第二十八章 锐角三角函数（单元重点综合测试卷，人教版）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记•巧练（山东专用）

第二十八章 锐角三角函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（   ） A． B． C． D． 4．在中，，都是锐角，且，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 5．如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，为的弦， 与交于点E，且 且 则的长为（    ） A．5 B．6 C． D． 7．在中，，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．在“、、、、、”数中，无理数的个数是（  ） A．2 B．4 C．4 D．5 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是（   ） A．64 B．48 C．40 D．32 10．如图，在中，， ，于点D．点P从点A出发，沿的路径运动，运动到点C停止，过点P作于点E，作于点F．设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．在等腰，，，，则的值为 12．计算： ． 13．若关于x方程有两个相等实数根，则锐角度数为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴的负半轴上，，点C的坐标为，将绕点O顺时针旋转，使点B的对应点D落在边上，点F为点C对应点，连接，则线段的长度是 ． 15．如图，在中，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是 ． 16．如图，直线，与和分别相切于点A和点B．点M和点N分别是和上的动点，沿和平移，的半径为1，．小媛同学得到以下结论： ①若与相切，则； ②若与相切，则； ③若与相切，则；其中一定正确的有 ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(8分） 计算：． 18．（10分）如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 19．(10分)项目式学习，为了测量学校教学楼的高度，方案如下： 课题 测量教学楼的高度 测量工具 测倾器．皮尺 测量方法 在阳光下，小华站在楼影子的顶端F处，此刻量出小华的影长；然后在楼落在地面的影子上的点D处，安装测倾器，测出楼顶端A的仰角． 测量数据 小华的影长，小华身高，用测倾器测得顶端A的仰角为，测倾器高，， 说明 点B、D、F、G在同一水平直线上，均垂直于．参考数据∶． 请你根据上述信息，求学校教学楼的高度（结果精确到1米）． 20．(8分）先化简，再求代数式的值，其中． 21．（12分））如图，是的直径，是一条弦，D是弧的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 22．（12分））如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点． (1)求证：； (2)如果，且，求：的余切值； (3)连结，当平分时，求：的值． 23．（12分））已知在直角坐标系内的位置如图所示，，双曲线与边交于点，与边交于点． (1)求的值； (2)当的正切值为时，连接，求的面积与直线的表达式； (3)在（2）的条件下，设直线与轴交于点，点在射线上，连接，如果与相似，试求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理可证得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图，取格点D，连接，    根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，锐角三角函数，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．根据菱形的性质可知，，再结合特殊角的三角函数值，求出的长，即可得到点的坐标． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形，， ，， 在中，， ， ， 点在轴的负半轴上， ， 故选：A 3．为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．求出，过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 在中，， 如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， ∴， ∴， 点O为跷跷板的中点， ∴， 是的中位线， ， 故选：D． 4．在中，，都是锐角，且，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出，的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴的形状是锐角三角形． 故选：C． 5．如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键． 求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 6．如图，是的直径，为的弦， 与交于点E，且 且 则的长为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理、垂径定理、解直角三角形等知识． 连接，过点O作于点E，由垂径定理得到，同时，先求出， 在中得到，中，即可得到． 【详解】解：连接，过点O作于点E，则，， ∴ ∴， ∵是的直径，是的半径， ∴， 在中， ∴， 在中，， ∴ 故选：D 7．在中，，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 根据锐角三角函数的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴可设， ∴， A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 8．在“、、、、、”数中，无理数的个数是（  ） A．2 B．4 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，特殊角的三角函数值．带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据定义即可判定． 【详解】解：、、、、， 则无理数有和共2个， 故选：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是（   ） A．64 B．48 C．40 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，过作轴交于，由直线的解析式可求 ，由三角形的面积求得，由正切函数得，可求点的坐标，即可求解；能通过三角形的面积及正切函数求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：过作轴交于， 直线， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：B． 10．如图，在中，， ，于点D．点P从点A出发，沿的路径运动，运动到点C停止，过点P作于点E，作于点F．设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象的性质的应用，矩形和正方形的判定与性质，锐角三角函数等知识，由题意可知，当点P从点A出发，沿路径运动时，四边形是矩形，当点P沿路径运动时，四边形是正方形，分别求解即可，求出相应的函数关系式并判断图象是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵于点D， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点P运动的路程为x， ∴当点P从点A出发，沿路径运动时，即时， ∴，则， ∴， ∵四边形的面积为y， ， ∴当时，抛物线开口向下； 当点P沿路径运动时，即时， ∵是的平分线， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， ， ∴当时，抛物线开口向上， 综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是A选项， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．在等腰，，，，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、正弦的定义，过点A作于点D，根据三角形的面积公式求出，再根据等腰三角形“三线合一”求出，根据勾股定理求出的值，最后根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点A作于点D， ，，， ， ， ，，， ， ， ， 12．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，先求特殊角的三角函数值，，再进行实数的运算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 13．若关于x方程有两个相等实数根，则锐角度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，从而可求出α的余弦值，然后根据特殊角的三角函数值确定α的度数． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴的负半轴上，，点C的坐标为，将绕点O顺时针旋转，使点B的对应点D落在边上，点F为点C对应点，连接，则线段的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查旋转、等边三角形的判定、解直角三角形等知识点，灵活运用所学知识解决问题成为解题关键是理解题意．由勾股定理求出,求出，由旋转的性质可知，，则是等边三角形，得到． 【详解】解：∵点C的坐标为，， ∴，， ∴, ∵， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 15．如图，在中，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】20 【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值． 【详解】解：过点D，C分别作于点H，于点M． ， ， ， 设， ， ， ， 或（舍去）， ， ， ， ， ， ， 的最小值为20． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键． 16．如图，直线，与和分别相切于点A和点B．点M和点N分别是和上的动点，沿和平移，的半径为1，．小媛同学得到以下结论： ①若与相切，则； ②若与相切，则； ③若与相切，则；其中一定正确的有 ． 【答案】②③ 【分析】连结，根据切线的性质和得到为的直径，则和的距离为2；当与相切，连结，当在左侧时，根据切线长定理得，在中，利用正切的定义可计算出，在中，由于，可计算出，当在右侧时，，所以的长为或，从而判定①与③；再利用直角三角形的性质即可求出，从而判定②． 【详解】连结，如图1， ∵与和分别相切于点A和点B， ∴，， ∵， ∴， ∴点A、O、B共线， ∴为的直径， ∴和的距离为2； 作于H，如图1， 则， ∵， ∴， ∴； 当与相切，如图2，连结， 当在左侧时，， ∵， ∴， 同理，， 在中，，即， 在中，，，即， 当在右侧时，同理，，， ∴的长为或；； 故①错误，③正确； 当与相切，在左侧时，， ∵， ∴，， ∴； 同理在右侧时，；故②正确； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了三角函数的应用，切线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（8分） 计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入，计算即可，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18．（10分）如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； （2）∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设，在中，， 解得，即， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 19．（10分）项目式学习，为了测量学校教学楼的高度，方案如下： 课题 测量教学楼的高度 测量工具 测倾器．皮尺 测量方法 在阳光下，小华站在楼影子的顶端F处，此刻量出小华的影长；然后在楼落在地面的影子上的点D处，安装测倾器，测出楼顶端A的仰角． 测量数据 小华的影长，小华身高，用测倾器测得顶端A的仰角为，测倾器高，， 说明 点B、D、F、G在同一水平直线上，均垂直于．参考数据∶． 请你根据上述信息，求学校教学楼的高度（结果精确到1米）． 【答案】教学楼的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据同一时刻物高与影长是成正比例的，可得：，从而进行计算可求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 设， ， ， 在中，， ， ， 由题意得：， ， 解得：， 经检验：是原方程的根， ， 教学楼的高度约为． 20．（8分）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，先根据分式的运算法则把所给分式化简，然后把x化简后代入计算． 【详解】解∶ ， 当时， 原式． 21．（12分）如图，是的直径，是一条弦，D是弧的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）根据D是的中点，于点E，得到，得到即可得证； （2）根据，设，，运用勾股定理，得到，结合，得到，运用勾股定理，得到，从而得到，，在中，利用勾股定理计算x即可． 【详解】（1）∵D是的中点， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵，是的直径， ∴， ∵， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键． 22．（12分）如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点． (1)求证：； (2)如果，且，求：的余切值； (3)连结，当平分时，求：的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角可得，，再根据，，即可证明； （2）先证明，再证明，即有，根据，，可得，进而可得，，即可解答； （3）过点作，交于点，与交于点，通过得到，设，，，即有，证明，可表示出，从而表示出和，进而表示出和，易证，可得，进而得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点， 在中，，， ，，， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （3）解：如图，过点作，交于点，与交于点， 平分， ， ， ，， 又， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ，， ， ， ， 整理得， ， ， 解得 （负值舍去）， 经检验，是原方程的根， ． 【点睛】本题是相似的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，余切，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的应用等知识，作出合理的辅助线，构造相似三角形，是解答本题的关键． 23．（12分）已知在直角坐标系内的位置如图所示，，双曲线与边交于点，与边交于点． (1)求的值； (2)当的正切值为时，连接，求的面积与直线的表达式； (3)在（2）的条件下，设直线与轴交于点，点在射线上，连接，如果与相似，试求点的坐标． 【答案】(1) (2)2， (3)或 【分析】（1）待定系数法求出的值，再把代入解析式求出的值即可； （2）过点作轴于点，利用三角函数求出点坐标，进而求出直线的表达式，利用三角形的面积公式求出的面积即可； （3）先求出点坐标得到轴，然后分两种情况，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， 把代入，得：； （2）∵，， ∴轴，，， 由（1）知：， 连接，过点作轴于点，如图， 则：轴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）由（2）知：，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴轴， ∴， ∴当与相似时，分两种情况： ①，即：， ∴， ∴； ②，则：， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$