专题11 圆锥曲线的最值范围问题-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题11 圆锥曲线的最值范围问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、距离或长度的最值范围 2 类型二、三角形或四边形面积的最值范围 7 类型三、坐标或截距的最值范围 11 类型四、斜率或倾斜角的最值范围 15 类型五、向量的最值范围 19 类型六、参数的最值范围 23 压轴能力测评（8题） 28 一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： 1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； 2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 二、最值问题的一般解题步骤 三、参数取值范围问题 1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； 2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； 3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； 4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； 5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 类型一、距离或长度的最值范围 例．（24-25高二上·河南驻马店·期中）动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数， (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程. 【变式训练1】（23-24高二上·北京延庆·期末）已知椭圆：的短半轴长为1，焦距为． (1)求椭圆的离心率； (2)设椭圆的右顶点为，过点且斜率为的直线交椭圆E于不同的两点，直线分别与直线交于点．求的取值范围． 【变式训练2】（23-24高三上·安徽·月考）已知双曲线()左、右焦点为，其中焦距为，双曲线经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过右焦点作直线交双曲线于M，N两点(M，N均在双曲线的右支上)，过原点O作射线，其中，垂足为为射线与双曲线右支的交点，求的最大值． 【变式训练3】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知拋物线的焦点，直线， (1)设直线与x轴交于点，直线与抛物线交于两点，其中在第一象限，求出所有满足的点的坐标.（其中点与点对应，点与点对应）； (2)过直线上的点作抛物线的两条切线，切点分别为，求的最小值. 类型二、三角形或四边形面积的最值范围 例．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点，动点在圆上运动，线段的垂直平分线交于点. (1)求点的轨迹方程； (2)设直线与点的轨迹交于、两点，求面积的最大值. 【变式训练1】（24-25高二上·贵州铜仁·月考）已知椭圆，短轴的一个端点到右焦点的距离为，半焦距. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值. 【变式训练2】（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 【变式训练3】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知抛物线：上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大1． (1)求抛物线的方程； (2)直线，满足，，交于，两点，交于，两点．求四边形面积的最小值． 类型三、坐标或截距的最值范围 例．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知椭圆的左右顶点距离为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点，斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围. 【变式训练1】（23-24高三上·全国·月考）已知双曲线：（，）上一点到的两条渐近线的距离之积为． (1)求的标准方程； (2)若直线与有两个不同的交点，，且的内心恒在直线上，求在轴上的截距的取值范围． 【变式训练2】（23-24高二下·四川德阳·期末）已知抛物线C：的焦点F到顶点的距离为1. (1)求抛物线C的方程； (2)过焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，，求直线l在x轴上的截距的取值范围. 【变式训练3】（23-24高三上·广东揭阳·月考）已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 类型四、斜率或倾斜角的最值范围 例．（23-24高二上·广西桂林·期末）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，直线与直线平行.过点且斜率为的直线与相交于、两点. (1)求的方程； (2)记直线、的斜率分别为、，求的最小值. 【变式训练1】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，记的左、右焦点分别为，，上下顶点为，，且是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线斜率范围. 【变式训练2】（22-23高二上·福建厦门·期中）已知点，点在双曲线：上 (1)求的最小值，并求出此时求点的坐标； (2)直线与交于点（异于点），若原点在以为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围. 【变式训练3】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知抛物线：（）的焦点为，点，过的直线交于，两点，当点的横坐标为1时，点到抛物线的焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)设直线，与的另一个交点分别为，，点，分别是，的中点，记直线，的倾斜角分别为，.求的最大值. 类型五、向量的最值范围 例．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． (1)求椭圆和其“准圆”的方程； (2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 【变式训练1】（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）已知双曲线过点且，，分别是的左、右焦点. (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围. 【变式训练2】（23-24高三下·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)当直线过点时，求的取值范围. 【变式训练3】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，； (1)求双曲线的方程； (2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围． 类型六、参数的最值范围 例．（24-25高二上·北京西城·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为和，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)设P为椭圆C上一点，．若存在实数使得，求的取值范围． 【变式训练1】（23-24高二上·河南濮阳·月考）过椭圆的右焦点且斜率为1的直线交于两点． (1)求； (2)若为上的动点，设（为坐标原点），求的最大值． 【变式训练2】（23-24高二下·安徽滁州·期末）已知椭圆的短轴长为2，且右焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆相交于两点，，其中为坐标原点. ①求与的关系式； ②为线段中点，射线与椭圆相交于点，记四边形的面积与的面积之比为，求实数的取值范围. 【变式训练3】（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 1．（23-24高二上·湖南·期中）椭圆：的左、右焦点分别为，.过作直线交于，两点.过作垂直于直线的直线交于，两点.直线与相交于点. (1)求点的轨迹方程； (2)求四边形面积的取值范围. 2．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）知椭圆分别为椭圆的左顶点和上顶点，为右焦点.过的直线与椭圆交于的最小值为，且椭圆上的点到的最小距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的右顶点为是椭圆上的动点（不与顶点重合）.若直线与直线交于点，直线与轴交于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值. 3．（23-24高二下·浙江衢州·期末）已知椭圆：的离心率为，斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，是关于轴的对称点.当与原点重合时，面积为. (1)求的方程； (2)当异于点时，记直线与轴交于点，求周长的最小值. 4．（23-24高三上·四川成都·期末）已知椭圆的离心率为，抛物线在第一象限与椭圆交于点，点为抛物线的焦点，且满足. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足为、，与轴的交点为．若、、的面积成等差数列，求实数的取值范围. 5．（23-24高二上·江苏南京·月考）设A，B为双曲线C：的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形． (1)求双曲线C的离心率； (2)已知，若直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，若为x轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若为锐角，求t的取值范围． 6．（23-24高二上·河南商丘·期末）若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 7．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知抛物线：经过点，经过点作一斜率为的直线与的另一交点为，直线与直线关于对称且与的另一交点为．    (1)求抛物线的方程； (2)直线的斜率； (3)若点在以为直径的圆内，求的取值范围． 8．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点. (1)求抛物线的方程； (2)求的值； (3)如图，过点的直线交抛物线于，两点（点，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 圆锥曲线的最值范围问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、距离或长度的最值范围 2 类型二、三角形或四边形面积的最值范围 7 类型三、坐标或截距的最值范围 11 类型四、斜率或倾斜角的最值范围 15 类型五、向量的最值范围 19 类型六、参数的最值范围 23 压轴能力测评（8题） 28 一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： 1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； 2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 二、最值问题的一般解题步骤 三、参数取值范围问题 1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； 2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； 3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； 4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； 5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 类型一、距离或长度的最值范围 例．（24-25高二上·河南驻马店·期中）动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数， (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，得， 整理得M的轨迹C的方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，方程为，此时； 当直线l的斜率存在时，设方程为，，， 联立方程，消y得， 恒成立，故， 则，， 所以， 法一：令，，则， 可得， 当，即，时，取得最大值3； 综上所述，当最大时，所求直线l的方程为； 法二： ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，当最大时，所求直线l的方程为. 【变式训练1】（23-24高二上·北京延庆·期末）已知椭圆：的短半轴长为1，焦距为． (1)求椭圆的离心率； (2)设椭圆的右顶点为，过点且斜率为的直线交椭圆E于不同的两点，直线分别与直线交于点．求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题意知，解得， 所以离心率； （2）由（2）得，椭圆E的方程为，则， 设直线的方程为， 联立得， ，得，且.， 设，， 则， 设，依题意有:，， 因为， 所以， 所以 ， 因为，且，所以， 所以的取值范围是. 【变式训练2】（23-24高三上·安徽·月考）已知双曲线()左、右焦点为，其中焦距为，双曲线经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过右焦点作直线交双曲线于M，N两点(M，N均在双曲线的右支上)，过原点O作射线，其中，垂足为为射线与双曲线右支的交点，求的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得，，，解得，， 双曲线的方程为：. （2）当直线斜率不存在时，，，则， 当直线斜率存在时，假设直线方程为， 联立双曲线方程得， 则，，， ∵直线与双曲线交于右支，∴， 则， 设射线OP方程为：，联立与双曲线的方程， ∴，，， ∴， ∴ ， 当且仅当时等号成立，最大值为． 综上，的最大值为. 【变式训练3】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知拋物线的焦点，直线， (1)设直线与x轴交于点，直线与抛物线交于两点，其中在第一象限，求出所有满足的点的坐标.（其中点与点对应，点与点对应）； (2)过直线上的点作抛物线的两条切线，切点分别为，求的最小值. 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）因为拋物线的焦点为， 则，得到，所以拋物线， 由题知，由，得到，所以， 在中，，， 则，又，所以， 因为，且点与点对应，点与点对应，所以， 如图，易知，所以点在轴正半轴或轴负半轴上， 又因为，，得到， 所以点的坐标为或. （2）设，则，， 再设切线的方程为， 联立方程组，整理得， 由，且，可得， 则切线的方程为，即. 由切线过点，可得. 同理，切线的方程为， 由切线过点，可得， 则直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得， 则 ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 类型二、三角形或四边形面积的最值范围 例．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点，动点在圆上运动，线段的垂直平分线交于点. (1)求点的轨迹方程； (2)设直线与点的轨迹交于、两点，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由已知圆，则， 又线段的垂直平分线交于点，所以， 则， 所以动点到定点，的距离之和为定值， 即动点的轨迹为以，为焦点的椭圆， 且，，即，， 椭圆方程为； （2）设直线与椭圆的交点为，， 联立直线与椭圆，得， 即， 且，， 则， 又点到直线的距离， 则的面积， 设，则，， 又函数在上单调递增， 即当，即时，取得最小值为， 此时取得最大值为. 【变式训练1】（24-25高二上·贵州铜仁·月考）已知椭圆，短轴的一个端点到右焦点的距离为，半焦距. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由椭圆方程，，则短轴的端点为，，右焦点为， 由短轴的一个端点到右焦点的距离为， 可得，解得， 所以，椭圆方程为. （2）当直线的斜率不存在时，不妨设， 将代入椭圆方程可得， 解得，此时，的面积为； 当直线的斜率存在时，设方程为，，， 由题意可得，， 联立可得，消去可得， 由， 则，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，的面积最大值为； 综上所述，面积的最大值为. 【变式训练2】（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离，解得， 由离心率，又，解得， 双曲线的方程为. （2）设直线的方程为：， 联立， 恒成立，， 直线与双曲线的右支交于两点，，解得. ， . 【变式训练3】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知抛物线：上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大1． (1)求抛物线的方程； (2)直线，满足，，交于，两点，交于，两点．求四边形面积的最小值． 【答案】(1)；(2)32 【解析】（1）抛物线：的焦点为，准线为， 由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离， 再由到焦点的距离比到轴的距离大1，可得准线到轴的距离为， 即，可得， 抛物线的方程为：． （2）由（1）可得焦点， 由题意直线，的斜率均存在，且不为0， 设直线的方程为，，， 联立整理得， 可得，， 由抛物线的性质可得， 同理可得， ， 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 类型三、坐标或截距的最值范围 例．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知椭圆的左右顶点距离为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点，斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意，，即， 又，所以， 故， 故所求椭圆的标准方程为. （2）如图， 由题意知：直线的斜率存在且不为零， 设，，，，中点， 联立，消去并整理得：， 恒成立， 则，，， ， 则方程为：，即， 化简得： 设直线在轴上截距为，令得， 由可知， 所以直线在轴上的截距的取值范围为. 【变式训练1】（23-24高三上·全国·月考）已知双曲线：（，）上一点到的两条渐近线的距离之积为． (1)求的标准方程； (2)若直线与有两个不同的交点，，且的内心恒在直线上，求在轴上的截距的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）∵点在双曲线上，∴，即，① 又∵双曲线：（，）的渐近线方程为， ∴到两条渐近线的距离分别为，， ∴由已知，，整理得， 代入①，解得，， ∴的标准方程为. （2） 如图，设的内心为，∵恒在直线上，且在直线上， ∴，直线与关于直线对称， ∴设直线的斜率为，直线的斜率为，则. 由题意易知，直线的斜率存在，设直线的方程为：， 则，消去化简得，， 令，化简得， 设，，则，， ∴， 化简得， ∴， 整理得，即， ∴． 由题意，直线：不过点，∴，即， ∴，即，∴直线的方程为， 如图可知，与的右支相交于两点，且在点的下方， ∴，解得． ∴在轴上的截距的取值范围是． 【变式训练2】（23-24高二下·四川德阳·期末）已知抛物线C：的焦点F到顶点的距离为1. (1)求抛物线C的方程； (2)过焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，，求直线l在x轴上的截距的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得：，所以，从而抛物线C的方程为：. （2）由（1）知，且必然存在斜率，故可设：，，. 由得：，， 则，由得：， 从而， 令，由于， 则， 所以在上单调递增，从而， 即， 所以直线在轴上的截距的取值范围为. 【变式训练3】（23-24高三上·广东揭阳·月考）已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 【答案】(1)；(2)2 【解析】（1）由题设可知，解得 则：． （2）设点M的横坐标为 当直线斜率不存在时，则直线： 易知点到轴的距离为﹔ 当直线斜率存在时，设：，，， 联立，整理得， ， 整理得 联立，整理得， 则，则，即 则，即 ∴此时点到轴的距离大于2； 综上所述，点到轴的最小距离为2． 类型四、斜率或倾斜角的最值范围 例．（23-24高二上·广西桂林·期末）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，直线与直线平行.过点且斜率为的直线与相交于、两点. (1)求的方程； (2)记直线、的斜率分别为、，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可知点、，直线的斜率为， 因为直线与直线平行，则，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）设点、，由题意可知，直线的方程为，其中， 联立可得，， ， 由韦达定理可得，， ，同理可得， 所以， ， 因为，令，则，且， 所以，， 当时，即当时，取最小值， 此时，取最小值. 【变式训练1】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，记的左、右焦点分别为，，上下顶点为，，且是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线斜率范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由题意知，则；由，则， 故椭圆的标准方程为； （2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设其方程为， 联立，得， 由，得， 设，，则，， 则， 因为，所以，即， ∴，则或， 综上，斜率范围为. 【变式训练2】（22-23高二上·福建厦门·期中）已知点，点在双曲线：上 (1)求的最小值，并求出此时求点的坐标； (2)直线与交于点（异于点），若原点在以为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）设，则有， 则， 当时，，此时点的坐标为 （2）由题知直线的斜率存在，故可设：，，， 与双曲线方程联立得，， 则，解得且 ，， ， 依题意得，解得 所以 【变式训练3】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知抛物线：（）的焦点为，点，过的直线交于，两点，当点的横坐标为1时，点到抛物线的焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)设直线，与的另一个交点分别为，，点，分别是，的中点，记直线，的倾斜角分别为，.求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）抛物线的准线为， 由抛物线的定义知，，又，所以， 所以抛物线C的方程为； （2）由（1）知，， 设， 则，设直线， 由可得， ， 则， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 由斜率公式可得， ， 又因为直线OP、OQ的倾斜角分别为， 所以， 若要使最大，需使最大，则， 设， 则， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为. 类型五、向量的最值范围 例．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． (1)求椭圆和其“准圆”的方程； (2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 【答案】(1)椭圆的方程为，其“准圆”方程为；(2). 【解析】（1）由题意知，且，可得， 故椭圆的方程为，其“准圆”方程为． （2）由题意，设，则有， 不妨设，，所以，， 所以，又，则， 所以的取值范围是． 【变式训练1】（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）已知双曲线过点且，，分别是的左、右焦点. (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由双曲线过点且，故， 故，故的标准方程为； （2）设，则， 因为点在第一象限，所以，且，， 所以， 所以的取值范围是. 【变式训练2】（23-24高三下·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)当直线过点时，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可得：，解得：，，. 双曲线的方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，，， 此时，，所以， 当直线的斜率存在时，设，，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ，， ， 令，则，令， 在，上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 【变式训练3】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，； (1)求双曲线的方程； (2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题意，，当l垂直于x轴时，， 即，即， 解得，，因此； （2）设，联立双曲线方程， 得：， 当时，， ， 当时，设， 因为直线与双曲线右支相交， 因此，即，同理可得， 依题意， 同理可得，， 而， 代入，， ， 分离参数得，， 因为， 当时，由， ， 所以， 综上可知，的取值范围为. 类型六、参数的最值范围 例．（24-25高二上·北京西城·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为和，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)设P为椭圆C上一点，．若存在实数使得，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由题知解得 所以，C的方程为． （2）由椭圆的定义可知， 设点，其中，则， 所以， 因为，所以，即 当且仅当时，，时，， 因为，则，所以． 综上所述，的取值范围是． 【变式训练1】（23-24高二上·河南濮阳·月考）过椭圆的右焦点且斜率为1的直线交于两点． (1)求； (2)若为上的动点，设（为坐标原点），求的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题可知点，设， 直线， 联立方程得，消去并整理得， ， ； （2）设，由，得， 在上，， ． ． 由（1）知， ． ． ，当且仅当时取等号， ，即的最大值为． 【变式训练2】（23-24高二下·安徽滁州·期末）已知椭圆的短轴长为2，且右焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆相交于两点，，其中为坐标原点. ①求与的关系式； ②为线段中点，射线与椭圆相交于点，记四边形的面积与的面积之比为，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)①；② 【解析】（1）依题意可得：右焦点，且，即. 又因为. 故椭圆的标准方程为：. （2）①：设， ， . . 由韦达定理可得：.① 又因为，即， ， 将①代入上式，化简可得：. 即：，此时成立. 故与的关系式为：. ②：由①知：因为为线段的中点， 所以， 设 又因为在椭圆上，. 化简可得：. （*） 又由（1）知：，将其代入（*）式得： . ，即. 所以，的取值范围为. 另解：接（*）式：又由（1）知：. . 即. 所以，的取值范围为. 【变式训练3】（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)2；(2) 【解析】（1）因为，，则在中，， 由抛物线的定义得，， 故，则，即， 设，则，解得， 过点作⊥于点， 因为，所以， 因为，所以， 故，， 所以，解得； （2）由（1）可知抛物线方程为：，设，， 设，联立，整理得：， 因为，所以， 由韦达定理得，， 因为，则，故， 故， 将代入（*）式得， 因为存在，使得， 所以有对有解， 而，所以， 解得，或， 因为，所以. 1．（23-24高二上·湖南·期中）椭圆：的左、右焦点分别为，.过作直线交于，两点.过作垂直于直线的直线交于，两点.直线与相交于点. (1)求点的轨迹方程； (2)求四边形面积的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）设，依题意，，且. 所以，整理得. 故点的轨迹方程为； （2）依题意，. 过作平行于的直线交于，两点，由对称性知. ①当的斜率为0或斜率不存在时，； ②当的斜率存在且不为0时，设：，，. 联立方程消元得：. ，故， 同理，. 故. 令，，则， 其中，故. 综上，. 2．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）知椭圆分别为椭圆的左顶点和上顶点，为右焦点.过的直线与椭圆交于的最小值为，且椭圆上的点到的最小距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的右顶点为是椭圆上的动点（不与顶点重合）.若直线与直线交于点，直线与轴交于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得，又，解得， 椭圆的标准方程为. （2）因为. 所以直线的方程为， 直线的方程为. 由，解得，所以. 由，得， 由， 则，所以，则， ， 因为不重合，所以，即，又， 所以， 直线的方程为， 令得. ， ， 当时，取得最小值为 3．（23-24高二下·浙江衢州·期末）已知椭圆：的离心率为，斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，是关于轴的对称点.当与原点重合时，面积为. (1)求的方程； (2)当异于点时，记直线与轴交于点，求周长的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当与原点重合时，可设，则有、， 且，， 则， 即，∴，则， 即有，由离心率为，即， 则，∴，即有， 解得，∴， 即的方程为； （2）设直线方程为，令，有，即， 设点、，则， 联立直线与椭圆方程：，消去有， 有，， ，得， 为， 令，， 由中，得，即， 则， 当且仅当时等号成立， 故周长的最小值为. 4．（23-24高三上·四川成都·期末）已知椭圆的离心率为，抛物线在第一象限与椭圆交于点，点为抛物线的焦点，且满足. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足为、，与轴的交点为．若、、的面积成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意，，则点在椭圆上， 得①，，即 ②， 联立①②，解得，， 椭圆的方程为． （2）依题意，直线与轴不重合，故可设直线的方程为． 联立，消去得． 设,，,，则有，且． 设，，的面积分别为，，， ，，成等差数列，，即， 则； 即，得， 又，， 于是，， ，解得，即或． 所以实数的取值范围为． 5．（23-24高二上·江苏南京·月考）设A，B为双曲线C：的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形． (1)求双曲线C的离心率； (2)已知，若直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，若为x轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若为锐角，求t的取值范围． 【答案】(1)2；(2)或 【解析】（1）由双曲线C：可得：右焦点， 将代入中，， 当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，此时， 即，整理得：， 因为，所以， 方程两边同除以得：，解得：或（舍去）， 所以双曲线的离心率为2； （2）因为，所以， 因为，解得，故， 所以双曲线的方程为， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 与双曲线联立得：， 设，则，， 则， 因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点， 所以，解得：， 直线，则，同理可求得：， 所以，， 因为为锐角，所以， 即，所以， 所以，即，解得或； 当直线的斜率不存在时，将代入双曲线可得，此时不妨设， 此时直线，点P坐标为，同理可得：， 所以，， 因为为锐角，所以，解得或； 综上所述，t的取值范围或． 6．（23-24高二上·河南商丘·期末）若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可设的标准方程为，则，， 所以双曲线的标准方程为． （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设点、， 联立，得， 所以且， 即且， 由韦达定理可得，， ． 因为，且，， 所以 ． 所以或． 当时，直线恒过点，不合题意， 当时，直线恒过点，合乎题意； 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 则、 因为，所以，解得或（舍去）． 所以直线恒过点， 所以当直线时，点到直线的距离最大，距离的最大值为． 7．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知抛物线：经过点，经过点作一斜率为的直线与的另一交点为，直线与直线关于对称且与的另一交点为．    (1)求抛物线的方程； (2)直线的斜率； (3)若点在以为直径的圆内，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为抛物线：经过点， 所以，解得， 所以抛物线的方程为：； （2）由（1）知，， 因为直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 设，， 由，得， 所以，，解得， 因为直线与直线关于对称， 所以直线的方程为：，同理可得：， 所以，， 所以直线的斜率； （3）因为点在以为直径的圆内，所以， 因为 ， 令，得，解得， 所以，所以， 又因为，所以的取值范围为：. 8．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点. (1)求抛物线的方程； (2)求的值； (3)如图，过点的直线交抛物线于，两点（点，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为抛物线：，焦点， 所以，解得，所以抛物线：. （2）设直线的方程为， 与抛物线联立得：， 由韦达定理得，， 所以， 所以 （3）设，，，， 因为， 所以直线：，即。 同理：直线：。 联立，解得。 设直线的方程为：，，， 联立。 因为，解得，，， 因为， 所以 ，化简得：。 所以。 因为， ， 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$