专题03 轴对称（8基础题型+6提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（山西专用）

专题03 轴对称 线段垂直平分线的性质 1. （2024春•芮城县期末）如图，在△中，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，若，，则△的周长为　　 A．6.2 B．5.2 C．7.2 D．4.2 2. （2024春•晋中期末）如图，中，，边的垂直平分线交于点，连接，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 3. （2022秋•山西期末）如图，中，的平分线交于，过点作，，垂足为点、，下面四个结论中：①；②垂直平分；③；④，正确的是　　 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 4. （2023秋•右玉县期末）如图，在中，是边的垂直平分线，，，则的周长为 　 　． 5. （2022秋•襄汾县期末）如图，在中，，的垂直平分线交的延长线于点，垂足为，．则　 　． 等腰三角形的性质与判定 1. （2022秋•离石区期末）如图，的两个内角的平分线，相交于点，过点作分别交，于点，，若的周长为15，，则的周长为　　 A．15 B．19 C．23 D．31 2. （2023秋•怀仁市期末）如果等腰三角形的底边长，那么这个等腰三角形腰长的取值范围是　　 A． B． C． D． 3. （2023秋•太原期末）在中，，，．以为底在内部作等腰，连接，若，则的长为 　　． 4. （2024春•晋中期末）如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点是跷跷板的中点（即，支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板，两端，当端落地时，，则上下可转动的最大角度　 　． 5. （2024春•侯马市期末）在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求各边的长？ 6. （2023秋•阳泉期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的度数． 7. （2022秋•阳城县期末）在中，点，点分别是边，上的点，且，连接，交于点，． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，求的度数． 等边三角形的性质与判定 1. （2023春•洪洞县期末）如图，在正中，点是边上任意一点，过点作于，交于点，则的度数为　　 A． B． C． D． 2. （2023春•运城期末）如图，，等边的顶点，分别在，上，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 3. （2022秋•交口县期末）如图，已知是等边三角形，是边上的一个动点（异于点、，过点作，垂足为，的垂直平分线分别交、于点、，连接，．当点在边上移动时，有下列三个结论：①一定为等腰三角形；②一定为等边三角形；③可能为等腰三角形．其中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4. （2022秋•离石区期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： 　　（填“”、“ ”或“” ． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， 　　（填“”、“ ”或“” ；理由如下，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若△的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 含30度角的直角三角形 1. （2022秋•鄱阳县期末）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形，若，是的中点，，则的长为　　 A． B． C． D． 2. （2022秋•右玉县期末）已知，如图，中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为　　 A． B． C． D． 3. （2022秋•交口县期末）如图，在中，已知，，，边的垂直平分线交于，交于，且，则的长是　　 A． B． C． D． 4. （2022秋•朔城区校级期末）在中，，斜边的长为10，则的长为　　 A．12 B．20 C．10 D．5 5. （2022秋•平城区校级期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，求的长． 作图 1. （2023春•太原期末）如图，已知按如下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交和于点，； ②分别以点，为圆心、长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线； ④连接，． 由作图可知的度数为　　 A． B． C． D． 2. （2022秋•尧都区期末）在方格纸上画图并回答问题．如图，已知，，三个点． （1）画射线； （2）过点作的垂线，垂足为点； （3）过点作的平行线，交于点； 写出图中的对顶角：　　． 3. （2023春•榆次区校级期末）如图，在中，，． （1）尺规作图：①作边的垂直平分线交于点； ②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 轴对称的性质 1. （2024春•侯马市期末）初一七年级数学下册阅读材料《》中，有这样一段话：（对称的），，请根据材料回答下列问题：　　 A． B． C． D． 2. （2023春•万荣县校级期末）如图为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有　　 A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 3. （2023春•临汾期末）如图，在中，，垂足为，与关于直线对称，点的对称点落在边上．若，平分，则的度数为　　 A． B． C． D． 4. （2023春•潞城区校级期末）如图，在中，，点，分别在边，上，连接，且和关于直线对称． （1）若，则的度数为 　　； （2）若，，且的周长为36．求的周长． 轴对称图形与镜面对称 1. （2023春•襄汾县期末）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 2. （2023春•潞城区校级期末）中国的剪纸艺术源远流长，是中国传统民间社会的一种特有的民俗文化形式，是中华优秀传统文化的重要组成部分，至今已有3000多年的历史．下列剪纸艺术图案中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 3. （2023春•万荣县校级期末）下列汉字可以看作轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 4. （2023春•盐湖区期末）每年三月份最后一周的星期一是全国中小学生安全教育日，为了警示学生，学校的许多场地都张贴了安全标志，如图是部分安全标志的图片，其文字上方的图案是轴对称图形的是　　 A．注意安全 B．当心触电 C．当心火灾 D．当心爆炸 5. （2023春•临汾期末）2023年5月16日，习近平总书记考查了山西运城博物馆和运城盐湖，在运城博物馆考查时强调：要全面提升文物保护利用和文化遗产保护传承水平．以下是一些博物馆的徽标，下列图案中除文字以外其余的部分是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 6. （2022秋•汾阳市期末）如图，这是平面镜成像的示意图，若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为轴，平面镜所在点的竖线为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，某时刻火焰顶部的坐标是，则此时对应的虚像的坐标是　　 A． B． C． D． 7. （2022秋•芮城县期末）小刚从镜子中看到的电子表的读数是，则电子表的实际度数是　　． 关于x轴、y轴对称的点的坐标 1. （2023秋•夏县期末）春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 2. （2023秋•交口县期末）已知点与点关于轴对称，则的值是　　 A．1 B．2023 C． D． 3. （2023秋•太原期末）已知点的坐标为，它关于轴的对称点的坐标为　　 A． B． C． D． 4. （2024春•阳城县校级期末）在平面直角坐标系中，点 关于轴对称的点的坐标　　 A． B． C． D． 5. （2023秋•忻州期末）平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　 A． B． C． D． 作图 1. （2022秋•稷山县期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第2022次变换后点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 2. （2022秋•万荣县期末）如图，的顶点都在正方形网格格点上，点的坐标为．将沿轴翻折到第一象限，则点的对应点的坐标是　　． 3. （2022秋•山西期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1． （1）分别画出关于轴、轴对称的△和△． （2）分别写出△和△各顶点的坐标． 4. （2024春•平陆县期末）如图，网格中的与为轴对称图形． （1）利用网格线作出与的对称轴； （2）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积　 　； （3）在网格中画出以为一边且与全等（不与重合）的△． 5. （2023秋•运城期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的； （2）的面积是 　 　； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 三角形中的8字和A字模型 1. （2023春•侯马市期末）问题情景 如图1，中，有一块直角三角板放置在上点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 试问与是否存在某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若，则　 　度，　　度，　　 度； （2）类比探索：请探究与的关系． （3）类比延伸：如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论． 2. （2022秋•芮城县期末）综合与实践 如图1，线段与相交于点，连接，，我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系． （1）请通过观察、测量，猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作与的平分线交于点，若，，求的度数； （3）智慧小组在图1的基础上，分别作射线，，使得，，两条射线交于点，请直接写出，，之间的数量关系． 3. （2022秋•运城期末）一个三角形纸片沿折叠，使点落在点处．（点在的内部） （1）如图1，若，则　 　． （2）利用图1，探索，与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中得出的结论求的度数． 三角形的新定义 1. （2022秋•稷山县期末）定义：当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为，那么倍角的度数是 　 　． 2. （2022秋•榆次区校级期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”， （1）观察“规形图”，直接写出与、、之间的关系：　　； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，，则　　； ②如图3，平分，平分，若，，则　　； ③如图4，，的10等分线相交于点、、，若，，则　　． 三角形的综合 1. （2023春•侯马市期末）如图，的度数为　　 2. （2023春•襄汾县期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系呢？如图1，在五边形中，，是它的两个外角，．下面是该结论的证明过程（部分） 五边形的内角和为， ． （1）按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分． （2）知识应用：如图2，在五边形中，，分别是和的平分线，若，求的度数； （3）拓展提升：如图3，，，则　　． 3. （2023春•洪洞县期末）在中，于点． 特例研究： （1）如图1，若的平分线能交于点，，，求的度数； 操作发现： 如图2，点，分别在线段，，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点，都在射线上； （2）若，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）将绕点逆时针旋转，旋转角记为．记旋转中的为△，在旋转过程中，点，的对应点分别为，，直线，与直线交于点，与直线交于点．若，，请直接写出旋转角的度数． 等腰三角形的存在问题 1. （2022秋•平遥县期末）在平面直角坐标系中有一点，连接，在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，则点的坐标不能是　　 A． B． C． D． 2. （2022秋•曲沃县期末）如图，在中，，，的平分线交于点，过点作的平行线，交于点．则图中的等腰三角形有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3. （2022秋•右玉县期末）如图，已知点是射线上一动点，，当为　 　时，是等腰三角形． 三角形的动态问题 1. （2022秋•忻府区期末）如图1，点、分别是等边△边、上的动点（端点除外），点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点． （1）求证：△△； （2）当点、分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 2. （2022秋•鄱阳县期末）动点问题是数学学习中常见的问题，解决此类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活解决问题．如图，在等边三角形中，，点在线段上从点出发向点运动（点不与点重合），点运动的速度为；点在线段上从点出发向点运动（点不与点重合），点运动的速度为，设点，同时运动，运动时间为 ． （1）在点，运动过程中，经过几秒时为等边三角形？ （2）在点，运动过程中，若某时刻为直角三角形，请计算运动时间． 求最值 1. （2022秋•代县期末）如图，等边中，为中点，点、分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值为　　 A．7 B．8 C．10 D．12 2. （2023春•榆次区校级期末）如图，等腰中，，，是等边三角形，点是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为　　 A．16 B．20 C．24 D．32 3. （2022秋•运城期末）如图，中，，，，点为边上的动点，过点作于点，则的最小值为 　　． 4. （2023秋•大同期末）如图，在中，，，的面积是42，的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 　 　． 5. （2023秋•运城期末）如图，在平面直角坐标系中，直线是一、三象限的角平分线，点是直线上的一个动点，，是轴上的两个点，则的最小值为 　　． 6. （2024春•侯马市期末）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称 线段垂直平分线的性质 1. （2024春•芮城县期末）如图，在△中，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，若，，则△的周长为　　 A．6.2 B．5.2 C．7.2 D．4.2 【分析】根据垂直平分线的性质可得，则求解即可． 【解答】解：的垂直平分线分别交、于点、 ， ， ， ，， ． 故选：． 2. （2024春•晋中期末）如图，中，，边的垂直平分线交于点，连接，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，根据三角形外角的性质得，最后利用等边对等角即可解答． 【解答】解：点在的垂直平分线上， ， ， ， ， ， ． 故选：． 3. （2022秋•山西期末）如图，中，的平分线交于，过点作，，垂足为点、，下面四个结论中：①；②垂直平分；③；④，正确的是　　 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【分析】根据角平分线的性质得到，根据垂直的定义、等腰三角形的性质判断①；根据线段垂直平分线的判定定理判断②；根据三角形的面积公式判断③，结合题意判断④． 【解答】解：的平分线交于，，， ， ，又， ，①正确； ， ，又， 垂直平分，②正确； ，③正确； 与不一定平行，④错误， 故选：． 4. （2023秋•右玉县期末）如图，在中，是边的垂直平分线，，，则的周长为 　 　． 【分析】根据线段垂直平分线的性质求出，求出三角形的周长，代入求出即可． 【解答】解：是的垂直平分线， ， ，， 的周长是， 故答案为34． 5. （2022秋•襄汾县期末）如图，在中，，的垂直平分线交的延长线于点，垂足为，．则　 　． 【分析】设，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，结合图形列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设， ， ， 是的外角， ， 是的垂直平分线， ， ， 由题意得，， 解得，， 故答案为：23． 等腰三角形的性质与判定 1. （2022秋•离石区期末）如图，的两个内角的平分线，相交于点，过点作分别交，于点，，若的周长为15，，则的周长为　　 A．15 B．19 C．23 D．31 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可知，，根据的周长可知的长，进一步可得的周长． 【解答】解：的两个内角的平分线，相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 的周长为15， ， ， 的周长为， 故选：． 2. （2023秋•怀仁市期末）如果等腰三角形的底边长，那么这个等腰三角形腰长的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据等腰三角形两腰相等和三角形中任意两边之和大于第三边列不等式，求解即可． 【解答】解：等腰三角形的底边长，等腰三角形的两腰相等，且三角形中任意两边之和大于第三边 故选：． 3. （2023秋•太原期末）在中，，，．以为底在内部作等腰，连接，若，则的长为 　　． 【分析】过点作于，于，则四边形为矩形，根据等腰三角形的性质得，则，利用勾股定理可求出，进而得，进而再利用勾股定理即可求出的长． 【解答】解：过点作于，于，如图所示： ， 四边形为矩形， ， 是以为底边的等腰三角形，， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：． 故答案为：． 4. （2024春•晋中期末）如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点是跷跷板的中点（即，支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板，两端，当端落地时，，则上下可转动的最大角度　 　． 【分析】根据题意可得：，从而利用平行线的性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，最后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：， ， ， ， ， 故答案为：40． 5. （2024春•侯马市期末）在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求各边的长？ 【分析】各边为，，或，， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义．根据题意可得，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 【解答】解：由题意可得是边上的中线， ， 的周长为，， ，即， 如图1，当时，，， （图 ， 又， ，， 三边分别为，，．符合三角形三边关系； 如图2，当时，，， （图 ， ， 又， ，， 三边分别为，，，符合三角形三边关系； 综上，各边为，，或，，． 6. （2023秋•阳泉期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的度数． 【分析】由可得，根据可证，再根据全等三角形的性质即可求解． 【解答】解：， ，即， 在与中， ， ， ． 7. （2022秋•阳城县期末）在中，点，点分别是边，上的点，且，连接，交于点，． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，求的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，，根据角的和差得到，于是得到结论； （2）根据三角形的内角和得到，推出是等边三角形，求得，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：，，， ， ，， ， ， 即， 是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 等边三角形的性质与判定 1. （2023春•洪洞县期末）如图，在正中，点是边上任意一点，过点作于，交于点，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据等边三角形的性质得出，根据直角三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可． 【解答】解：是等边三角形， ， 交于，于， ， ， ， 故选：． 2. （2023春•运城期末）如图，，等边的顶点，分别在，上，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】由是等边三角形，得到，求出，由平行线的性质得到． 【解答】解：是等边三角形， ， ， ， ， ． 故选：． 3. （2022秋•交口县期末）如图，已知是等边三角形，是边上的一个动点（异于点、，过点作，垂足为，的垂直平分线分别交、于点、，连接，．当点在边上移动时，有下列三个结论：①一定为等腰三角形；②一定为等边三角形；③可能为等腰三角形．其中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】的垂直平分线分别交、于点、，得，即可求解，故①正确；由题意，，易得，得一定为等边三角形，故②正确；，，，得不可能为等腰三角形，故③错误； 【解答】解：的垂直平分线分别交、于点、， ， 一定为等腰三角形，故①正确； ，， ， ， 又是等边三角形， ， 中，， 一定为等边三角形； 故②正确； ，， ， 不可能为等腰三角形． 故③错误； 故选：． 4. （2022秋•离石区期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： 　　（填“”、“ ”或“” ． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， 　　（填“”、“ ”或“” ；理由如下，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若△的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【分析】（1）由为等边三角形边的中点，利用三线合一得到垂直于，且为角平分线，由，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； （2），理由如下，过点作，交于点，由三角形为等边三角形，得到三角形为等边三角形，进而得到，，再由，以及等式的性质得到夹角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证； （3）点在延长线上时，如图所示，同理可得△△，由求出的长即可． 【解答】解：（1）当为的中点时，； （2），理由如下，过点作，交于点， 证明：△为等边三角形， △为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， 则； （3）点在延长线上时，作，则△为等边三角形， 如图所示，同理可得△△， ，， ， ， 则． 故答案为：（1）；（2） 含30度角的直角三角形 1. （2022秋•鄱阳县期末）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形，若，是的中点，，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【解答】解：，是的中点， ， ， ， ， 故选：． 2. （2022秋•右玉县期末）已知，如图，中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】连接、、由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出，结合线段垂直平分线的性质可证明为等边三角形，即可证明，进而可求解． 【解答】解：连接、、过作于， 在中，，，， ， 的垂直平分线， ， ， ， 同理，， 是等边三角形， ， ， 故选：． 3. （2022秋•交口县期末）如图，在中，已知，，，边的垂直平分线交于，交于，且，则的长是　　 A． B． C． D． 【分析】利用线段垂直平分线的性质得，利用等腰三角形的性质得且，再利用外角的性质得，解直角三角形即可得的值． 【解答】解；边的垂直平分线交于，交于（已知） （线段垂直平分线的性质） 且（等腰三角形的性质） （外角性质） ． 故选：． 4. （2022秋•朔城区校级期末）在中，，斜边的长为10，则的长为　　 A．12 B．20 C．10 D．5 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【解答】解：在中，，斜边的长为10， ， 故选：． 5. （2022秋•平城区校级期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，求的长． 【分析】根据线段垂直平分线的性质求出，求出，求出，根据含角的直角三角形的性质求出即可． 【解答】解：是线段的垂直平分线， ， ， ， 又 ， ， 在中，， ， ． 作图 1. （2023春•太原期末）如图，已知按如下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交和于点，； ②分别以点，为圆心、长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线； ④连接，． 由作图可知的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先判定四边形是菱形，再根据菱形的性质求解． 【解答】解：由作图得：，平分． 四边形是菱形，， ， ， 故选：． 2. （2022秋•尧都区期末）在方格纸上画图并回答问题．如图，已知，，三个点． （1）画射线； （2）过点作的垂线，垂足为点； （3）过点作的平行线，交于点； 写出图中的对顶角：　　． 【分析】（1）连接并无限延长； （2）连接点和射线上位于和之间的一个格点即可得到射线的垂线； （3）利用网格中的平行线直接作出的平行线即可，然后利用对顶角的定义写出的对顶角即可． 【解答】解：解答如图： 的对顶角为． 3. （2023春•榆次区校级期末）如图，在中，，． （1）尺规作图：①作边的垂直平分线交于点； ②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 【分析】（1）利用尺规作出线段的垂直平分线，交于，交于，连接；作的角平分线交于，点，射线即为所求． （2）首先证明，推出，利用三角形内角和定理求出，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，点，射线即为所求． （2）垂直平分线段， ， ， ， ， ， 平分， ． 轴对称的性质 1. （2024春•侯马市期末）初一七年级数学下册阅读材料《》中，有这样一段话：（对称的），，请根据材料回答下列问题：　　 A． B． C． D． 【分析】理解的对称轴的位置即可得到答案． 【解答】解：由题意可得：是轴对称，对称轴是一条水平的直线； 也是轴对称； 故选：． 2. （2023春•万荣县校级期末）如图为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有　　 A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【分析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【解答】解：①边上的中线：如图1，使点、重合，中点为点，连接，此时即为边上的中线； ②的平分线：如图2，沿直线折叠，使与重叠，此时即为边上的角平分线； ③边上的高：如图3，沿直线折叠，使与重合，此时即为边上的高． 综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③． 故选：． 3. （2023春•临汾期末）如图，在中，，垂足为，与关于直线对称，点的对称点落在边上．若，平分，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】设，则，构建方程求解即可． 【解答】解：设，则， 平分， ， ， ， ， ， ． ， 与关于直线对称， ． 故选：． 4. （2023春•潞城区校级期末）如图，在中，，点，分别在边，上，连接，且和关于直线对称． （1）若，则的度数为 　　； （2）若，，且的周长为36．求的周长． 【分析】（1）利用，根据直角三角形两个锐角互余和轴对称性质即可； （2）根据条件可得，解得、，利用轴对称将三角形周长转化成即可． 【解答】解：（1）和关于直线对称， ， 又， ． 故答案为：． （2）的周长为36， ． ，， ，解得：， ． 和关于直线对称， ， 的周长． 轴对称图形与镜面对称 1. （2023春•襄汾县期末）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 【解答】解：、不是轴对称图形，故此选项错误； 、是轴对称图形，故此选项正确； 、不是轴对称图形，故此选项错误； 、不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：． 2. （2023春•潞城区校级期末）中国的剪纸艺术源远流长，是中国传统民间社会的一种特有的民俗文化形式，是中华优秀传统文化的重要组成部分，至今已有3000多年的历史．下列剪纸艺术图案中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 【解答】解：、图案不是轴对称图形，不符合题意； 、图案不是轴对称图形，不符合题意； 、图案不是轴对称图形，不符合题意； 、图案是轴对称图形，符合题意； 故选：． 3. （2023春•万荣县校级期末）下列汉字可以看作轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：汉字“振”、“兴”、“中”、“华”四个字中，只有“中”沿中间的竖线折叠，直线两旁的部分能完全重合，则“中”是轴对称图形， 故选：． 4. （2023春•盐湖区期末）每年三月份最后一周的星期一是全国中小学生安全教育日，为了警示学生，学校的许多场地都张贴了安全标志，如图是部分安全标志的图片，其文字上方的图案是轴对称图形的是　　 A．注意安全 B．当心触电 C．当心火灾 D．当心爆炸 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 【解答】解：选项、、不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．选项能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 5. （2023春•临汾期末）2023年5月16日，习近平总书记考查了山西运城博物馆和运城盐湖，在运城博物馆考查时强调：要全面提升文物保护利用和文化遗产保护传承水平．以下是一些博物馆的徽标，下列图案中除文字以外其余的部分是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：、，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 6. （2022秋•汾阳市期末）如图，这是平面镜成像的示意图，若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为轴，平面镜所在点的竖线为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，某时刻火焰顶部的坐标是，则此时对应的虚像的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】利用关于轴对称点的性质得出答案． 【解答】解：某时刻火焰顶部的坐标是，则此时对应的虚像的坐标是． 故选：． 7. （2022秋•芮城县期末）小刚从镜子中看到的电子表的读数是，则电子表的实际度数是　　． 【分析】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的5实际应为2． 【解答】解：如图： 电子表的实际时刻是． 故答案为． 关于x轴、y轴对称的点的坐标 1. （2023秋•夏县期末）春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据关于轴对称点的坐标特点（横坐标互为相反数，纵坐标不变）可得答案． 【解答】解：，两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为， 点的坐标为． 故选：． 2. （2023秋•交口县期末）已知点与点关于轴对称，则的值是　　 A．1 B．2023 C． D． 【分析】关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得、的值，再代入计算可得答案． 【解答】解：点与点关于轴对称， ，， 解得，， ． 故选：． 3. （2023秋•太原期末）已知点的坐标为，它关于轴的对称点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特点可得答案． 【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故选：． 4. （2024春•阳城县校级期末）在平面直角坐标系中，点 关于轴对称的点的坐标　　 A． B． C． D． 【分析】根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【解答】解：点关于轴的对称点坐标为． 故选：． 5. （2023秋•忻州期末）平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：点关于轴对称的点的坐标是 故选：． 作图 1. （2022秋•稷山县期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第2022次变换后点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，解答即可． 【解答】解：点第一次关于轴对称后在第二象限， 点第二次关于轴对称后在第三象限， 点第三次关于轴对称后在第四象限， 点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， 余2， 经过第2022次变换后所得的点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为． 故选：． 2. （2022秋•万荣县期末）如图，的顶点都在正方形网格格点上，点的坐标为．将沿轴翻折到第一象限，则点的对应点的坐标是　　． 【分析】由点的坐标为，即可求得点的坐标，又由将沿轴翻折到第一象限，即可得点与关于轴对称，则可求得点的坐标． 【解答】解：如图：点的坐标为， 点的坐标为， 将沿轴翻折到第一象限， 点的对应点的坐标是． 故答案为：． 3. （2022秋•山西期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1． （1）分别画出关于轴、轴对称的△和△． （2）分别写出△和△各顶点的坐标． 【分析】（1）分别利用关于轴以及轴对称点的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）根据图象得到各点的坐标． 【解答】解：（1）如图所示：△和△即为所求， （2），，，，，． 4. （2024春•平陆县期末）如图，网格中的与为轴对称图形． （1）利用网格线作出与的对称轴； （2）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积　 　； （3）在网格中画出以为一边且与全等（不与重合）的△． 【分析】（1）结合轴对称的性质，连接，作线段的垂直平分线，则直线即为所求． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）根据全等三角形的判定作图即可． 【解答】解：（1）如图，连接，作线段的垂直平分线， 则直线即为所求． （2）的面积为． 故答案为：3． （3）如图，△即为所求． 5. （2023秋•运城期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的； （2）的面积是 　 　； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【分析】（1）先利用关于轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （3）设点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后求出得到点坐标． 【解答】解：（1）如图，和为所作； （2）的面积； 故答案为4； （3）设点坐标为， 的面积为4， ， 解得或10， 点坐标为或． 三角形中的8字和A字模型 1. （2023春•侯马市期末）问题情景 如图1，中，有一块直角三角板放置在上点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 试问与是否存在某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若，则　 　度，　　度，　　 度； （2）类比探索：请探究与的关系． （3）类比延伸：如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论． 【分析】（1）已知，根据三角形内角和定理易求的度数．已知，根据三角形内角和定理易求的度数，进而得到的度数； （2）由（1）中的度数，的度数，相减即可得到与的关系． （3）由于在中，，同理在中，，相减即可得到． 【解答】解：（1）， ， ， ， ． 故答案为：130，90，40； （2）结论：． 证明：， ， ． （3）不成立； 存在． 理由：中，， ， ， ， 即， ． 2. （2022秋•芮城县期末）综合与实践 如图1，线段与相交于点，连接，，我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系． （1）请通过观察、测量，猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作与的平分线交于点，若，，求的度数； （3）智慧小组在图1的基础上，分别作射线，，使得，，两条射线交于点，请直接写出，，之间的数量关系． 【分析】（1）利用三角形内角和定理，对顶角相等证明即可； （2）设，，根据方程组解决问题即可； （3）结论：．设，，则，，构建方程组求解． 【解答】解：（1）理由：，，， ． （2）设，， 根据和的角平分线相交于点可知： ，， 三角形的内角和等于，，， ，即①． 是与的外角， ，即②． 同理，是与的外角， ，即③， ①②得，④， ①③得，⑤， ④代入⑤得，， ， 解得； （3）结论：． 理由：设，，则，， ， 由①可得， 由②可得， ， ， 3. （2022秋•运城期末）一个三角形纸片沿折叠，使点落在点处．（点在的内部） （1）如图1，若，则　 　． （2）利用图1，探索，与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中得出的结论求的度数． 【分析】（1）根据翻折变换的性质用、表示出和，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用、表示出和，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）由、是的两个外角知、，据此得，继而可得答案； （3）由（1）知，根据平分，平分知．利用可得答案． 【解答】解：（1）点沿折叠落在点的位置， ，， ，， 在中，， ， 整理得； 故答案为：90； （2）， 理由：、是的两个外角， ，， ， ， 即； （3）由（1），得， ， 平分，平分， ． ， ． 三角形的新定义 1. （2022秋•稷山县期末）定义：当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为，那么倍角的度数是 　 　． 【分析】根据三角形内角和定理以及分类讨论的思想解决本题． 【解答】解：设这个“倍角”三角形的三个内角分别为、、，其中，则可能出现以下几种情况： ①当时，则； ②当时，则，该种情况不存在； ③当时，则，故，． 综上：或． 故答案为：或． 2. （2022秋•榆次区校级期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”， （1）观察“规形图”，直接写出与、、之间的关系：　　； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，，则　　； ②如图3，平分，平分，若，，则　　； ③如图4，，的10等分线相交于点、、，若，，则　　． 【分析】（1）首先连接并延长，然后根据外角的性质，即可判断出； （2）①由（1）可得，然后根据，，即可求出的值；②由（1）可得，再根据，，求出的值；然后根据，即可求出的度数；③设，，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出的度数． 【解答】解：（1），理由如下： 如图，连接并延长． 根据外角的性质，可得，， 又，， ， 故答案为：； （2）①由（1）可得， ，， ， 故答案为：48； ②由（1）可得， ， ， ， 故答案为：90； ③设，， 则，， 则，， 解得 所以 即的度数为， 故答案为：62． 三角形的综合 1. （2023春•侯马市期末）如图，的度数为　　 【分析】根据三角形外角的性质和四边形内角和等于可得的度数． 【解答】解：如图， ，， ， 故答案为：． 2. （2023春•襄汾县期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系呢？如图1，在五边形中，，是它的两个外角，．下面是该结论的证明过程（部分） 五边形的内角和为， ． （1）按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分． （2）知识应用：如图2，在五边形中，，分别是和的平分线，若，求的度数； （3）拓展提升：如图3，，，则　　． 【分析】（1）根据五边形内角和表示出的值，根据邻补角定义表示出的值，即可求解； （2）由（1）中的结论，求出，再根据角平分线定义求出的值，再根据三角形内角和定理即可求解； （3）根据已知条件求出的值，再由（1）中的结论，求出的值，进而可求的度数． 【解答】（1）证明：五边形的内角和为， ． ， ，， ， ， ； （2）解：由（1）得， ， ， 平分，平分， ，， ， ； （3）解：， ， ，， ， 由（1）得， ， ， ． 故答案为：． 3. （2023春•洪洞县期末）在中，于点． 特例研究： （1）如图1，若的平分线能交于点，，，求的度数； 操作发现： 如图2，点，分别在线段，，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点，都在射线上； （2）若，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）将绕点逆时针旋转，旋转角记为．记旋转中的为△，在旋转过程中，点，的对应点分别为，，直线，与直线交于点，与直线交于点．若，，请直接写出旋转角的度数． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解决问题； （2）结论：．由翻折可知，，由得出，再根据三角形外角的性质可得出，从而得出结论； （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【解答】解：（1）， ． 又， ． ， ． 平分， ， ． （2）结论：．理由： 由折叠可知：，， ， ， ， ， 即， ． （3）旋转角的度数为或． ①当时， ， ， 将折叠，点落在点处，折痕为，将绕点逆时针旋转一个角度， ， ， ， ； ②当时， ， ， 将折叠，点落在点处，折痕为，将绕点逆时针旋转一个角度， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ． 综上所述，旋转角的度数为或． 等腰三角形的存在问题 1. （2022秋•平遥县期末）在平面直角坐标系中有一点，连接，在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，则点的坐标不能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理求出，分两种情况①当，②分别计算即可求出结论． 【解答】解：， ，设的坐标为，则． ①当，则， ； ②， 过作轴于， ， ， ； 综上所述：点的坐标为，，． 故选：． 2. （2022秋•曲沃县期末）如图，在中，，，的平分线交于点，过点作的平行线，交于点．则图中的等腰三角形有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据，，得是等腰三角形，，根据的平分线交于点，；再根据平行线的性质，等腰三角形的判定即可． 【解答】解：中，，， 是等腰三角形，， 的平分线交于点， ， 是等腰三角形； ，， ， 是等腰三角形； ， ，， 是等腰三角形； 在中，， ， 是等腰三角形， 图中的等腰三角形有5个， 故选：． 3. （2022秋•右玉县期末）如图，已知点是射线上一动点，，当为　 　时，是等腰三角形． 【分析】若为等腰三角形则有、和三种情况，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得的值． 【解答】解：若为等腰三角形则有、和三种情况， ①当时，则有， ； ②当时，则； ③当时，则， 综上可知为或或， 故答案为：或或． 三角形的动态问题 1. （2022秋•忻府区期末）如图1，点、分别是等边△边、上的动点（端点除外），点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点． （1）求证：△△； （2）当点、分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用证明△△； （2）由△△根据全等三角形的性质可得，从而得到； （3）由△△根据全等三角形的性质可得，从而得到． 【解答】（1）证明：△是等边三角形 ，， 又点、运动速度相同， ， 在△与△中， ， △△； （2）解：点、在运动的过程中，不变． 理由：△△， ， ， （6分） （3）解：点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变．（7分） 理由：△△， ， ， ． 2. （2022秋•鄱阳县期末）动点问题是数学学习中常见的问题，解决此类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活解决问题．如图，在等边三角形中，，点在线段上从点出发向点运动（点不与点重合），点运动的速度为；点在线段上从点出发向点运动（点不与点重合），点运动的速度为，设点，同时运动，运动时间为 ． （1）在点，运动过程中，经过几秒时为等边三角形？ （2）在点，运动过程中，若某时刻为直角三角形，请计算运动时间． 【分析】（1）由等边三角形的判定，当时，是等边三角形，由此即可解决问题； （2）分两种情况，由直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）点运动的速度为，点运动的速度为， ，， 当时，是等边三角形， ， ， 在点，运动过程中，经过1.2秒时为等边三角形． （2）①当时， ， ， ， ， ， ②当时，， ， ， ， 在点，运动过程中，若为直角三角形，或． 求最值 1. （2022秋•代县期末）如图，等边中，为中点，点、分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值为　　 A．7 B．8 C．10 D．12 【分析】作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值， 【解答】解：如图，是等边三角形， ， 为中点，，， ， 作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为10． 故选：． 2. （2023春•榆次区校级期末）如图，等腰中，，，是等边三角形，点是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为　　 A．16 B．20 C．24 D．32 【分析】连接，根据垂直平分，即可得到，再根据当、、在同一直线上时，的最小值为线段长，即可得出的最小值为20． 【解答】解：如图，连接， 点是的角平分线上一动点，， 垂直平分， ， ， 当、、在同一直线上时，的最小值为线段长， 又是等边三角形，， 的最小值为20， 故选：． 3. （2022秋•运城期末）如图，中，，，，点为边上的动点，过点作于点，则的最小值为 　　． 【分析】作点关于的对称点，过点作于点，交于点，点即为所求作的点，此时有最小值，连接，根据对称性的性质，，证明△，根据，即可求出的最小值． 【解答】解：如图，作点关于的对称点， 过点作于点，交于点， 点即为所求作的点，此时有最小值， 连接，根据对称性的性质， ， 在中，，，， ， ，，， △， ， 即， ， ． 故答案为：． 4. （2023秋•大同期末）如图，在中，，，的面积是42，的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 　 　． 【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【解答】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：17． 5. （2023秋•运城期末）如图，在平面直角坐标系中，直线是一、三象限的角平分线，点是直线上的一个动点，，是轴上的两个点，则的最小值为 　　． 【分析】作出点关于直线的对称点，连接，，可以得到的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【解答】解：作出点关于直线的对称点，连接，，如图， 由对称性可知：， ， 的最小值为的长， ，， ，， 在△中， 由勾股定理，得． 故答案为：． 6. （2024春•侯马市期末）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，　　． 【分析】作点关于、的对称点、，连接分别交、于点、，连接、、、，则当点与点重合，点与点重合时，的周长最小，则易得的大小． 【解答】解：如图，作点关于、的对称点、，连接分别交、于点、，连接、、、， 由对称性知：，，，， ， 当点与点重合，点与点重合时，的周长最小； ，， ，， ，， ， ， ， ， 此时， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$