第十二章全等三角形模型复习2024-2025学年人教版数学八年级上册

全等三角形模型复习 （1）手拉手模型 1.（2024南宁银海三美月考）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N．给出以下四个结论：①AE＝BD；②CN＝CM；③MN∥AB；④∠AMC＝∠BNC．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，△ABM和△CDM均为等边三角形，直线BC交AD于点F，点E、N分别为AD、BC的中点，下列结论：①AD＝BC；②ME⊥CB；③AF﹣BF＝MF；④△MNE为等边三角形；⑤MF平分∠BME．其中一定成立的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3.（2024南宁沛鸿中学月考）【问题初探】 △ABC和△DBE是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBE＝90°，DB＝EB，∴△ABD≌△CBE．依据的是判定定理 　 　． A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【类比探究】 （2）当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断AD与CE的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，，连接AC，BD，∠ACD＝45°，A到直线CD的距离为7，请求出△BCD的面积． 4.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD＝CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积保持不变；③△CDE面积的最大值为8；④DE长度的最小值为4；其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ （3）一线三等角 1．如图，已知AB＝12cm，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4cm，点P从点B向点A运动，每秒钟走1cm，点Q从点B向点D运动，每秒钟走2cm，两点同时出发，运动几秒钟后，△CPA与△PQB全等？ 2．如图，AB＝12cm，∠A＝∠B＝60°，AC＝BD＝9cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以x（cm/s）的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值是（　　） A．2 B．3或1.5 C．2或1.5 D．2或3 3.如图，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE，CD＝6，S△ACD＝12，则CE的长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 4．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　 　，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 　 　． A.50 B.62 C.65 D.68 [深入探究] 如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点； 5．【感知】如图①，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作∠EDF＝60°，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD＝CF．若DE⊥BC，则∠DFC的大小是　　度； 【探究】如图②，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作∠EDF＝60°，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD＝CF．求证：BE＝CD； 【应用】在图③中，若D是边BC的中点，且AB＝2，其它条件不变，如图③所示，则四边形AEDF的周长为　　． （4）倍长中线、半角模型 1．如图，已知AD是△ACB的中线，点E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝30°，则∠ACB＝　 　． 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE平分∠ABC，则下列结论：①∠AEB＝90°；②E为CD的中点；③BC+AD＝AB；④S△ABE＝S四边形ABCD，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 3．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，AD是△ABC的中线，若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长AD至点E．使ED＝AD．连接BE． 可以证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到到△ABE中，进而求出AD的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求AD的取值范围的过程； 【问题解决】 （2）如图②，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中： A．∠ACD＝∠BCD B．CE＝2CDC．∠BCD＝∠BCE D．CD＝CB 直接写出所有正确选项的序号是 　 　． 【问题拓展】 （3）如图③，在△ABO和△CDO中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是BD的中点，求证：OE＝AC． 4.定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β＝180°时，我们称是△A′B′C′，△ABC的“旋补三角形”，边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2，图3中，是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系AD＝　 　BC； ②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 　 　． 猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 5．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，请猜想图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，并证明你的猜想． （2）如图2，在新修的小区中，有块四边形绿地ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B+∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达经测量得到∠EAF∠BAD，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 6．已知在四边形ABCD中，AB＝AD，． （1）如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，线段EF、BE、FD之间的关系是 　 　； （2）如图2，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明； （3）如图3，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （5）截长补短、对角互补 1.（1）如图1，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC上一点，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．则线段AB、DC、AD的长度满足的数量关系为 　 　； （2）如图2，将（1）中的条件“∠B＝∠C＝90”改为“∠B+∠C＝180”，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请举出反例； （3）将（1）中的条件“∠B＝∠C＝90改为“∠B＝∠C＝120“，其他条件不变，试探究线段AB、DC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由． 2．在学习全等三角形的过程中，我们学会了用“截长补短”法来构造全等三角形，如图①，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝DC，若BD＝8cm，求四边形ABCD的面积． 解：延长BC至点E，使得CE＝AB，连接DE，可证明△ABD≌△CED（SAS），根据全等三角形的性质得DE＝BD＝8cm，∠BDE＝∠ADC＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝S△BDC+S△DEC＝S△BDE，那么四边形ABCD的面积就转化成△BDE的面积． （1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 　 　cm2； （2）如图②，在五边形ABCDE中，AB＝AE＝8cm，BC＝4cm，DE＝3cm，∠B＝∠E＝90°，AC，AD分别平分∠BCD，∠CDE，你是否可以用上面的方法求五边形ABCDE的面积呢？ 3.在△ABC中，AB＝AC，过点C作射线CB'，使∠ACB'＝∠ACB（点B'与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB'上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD＝90°． （1）如图1，当点E与点C重合时，AD与CB'的位置关系是 　 　，若BC＝a，则CD的长为 　 　；（用含a的式子表示） （2）如图2，当点E与点C不重合时，连接DE． ①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明． 4.如图1，将含30°的三角板DFF的直角顶点D放置在含45°的直角三角板ABC的斜边AC的中点位置上，两直角边分别交AB、BC于M、N，利用三角形的全等，发现DM与DN数量关系是 　 　；若AB＝5，BM＝x，BN＝y，y与x的函数关系式为：　 　； （2）若将三角板DEF绕顶点D旋转，两直角边分别与AB、BC的延长线交于M、N，如图2，（1）中的DM与DN数量关系是否改变？并说明理由； （3）若将三角板DEF的顶点D从中点处沿CA方向平移、旋转至△ADB≌△CND，如图3，其余条件不变，求证：BM＝BN． （6）做平行线构造全等、筝形 1．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 2.如图，△ABC是边长为7的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为 　 　． 3．（2024南宁37中月考）综合与实践 问题情境：已知在等边△ABC中，P是边AC上的一个定点．M是直线BC上的一个动点，以PM为边在PM的右侧作等边△PMN，连接CN．猜想证明： （1）如图1，当点M在BC边上时，过点P作PH∥AB交BC于点H，求证：MH＝NC； 问题解决： （2）如图2，当点M在CB的延长线上时，已知CP＝4，CM＝11．请求出CN的长； （3）如图3，当点M在BC的延长线上时，直接写出CP，CN，CM之间的数量关系． 4.在等边△ABC中，点O在BC边上，点D在AC的延长线上且OA＝OD． （1）如图1，若点O为BC中点，求∠COD的度数； （2）如图2，若点O为BC上任意一点，求证：AD＝AB+BO． （3）如图3，若点O为BC上任意一点，点D关于直线BC的对称点为点P，连接AP，OP，请判断△AOP的形状，并说明理由． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝9，点P从点B出发沿线段BA向点A移动，点Q同时从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P与点Q移动的速度相同，线段PQ与线段BC相交于点D． （1）如图①，当∠A＝60°，QP⊥AB时，求证：AP＝2CD； （2）如图②，过点P作PE⊥BC于点E，在PQ移动的过程中，DE的长是否发生变化，若改变，请说明理由；若不变，请求出其值． 6.（2024南宁37中月考）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个等形，其中AD＝CD，AB＝CB，小明在探究筝形的性质时，连接AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　） A．BD平分∠ABC B．BD垂直平分AC C． D．AO+DO＝BO 7.（2024南宁武鸣月考）【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容． 如图1，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探究】 （1）如图1，连接筝形ABCD的对角线AC、BD交于点O，试探究筝形ABCD的性质，并填空：对角线AC、BD的关系是：　 　；图中∠ADB、∠CDB的大小关系是：　 　； 【概念理解】 （2）如图2，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，△EAB与△DAB关于AB所在的直线对称，△FAC与△DAC关于AC所在的直线对称，延长EB，FC相交于点G．请写出图中所有的“筝形”，并选择其中一个进行证明； 【应用拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，连接EF，分别交AB、AC于点M、H．求证：∠BAC＝∠FEG． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$