确的是（    ） A．该抛物线是上升的 B．该抛物线是下降的 C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的 2.（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列关于二次函数的图像与性质的描述，正确的是(    ) A．该函数图像经过原点 B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的 C．该函数图像的开口向下 D．该函数图像可由函数的图像平移得到 3.（23-24九年级上·上海嘉定·期末）抛物线的对称轴是直线，那么下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4.（23-24九年级上·上海金山·期末）如果点在二次函数的图像上，那么a b填“”“”或“”） 5.（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线开口向上，且经过点和，如果点与在此抛物线上，那么 ．（填“”“”或“”） 二次函数图象的平移 1.（24-25九年级上·全国·期末）将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ． 2.（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，将函数的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得图像的函数解析式为 ． 3.（23-24九年级上·西藏·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式是 ． 4.（23-24九年级上·山东潍坊·期末）二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的解析式的一般式为 ． 5.（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线及一点，的坐标（2，4）．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为，则此时的坐标为 ． 待定系数法求二次函数解析式 1.（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图是二次函数的图象． (1)求该二次函数的关系式及顶点坐标； (2)当时的取值范围是___________． 2.（23-24八年级下·福建福州·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 2 3 … … 5 0 0 … (1)求二次函数解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标． 3.（22-23九年级上·江苏盐城·期末）如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)直接写出该二次函数的图象怎样经过上下平移恰好与x轴只有一个公共点； (3)当时，y的取值范围为______． 4.（23-24八年级下·福建福州·期末）二次函数图象上部分点的横纵坐标的对应值如表： x … 0 1 2 m … y … n … (1)这个二次函数的表达式为_______，对称轴是_______； (2)表中的_______，_______； (3)若是这个函数图象上的两点，且，则_______（填“>”或“=”或“<”）； (4)写出这个函数的一条性质___________． 根据二次函数增减性求某区域的最值问题 1.（24-25九年级上·四川·期末）已知抛物线 ，若当时，函数的最大值为1，则a的值为 ． 2.（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知函数，当 时，该函数的最小值是 ． 3.（23-24八年级下·重庆江北·期末）当x取一切实数时，二次函数的最小4，则常数m的值为 ． 4.（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数（其中），当时，的最大值是4，则的值为 ． 5.（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，则此函数的顶点坐标是 ；若，当时，函数有最小值，则 ． 二次函数与一次函数或反比例函数共存问题 1.（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是( ) A．B． C． D． 3.（23-24九年级上·广东梅州·期末）函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（      ） A．B．C． D． 4.（23-24九年级上·河南平顶山·期末）若，则函数、在同一坐标系中的图象可能是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 画二次函数y=ax²+bx+c的图象 1.（23-24九年级上·江苏淮安·期末）画出函数的图象，根据图象，解决下列问题： （1）当时，x的取值范围是 ． （2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ． 2.（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）根据要求画出二次函数的图象并解决相关问题． (1)填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线； (2)请根据图像直接写出：当时，自变量的取值范围 ． 3.（23-24九年级上·河南南阳·期末）【操作与探究】已知点在抛物线上移动． (1)在下图的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： 函数时，的取值范围是______； 方程的根是______； 若时，随的增大而减小，则的取值范围是______； 若当时，函数的最小值是，最大值是，直接写出的取值范围． 4.（22-23八年级下·福建福州·期末）已知二次函数．    (1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)若点在该函数图象上 ①当时，则x的取值范围为___________； ②当（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________． x …… 0 1 …… y …… 0 3 4 3 0 …… 5.（23-24九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数． (1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式，并写出顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是____________． 利用二次函数的图象和性质求解综合问题 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线 ，其中a为常数． (1)求抛物线的顶点坐标．（用含a的式子表示） (2)将抛物线 向上平移2个单位长度，求平移后所得抛物线的顶点的纵坐标n的最大值． 2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）已知某二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线 (1)求此抛物线的顶点坐标； (2)观察图象，直接写出当 时自变量x的取值范围． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图, 一条抛物线经过点和原点O，连接，线段交y轴于点C．已知实数m，分别是方程的两个根． (1)求m，n的值； (2)求这条抛物线对应的函数解析式； (3)若P为线段上的一个动点（不与点O，B重合），当为等腰三角形时，求点P的坐标． 4．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 5．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)将二次函数的图像向右平移2个单位长度，与二次函数的图像组成一个新的函数图像，记为，设上的一点的坐标为． ①当满足_______时，随的增大而增大； ②直接写出的函数表达式； ③当时，过点作轴的垂线，分别交，于点，，若点是线段的三等分点，求点的坐标． 6．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合）， ①当点E在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，点P是抛物线上的动点，若以C、E、P、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数的定义、图象和性质 二次函数的识别 1.（23-24九年级上·上海奉贤·期末）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】A．是一次函数，故不符合题意； B．是反比例函数，故不符合题意； C．是二次函数，故符合题意； D．不是二次函数，故不符合题意； 故选：C． 2.（23-24九年级上·上海松江·期末）下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数． 根据二次函数的定义选择正确的选项即可． 【详解】A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、符合二次函数的定义，是二次函数，故此选项符合题意； C、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 3.（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如、、为常数，的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B． 是二次函数，故此选项符合题意； C．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； D． 不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 4.（23-24九年级上·上海杨浦·期末）下列函数中， 属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解，熟记：“形如（，其中、为常数）的函数是二次函数”是解题的关键． 【详解】解：A、当时，原函数化为：，则不是二次函数，故不符合题意； B、，是一次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、，，分式形式，故不是二次函数，故不符合题意； 故选C． 5.（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据：“形如，这样的函数叫做二次函数”，得到，即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 利用二次函数的定义求参数 1．（23-24九年级上·四川广安·期末）若关于的函数的图象是抛物线，则的值是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数，其图象为抛物线，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若函数（m是常数）是二次函数，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．利用二次函数定义可得：，且，再计算出的值即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为： 3．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果函数是二次函数，则m的值为 ． 【答案】2 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】由二次函数的定义进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记二次函数的定义进行解题． 4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）若是关于x的二次函数．则m的值为 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义：函数，、、为常数）叫二次函数． 利用二次函数定义可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知函数的图象是抛物线，则 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如是二次函数，注意二次项的系数不等于零是解题关键．根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 把y=ax²+bx+c化成顶点式 1.（23-24九年级上·甘肃白银·期末）用配方法将函数写成的形式是 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了配方法，将化为顶点式即可． 【详解】解： 故答案为： 2.（23-24八年级下·云南昆明·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．必须牢记二次函数的三种形式：一般式：；顶点式：；③两根式：． 利用配方法将抛物线的解析式转化为顶点式解析式，然后求其顶点坐标． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 3.（23-24九年级上·四川广元·期末）若把二次函数化为的形式，其中为常数，则 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的顶点式．先由二次函数转化为顶点式，即可得到的值，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ， ． 故答案为：． 4.（23-24九年级上·四川眉山·期末）已知二次函数可以写成，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键． 【详解】解： 故答案为 ：． 5.（23-24九年级上·北京东城·期末）用配方法将二次函数化为的形式为 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键．根据配方法求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1.（23-24九年级上·上海长宁·期末）下列关于抛物线的描述正确的是（    ） A．该抛物线是上升的 B．该抛物线是下降的 C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：∵抛物线， ∴，在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A、B、C均错误，不符合题意，选项D正确，符合题意； 故选：D． 2.（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列关于二次函数的图像与性质的描述，正确的是(    ) A．该函数图像经过原点 B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的 C．该函数图像的开口向下 D．该函数图像可由函数的图像平移得到 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质逐一判断即可得． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小，故选项B错误，选项C正确； 时，， 该函数图象经过点，故选项A错误； 该函数图象可由函数的图象向上平移3个单位得到，故选项D错误； 故选：C． 3.（23-24九年级上·上海嘉定·期末）抛物线的对称轴是直线，那么下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的对称轴为，进行求解后，判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴． 故选：C． 4.（23-24九年级上·上海金山·期末）如果点在二次函数的图像上，那么a b填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，分别求出当时，当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 5.（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线开口向上，且经过点和，如果点与在此抛物线上，那么 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴对称轴为， ∵开口向上， ∴对称轴右侧y随x的增大而增大， ∴当时，， 故答案为：． 二次函数图象的平移 1.（24-25九年级上·全国·期末）将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键．首先将抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”进行求解作答即可． 【详解】解：∵抛物线， 将该抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴得到的抛物线的解析式是． 故答案为：． 2.（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，将函数的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得图像的函数解析式为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知， 抛物线的图象向右平移2个单位所得函数图象的关系式是：； 由“上加下减”的原则可知， 抛物线的图象向下平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：． 故答案为：． 3.（23-24九年级上·西藏·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度， 得到抛物线的解析式为：，即， 再向下平移3个单位长度， 得到抛物线解析式为：，即 ， 故答案为：． 4.（23-24九年级上·山东潍坊·期末）二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的解析式的一般式为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：， 平移后的解析式为：， 故答案为：． 5.（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线及一点，的坐标（2，4）．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为，则此时的坐标为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握点的坐标平移规律为“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据顶点坐标得到平移规律即可求解． 【详解】解：∵原抛物线的顶点坐标为，新抛物线的顶点坐标为， ∴新抛物线是由原抛物线向右移动了7个单位，向上移动了2个单位得到的． 的坐标右移动了7个单位，向上移动了2个单位坐标为，即． 故答案为：． 待定系数法求二次函数解析式 1.（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图是二次函数的图象． (1)求该二次函数的关系式及顶点坐标； (2)当时的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据图象得出抛物线与坐标轴交点坐标，代入解析式求解即可； （2）求出抛物线与x轴交点坐标，根据图象即可求出取值范围． 【详解】（1）解：由图象可知，抛物线经过，，代入得， ， 解得，， 抛物线解析式为， 化成顶点式为， 抛物线顶点坐标为； （2）解：当时，，解得，，， 抛物线与x轴另一个交点坐标为， ∴当时的取值范围是； 故答案为：． 2.（23-24八年级下·福建福州·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 2 3 … … 5 0 0 … (1)求二次函数解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)二次函数解析式为，顶点坐标为 (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、求二次函数解析式及顶点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据“当和时，”，设二次函数，根据时，，代入求出，得出二次函数解析式，再求出顶点坐标即可； （2）根据和，求出，根据三角形面积公式、坐标与图形，得出点的纵坐标为或，当点的纵坐标为时，，求解得出点的坐标即可；根据二次函数解析式为，顶点坐标为，是最低点，判断当点的纵坐标为时的情况不存在． 【详解】（1）解：∵当和时，， ∴设二次函数， ∵时，， ∴代入得：，即， 解得：， ∴二次函数解析式为，即， ∴，， ∴顶点坐标为； （2）解：∵抛物线与轴交于、两点，由表格得和， ∴， ∵， ∴点到的距离， ∴点的纵坐标为或， ∵点为抛物线上一点， ∴当点的纵坐标为时，，即， 解得：， ∴点的坐标为或； ∵二次函数解析式为，顶点坐标为， 当点的纵坐标为时的情况不存在； 综上所述，点的坐标为或． 3.（22-23九年级上·江苏盐城·期末）如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)直接写出该二次函数的图象怎样经过上下平移恰好与x轴只有一个公共点； (3)当时，y的取值范围为______． 【答案】(1)或 (2)向上平移4个单位长度 (3) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题， 待定系数法求二次函数解析式， 二次函数的平移，二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． 设二次函数的解析式为：，将点代入即可得出a的值． （2）根据二次函数的图像以及平移的性质求解即可． （3）根据二次函数的图像和性质可得出当时，y随x的增大而增大，分别求出当时y的值，当时，y的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为：， 将点代入， 得出：， 解得：， ∴或 （2）当二次函数的图象与x轴只有一个公共点时，只需将抛物线向上平移4个单位即可． （3）根据函数图像可知：当时，y随x的增大而增大， ∴当时，， 当时，， ∴当时，． 4.（23-24八年级下·福建福州·期末）二次函数图象上部分点的横纵坐标的对应值如表： x … 0 1 2 m … y … n … (1)这个二次函数的表达式为_______，对称轴是_______； (2)表中的_______，_______； (3)若是这个函数图象上的两点，且，则_______（填“>”或“=”或“<”）； (4)写出这个函数的一条性质___________． 【答案】(1)，对称轴 (2) (3) (4)时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将表中已知数据代入即可得到函数表达式； （2）根据（1）求出的解析式代数求值； （3）确定函数图象的开口方向和对称轴，然后根据递减性得出答案； （4）根据函数图象的开口方向和对称轴的位置来确定性质． 【详解】（1）解：将代入， ，解得， ， 故对称轴； （2）解：根据函数解析式：， 当时，， 当时，， 解得或（舍去）， ， 故答案为：； （3）解：根据，， 开口向下， 对称轴， 当时，随的增大而增大， 故，则， 故答案为：； （4）解：根据二次函数的图象可得， 时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 根据二次函数增减性求某区域的最值问题 1.（24-25九年级上·四川·期末）已知抛物线 ，若当时，函数的最大值为1，则a的值为 ． 【答案】或/或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，解题关键是根据二次函数的性质，分类讨论．先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性并结合，分类讨论解答即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ①当，即时，此时二次函数在上y随x的增大而减小，在取最大值，即，解得，与不符； ②当即时，此时离二次函数对称轴更远， ∴二次函数在取最大值，即，解得； ③当即时，此时离二次函数对称轴更远， ∴二次函数在取最大值，即，解得； ④当即时，此时二次函数在上y随x的增大而增大，在取最大值，，解得与不符． 综上，的值为或． 故答案：或． 2.（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知函数，当 时，该函数的最小值是 ． 【答案】 4 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了把二次函数化为顶点式、二次函数的性质，先把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 当时，该函数的最小值是； 故答案为：4，． 3.（23-24八年级下·重庆江北·期末）当x取一切实数时，二次函数的最小4，则常数m的值为 ． 【答案】6 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的最值是解题的关键． 由，，可知当时，二次函数的值最小，为4，则，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，二次函数的值最小，为4， ∴， 解得，， 故答案为：6． 4.（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数（其中），当时，的最大值是4，则的值为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，先求出抛物线的对称轴，利用二次函数的图象和性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴时，抛物线开口向上，对称轴两侧离对称轴越远，数值越大， ∴当时y有最大值，即，解得：； 故答案为：． 5.（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，则此函数的顶点坐标是 ；若，当时，函数有最小值，则 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，把解析式配方解答即可求得顶点坐标；根据题意，当时，函数有最小值，得到关于的方程，解方程求得的值． 【详解】解：， 此函数的顶点坐标是， 若，当时，函数有最小值， 时，， ， 故答案为：，． 二次函数与一次函数或反比例函数共存问题 1.（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象等知识．熟练掌握二次函数图象，一次函数图象是解题的关键．分别确定各选项中一次函数的的取值范围，然后判断各选项中对应的二次函数图象的正误即可． 【详解】解：A中的，此时的图象应该开口向下，此时矛盾，故不符合要求； B中的，此时的图象应该开口向上，对称轴，故符合要求； C中的，此时的图象应该开口向上，此时矛盾，故不符合要求； D中的，此时的图象应该开口向下，对称轴，此时矛盾，故不符合要求； 故选：B． 2.（23-24九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是( ) A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质，熟练掌握两种函数图象与系数的关系是解题的关键． 直接利用二次函数图形得出a、b的符号，进而得出答案． 【详解】解：由二次函数图象，得出，， A、一次函数图象，得，，故A错误； B、一次函数图象，得，，故B错误； C、一次函数图象，得，，故C正确； D、一次函数图象，得，，故D错误； 故选：C． 3.（23-24九年级上·广东梅州·期末）函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（      ） A．B．C． D． 【答案】C 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象，反比例函数图形的性质是解题的关键．根据图形所在象限判定的符号，即可求解． 【详解】解：A、根据反比例函数图形可得，，则， ∴二次函数图象开口向下，与轴的交点在轴上方，原选项不符合题意； B、根据反比例函数图形可得， ，则 ， ∴二次函数图象开口向下，与轴的交点在轴上方，原选项不符合题意； C、根据反比例函数图形可得，，则 ， ∴二次函数图象开口向下，与轴交点在轴上方，原选项符合题意； D、根据反比例函数图形可得，，则， ∴二次函数图象开口向上，与轴的交点在轴下方，原选项不符合题意； 故选：C． 4.（23-24九年级上·河南平顶山·期末）若，则函数、在同一坐标系中的图象可能是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查反比例函数的图象和二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据二次函数的性质和反比例函数的性质，可知当和，两个函数图象所在的象限，从而可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象开口向上，顶点在原点，对称轴为y轴；函数的图象位于第一、三象限，故①符合题意，②不符合题意； 当时，函数的图象开口向下，顶点在原点，对称轴为y轴；函数的图象位于第二、四象限，故③不符合题意，④符合题意； 故选：B． 画二次函数y=ax²+bx+c的图象 1.（23-24九年级上·江苏淮安·期末）画出函数的图象，根据图象，解决下列问题： （1）当时，x的取值范围是 ． （2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ． 【答案】函数图象见解析；（1）；（2） 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、根据交点确定不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象等知识． 根据函数解析式求得与轴的交点坐标，与轴的交点坐标，顶点坐标，对称轴，根据五点法画出二次函数图象， （1）根据函数图象直接求解； （2）根据函数图象直接求解． 【详解】解：令，则， 解得：， ∴抛物线与轴的交点为，， 令，解得：， ∴抛物线与轴的交点为， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线 关于对称轴对称的点为， 函数的图象，如图所示， （1）根据函数图象可知，当时，x的取值范围是． 故答案为：． （2）当时，， 当时，， 又∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是， 故答案为： 2.（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）根据要求画出二次函数的图象并解决相关问题． (1)填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线； (2)请根据图像直接写出：当时，自变量的取值范围 ． 【答案】(1)填表见解析，图象见解析； (2)． 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、根据交点确定不等式的解集 【分析】（）取适当的的值根据函数解析式求出即可填写表格，再根据表格的数值描点、连线即可画出函数图象； （）根据函数图象即可求解； 本题考查了二次函数图象的画法，二次函数与不等式，掌握二次函数图象的画法是解题的关键． 【详解】（1）解：填表如下： 描点、连线画出函数图象如图： （2）解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为， 故答案为：． 3.（23-24九年级上·河南南阳·期末）【操作与探究】已知点在抛物线上移动． (1)在下图的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： 函数时，的取值范围是______； 方程的根是______； 若时，随的增大而减小，则的取值范围是______； 若当时，函数的最小值是，最大值是，直接写出的取值范围． 【答案】(1)画图见解析； (2)；，；；． 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（）利用画函数图象的步骤即可求解； （）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可； 此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）列表： 描点，连线，如图， （2）根据图象可知，时，的取值范围是， 故答案为：； 由得，，通过图象可知，， 故答案为：，； 根据图象可知，当时，随的增大而减小， 若时，随的增大而减小， 则的取值范围是， 故答案为：； 根据图象可知， 则的取值范围是． 4.（22-23八年级下·福建福州·期末）已知二次函数．    (1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)若点在该函数图象上 ①当时，则x的取值范围为___________； ②当（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）先列表，再用描点，最后用平滑的曲线连接即可得出该函数的图象； （2）①根据（1）中的图象，即可得出x的取值范围；②先得出其对称轴，即可根据图象分析其增减性，得出结论． 【详解】（1）解：列表如下： x …… 0 1 …… y …… 0 3 4 3 0 …… 二次函数如图所示：    （2）解：①由图可知：当时，x的取值范围为， 故答案为：； ②由图可知，该二次函数对称轴为直线， ∵y随x的增大而减小， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用描点法画二次函数图象的方法，以及能够结合图象，分析函数的性质． 5.（23-24九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数． (1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式，并写出顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是____________． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)见解析 (3) 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式； （2）利用描点法画出二次函数图象； （3）利用二次函数的图象求解． 【详解】（1）解：， ∴抛物线顶点坐标为； （2）解：列表： x 0 1 2 3 5 y 5 2 1 2 5 根据描点法画二次函数图象如下： ； （3）解：由图象可知：当时，． 故答案是：． 利用二次函数的图象和性质求解综合问题 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线 ，其中a为常数． (1)求抛物线的顶点坐标．（用含a的式子表示） (2)将抛物线 向上平移2个单位长度，求平移后所得抛物线的顶点的纵坐标n的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象的平移以及配方的应用，解决本题的关键是综合利用二次函数的图象和性质． （1）运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）求出平移后的抛物线的顶点的纵坐标，再配方，求出最大值即可 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：将抛物线 向上平移2个单位长度后，所得抛物线解析式为 ∴抛物线的顶点坐标为； ∴， ∵， ∴， 即：平移后所得抛物线的顶点的纵坐标n的最大值为． 2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）已知某二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线 (1)求此抛物线的顶点坐标； (2)观察图象，直接写出当 时自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． （1）由对称轴为直线可设抛物线解析式为，再通过待定系数法求出二次函数解析式，化为顶点式求解； （2）根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入，得， ， 解得，， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， ∴当时， 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图, 一条抛物线经过点和原点O，连接，线段交y轴于点C．已知实数m，分别是方程的两个根． (1)求m，n的值； (2)求这条抛物线对应的函数解析式； (3)若P为线段上的一个动点（不与点O，B重合），当为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为 【知识点】因式分解法解一元二次方程、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用、待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的性质等知识，同时考查了分类思想的应用． （1）运用因式分解法解方程即可得出m，n的值； （2）将A，B两点的坐标代入，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （3）首先求出的直线解析式以及解析式，再利用等腰三角形的性质得出当时，当时，点P在线段的中垂线上，当时分别求出x的值即可 【详解】（1）解：， ， 解得，，， ∵， ∴，； （2）解：∵，， ∴ ∵抛物线经过原点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入解析式得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （3）解：设直线的解析式为， 把代入解析式得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； ∵直线过点， ∴直线的解析式为， ∵为等腰直角三角形， ∴或或， 设， ①当时，， 解得，，（舍去）， ∴； ②当时，点在线段的垂直平分线上， ∴； ③当时，可得， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为 4．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)，，， 【知识点】角度问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由题意得出，．结合轴对称的性质得出，再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设中点为，则，连接．设点，则．当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，由圆周角定理得出此时为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点．则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，再分两种情况：当在抛物线上时，当在抛物线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵对称轴， ∴． 设抛物线解析式为 由题意得， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：存在， ∵，， ∴． 设中点为，则，连接． 设点，则． 当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上， 此时，为直角，，则， ∴， 化简得， 解得，． ∴的坐标为或时，为直角． （3）解：设点． 则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为， 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴时，，时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴当时，，当时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 综上，满足题意的点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 5．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)将二次函数的图像向右平移2个单位长度，与二次函数的图像组成一个新的函数图像，记为，设上的一点的坐标为． ①当满足_______时，随的增大而增大； ②直接写出的函数表达式； ③当时，过点作轴的垂线，分别交，于点，，若点是线段的三等分点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）将二次函数的一般式转化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）①画出二次函数平移后的草图即可得出结论；②对于二次函数的平移，需要在顶点式的基础上进行，左右平移只针对，依据左加右减即可得出结论；③根据草图可知的对称轴为直线，两点关于直线对称，，又因点是线段的三等分点，所以可分为两种情况，和，将线段长度代入即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为． （2）① 由题意可知，的图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大， ； ②的表达式为， 当时，的图像向右平移2个单位长度，函数解析式为：， 当时，， 的表达式为； ③ 如图，由题意可知，的对称轴为直线，两点关于直线对称，两点关于直线对称， ， ， 由平移得，， 当时，即， 解得， 此时点的坐标为， 当时，即， 解得， 此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质（增减性、对称性）、二次函数草图的画法、求解二次函数的顶点式、平移对二次函数图像及解析式的影响，根据题意画出相对应二次函数的草图是解题的关键． 6．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合）， ①当点E在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，点P是抛物线上的动点，若以C、E、P、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)①最大值为；②存在，点P有或或． 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将B、C两点分别代入解析式求解即可得； （2）①过点E作轴的平行线交于点，将点B、的坐标代入一次函数确定函数解析式，然后设点，则点，得出，结合图象确定面积的函数表达式即可得出结果； ②分三种情况进行讨论分析：当、和为对角线时，利用中点坐标公式列式计算求解即可． 【详解】（1）解：将B、C两点分别代入解析式可得：， 解得： ∴函数的表达式为：； （2）解：①过点E作轴的平行线交于点， 设直线的解析式为， 将点B、的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则点， 则， ∴ ∵，且， ∴当时，面积有最大值，最大值为， 此时点E的坐标为； ②如图：、， ，对称轴为直线， 设，， a．当为对角线时， 则， 即， ，所以； b．当为对角线时， 则， 即， ，所以； c．当为对角线时， 则， 即 ，所以 所以，符合题意的点P有或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，三角形的面积，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质以及平行四边形的性质，注意分类讨论思想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$