专题06 平面向量初步（5大基础题+2大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019）

专题06 平面向量初步 向量的概念 1（多选）（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【答案】AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确； 根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误； 向量不能够比较大小，故C错误； 根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确. 故选：AD. 2（多选）（23-24高一上·辽宁·期末）下列命题正确的是（    ） A．数轴上零向量的坐标为0 B．若与都是单位向量，则的最小值为0 C．若，则 D．若，则线段的中点坐标为 【答案】ABD 【分析】根据题意可直接判断A正确；当与方向相反时，可知B正确；利用两点间的距离公式计算可知C错误；利用中点坐标公式进行计算可知D正确. 【详解】数轴上零向量的坐标为正确. 若与都是单位向量，当方向相反时， 的最小值为正确. 若，则，错误. 若，则线段的中点坐标为，正确. 故选：ABD. 平面向量的线性运算 1（23-24高一上·北京西城·期末）如图，在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六边形的性质转换相等向量即可. 【详解】. 故选：C 2（23-24高一上·河北石家庄·期末）向量 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法的三角形法则及向量加法的运算律即可求解. 【详解】由，故B正确. 故选：B. 3（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加法的几何意义求解即得. 【详解】向量满足，则，当且仅当同向时取等号； ，当且仅当反向时取等号， 所以的取值范围是. 故选：B 4（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为即，点为的中点， 所以 ， 所以. 故选：D. 5（23-24高一上·广西柳州·期末）在三角形中，若点满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，结合点的位置，即可求得结果. 【详解】根据题意，作图如下：    由题意得. 故选：C 6（23-24高一上·北京房山·期末）如图，在中，点，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用向量的几何运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 7（23-24高一上·辽宁大连·期末）在平行四边形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】, 故选：B    8（多选）（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合向量的加法，减法以及运算律计算即可. 【详解】由向量加法运算律知，ABD选项正确;，所以选项C错误. 故选：ABD. 9（多选）（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）下列命题为真命题的是（   ） A． B．零向量与任意向量共线 C．互为相反向量的两个向量的模相等 D．若向量，满足，，则 【答案】BCD 【分析】由向量减法法则判断选项A；由零向量的性质判断选项B；由相反向量的定义判断选项C；由向量三角不等式判断选项D. 【详解】对A，，A选项错误； 对B，零向量与任意向量共线，B选项正确； 对C，互为相反向量的两个向量的模相等，C选项正确； 对D，若向量，满足，，则，即，D选项正确． 故选：BCD 10（多选）（23-24高一上·辽宁丹东·期末）在中，D在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】对于选项A: 由向量得减法法则可知，故A错误; 对于选项B：,故B正确; 对于选项C：, 而，所以， 故C正确; 对于选项D：,故D正确. 故选：BCD. 11（多选）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在直角梯形中，，，，是线段的中点，线段与线段交于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用向量的线性运算法则判断选项，根据点共线，由向量共线定理可知，再利用向量的线性运算法则求解即可判断选项. 【详解】对于选项，由已知条件可知，则正确； 对于选项，，则错误； 对于选项，连接，因为是线段的中点， 所以 ，则正确； 对于选项，设，点三点共线，则存在，使得, ， ， 所以 ，消去得，解得， 所以，则正确； 故选：. 向量基本定理 1（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】分别判断四个选项中的两个向量是否共线得到答案. 【详解】对于A，，，由零向量与任意向量共线，可知两个向量不能作为基底； 对于B，因为，，所以，所以两个向量不共线，可以作为基底； 对于C，因为，，所以，可知两个向量共线，故不可以作为基底； 对于D，由，，得：，可知两个向量共线，故不能作为基底； 故选：ACD 2（多选）（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）下列说法中正确的是（    ）． A．四边形是平行四边形，则必有 B．是所在平面上的任意一点，且满足，，则直线一定通过的重心 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 【答案】BC 【分析】根据平面向量的基本知识逐个选项判断即可 【详解】若四边形是平行四边形，则必有，A错； 设中点为，则， 又，， 所以， 即直线一定通过的重心，B正确； 对于C，两个非零向量，，若， 则与共线且反向，C正确； 对于D，若，则存在唯一实数使得或，D错误. 故选：BC 3（23-24高一上·北京昌平·期末）在中，点D，E满足，.若，则 . 【答案】/ 【分析】利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即得. 【详解】在中，点D，E满足，， 则， 而不共线，又，因此， 所以. 故答案为： 4（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，.    (1)试用基底表示向量； (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由D，M，A三点共线，设，由C，M，B三点共线，可设，列出方程组，即可求解的值，得到结论； （2）由E，M，F共线，设，由（1）可求得，化简即可求解. 【详解】（1）因为C，M，B三点共线，D，M，A三点共线，所以设，， 则，， 所以，解得，所以； （2）因为E，M，F三点共线，所以设， 则，由（1）知， 所以，所以. 5（23-24高一上·北京延庆·期末）如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F. (1)用向量与表示 和 (2)用向量与表示 (3)求出 的值 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）（2）由向量的线性运算法则求解； （3）设，求得，再利用向量共线可得结论． 【详解】（1）是中点， ， ； （2），则， ； （3）设，则，， 又向量共线，而不共线， 所以，解得． 向量的坐标表示 1（23-24高一上·北京房山·期末）已知，，则线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点的坐标，利用平面向量的坐标表示计算可得结果. 【详解】设线段中点的坐标为，取， 则； 由向量的坐标表示可得，即， 解得； 所以线段中点的坐标为. 故选：D 2（23-24高一上·北京昌平·期末）已知向量，在平面直角坐标系中的位置如图所示，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据向量加法的运算法则和向量模的计算求解. 【详解】由图知，，所以， 所以. 故选：B. 3（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法的坐标表示，求出的坐标 【详解】. 故选：B. 4（23-24高一上·北京房山·期末）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 . 【答案】3 【分析】根据题意将向量，，坐标化，解方程即可求出，可得结果. 【详解】以的起点为坐标原点，水平向右为轴正方向，的方向为轴负方向，建立平面直角坐标系； 不妨取，，， 由可得， 即可得， 即. 故答案为：3 平面向量的平行 1（23-24高一上·河北秦皇岛·期末）已知是两个不共线的向量,，若与是共线向量，则实数的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，可得， 可得，解得. 故选：A. 2（23-24高一上·辽宁·期末）已知与为非零向量，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故选：D 3（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知向量，若，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先得到，根据向量平行得到方程，求出答案. 【详解】， 又，故，解得. 故选：A 4（23-24高一上·浙江宁波·期末）与向量共线的一个单位向量的坐标是 . 【答案】或（答案不唯一，写出一个即可） 【分析】先求出向量的模，与向量共线的单位向量为，计算即可. 【详解】因为，， 所以与向量共线的单位向量为， 所以向量共线的一个单位向量的坐标是或. 故答案为：或（答案不唯一，写出一个即可）. 5（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设，，． (1)试用、表示； (2)若，求的值，说明此时与是同向还是反向，并求． 【答案】(1)； (2)，反向，. 【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示列式计算即得. （2）利用共线向量的坐标表示列式计算，并利用模的坐标表示计算即得. 【详解】（1）设，依题意，， 从而，解得， 所以. （2）依题意，，而，由， 得，解得，此时与反向， 所以. 6（23-24高一上·浙江杭州·期末）设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【详解】（1）由， 得, , 所以，且有公共点B， 所以三点共线. （2）由与共线， 则存在实数，使得， 即，又是不共线的两个非零向量， 因此，解得，或， 实数k的值是 7（23-24高一上·北京·期末）在中，点分别在边和边上，且交于点，设． (1)用表示和； (2)若，用表示，并求实数的值； (3)在边上有点，使得，求证：三点共线． 【答案】(1)， (2)， (3)证明见解析 【分析】(1)根据向量加减法运算即可; (2)根据向量的量加减法表示，，对应相等求得实数的值 (3) 根据向量的量加减法表示应用向量共线且有公共点证明即可. 【详解】（1）由题意知，，所以， （2）因为，所以， 又因为， 所以； （3）证明：由，得， 所以， 所以， 因为与有公共点，所以三点共线． 平面线性运算的应用 1（多选）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，D为BC边中点，若点P满足，则下列说法正确的是（    ） A．点P一定在内部 B． C． D．点P在直线AD上 【答案】ABC 【分析】设、分别是、的中点，依题意可得，从而得到点是中位线上靠近点的三等分点，即可判断A，D再根据面积关系判断C，又平面向量线性运算法则判断B. 【详解】由，所以， 设、分别是、的中点，所以， 于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确，D错误. 又，所以，则，故B正确； 由A可知，，且， 所以，，即，故C正确； 故选：ABC 2（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知点，若，与交于点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设,利用求出,再利用相似得到，进而求到点的坐标. 【详解】结合题意：设，易得,, 由，可得：， 解得，即， 因为，所以, 所以, 所以,即， 解得，即点的坐标为. 故答案为：. 最值问题 1（23-24高一上·浙江宁波·期末）在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点作一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作交于F，可推出，利用向量的线性运算推出，结合题意推出，根据三点共线可得，结合“1”的妙用，即得，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】作交于F，连接    ，则∽，故， 由于点为边上的中点，故， ，故，又∽，故， 故， 则 , 由于，，故， 因为三点共线，故， 所以，     当且仅当，结合，即时等号成立， 即的最小值为， 故选：B 2（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据E，F，G三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，为的中点，所以， 又为的中点，所以； ，即， ； 故，. （2）由，，， 得，， 所以 ， 因为E，F，G三点共线，则 ， 则， 当且仅当，即，时取等号所以的最小值3. 3（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，． (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时，的值． 【答案】(1) (2)，时，最小值为． 【分析】（1）由三角形重心性质可得，结合三点共线性质即可求得结果. （2）运用“1”的代换及基本不等式求解即可. 【详解】（1）如图所示， 因为G为重心，所以， 所以， 因为M，G，N三点共线，所以，即． （2）由题意可知，且， 所以 当且仅当，即时取等号， 又∵，∴，时，取得最小值为． 4（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点． (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量的线性运算法则计算； （2）由题意得，由共起点的三向量终点共线的充要条件求出，即可得出答案； （3）由题意，可设，代入中并整理可得，又，根据平面向量基本定理得出方程组，然后结合二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）由向量的线性运算法则，可得，① ，② 因为M为线段中点，则， 联立①②得：， 整理得：． （2）由AM与BD交于点N，得， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：． 所以，即． （3）由题意，可设， 代入中并整理可得 ． 又，故，可得：，． 因为，所以，． 在单调递增， 则当时，，当时，， 所以，的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平面向量初步 向量的概念 1（多选）（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 2（多选）（23-24高一上·辽宁·期末）下列命题正确的是（    ） A．数轴上零向量的坐标为0 B．若与都是单位向量，则的最小值为0 C．若，则 D．若，则线段的中点坐标为 平面向量的线性运算 1（23-24高一上·北京西城·期末）如图，在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·河北石家庄·期末）向量 （    ） A． B． C． D． 3（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 5（23-24高一上·广西柳州·期末）在三角形中，若点满足，则 （    ） A． B． C． D． 6（23-24高一上·北京房山·期末）如图，在中，点，满足，，则（    ） A． B． C． D． 7（23-24高一上·辽宁大连·期末）在平行四边形中，，，则（    ） A． B． C． D． 8（多选）（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 9（多选）（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）下列命题为真命题的是（   ） A． B．零向量与任意向量共线 C．互为相反向量的两个向量的模相等 D．若向量，满足，，则 10（多选）（23-24高一上·辽宁丹东·期末）在中，D在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 11（多选）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在直角梯形中，，，，是线段的中点，线段与线段交于，则（    ） A． B． C． D． 向量基本定理 1（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2（多选）（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）下列说法中正确的是（    ）． A．四边形是平行四边形，则必有 B．是所在平面上的任意一点，且满足，，则直线一定通过的重心 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 3（23-24高一上·北京昌平·期末）在中，点D，E满足，.若，则 . 4（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，.    (1)试用基底表示向量； (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值. 5（23-24高一上·北京延庆·期末）如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F. (1)用向量与表示 和 (2)用向量与表示 (3)求出 的值 向量的坐标表示 1（23-24高一上·北京房山·期末）已知，，则线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·北京昌平·期末）已知向量，在平面直角坐标系中的位置如图所示，则（   ） A． B．2 C． D．4 3（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 4（23-24高一上·北京房山·期末）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 . 平面向量的平行 1（23-24高一上·河北秦皇岛·期末）已知是两个不共线的向量,，若与是共线向量，则实数的值为（    ） A． B．6 C． D． 2（23-24高一上·辽宁·期末）已知与为非零向量，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知向量，若，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4（23-24高一上·浙江宁波·期末）与向量共线的一个单位向量的坐标是 . 5（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设，，． (1)试用、表示； (2)若，求的值，说明此时与是同向还是反向，并求． 6（23-24高一上·浙江杭州·期末）设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值． 7（23-24高一上·北京·期末）在中，点分别在边和边上，且交于点，设． (1)用表示和； (2)若，用表示，并求实数的值； (3)在边上有点，使得，求证：三点共线． 平面线性运算的应用 1（多选）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，D为BC边中点，若点P满足，则下列说法正确的是（    ） A．点P一定在内部 B． C． D．点P在直线AD上 2（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知点，若，与交于点，则点的坐标为 . 最值问题 1（23-24高一上·浙江宁波·期末）在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点作一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. 3（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，． (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时，的值． 4（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点． (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$