12 微专题二 专项二 圆锥曲线中的范围、最值问题(PPT课件)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

专项二 圆锥曲线中的范围、最值问题 微专题二　圆锥曲线的综合问题 处理圆锥曲线中最值、范围问题的方法：(1)几何法：即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解．(2)代数法：即把要求最值、范围的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数法、不等式法等进行求解． CONTECT 内 容 索 引 01 技法一　巧用数形结合法求最值(范围) 02 技法二　构造函数法求最值(范围) 05 课 时 测 评 03 技法三　利用不等关系求最值(范围) 04 技法四　构造基本不等式求最值(范围) 技法一　　巧用数形结合法求最值(范围) 返回 例1 √ 任意一点，N为圆E：(x－3)2＋(y－2)2＝1上任意一点，则|MN|－|MF1|的最小值为 如图所示，由题意得|MF1|＋|MF2|＝4，|MN|≥|ME| －1，当且仅当M，N，E三点共线，且N在线段ME 上时取等号， 所以|MN|－|MF1|＝|MN|－(4－|MF2|)＝|MN|＋|MF2|－4≥|ME|＋|MF2|－5≥|EF2|－5，当且仅当M，N，E，F2共线，且M，N在线段EF2上时取等 规律方法 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用直线与曲线的定义、图形、几何性质来解决． √ 对点练1.已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点(A在B的右边)，P为C上一点， ，则|PF|＋|PQ|的最小值为 A．3 B． C． D．5 返回 设Q(xQ，yQ)，因为 ，所以5(x2－x1)＝8(x2－xQ)，解得xQ＝2，过点P作PH垂直准线于点H，根据抛物线的定义，得|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|，当Q，P，H三点共线且与x轴平行时，|PF|＋|PQ|有最小值，最小值为|QH|＝2＋1＝3，所以|PF|＋|PQ|的最小值为3.故选A． 技法二　构造函数法求最值(范围) 返回 例2 设点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若抛物线y2＝2px(p>0)与曲线C交于点A，B，设M(－1,0)，求△ABM面积最大时p的值． 解：不妨设点A在第一象限，A(x1，y1)， 规律方法 函数法求最值(范围)问题就是构建关于变量的目标函数，将问题转化为求函数的最值(或值域)，解决问题时要注意自变量的取值范围． 对点练2.如图所示，点A，B分别是椭圆 ＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF. (1)求点P的坐标； 解：由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)， 设点P的坐标是(x，y)， (2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值． 解：由(1)可得直线AP的方程是x－ y＋6＝0，点B(6,0)． 又－6≤m≤6，解得m＝2. 由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d， 返回 技法三　利用不等关系求最值(范围) 返回 例3 在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； 即2a＝4，所以a＝2， (2)若直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－ (O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围． 解：当直线l的斜率为0或不存在时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意． 故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 可得m2＝4k＋1，所以k≥－ ，又由Δ>0， 可得16(4k2－m2＋1)>0，所以4k2－4k>0， 解得k<0或k>1.综上可得，直线l的斜率的取值范围是(－ ，0)∪(1， ＋∞)． 规律方法 寻找不等关系的突破口 1．利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围． 2．利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系． 3．利用隐含的不等关系，从而求出所求范围． 4．利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围． 5．利用函数值域的求法，确定所求范围． 对点练3.已知双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，离心率为 ，且过点( ，1)． (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的左、右顶点分别为A，B，且动点C(m，n)，D(m，－n)在双曲 返回 技法四　　构造基本不等式求最值(范围) 返回 例4 设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3. (1)求C的方程； 解：设M(x1，y1)(y1>0)． 当MD⊥x轴时，x1＝p. 解得p＝2. 故抛物线C的方程为y2＝4x. (2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． 解：由(1)知D(2,0)，F(1,0)． 当直线MN的斜率不存在时，由抛物线的对称性得，α＝β＝ ， 此时α－β不取最大值，舍去． 当直线MN的斜率存在时，由抛物线的对称性知只考虑斜率大于0的情况 即可． 因为kMD＝kAD＝kAM， 规律方法 构造基本不等式求最值的步骤 (1)求椭圆C的方程； (2)设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为 ，求△AOB面积的最大值． 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋m. 把y＝kx＋m代入椭圆方程并整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0. Δ＝36k2m2－4(3k2＋1)(3m2－3)＝36k2－12m2＋12>0. 所以|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2 返回 课时测评 返回 √ 1．(8分)已知F为抛物线C：y2＝6x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为 A．24 B．22 C．20 D．16 2 1 3 4 5 6 7 2 1 3 4 5 6 7 2．(8分)已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过C，B分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋c，则双曲线的渐近线斜率的取值范围为_____________． 设渐近线的斜率为k.如图，因为AB⊥BD，且BF⊥AD，所以|BF|2＝|AF|·|DF|，因为A(a,0)，F(c,0)， (－1,0)∪(0,1) 2 1 3 4 5 6 7 2 1 3 4 5 6 7 由题意知A，B两点关于原点对称，原点为线段AB的中 点，因为点F为双曲线的右焦点，且满足 ＝0， 所以△ABF为直角三角形，且|AO|＝|OB|＝|OF|＝c，设 ∠BAF＝α，则|AF|＝2ccos α，|BF|＝2csin α，设双曲线 的左焦点为F1，连接AF1，BF1， 2 1 3 4 5 6 7 2 1 3 4 5 6 7 4．(18分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程； 解：由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，所以C的方程为y2＝4x. 2 1 3 4 5 6 7 (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值． 解：由(1)知F(1,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 2 1 3 4 5 6 7 2 1 3 4 5 6 7 5．(18分)(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4 . (1)求p； 解：设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 即2p2－p－6＝0，因为p>0，解得p＝2. 2 1 3 4 5 6 7 (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且 ＝0，求△MFN面积的最小值． 解：因为F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0， 2 1 3 4 5 6 7 即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0， 即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得， 4(m2＋n)＝(n－1)2>0,4m2＝n2－6n＋1， 2 1 3 4 5 6 7 2 1 3 4 5 6 7 6．(20分)(2024·山东日照模拟)已知椭圆M： 的一个焦点为F(－1,0)，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D 两点． (1)当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长； 解：由题意得，c＝1，b2＝3，所以a2＝4， 易求直线l的方程为y＝x＋1，联立方程， 2 1 3 4 5 6 7 消去y，得7x2＋8x－8＝0， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，Δ＝288， 2 1 3 4 5 6 7 (2)设△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值． 解：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，此时△ABD与△ABC的面积相等，|S1－S2|＝0； 当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)， 整理得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， 2 1 3 4 5 6 7 此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y2＋y1| ＝2|k(x2＋1)＋k(x1＋1)| 2 1 3 4 5 6 7 (1)求椭圆C的方程； 解：椭圆方程改写为x2＋a2y2＝a2，点M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上， 两式相乘，得 2 1 3 4 5 6 7 所以a4＝9，则a2＝3， 2 1 3 4 5 6 7 (2)若过点Q(0,2)的直线与椭圆C交于A，B两点，且|QB|＝t|QA|(t>1)，求t的取值范围． 解：若直线斜率不存在，则有A(0,1)，B(0，－1)，此时t＝3； 当过点Q(0,2)的直线斜率存在，设直线方程为y＝kx＋2， 所以Δ＝(12k)2－4×9×(1＋3k2)＝36k2－36>0，解得k2>1. 设A(x′1，y′1)，B(x′2，y′2)，|QB|＝t|QA|(t>1)，x′2＝tx′1. 2 1 3 4 5 6 7 由t>1，解得1<t<3. 综上，t的取值范围为(1,3]． 返回 2 1 3 4 5 6 7 谢谢观看 本节到此结束 已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上 A．2－5 B．2－3 C．2＋1 D．2－1 号，因为F2(1,0)，E(3,2)，所以|EF2|＝＝2，所以|MN|－|MF1|的最小值为2－5.故选A． 5＝8 由题意，得焦点F(1,0)，又因为直线的倾斜角为60°，得斜率k＝tan 60°＝，故直线AB的方程为y＝(x－1)，联立方程组整理得3x2－10x＋3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得x1＝3，x2＝. 5＝8 已知点A1(－，0)，A2(，0)，直线PA1，PA2的斜率之积为－， 解：设点P的坐标为(x，y)，显然y≠0.由题意得·＝－， 化简得＋y2＝1(y≠0)． 则0<x1<，0<y1<1，B(x1，－y1)， △ABM的面积S△ABM＝(x1＋1)×2y1＝(x1＋1)y1. 因为点A在曲线C上，所以＋y＝1， 所以S△ABM＝(x1＋1) . 令f(x)＝(x＋1) ，0<x<，则f′(x)＝ ＝， 由f′(x)＝0得x＝，当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)在(0，)上单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减，故当x＝时，f(x)有最大值， 即当x1＝时，S△ABM有最大值，此时y1＝，抛物线过点，所以p＝. ＋ 则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)， 因为PA⊥PF，所以·＝0， 所以点P的坐标是. 则 可得2x2＋9x－18＝0，得x＝或x＝－6. 由于y>0，故x＝，于是y＝. 设点M的坐标是(m,0)，则点M到直线AP的距离是，于是＝|m－6|， 得d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝2＋15， 由于－6≤x≤6，由f(x)＝2＋15的图象可知， 当x＝时，d取最小值，且最小值为. 已知F(，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，点M 解：由题意，得椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为(－，0)， 根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为＋＝4， 又因为c＝，可得b＝＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. 联立方程组可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以kOA＋kOB＝＋＝＝2k＋＝2k＋＝＝－， 所以双曲线的标准方程为－y2＝1. 解：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 联立得a2＝3，b2＝1， 联立两直线方程得y2＝(x2－3)． 又因为－n2＝1，即－3n2＝3－m2， 线上，直线BC与直线AD交于点P，M(－，0)，N(，0)，求·的取值范围． 解：已知C(m，n)，D(m，－n)，A(－，0)，B(，0)． 当m＝±时，动点P与点A，B重合， 当m≠±时，直线AD：y＝(x＋)，直线BC：y＝(x－)， 所以y2＝－(x2－3)， 即点P的坐标(x，y)满足方程＋y2＝1. 又·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－2，||＝＝，又因为－≤x≤，且x≠0(当x＝0时，P(0，±1)不符合 题意)， 所以PO∈(1，]，所以·∈(－1,1]. 由抛物线的定义，得|MF|＝x1＋＝p＝3， 设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k>0)，M，N，A，B. 得y3＝－. 由消去x并整理， 得y2－y－4＝0， 则y1＋y2＝，y1y2＝－4. 所以＝＝＝， 同理可得y4＝－， 则kAB＝＝＝＝. 因为tan α＝kMN＝k，tan β＝kAB＝， 所以tan(α－β)＝＝＝＝≤，当且仅当＝k，即k＝时，“＝”成立． 所以直线AB的方程为y－2(－)＝[x－(8－4)]，即x－y－4 ＝0. 故α－β取得最大值时，直线MN的斜率为，方程为y＝(x－1)． 由得则y3＝－＝2(－)， 故A(8－4，2(－)． 又因为直线AB的斜率kAB＝＝， 对点练4.椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为. 解：设椭圆的半焦距为c，依题意知 所以c＝，b＝1，所以所求椭圆方程为＋y2＝1. 由已知＝，得m2＝(k2＋1)． 所以x1＋x2＝，x1x2＝. ＝(1＋k2) ＝＝ ＝3＋＝3＋(k≠0) ≤3＋＝4. 当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立． 当k＝0时，|AB|＝，综上所述|AB|max＝2. 所以当|AB|最大时，△AOB的面积取得最大值S△max＝×|AB|max×＝. 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，由抛物线的性质及题意可得|AB|＝6，|DE|＝6，所以|AB|＋|DE|＝6＋6＝12＋6.又因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1， 所以|AB|＋|DE|＝12＋6≥12＋6×2＝24，当且仅当k1＝±1时取等号．故选A． － 所以B，则|DF|＝＝，又因为D到直线BC的距离即为|DF|，所以<a＋c，即b4<a2(c2－a2)，又知b2＝c2－a2，所以b4<a2b2，即b2<a2，所以<1，所以k2<1，解得－1<k<1，又k≠0，所以k∈(－1,0)∪(0,1)． 3．(8分)过原点的直线与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足·＝0，≥，则双曲线的离心率e的取值范围是________． (1,1＋] · 因为原点为线段F1F的中点，所以四边形AFBF1为矩形， 即|AF1|＝|BF|，所以，由双曲线定义可知，|AF1|－|AF|＝|BF| －|AF|＝2a，即2c(sin α－cos α)＝2a.因为≥，所以tan α ≥，因为α是锐角，所以α∈，所以e＝＝ ＝.因为α∈，所以α－∈，sin (α－)∈，所以sin (α－)∈，所以e＝∈(1,1＋.所以双曲线的离心率e的取值范围是(1,1＋]． 又点P在抛物线C上，所以y＝4x1， ＝9 则＝(x2－x1，y2－y1)，＝(1－x2，－y2)， 因为＝9，所以 可得 即(10y2)2＝4(10x2－9)，化简得y＝x2－， 则点Q的轨迹方程为y2＝x－. 设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝x－相切时，斜率可以取最大，联立y＝kx与y2＝x－并化简， 得k2x2－x＋＝0，令Δ＝(－)2－4k2·＝0，解得k＝±，所以直线OQ斜率的最大值为. 由可得，y2－4py＋2p＝0， 所以|AB|＝＝|yA－yB|＝× ＝4， · 由可得，y2－4my－4n＝0， 因为·＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2或n≤3－2. 设点F到直线MN的距离为d，所以d＝， |MN|＝＝|y1－y2|＝ ＝＝2|n－1|， 所以△MFN的面积S＝×|MN|×d＝×2|n－1|×＝(n－1)2， 而n≥3＋2或n≤3－2， 所以当n＝3－2时，△MFN的面积Smin＝(2－2)2＝12－8. ＋＝1(a>) 所以椭圆M的方程为＋＝1， 得 x1＋x2＝－，x1x2＝－， 所以|CD|＝|x1－x2|＝·＝. 联立方程，得消去y， Δ>0，且x1＋x2＝－，x1x2＝， ＝2|k(x2＋x1)＋2k|＝， 因为k≠0，所以上式＝≤＝＝(当且仅当k＝±时，等号成立)． 所以|S1－S2|的最大值为. 7．(20分)(2024·江西吉安模拟)已知点M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆C：＋y2＝1(a>1)上，直线OM，ON的斜率之积是－，且x＋x＝a2. 有a2y＝a2－x，a2y＝a2－x， a4yy＝(a2－x)(a2－x)＝a4－a2(x＋x)＋xx， 由x＋x＝a2，得a4yy＝xx， 由直线OM，ON的斜率之积是－， 得＝－，即9yy＝xx， 则椭圆C的方程为＋y2＝1. 由消去y，整理得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，直线与椭圆C交于A，B两点， 由根与系数的关系得 消去x′1，得＝， 由k2>1，得0<<1， 所以<<， $$