专题10 圆锥曲线离心率的求法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题10 圆锥曲线离心率的求法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用圆锥曲线的定义求离心率 2 类型二、利用渐近线求双曲线的离心率 3 类型三、利用正（余）弦定理求离心率 6 类型四、利用等量关系或不等式关系求离心率 9 类型五、利用基本不等式求离心率 11 类型六、椭圆与双曲线离心率综合问题 13 压轴能力测评（10题） 16 一、求解圆锥曲线的离心率的常见方法 1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得c得值，根据离心率的定义求解离心率； 2、齐次式法：由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解； 3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题． 二、求离心率取值范围的常用方法 1、不等式法求离心率范围 （1）利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解； （2）利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如:椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等(等式组)求解； （3）利用题目条件中的不等关系，建立不等式（组）求解； （4）利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解； 2、函数法求离心率的范围 （1）根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他单变量函数关系式； （2）结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域； （3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围． 3、坐标法求离心率的范围：根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可． 类型一、利用圆锥曲线的定义求离心率 例．（24-25高二上·江苏扬州·期中）设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则的离心率等于（    ） A． B．2 C．2或 D．或 【变式训练1】（24-25高二上·江苏泰州·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25高三上·浙江·月考）已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 类型二、利用渐近线求双曲线的离心率 例．（24-25高二上·重庆铜梁·月考）若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点（为垂足，在线段上），且满足，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024·江西新余·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（     ）. A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（23-24高二下·天津·期中）已知双曲线为坐标原点为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 类型三、利用正（余）弦定理求离心率 例．（24-25高二上·山东日照·期中）双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的两支于，两点，为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式训练1】（24-25高二上·广西玉林·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知点、是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆B上，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25高二上·天津·期中）已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 类型四、利用等量关系或不等式关系求离心率 例．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25高二上·浙江温州·期中）已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练3】（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 . 类型五、利用基本不等式求离心率 例．（23-24高三上·云南曲靖·月考）已知，，分别为双曲线（，）的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24高二上·江苏常州·期中）分别为双曲线左右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【变式训练2】（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知椭圆的两个焦点为，，且焦距为4，点在上，若的最大值为25，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为 . 类型六、椭圆与双曲线离心率综合问题 例．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为 . 【变式训练1】（24-25高二上·广东·月考）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，则的取值范围是 ． 【变式训练2】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ． 【变式训练3】（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆：（）与双曲线：（，）有共同的焦点，，点P为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为 . 1．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东淄博·期中）已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，若，，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·广西·期中）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左右支于A、B两点，点在轴上，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 7．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为 . 9．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在点满足：，则的离心率的最小值是 ． 10．（24-25高二上·天津·期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最小值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 圆锥曲线离心率的求法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用圆锥曲线的定义求离心率 2 类型二、利用渐近线求双曲线的离心率 3 类型三、利用正（余）弦定理求离心率 6 类型四、利用等量关系或不等式关系求离心率 9 类型五、利用基本不等式求离心率 11 类型六、椭圆与双曲线离心率综合问题 13 压轴能力测评（10题） 16 一、求解圆锥曲线的离心率的常见方法 1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得c得值，根据离心率的定义求解离心率； 2、齐次式法：由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解； 3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题． 二、求离心率取值范围的常用方法 1、不等式法求离心率范围 （1）利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解； （2）利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如:椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等(等式组)求解； （3）利用题目条件中的不等关系，建立不等式（组）求解； （4）利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解； 2、函数法求离心率的范围 （1）根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他单变量函数关系式； （2）结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域； （3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围． 3、坐标法求离心率的范围：根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可． 类型一、利用圆锥曲线的定义求离心率 例．（24-25高二上·江苏扬州·期中）设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则的离心率等于（    ） A． B．2 C．2或 D．或 【答案】D 【解析】由题意可设：，，． 当圆锥曲线为椭圆时，，．离心率； 当圆锥曲线为双曲线时，，，离心率． 综上可知，圆锥曲线的离心率为或．故选：． 【变式训练1】（24-25高二上·江苏泰州·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，，所以， 又，所以， 所以，即，整理得.故选：A 【变式训练2】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，设椭圆的半焦距为，点， 令的内切圆切的切点分别为， ， 联立解得， 则，消去得：， 所以椭圆的离心率.故选：C 【变式训练3】（24-25高三上·浙江·月考）已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接， 因为为正三角形，， 所以为的中点，所以， 故，易知，所以， 由双曲线的定义知， 即，得.故选：D． 类型二、利用渐近线求双曲线的离心率 例．（24-25高二上·重庆铜梁·月考）若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点（为垂足，在线段上），且满足，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知双曲线的渐近线方程为：， 设过点与渐近线垂直的方程为， 由，得， 由，得， 因为，所以，则， 所以，化简得，即， 解得（舍去）或，则.故选：D 【变式训练1】（2024·江西新余·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令双曲线的半焦距为，则， 令直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为， 于是，， 过作于，则，而为线段中点， 于是，， 由，得，，， 由双曲线定义得，即，解得， 所以双曲线的离心率.故选：B 【变式训练2】（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，则，即， 又两条渐近线方程为，即， 故有， 所以．故选：B． 【变式训练3】（23-24高二下·天津·期中）已知双曲线为坐标原点为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题意，不妨设点在上， 焦点到直线的距离， ，，，则，， ，所以, 即，得， 所以双曲线的离心率.故选：A 类型三、利用正（余）弦定理求离心率 例．（24-25高二上·山东日照·期中）双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的两支于，两点，为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【解析】由题意可作图如下： 则①，②， 在等边中，， 可得， 则， 由，则， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 由，则，解得.故选：C. 【变式训练1】（24-25高二上·广西玉林·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，如下图所示： 由题意可得，； 又，由可得， 即，解得； 所以； 因为，所以； 即，可得， 即，解得.故选：D 【变式训练2】（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知点、是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆B上，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可作图如下： 由图可知：， 由平分，则， 所以， 由，则解得， 由是关于直线的对称点，则共线，，，， 所以，在中，， 可得，解得，， 在中，由余弦定理，可得， 代入可得：，化简可得：， 所以其离心率.故选：B. 【变式训练3】（24-25高二上·天津·期中）已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，由椭圆定义可知，且， 又， 利用余弦定理可知： ， 化简可得， 所以的面积为， 设的外接圆半径为，内切圆半径为， 由正弦定理可得，可得， 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得， 又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，所以， 即可得，所以，离心率.故选： 类型四、利用等量关系或不等式关系求离心率 例．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由是椭圆上任意一点，且直线，的斜率分别为，， 设，，则， 于是，，两式相减得， 则，而，因此， 所以离心率.故选：A 【变式训练1】（24-25高二上·浙江温州·期中）已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，则，且，可得， 易知、， 所以，， 所以，，可得， 故.故选：D. 【变式训练2】（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】设，则，即， 双曲线C的渐近线方程为， 所以， 又，平方后得， 又在中，由可得，所以， 两式相减，整理得， 所以， 因为， 所以，解得．故选：C. 【变式训练3】（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意可得，， 由于为平行四边形，故, 直线的方程为，渐近线方程， 联立， 故, 所以， 因此，化简得， 故离心率为， 故答案为： 类型五、利用基本不等式求离心率 例．（23-24高三上·云南曲靖·月考）已知，，分别为双曲线（，）的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点， 则，即， 代入得， 当且仅当时取等号，即， 又点是双曲线左支上任意一点，所以，即，解得， 所以双曲线离心率e的取值范围是.故选：C． 【变式训练1】（23-24高二上·江苏常州·期中）分别为双曲线左右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点， 所以，代入， 得， 当且仅当时取等号，即， 又点是双曲线左支上任意一点，所以， 即：. 故答案为：． 【变式训练2】（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知椭圆的两个焦点为，，且焦距为4，点在上，若的最大值为25，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆定义可得， 所以，当且仅当时，等号成立． 由题可知的半焦距， 所以离心率．故选：B 【变式训练3】（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【解析】，即， ， 当且仅当时等号成立. ， 由于，所以当或时， 有最小值为， 所以，则，即， 即，解得. 故答案为： 类型六、椭圆与双曲线离心率综合问题 例．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 【变式训练1】（24-25高二上·广东·月考）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设的长半轴长为，的实半轴长为，焦距为， 由题意可知： 将②式和③式平方相加得， 将①式代入可得，即． 设，，由于，， ，，且，， 令，，， ，， 故． 故答案为：. 【变式训练2】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设为右焦点，半焦距为，，， 为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则， 由，， 则，，，所以，从而有， 故， 当且仅当，即时取等，所以的最小值为. 故答案为：． 【变式训练3】（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆：（）与双曲线：（，）有共同的焦点，，点P为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为 . 【答案】 【解析】设两曲线的半焦距为，由余弦定理得： ， 在椭圆中，， 得， 在双曲线中，， 得， 从而，得， 则，，即， ，即， 所以. 当且仅当时等号成立. 故答案为：. 1．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，， 由椭圆定义得，故， ∵，，∴， ∴与相似，∴，即， 整理得，故，解得， 由得，，即椭圆的离心率为.故选：B. 2．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，设椭圆的左焦点为，连接、、， 由题意可知，、关于原点对称，且为的中点， 所以四边形为平行四边形 又因为，所以四边形为矩形. 因为，设，， 则，， 所以，， 在中，，即， 解得，或（舍去），所以，，， 在中，由勾股定理可得，即， 整理可得，解得.故选：C. 3．（24-25高二上·山东淄博·期中）已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点关于的角平分线的对称点N必在上，因此共线，， ，设， 则，，， 又，∴， 中，由余弦定理得：， ∴，化简得， ∴，， 中，， 由余弦定理得，解得，故选：B． 4．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为点在双曲线上， 则，两式相减可得， 整理可得， 又线段的中点是，则， 所以，又直线过点，得到， 所以，得到，故选：C. 5．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，若，，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，，， 所以， 由双曲线的定义知， 又，则在中，， 在中，， 即，可得.故选：A 6．（24-25高三上·广西·期中）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左右支于A、B两点，点在轴上，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】因为，所以△， 设，则，设，则，， 因为平分， 由角平分线定理可知，， 所以，所以， 由双曲线定义知，即，，① 又由得， 所以，即是等边三角形， 所以， 在中，由余弦定理知， 即，化简得， 把①代入上式得，所以离心率为．故选：A． 7．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设与轴交点为，连接， 由对称性可知， 又因为， 所以，所以， 又因为，所以， 在中，，所以，所以， 由，且三角形内角和为， 所以， 所以，即， 则， 综上：.故选：. 8．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【解析】设是椭圆的右焦点，连接，， 由对称性可知：，， 则四边形为平行四边形， 则，即，且， 因为，则，， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在点满足：，则的离心率的最小值是 ． 【答案】/ 【解析】由椭圆的定义可得， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为余弦函数在上单调递减， 故当时，即当为椭圆短轴顶点时，最大， 因为椭圆上存在点满足：，则，可得， 所以，，故椭圆的离心率的最小值为. 故答案为：. 10．（24-25高二上·天津·期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】 如图，不妨设点在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得： ，，所以，， 又，所以由余弦定理可知： 即：，化简得：， 所以，即，化简得：， 由基本不等式可得：，因为， 所以，当时，取“”. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$