6.3 平面向量线性运算的应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦平面向量线性运算的应用核心知识点，衔接向量线性运算基础，系统梳理其在平面几何证明、求值及物理问题解决中的应用，提供步骤总结、例题解析与跟进训练等学习支架。 资料特色在于融合逻辑推理与数学建模核心素养，通过菱形判定、物理拉力计算等实例，采用问题驱动与模型建构教学方法。课中助力教师系统授课，课后分层作业与回顾问题帮助学生查漏补缺，提升直观想象与数学运算能力。

6.3　平面向量线性运算的应用 学习任务 1．会用向量法计算或证明平面几何中的相关问题．(逻辑推理、直观想象) 2．会用向量法解决某些简单的物理学中的问题．(数学建模、数学运算) 如图所示，在细绳l上作用着一个大小为200 N，与水平方向的夹角为45°的力，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行． 问题：(1)水平方向OA上的拉力多大？ (2)物重G是多少？ [提示]　(1)200×cos 45°＝100(N)，方向向右． (2)200×sin 45°＝100(N)． 知识点1　向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 知识点2　向量方法解决物理问题的步骤 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题． (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型． (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值． (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象． [拓展]　对平面向量线性运算应用的理解： (1)向量集数形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，应用向量解决平面几何问题就是将几何问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”； (2)力、速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减法运算，动量mv(m是物体的质量，v是物体运动的速度)实际上是向量的数乘运算． 1．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　) A．平行四边形　　　　　 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 C　[由＝可知，四边形ABCD为平行四边形．又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．] 2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝(　　) A．(－1，－2)　　　　　 B．(1，－2) C．(－1，2) D．(1，2) D　[由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0， 故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1，2)．] 3．如图，两条绳子悬挂一个重力为G的物体，已知每条绳子用力为4 N，两条绳子的夹角为90°，则重力G的大小为________． 4 N　[因为每条绳子用力为4 N，两条绳子的夹角为90°，所以两条绳子用力的合力为4 N，所以|G|＝4 N．] 类型1　平面向量在几何证明中的应用 【例1】　【链接教材P174例1、例2】 已知四边形ABCD是等腰梯形，E，F分别是AD，BC的中点，M，N是线段EF上的两个点，且EM＝MN＝NF，下底是上底的2倍，若＝a，＝b，求证：M是AC的中点． [解]　如图，∵＝＝a＋b－a＝a＋b， ∴＝＝a＋b． 又＝)＝＝a， ∴＝＝a， ∴＝＝a＝(a＋b)． 又＝＝a＋b＝2， 故M是AC的中点． 【教材原题·P174例1、例2】 例1　如图6-3-1所示，MN是△ABC的中位线，求证： MN∥BC且MN＝BC． [证明]　因为M，N分别是AB，AC边上的中点，所以＝＝，因此 ＝＝＝)＝， 从而可知MN∥BC且MN＝BC． 例2　如图6-3-2所示，已知平行四边形ABCD中，E，F在对角线BD上，并且BE＝FD． 求证：四边形AECF是平行四边形． [证明]　由已知可设 ＝＝a，＝＝b， 则＝＝a＋b，＝＝b＋a． 又因为a＋b＝b＋a，所以 ＝， 因此AE綉FC，从而可知四边形AECF是平行四边形． 　用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 (1)利用线性运算证明的四个步骤 ①选取基底． ②用基底表示相关向量． ③利用向量的线性运算找出相应关系． ④把几何问题向量化． (2)利用坐标运算证明的四个步骤 ①建立适当的平面直角坐标系． ②把相关向量坐标化． ③用向量的坐标运算找出相应关系． ④把几何问题向量化． [跟进训练] 1．如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF． [证明]　易知点P，E，F都不在端点处，建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0＜λ＜)，则A(0，1)，P，E，F， ∴＝， ＝， ∴||＝＝， ||＝＝， ∴||＝||，∴PA＝EF． 类型2　平面向量在几何求值中的应用 【例2】　【链接教材P175例3】 如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN． [解]　设＝e1，＝e2， 则＝＝－3e2－e1， ＝＝2e1＋e2． ∵A，P，M共线，B，P，N共线， ∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2． 故＝＝＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2． 而＝＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理， 得解得 ∴＝＝． 故AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2． 【教材原题·P175例3】 例3　如图6-3-3所示，已知△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，AF与CE相交于点O，求AO∶OF与CO∶OE的值． [解]　因为 ＝＝， 又因为E，F都是中点，所以 ＝＝2＋2＝2． 另外，＝，所以＝2＋2．设＝s， ＝t，则有s－t＝2＋2，即 (s－2)＝(t－2)． 从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2，因此 AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1． 　用向量方法解决几何求值问题的一般思路 (1)基底法．选取合适的基底，将题中涉及的向量用基底表示，再通过相应的向量运算去完成． (2)坐标法．当问题中存在坐标或易建坐标系时，可以利用平面向量的坐标表示，实现向量坐标化，将问题中的长度、平行等问题转化为代数问题，然后进行计算． 注意：解题时，要学会灵活运用向量的线性运算，同时要掌握好共线、模等常用知识． [跟进训练] 2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC上的动点，且||＝3，||＝4，＝λ＋μ(λ＞0，μ＞0)，则当λμ取得最大值时，||的值为(　　) A． B．3 C． D． C　[因为＝λ＋μ，而D，B，C共线，所以λ＋μ＝1，所以λμ＝(1－λ)λ＝λ－λ2≤．当且仅当λ＝μ＝时取等号，此时＝，即D是线段BC的中点，所以||＝||＝．故选C．] 类型3　平面向量在物理中的应用 【例3】　【链接教材P176例4、例5】将质量为20 kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图，两根绳子与铅垂线的夹角分别为45°与30°．求它们分别提供的拉力的大小．[g≈9.8(m/s2)，≈2.45，≈1.73，≈1.41，结果精确到0.1 N] [解]　设两根绳子的拉力分别是f1与f2，则它们的合力f1＋f2与物体的重力大小相等、方向相反，即f1＋f2是垂直向上、模为20g(N)的向量，这里g≈9.8(m/s2)是重力加速度． 以f1与f2的公共作用点为原点，以f1＋f2为y轴的正半轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 令a＝|f1|，b＝|f2|， 则f1＝a(cos 45°，sin 45°)＝， f2＝b(cos 120°，sin 120°)＝． 因为f1＋f2＝(0，20g)， 所以 解得a＝10()g≈101.9(N)， b＝20(－1)g≈143.1(N)． 综上所述，这两根绳子所提供的拉力大小分别约为101.9 N和143.1 N． 【教材原题·P176例4、例5】 例4　如图6-3-6所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知物体所受的重力大小为50 N，求每条绳上的拉力大小． [解]　因为物体处于平衡状态，所以F1＋F2是重力的相反向量，因此|F1＋F2|＝50 N． 又由图与向量加法的平行四边形法则可知，F1＋F2的方向是竖直向上的，且 |F1＋F2|＝2|F1|sin 45°＝2|F2|sin 45°， 所以 |F1|＝|F2|＝＝25 N． 因此，每条绳上的拉力为25 N． 例5　如图6-3-7(1)所示，把一个物体放在倾角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2．已知|G|＝100 N，求F1，F2的大小． [解]　建立如图6-3-7(2)所示的平面直角坐标系，则 F1＝(－|F1|，0)，F2＝(0，－|F2|)． 又由已知可得 G＝(100sin 30°，100cos 30°)＝(50，50)， 且G＋F1＋F2＝0，所以 (50，50)＋(－|F1|，0)＋(0，－|F2|)＝(0，0)， 从而可知 |F1|＝50 N，|F2|＝50 N． 　向量在物理中应用时要注意的三个问题 (1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型． (2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象． (3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识． [跟进训练] 3．一个人在静水中游泳时，速度的大小为2 km/h，当他在水流速度的大小为2 km/h的河中游泳时， (1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进速度的大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进(可用三角函数值表示)？实际前进速度的大小为多少？ [解]　(1)如图(1)，设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，OB为邻边作▱OACB，则此人的实际速度为＝． 在Rt△AOC中，tan ∠AOC＝＝，所以∠AOC＝60°， 实际前进的速度大小为||＝＝4(km/h)， 故此人沿与水流方向成60°的方向前进，实际前进速度大小为4 km/h． (2)如图(2)，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为＝． 在Rt△AOD中，||＝2，||＝2， 所以||＝＝2(km/h)， cos ∠DAO＝＝， 故此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度的大小为2 km/h． 1．(教材P177习题6-3BT1改编)已知四边形ABCD各顶点坐标是A，B，C，D，则四边形ABCD是(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 A　[∵＝＝(3，4)， ∴＝，∴∥，即AB∥DC． 又||＝＝，||＝＝5， ∴||≠||，∴四边形ABCD是梯形．] 2．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＝，则△PBC与△ABC的面积之比是(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． C　[由＝，得＝0，即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示． 故＝＝．] 3．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N． 10　[如图，由题意，＝，并且∠ABC＝120°，则以两根绳子AB，BC为邻边构成菱形ABCD， ∴||＝||＝||＝10 N， ∴每根绳子的拉力大小为10 N．] 4．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度大小是________m/s． 5　[设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，则|v2|＝|v0|cos 60°＝10×＝5(m/s)，即该物体在水平方向上的速度大小是5 m/s．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．学习本节课，需要掌握的规律方法是什么？ [提示]　(1)利用向量关系证明共线问题． (2)把物理问题转化成数学模型，再应用向量方法使问题得到解决． 2．本节课的易错点是什么？ [提示]　本节课的易错点是如何把实际问题转化为数学问题，通过建立数学模型解决实际问题． 课时分层作业(二十九)　平面向量线性运算的应用 一、选择题 1．(教材P177习题6-3AT3改编)已知作用在点A的三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)且A(1，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为(　　) A．(9，1) 　　 B．(1，9) C．(9，0)　 　 D．(0，9) A　[F＝F1＋F2＋F3＝(8，0)，又∵起点坐标为A(1，1)，∴终点坐标为(9，1)．] 2．一条河的宽度为d，水流的速度为v2，一船从岸边A处出发，垂直于河岸线航行到河的正对岸的B处，船在静水中的速度是v1，则在航行过程中，船的实际速度的大小为(　　) A．|v1| B． C． D．|v1|－|v2| C　[画出船过河的简图(图略)可知，实际速度是v1与v2的和，由勾股定理知选C．] 3．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边上的中线AD的长是(　　) A．2 C．3 B　[因为BC的中点为D＝，所以||＝．] 4．在四边形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形　　　　 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形 C　[由条件可知＝－，所以AB∥CD，又因为||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形．] 5．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝，则等于(　　) A． C． D　[因为＝，所以点D在AB边的中位线上，从而有S△ABD＝S△ABC． ] 二、填空题 6．一艘船从O点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h，则河水的流速大小为________km/h． 2　[如图，||＝4，||＝2， 则||＝＝2．] 7．过点P1(－1，2)，P2(5，6)的直线与x轴交于点P，设＝t，则t＝__________． －　[设P(x，0)，则＝(x＋1，－2)，＝(5－x，6)，则得t＝－，x＝－4．] 8．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝)，则||＝________． 　[如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．因为正方形的边长为2，所以A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，则＝(2，0)，＝(2，2)．所以＝)＝(4，2)＝(2，1)，则P(2，1)．所以＝(－2，1)，所以||＝＝． 三、解答题 9．(源自人教A版教材)如图，一条河两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2 km/h，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1 min)? [解]　设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短． 如图所示，设v＝v1＋v2，则 |v|＝＝(km/h)． 此时，船的航行时间 t＝＝×60≈3.1(min)． 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min． 10．如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＝0，则S△ABP∶S△ABC＝(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． A　[设AB的中点是D(图略)， ∵＝2＝－，∴＝－， ∴P为CD的五等分点，∴△ABP的面积为△ABC的面积的．] 11．(多选)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　) A．|b|＝1 B．|a|＝1 C．a∥b D．(4a＋b)⊥ BD　[如图， 由题意，＝＝(2a＋b)－2a＝b， 则|b|＝2，故A错误； |2a|＝2|a|＝2，所以|a|＝1，故B正确； 因为＝2a，＝b，所以a，b不平行，故C错误； 设BC的中点为D，则＝2，且⊥，而2＝2a＋(2a＋b)＝4a＋b，所以(4a＋b)⊥，故D正确．] 12．某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a千米/时，感到风从东北方向吹来，则实际风速(单位：千米/时)的大小为________，方向是________风． a　西北　[如图，设＝－a，＝－2a， ∵＝，∴＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速． ∵＝，∴＝v－2a， 于是当此人的速度是原来的2倍时，所感受到由东北方向吹来的风速就是， 由题意知∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而△POB为等腰直角三角形． ∴PO＝PB＝a，即|v|＝a，所以实际风速是大小为a的西北风．] 13．已知△AOB，点P在直线AB上，且满足＝2t＋t(t∈R)，则t＝________． 1　[＝2t()＋t， (2t＋1)＝2t＋t， ∴＝． ∵A，B，P三点共线，∴＝1，∴t＝1．] 14．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，G是线段AD上一点，且＝＝2，过点G作直线与AB，AC分别交于点E，F． (1)用向量表示； (2)试问是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． [解]　(1)＝＝ ＝)＝． (2)设＝λ＝μ，则＝λ＋2μ， 因为＝＝2，所以＝＝＝＝，所以＝1，即λ＋2μ＝，故＝为定值． 15．若O是平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，且满足＝＋λ()(λ∈R)，则P点的轨迹一定过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 C　[因为＝＋λ()(λ∈R)，所以＝λ()， 所以在△ABC的边AB上的中线所在直线上， 则λ()在△ABC的中线所在直线上，所以P点的轨迹一定过△ABC的重心， 故选C．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $