齐次化妙解圆锥曲线中的斜率和与积的问题课件-2025届高三数学一轮专题复习

齐次化妙解圆锥曲线问题 斜率和与积的问题 大单元综合学习法之二 3 2 1 4 5 目录 齐次化运运算-韦达定理 韦达定理--笛卡尔解析几何 型采用齐次化运算解决 齐次化运算为什么不是解决圆锥曲线的常规武器 微专题齐次化运算小结 齐次化运算的今生一-韦达定理遇到笛卡尔解析几何 2 4 5 6 7 8 三、型怎么采用齐次化运算解决,平移是关键 3 10 11 1.点在曲线上 12 13 14 齐次化方程的解题思路总结 1.齐次化方程法的适用题型 (1)解圆锥曲线条件或结论中有关 或 的题. (2) 两直线的一定过定点. 2.次化方程法的解题步骤 (1) 原点要平移到两直线交点 (定点). (2) 设直线方程为 (不过原点). (3) 联立直线曲线方程整理并齐次化. (4)同除 . (5)应用韦达定理 或 . (6) 还原. 总结 2.点在曲线外 16 17 齐次化方程的解题思路总结 1.齐次化方程法的适用题型 (1)解圆锥曲线条件或结论中有关 或 的题. (2) 两直线的一定过定点. 2.次化方程法的解题步骤 (1) 原点要平移到两直线交点 (定点). (2) 设直线方程为 (不过原点). (3) 联立直线曲线方程整理并齐次化. (4)同除 . (5)应用韦达定理 或 . (6) 还原. 总结 四、齐次化在解析几何中的应用 4 20 21 22 23 24 25 26 27 五、齐次化运算为什么不是解决圆锥曲线的常规武器 5 通过上面分析，我们可以发现,齐次化运算比传统的设而不求运算量大大降低,但为什么齐次化运算并不是常规武器呢? 首先 我们总结一下齐次化运算步骤   通过上面的步骤可以看出, 本方法适用于斜率的相关问题, 有较大的局限性, 当然, 还有一个难点在于方程消元的基本思路是消未知数,而本方法是消去常数,这也是学生不适应之处. 但更大的难点是如果通过审题,转化为斜率之积、之和问题. 29 齐次化方程的解题思路总结 1.齐次化方程法的适用题型 (1)解圆锥曲线条件或结论中有关 或 的题. (2) 两直线的一定过定点. 2.次化方程法的解题步骤 (1) 原点要平移到两直线交点 (定点). (2) 设直线方程为 (不过原点). (3) 联立直线曲线方程整理并齐次化. (4)同除 . (5)应用韦达定理 或 . (6) 还原. 感谢您的观看 Happy Place Thomas Greenberg Age of Innocence, track 15 2061462_207725 196765.67 XXX - 163 key(Don't modify):L64FU3W4YxX3ZFTmbZ+8/Rh8YH7vRIgBK14YyFIU6jiMUnldo16pfWdn5CNvu/cReSMqqyQTHRU/0S8a9Nc6BM6o7l8VsRcvf4SHjgPYAvwRpa5iEb9P+vbimEnNiK8Gwf9IB3ebcigo/1FlHozQzYH7fBQUoHwG5V4zr5KH7Yp5gVHHXTdLm7WuRULVA8PfNhacA5ZKMD6u2QICrPo90ChGbR06O8YQbDDpLiS9/7poaoIxmXk6P8MJq+EvcS7rrlC77qVY5jX7zDKITNBP6C2kOnGOuVIHcS2QzoX+SGGVsPFA2EnaabV8227KMbTUu2p1vI4pi124Z++Y28WcoaK7wyoWkgyG7SJu8tk72hnj3XFLkLGeI7J4/fh2hlcTxoPaWSFa+Qjia+/WRL+4kxVs9ys1KYmI8WQc7QS50ihKwAjfzCo0RRmkh9V6rKGZ3vZc/d8rZmem51F8P0S8DCUwmw2E6O8QR3F+/TZgg64= 例1. 直线 与抛物线 交于 , 求 用 表示 【解析】联立 , 齐次化得 , 等式两边同时除以 , 例2. 直线 与椭圆 交于 ， 求 (用 表示 . 【解析】 齐次化联立得; , 等式两边同时除以 , . 探究3. 已知知直线 的方程为 . (1) 若 , 求直线 的斜率: (2) 若 , 求直线 所过的定点; (3) 若 , 求直线 所过的定点; (4) 若 , 求直线 所过的定点; (5) 若 , 求直线 所过的定点. 【解析】(1) . (2) , 过定点 . (3) 整理得 过定点 . (4) 整理得 过定点 . (5) 整理得 过定点 . 探究3. 已知知直线 的方程为 . (1) 若 , 求直线 的斜率: (2) 若 , 求直线 所过的定点; (3) 若 , 求直线 所过的定点; (4) 若 , 求直线 所过的定点; (5) 若 , 求直线 所过的定点. 例3.抛物线 , 直线 交抛物线于 两点, 且 , 求证:直线 过定点. 【解析】设直线 方程为 齐次化得： 直线 过定点 . 【解析】设直线 方程为 齐次化得： 直线 过定点 . 例4.不过原点的动直线交椭圆 两点, 直线 的斜率成等比数列, 求证: 直线 的斜率为定值. 【解析】设直线 方程为 , 齐次化得： 于是 , 又 ,得 . 【解析】设直线 方程为 ,=12= 齐次化得： 于是 , 又 ,得 . 探究4. 已知椭圆 , 按照平移要求变换椭圆方程,并化简平移后的椭圆方程. (1) 将椭圆向左平移 1 个单位, 求平移后的椭圆； (2) 将椭圆向右平移 2 个单位, 求平移后的椭圆; (3) 将椭圆向上平移 3 个单位, 求平移后的椭圆; (4)交椭圆向下平移 4 个单位, 求平移后的椭圆; (5) 交椭圆向左平移 1 个单位，向下平移 个单位,求平移后的椭圆； (6) 将椭圆向左平移 2 个单位, 向下平移 1 个单位, 求平移后的椭圆. 【解析】(1) , 即 . (2) , 即 . (3) , 即 . (4) , 即 . (5) , 即 . (6) , 即 . 例5.抛物线 , 直线 交抛物线于 两点, , 求证: 直线 过定点. 【解析】将图形向左平移 1 个单位，向下平移 2 个单位,平移后的抛物线方程为 , 整理得 . 设平移 后直线 方程为 齐次化得： , 于是 , 整理得 过定点 , 右移 1 个, 上移 2 个, 直线 过定点 例6. （点在曲线上）椭圆 , 点 为椭圆上两点, . 求证 : 直线 斜率为定值. 解法一; 将图形向左平移 1 个单位, 向下平移 个单位,平移后的椭圆为 , 整理得 , 设平移后直线 方程为： , , 同时除以 的斜率 . 例6. （点在曲线上）椭圆 , 点 为椭圆上两点, . 求证 : 直线 斜率为定值. 解法二 (换元法) 、设 ，即化为 , 即建立以 为未知数的一元二次方程 , 即可解答. 为了方便运算设 , 代入椭圆 , 得 设直线 可方便运算, , 化简得: + 代入 , 得 直线 的斜 率是 例7.双曲线 为双曲线上两点, 且 不与 轴垂直, 求证: 直线 过定点. 【解析】将图形左平移 2 个单位, 平移后的双曲线为 , 整理得 , 设平移后直线 方程为 , 齐次化得： , 同时除以 或 不与 轴垂直, 过 , 右移 2 个单位, 原直线过 . 例12. (2018 全国一文) 设抛物线 , 点 , 过点 的直线 与 交于 两点. (1) 当 与 轴垂直时, 求直线 的方程; (2) 证明: . 解法 (2) 右移 2 个单位 过 即 ,. , , 即除以 , 得 . 例8. (2021 重庆期末) 已知边物线 上一点 到其焦点的距离为 3 . (I) 求抛物线 的方程; (II)过点 的直线与抛物线 交于 两点, 为坐标原点, 证明: . 解法 ( I ) 由题意知: . (II) 证明：设该直线为 的坐标分别为 , 联立方程有: . 解法 2; 要证明 , 即证 , 设 , 过 ， 同除以 得 即 . 例9.如图, 椭圆 经过点 , 且离心率为 .(I) 求椭圆 的方程; (II) 经过点 , 且斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 (均异于点 , 证明：直线 与 斜率之和为 2 . 解法 2: (2) 上移一个单位, 椭圆 和直线 过点 , 例10. 设 为曲线 上两点, 与 的横坐标之和为 4 .(1) 求直线 的斜率； (2) 设 为曲线 上一点, 在 处的切线与直线 平行, 且 , 求直线 的方程. 解法 2: , 左移 2 个单位,下移 1 个单位 例11. (2017 年全国卷理) 已知椭圆 , 四点 中恰有三点在椭圆 上. (1) 求 的方程; (2) 设直线 不经过 点且与 相交于 两点. 若直线 与直线 的斜率的和为 -1 , 证明: 过定点. 证法 2: 下移 1 个单位得 , 同除以 , 过 , 上移 1 个单位 . 例12. (2018 全国一文) 设抛物线 , 点 , 过点 的直线 与 交于 两点. (1) 当 与 轴垂直时, 求直线 的方程; (2) 证明: . 解法 (2) 右移 2 个单位 过 即 ,. , , 即除以 , 得 . 例13. (2018全国一卷理) 理椭圆 的右焦点为 , 过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 . (1) 当 与 轴垂直时, 求直线 的方程; (2) 设 为坐标原点, 证明: , 解法 2:左移 2 个单位 过 即 椭圆方程化为： 即： 例14. (2020. 新课标 I ) 已知 分别为椭圆 的左、右顶点, 为 的上顶点, 为直线 上的动点, 与 由另一交点为 与 的另一交点为 . (1) 求 的方程; (2) 证明: 直线 过定点. 证法 2: 设 , 则 , 根据椭圆第三定义 , 则 , 将图像向右移动 3 个单位,得到 则椭圆 和直线 , 联立得: , 即 , 两边同时除以 , 得: ， 则 , 解得 , 则直线过定点 , 则平移前过 . 例15. (2020. 山东) 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .(1) 求 的方程; (2) 点 在 上,且 为垂足. 证明: 存在定点 , 使得 为定值. 证法2，将图像向左移动两个单位, 向下移动一个单位得到, 那么平移后的 和直线 , , 两边同时除以 , 得: 即 过定点 , 则平移前该直线过定点 . 在 中, , 则 点的轨迹是以 为直径, 为定点, 为定点, 则 为定值， 则 为 中点, 此时 为定值,, 则 . $$