圆锥曲线过定点问题 专项训练——2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线过定点问题 姓名：___________班级：___________分数___________ 一、单选题 1．当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A．－1 B． C．1 D． 2．如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点  （不同于点）.直线过定点（   ） A． B． C． D． 3．已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），则的内切圆恒过定点（    ）． A． B． C． D． 5．已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 6．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 7．已知直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率，满足，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆：，A，B是左右顶点，P，Q在椭圆E上，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．过抛物线上一点P(4，4)作两条直线PA，PB（点A,B在抛物线上），且它们的斜率之积为定值4，则直线AB恒过定点 . 10．已知双曲线，点，在双曲线上任取两点、满足，则直线恒过定点 ； 11．已知点为上一动点．过点作椭圆的两条切线，切点分别，当点运动时，直线过定点，该定点的坐标是 ． 12．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为 . 13．设椭圆的上顶点为，且长轴长为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点 ． 14．过直线上一点作圆的切线，切点为，则直线过定点 ，若的中点为，则点的轨迹方程为 三、解答题 15．已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 16．已知双曲线：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的交点为，证明：直线过定点． 17．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程； （Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C B A D A C 1．C 【分析】先判断直线l经过定点M，且点M在圆C内，当直线l垂直于CM时，圆被直线截得的弦长最短，计算即得. 【详解】由得，圆心坐标，半径为8， 直线的方程化为， 由，解得， 所以直线l过的定点，且，所以点M在圆C内， 要使直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线l， 所以， 故选：C 2．A 【分析】由条件列方程求，由此可得椭圆方程，两切线的斜率分别为，由切线性质可求，求直线方程，确定其过定点. 【详解】 椭圆的上顶点为，离心率为 解得 椭圆的方程为. 设切线方程为，则 即 设两切线的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得: 由 ， 消掉得 设 同理可得 直线方程为 令，得， 故直线过定点. 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 3．C 【分析】利用两个已知点在直线上，代入直线方程得出，然后简化直线PT的直线方程为，从而得解. 【详解】由题意，斜率都存在， 设，，， 直线l的斜率， 直线l方程：，化简得 同理直线QT方程：，直线PT的方程：， 点，分别代入直线QP，QT方程， 即，消除，得， 代入直线PT方程：，得， 直线PT过定点. 故选：C 4．B 【分析】由双曲线的几何性质，圆的切线长定理，可得的内切圆与的切点为定点. 【详解】双曲线，，则长轴长为，焦距为， 为双曲线右支上的动点（非顶点），为双曲线的两个焦点， 设的内切圆与分别切于，如图所示，    则根据双曲线的定义及圆的性质可知：， 又，得，故为双曲线的右顶点. 同上分析，当双曲线方程为时， 为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点）， 设的内切圆与分别切于， 可知为双曲线的右顶点，此时双曲线长轴长为，右顶点坐标. 所以此时的内切圆恒过定点. 故选：B. 5．A 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，则点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和 【详解】设 由直线，可得 由直线，可得， 因为直线与直线满足， 所以， 所以点P在以AB为直径的圆上，所以点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和， 由，，得AB中点为，半径为1， 所以点P到点的距离的最大值为， 故选：A    6．D 【分析】求得、，再根据两直线的位置关系的判断可得，即有,从而得,再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，即， 由，解得，所以直线过定点； 同理可得直线过定点； 又因为，所以， 即有，所以， 所以， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为4. 故选：D. 7．A 【分析】设直线l的方程为，代入抛物线方程由韦达定理可表示出，结合也表示出，可解出的值得直线所过定点． 【详解】设，，则，， 设直线l的方程为，代入抛物线方程可化为，， ，， 所以直线l一定过定点. 故选：A． 8．C 【分析】由题意结合椭圆方程推出，结合得出，设直线方程为，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，代入中化简求值，即可求得答案. 【详解】设，则，， 则，故， 同理，而， 故； 由题意可知直线的斜率不为0，设方程为， 代入椭圆方程得：， 需满足， 设，则， 又，，即， 即，即， 得， 即， 整理得，解得，或， 当时，，直线过A点，不符合题意； 当时，，直线恒过点， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要根据题意结合椭圆方程得出，再结合得出，然后设直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，化简求值，即可求解。 9． 【分析】设出点A和点B坐标，表示出直线PA，PB的斜率，利用斜率之积等于4，得到坐标之间的关系，然后表示出直线AB，找到直线AB恒过的定点. 【详解】设A，B，则kPA=， 同理，kPB=，kAB=. 因为kPA·kPB=4，所以·=4， 所以y1y2+4(y1+y2)+12=0. 所以y1y2=-12-4(y1+y2). 直线AB的方程为y-y1=， 即(y1+y2)y-y1y2=4x. 将y1y2=-12 -4(y1+y2)代入上式得: (y1+y2)(y+4)=4(x-3)，所以直线AB恒过定点(3,-4). 故答案为：(3,-4). 10． 【分析】设的方程为,联立双曲线利用代数式恒成立即可求解直线恒过定点时中的值,进而求得定点. 【详解】设的方程为,则由. 设,则是该方程的两根, ∴,. 又,,故 ∴, 又,, ∴, 代入,得： 整理得：, ∴, ∴或. 当时,过与题意不符,故舍去。 当时,过定点. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了根据直线与双曲线的联立方程,利用韦达定理求解参数定值与直线过定点的问题.属于难题. 11． 【详解】设点的坐标是，则切点弦的方程为，化简得，令，可得，故直线过定点． 12． 【分析】先根据渐近线的倾斜角算出，然后联立直线和双曲线，结合题目条件和韦达定理找到的关系，从而得到定点. 【详解】因为双曲线方程为一条渐近线的倾斜角的正切值为.所以，解得，所以双曲线方程为. 设，，联立得， . 由韦达定理得，. 因为，所以. 所以，由题意知，此时. 所以直线方程为，恒经过的定点为. 故答案为： 13． 【分析】根据题意求出椭圆C的方程，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理与，求得的值，进而可得答案． 【详解】根据题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为 ∵上顶点为，∴， 又长轴长为，∴， 则椭圆C的方程为，    易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为， 由可得， ∴， 又， ∴，解得或． 当时，直线AB经过点D，不满足题意， 则直线AB的方程为，故直线AB过定点． 故答案为：． 14． 【分析】设，求的以为圆心为半径的圆的方程，由此求得直线的方程，进而求得定点坐标；设出点坐标，利用勾股定理求得点的轨迹方程. 【详解】设，圆的圆心为，半径， 则， 故以为圆心，半径为的圆的方程为： ， 即， ①， 圆②， ②-①并化简得直线的方程为：， 也即， 所以，所以定点坐标为. 设，由于是弦的中点，所以， 设定点为， 则， 即， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：； 15．(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点.    【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 16．(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）由右焦点到右准线的距离以及通径长度，结合之间的平方关系即可求解； （2）设直线的方程为，，联立双曲线方程结合韦达定理得，用以及的坐标表示出点以及的方程，根据对称性可知，只需在的直线方程中，令，证明相应的为定值即可求解. 【详解】（1）由题意，所以双曲线的标准方程为. （2）由题意，当直线斜率为0时，直线， 当直线斜率不为0时，设直线的方程为，， ， 所以， 直线的方程为：， 所以的方程为， 由对称性可知过的定点一定在轴上， 令 ， 又， 所以， 所以直线过定点. 17．(Ⅰ) ，； (Ⅱ)见解析. 【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程； (Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论. 【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：， 故抛物线方程为：，其准线方程为：. (Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为， 设直线方程为，与抛物线方程联立可得：. 故：. 设，则， 直线的方程为，与联立可得：，同理可得， 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：， 且：，， 则圆的方程为：， 令整理可得：，解得：， 即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点. 【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$