天津市第一百中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷

高三数学第二次月考 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知的部分图象如图，则可能的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．设等比数列的前项和为，且，则（    ） A．243 B．244 C．81 D．82 6．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的单调增区间为 C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 8．已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．若复数是纯虚数，则实数的值是 . 11．在的展开式中，项的系数为 .（用数字作答） 12．已知，，是不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题中： （1）若，，，则；（2）若，，，则且； （3）若，，，则；（4）若，，，则， 13．紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置．根据某机构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器；而未被找到的失踪飞机中，有未安装紧急定位传送器．则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比例为 （填写百分数），现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为 ． 14.过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 . 15．在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 ；若，则的最大值为 . 三、解答题 16．在中，角，，所对的边分别是，，，已知. (1)求角的大小； (2)设， （i）求的值； （ii）求的值. 17．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1， AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． （1）证明B1C1⊥CE； （2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值． （3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长． 18．已知椭圆的一个焦点，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程; (2)过焦点作轴的垂线交椭圆上半部分于点，过点作椭圆的弦在椭圆上且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. (3)在第（2）问的条件下，当面积最大时，求直线MN的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 19．已知数列的前项和公式为，数列满足. (1)求数列的通项公式和； (2)若求数列的通项公式； (3)若数列满足，求. 20．已知函数，，． (1)若，求的极值； (2)当时，讨论零点个数； (3)当时，，求实数的取值范围． ． 试卷第1页，共3页 试卷第7页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A C A D B B C D A 9．A 若，，使成立， 则在上的取值范围要包含上的取值范围， 当时，，， 当时，，， 当时，，不合题意， 当时，，函数在单调递增， 则时，， 符合题意， 当时，我们进行如下讨论， 若时，，函数在单调递减， 若时，，函数在上单调递增， 当时，函数取最小值，最小值为， ， 所以，解得，所以， 综上的范围是. 故选：A. 10． 因为是纯虚数， 所以，解得， 故答案为：. 11． 展开项的通项公式为，， 令，解得， 所以， 所以项的系数为， 故答案为：. 12．（2）（4） 13． 根据全概率公式得装有紧急定位传送器飞机的比例为： ； 设事件“失踪的飞机后来被找到”， 事件“失踪的飞机后来未被找到”，事件“安装有紧急定位传送器”，则， ，，， 安装有紧急定位传送器的飞机失踪， 它被找到的概率为： ， 故答案为：；． 14． 设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为， 整理可得，解得， 且，所以， 故答案为：. 15． ； （1）(1)因为点D为AB的中点，所以. 又因为，根据向量加法，可得. 因为点E为CD的中点，所以，即. 再根据向量加法，可得. （2）因为，，所以. . ， 在中，，根据向量数量积公式， 可得.由， 根据余弦定理， 即. 根据基本不等式，可得，即. 将代入的表达式： 因为，，取得最大值，最大值为. 故答案为：；. 16．(1) (2)（i）；（ii） （1）因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为在中，， 所以， 则有， 因为，所以，， 故； （2）（i）由（1）知：，在中，因为，， 由余弦定理可得：， 则. （ii）在中，由正弦定理可得：， 即，所以， 因为，所以，则为锐角，所以， 则， ， 所以 17．（1）见解析 （2） （3） 解：本题可通过建立空间坐标系求解． 如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)． (1)证明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，∴B1C1⊥CE. (2)＝(1，－2，－1)． 设平面B1CE的法向量＝(x，y，z)， 则,即 消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为＝(－3，－2,1)． 由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量． 于是cos〈，〉＝＝＝－，从而sin〈，〉＝， 故二面角B1－CE－C1的正弦值为. (3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)． 设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量． 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则 sinθ＝|cos〈，〉|＝ ＝＝. 于是＝，解得λ＝ (λ＝－舍去)， ∴AM＝. 18．(1)； (2)是， (3)和 （1）由题意可知椭圆的半焦距， 由两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形得， ， 故椭圆的标准方程为. （2） 由已知得， 由图知，直线的倾斜角互补，即直线的斜率与的斜率互为相反数， 可设直线的方程为， 代入，消去得. 设， 所以，可得， 因直线PM的斜率与PN的斜率互为相反数， 所以在上式中以代替，可得， 所以直线的斜率， 即直线的斜率为定值. （3）由（1）已得， ,可设直线的方程为：， 代入，整理得：， 则，即， 设，则， 于是，， 点到直线的距离为， 则的面积为：， 因，则，故当时，取得最大值， 此时直线的方程为, 即和. 19．(1) (2) (3) （1）由，可得， 当时，对也成立， 所以； 因，， 故 （2）， ， 即有， 则，， 上面两式相减可得 ， 可得. （3）， ， 两式作差可得， 所以， 因为， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是能够理解数列的通项公式，然后将所求转化为求解即可. 20．．(1)极大值，无极小值 (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，，则， 令，解得， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 所以有极大值，无极小值． （2）， 令，则，因为，所以， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以， 设，则， 因为，所以，所以在单调递减， 又因为， 所以当时，，则，无零点； 当时，，有1个零点， 当时，，又，当时，，有2个零点． （3）， 因为时，， 所以， 两边同时取自然对数得，， 当时，成立， 当时，，则， 设， 则， 设， 则， 设， 则， 设， 则，所以在单调递增， 又，所以， 所以，则在单调递增， 又，所以， 所以，则在单调递增， 又，所以， 所以，则在单调递增， 又当时，，所以， 所以． 答案第1页，共2页 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$