专题09 圆锥曲线的中点弦问题-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题09 圆锥曲线的中点弦问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、求中点弦所在直线的斜率或方程 3 类型二、求弦的中点坐标 3 类型三、求弦中点的运动轨迹 4 类型四、根据中点弦求曲线方程 5 类型五、根据中点弦求椭圆与双曲线离心率 6 类型六、直线与曲线相交中点弦长 7 类型七、直线上两点关于直线对称 8 类型八、探究弦中点的存在性 8 压轴能力测评（10题） 10 一、椭圆与双曲线的中点弦与点差法 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系， 具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 焦点在y轴：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 3、双曲线的用点差法同理，可得 二、抛物线的中点弦与点差法 设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为 代入抛物线方程，，， 将两式相减，可得， 整理可得： 三、点差法在圆锥曲线中的结论 1、椭圆： 2、双曲线： 3、抛物线： 类型一、求中点弦所在直线的斜率或方程 例．（24-25高二上·天津·期中）已知椭圆以及椭圆内一点，以点为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式训练1】（24-25高二上·广东佛山·月考椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25高二上·重庆铜梁·月考已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25高二上·福建福州·期中）已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，过点作直线交轨迹于两点. (1)求的轨迹方程； (2)若恰为弦的中点，求直线的方程. 类型二、求弦的中点坐标 例．过点作斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为 . 【变式训练1】（23-24高二下·山东青岛·期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 【变式训练2】（24-25高二上·上海·期中）设为双曲线上两点，如下四个点：，，， 中，可作为线段中点的是 ．（请将所有满足条件的点填入） 【变式训练3】（23-24高二上·广东佛山·期末）（多选）设是双曲线上的两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 类型三、求弦中点的运动轨迹 例．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆，一组斜率为1的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24高二上·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 【变式训练2】求过定点的直线被双曲线截得的弦AB的中点的轨迹方程. 【变式训练3】（23-24高二上·河南南阳·月考已知椭圆. (1)求过点且被点平分的弦所在直线的方程； (2)过点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程. 类型四、根据中点弦求曲线方程 例．（24-25高二上·广东深圳·月考已知中心在原点，半焦距为 4 的椭圆 被直线方程 截得的弦的中点横坐标为-4，则椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25高二上·福建厦门·期中）已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，且椭圆的上顶点为，则椭圆的方程为 【变式训练2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 【变式训练3】（23-24高二上·江西上饶·月考）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 类型五、根据中点弦求椭圆与双曲线离心率 例．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24高二上·辽宁大连·期末）椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25高二上·重庆·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式训练3】（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为 类型六、直线与曲线相交中点弦长 例．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）过点作直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，线段的长度是 . 【变式训练1】（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）已知椭圆，点是椭圆的弦的中点. (1)求直线的方程 (2)求弦的长度 【变式训练2】（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求. 【变式训练3】（23-24高二下·河南·开学考试）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积. 类型七、直线上两点关于直线对称 例．（24-25高二上·河南南阳·期中）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25高二上·天津·期中）已知椭圆上两个不同的点关于直线对称，则实数的取值范围是 . 【变式训练2】（23-24高二上·江西赣州·期中）已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 . 【变式训练3】（22-23高二下·四川内江·开学考试）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为 . 类型八、探究弦中点的存在性 例．（24-25高二上·河南驻马店·月考已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过点能否作一条直线，使直线与椭圆交于，两点，且使得是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由． 【变式训练1】（23-24高三上·福建福州·期中）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是3． (1)求椭圆的方程； (2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 【变式训练2】（23-24高二上·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 【变式训练3】（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 1．（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25高二上·江西南昌·月考已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）已知斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为.则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·天津·期中）已知双曲线的右焦点为F，圆M的方程为若直线l与圆M切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河北衡水·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为 ． 7．（23-24高二上·江苏连云港·月考已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为 . 8．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为 . 9．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求. 10．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程； (3)设双曲线C：的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆锥曲线的中点弦问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、求中点弦所在直线的斜率或方程 3 类型二、求弦的中点坐标 5 类型三、求弦中点的运动轨迹 9 类型四、根据中点弦求曲线方程 13 类型五、根据中点弦求椭圆与双曲线离心率 16 类型六、直线与曲线相交中点弦长 19 类型七、直线上两点关于直线对称 22 类型八、探究弦中点的存在性 25 压轴能力测评（10题） 30 一、椭圆与双曲线的中点弦与点差法 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系， 具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 焦点在y轴：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 3、双曲线的用点差法同理，可得 二、抛物线的中点弦与点差法 设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为 代入抛物线方程，，， 将两式相减，可得， 整理可得： 三、点差法在圆锥曲线中的结论 1、椭圆： 2、双曲线： 3、抛物线： 类型一、求中点弦所在直线的斜率或方程 例．（24-25高二上·天津·期中）已知椭圆以及椭圆内一点，以点为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】设以为中点的弦端点, 则, 由,得, 即, 所以直线的斜率.故选:C 【变式训练1】（24-25高二上·广东佛山·月考椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，可知点在椭圆内部， 设该弦与椭圆的两个交点分别为，，则， 且点为中点，则， 因为，两式作差可得， 则，即，可得， 所以直线的方程为，即.故选：A. 【变式训练2】（24-25高二上·重庆铜梁·月考已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点、， 因为点为线段的中点，则，， 若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 由题意可得，将这两个等式作差可得， 即，所以，直线的斜率为.故选：D. 【变式训练3】（24-25高二上·福建福州·期中）已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，过点作直线交轨迹于两点. (1)求的轨迹方程； (2)若恰为弦的中点，求直线的方程. 【答案】(1)，（）；(2) 【解析】（1）设， 由题意知，，， 化简整理得， 所以点的轨迹方程为，（）． （2）设,，,， ,且， 所以， 所以，故 所以， 所以直线的方程为，即． 类型二、求弦的中点坐标 例．过点作斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为 . 【答案】 【解析】直线l的方程为， 由消去y得，显然， 即直线与椭圆相交，设交点，则， 于是线段中点的横坐标为，纵坐标为， 所以线段的中点坐标为. 故答案为： 【变式训练1】（23-24高二下·山东青岛·期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题意得： ，即，解得 ，解得 椭圆的方程为 （2）如图所示： 设，中点为， 所以 则 又两点在椭圆上，可得， 两式相减可得，整理得 ，①. 过点斜率为的直线为. 因为在直线上，故，② 联立①②，解得 所以中点坐标为. 【变式训练2】（24-25高二上·上海·期中）设为双曲线上两点，如下四个点：，，， 中，可作为线段中点的是 ．（请将所有满足条件的点填入） 【答案】 【解析】设，则可得的中点坐标为， 因此， 因为在双曲线上，所以，两式相减可得， 因此， 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时，即， 显然为双曲线的渐近线，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线有两个交点， 故符合题意；综上可知可作为线段中点的是. 故答案为： 【变式训练3】（23-24高二上·广东佛山·期末）（多选）设是双曲线上的两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】当直线的斜率不存在时，由双曲线的对称性，则中点的纵坐标为，不合题意； 斜率存在时，设且中点坐枟为，将A,B代入， 可得: ，两式相减可得：， 设直线的斜率存在，整理可得. 对于A，，直线， 化简可得，代入可得， 整理可得，显然方程无解，故A错误； 对于B，，直线， 化简可得，代入可得， ，， .由， ，故B正确； 对于C，，直线， 化简可得，代入可得， ，， ，， ，故C正确； 对于，直线， 化简可得，代入可得， ，， ，， ，故D正确. 故选：BCD. 类型三、求弦中点的运动轨迹 例．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆，一组斜率为1的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设斜率为1的平行直线为与椭圆交于两点, 设，线段中点为, ∴， ∵两点在椭圆上， ∴且， 两式相减得， 即， ∴， ∴，即， 故这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为.故选：C. 【变式训练1】（23-24高二上·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 【答案】(1)4；(2) 【解析】（1）由抛物线的定义得， 故． （2）由（1）得，，则抛物线C的方程为，焦点， 设，，， ∴，， 当M，F不重合时，相减整理得，， ∴，即， 当M，F重合时，满足上式． ∴点M的轨迹方程为． 【变式训练2】求过定点的直线被双曲线截得的弦AB的中点的轨迹方程. 【答案】（或）. 【解析】因为该直线的斜率不存在时与双曲线无交点， 故可设直线的方程为， 且设该直线被双曲线截得的弦AB对应的中点为，，. 由得. 则，即，且， 所以，即，，且，， 所以，. 由，即，，代入消去k得. 又，且，，故或. 故弦AB的中点的轨迹方程为（或）. 【变式训练3】（23-24高二上·河南南阳·月考已知椭圆. (1)求过点且被点平分的弦所在直线的方程； (2)过点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 所以在椭圆的内部，则所求弦必然存在， 设这条弦与椭圆交于点， 由中点坐标公式知， 把代入，则， 作差整理得，可得， 所以这条弦所在的直线方程为，即. （2）由题意可知：过点引椭圆的割线的斜率存在且不为0， 设割线方程为， 联立方程，消去得， 则，解得， 设过点的直线与椭圆截得的弦的中点，交点为， 根据椭圆性质可知，则， 令，则， 可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，可知， 则，所以， 则，可得， 把代入，则， 两式相减得，整理得， 即，整理得. 类型四、根据中点弦求曲线方程 例．（24-25高二上·广东深圳·月考已知中心在原点，半焦距为 4 的椭圆 被直线方程 截得的弦的中点横坐标为-4，则椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标是， 则， 直线的斜率. 由，得， 得，所以， 即，， ，，， 所以， 所以椭圆的标准方程为.故选：C. 【变式训练1】（24-25高二上·福建厦门·期中）已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，且椭圆的上顶点为，则椭圆的方程为 【答案】 【解析】如图设，则， 由整理可得，（*）， 因为弦的中点，且直线的斜率为， 则， 则由（*）可得，，即， 由题意，，则，故椭圆的方程为. 故答案为：. 【变式训练2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 【答案】 【解析】设， 因为， 所以，所以， 又因为，所以， 因为都在第一象限，所以， 又因为且， 所以，所以，所以抛物线方程为， 故答案为：. 【变式训练3】（23-24高二上·江西上饶·月考）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 则，两式相减得， 即，化简得， 又，解得， 所以双曲线的方程为： .故选：D. 类型五、根据中点弦求椭圆与双曲线离心率 例．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆，左焦点，下顶点， 设，，的中点为，，． ，． 由，，两式相减得， 可化为，得，即，两边平方得， 化为：，解得，又，解得．故选：A． 【变式训练1】（23-24高二上·辽宁大连·期末）椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取线段的中点为，连接， 因为，所以为中点，又为中点， 所以， 直线的斜率与的斜率乘积为，所以． 设，则， 两式相减可得， 整理得，即， 所以，所以，则．故选：B． 【变式训练2】（24-25高二上·重庆·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】由已知直线的方程为，即， 设， 由得， 则即， 则，， 线段的中点是，则，， 整理得，即，故选：A. 【变式训练3】（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为 【答案】/ 【解析】设, ，则 ①, ②, ∵是线段的中点, ∴ 故过点作斜率为的直线的方程是， ∴ ①②两式相减可得: ∴. ∴. ∴∴，∴ 故答案为:. 类型六、直线与曲线相交中点弦长 例．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）过点作直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，线段的长度是 . 【答案】 【解析】设，，根据中点坐标公式，，， 则，两式相减化简可得， 所以，即直线的斜率为， 可得直线的方程为，即， 联立方程，消去x可得， 则， 所以线段的长度是. 故答案为：. 【变式训练1】（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）已知椭圆，点是椭圆的弦的中点. (1)求直线的方程 (2)求弦的长度 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）已知M是椭圆弦AB的中点， 设，则， 因为，两式相减的， 又因为，可得：，即， 所以直线AB的方程为，即. （2）联立方程，消去y得：， 可得，，， 所以. 【变式训练2】（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题可知，，解得， 故抛物线C的方程为. （2）设，，则， 两式相减，得，即. 因为线段AB的中点坐标为， 所以，则， 故直线l的斜率为2. 所以直线l的方程为：. 联立直线与抛物线方程，得， 由韦达定理可得，. 由弦长公式得. 【变式训练3】（23-24高二下·河南·开学考试）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，所以， 故到渐近线的距离， 所以，又，所以， 故的方程为. （2）设点，因为是弦的中点，则 由于，所以两式相减得， 所以，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立消去并整理，得， 所以，且， 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积为. 类型七、直线上两点关于直线对称 例．（24-25高二上·河南南阳·期中）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则其中点坐标为， 则，两式相减可得， 即， 因为A，B关于直线对称，则， 又，所以， 即，所以， 且点在直线上，则， 解得，所以.故选：A 【变式训练1】（24-25高二上·天津·期中）已知椭圆上两个不同的点关于直线对称，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【解析】设，，是线段的中点， 因为点是椭圆上关于直线对称的两个点， 则，两式相减得. 因为，，所以. 因为，所以，故，联立，解得， 所以. 因为点M应在椭圆的内部， 所以，即，解得或. 所以实数m的取值范围是或. 故答案为：或. 【变式训练2】（23-24高二上·江西赣州·期中）已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 . 【答案】 【解析】由题意可知：直线：的斜率为， 可知直线的斜率， 设，则线段中点的坐标， 可得，， 因为A，B为双曲线C：上的两点，则， 两式相减整理得，即， 解得，即直线， 联立方程，解得， 可知线段中点的坐标为. 故答案为：. 【变式训练3】（22-23高二下·四川内江·开学考试）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】依题意，双曲线上两点，，，， 若点A、B关于直线对称，则 设直线的方程是，代入双曲线方程化简得： ， 则，且，解得，且 又，设的中点是，， 所以，． 因为的中点在直线上， 所以，所以，又 所以，即，所以 所以，整理得， 所以或， 实数的取值范围为： 故答案为：. 类型八、探究弦中点的存在性 例．（24-25高二上·河南驻马店·月考已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过点能否作一条直线，使直线与椭圆交于，两点，且使得是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）椭圆的顶点为，， 又，， ， 椭圆的方程为：． （2）当过点的直线斜率不存在时，显然不成立， 设直线的斜率为，则其方程为：，如图， 联立方程组，消去并整理， 得：， 由在椭圆内部可知，方程有两不等实根， 设， ，且点是线段的中点， ，， 故存在这样的直线，方程为：，即， 【变式训练1】（23-24高三上·福建福州·期中）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是3． (1)求椭圆的方程； (2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，该直线方程为 【解析】（1）由题意得，设椭圆右焦点坐标为， 设椭圆上一点，， 则，故， ， 因为，所以，， 故， 故椭圆上的点到又焦点的最小距离是，所以， 联立与，解得，故， 故椭圆的方程为． （2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点， 设，， 则，两式相减得， 得，即， 直线方程为，即． 所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点， 且该直线方程为． 【变式训练2】（23-24高二上·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 【答案】(1)；(2)或或；(3)不存在，理由见解析 【解析】（1）设双曲线的标准方程为代入，， 得，解得， ∴双曲线的标准方程. （2）如图：    设直线方程：，联立得 ， 直线与双曲线有两个交点， 所以或或. （或：且）. （3）设A，B两点坐标分别为，由（2）可得， 若P为AB中点，则， 此时， 所以不存在实数，使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点.. 【变式训练3】（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)不存在，理由见解析 【解析】（1）因为双曲线中，离心率为，且经过点， 则，解得，所以，双曲线的方程为. （2）解：设直线交双曲线于点、， 联立可得， 因为直线与双曲线左支有两个交点， 则，解得， 故实数的取值范围是. （3）若直线轴，则直线与双曲线相切，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在， 设点、， 因为为线段的中点，则， 将点、的坐标代入双曲线的方程可得， 作差可得，即， 即，所以，直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 联立可得，则， 因此，不存在满足题设条件的直线. 1．（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，代入双曲线方程， 可得，作差， 因为点为线段的中点，所以 所以，即， 所以直线的方程是，即， 经检验，直线满足题意.故选：A. 2．（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】设，，则， 两式作差得，， 当时，则中点坐标为焦点，不满足题意； 当时，得． 设线段中点，因为坐标，且过焦点， 所以， 则的斜率，解得．故选：A. 3．（24-25高二上·江西南昌·月考已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令的中点为E，因为，所以， 设，，则， 两式相减得，， 所以，则， 设直线， 令得，令得，即， 所以，即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即.故选：A. 4．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）已知斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为.则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 ，又点在椭圆上， 则， 两式相减可得: ， 所以， 又， 则 ， 又点在椭圆内，则， 则 , 所以 .故选：D. 5．（24-25高二上·天津·期中）已知双曲线的右焦点为F，圆M的方程为若直线l与圆M切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线l的斜率为k，则，所以， 因为点在圆上， ，即， 设点，，则，. 两式相减，得 则，即， 所以双曲线C的方程为.故选：B. 6．（2024·河北衡水·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为 ． 【答案】 【解析】由题意知， 设A，B两点坐标分别为， 两式相减得， 由题意为AB中点， 则，代入整理得． 即由题意知， 因此，所以，由焦距为6，解得． 由椭圆定义知的周长为． 故答案为： 7．（23-24高二上·江苏连云港·月考已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】设，，由题意， 因为，在抛物线上，所以，，两式相减得， ，整理得，， 即直线的斜率， 直线的中点为， ， ， 所以直线的方程为，化简得. 故答案为：. 8．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【解析】设的中点 则, 且,两式相减可得, 整理可得，则, 由题意可知共线则, 即，所以,解得, 椭圆C的焦距为，则离心率,解得. 故答案为：. 9．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设点的坐标为，因为，，所以， 化简得：.所以的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意； 设，，直线方程为， 与联立得：， 由且，解得且， 由韦达定理得， 因为线段中点在第一象限，且纵坐标为， 所以，解得或（舍去）， 所以直线为，所以， 所以. 10．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程； (3)设双曲线C：的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率. 【答案】(1)；(2)；(3)离心率为或 【解析】（1）因为双曲线与双曲线有相同的渐近线， 不妨设双曲线的方程为， 因为双曲线经过点， 解得， 则所求双曲线的标准方程为； （2）不妨设,，,， 因为线段的中点为， 所以，， 因为，两点都在双曲线上， 所以， 可得， 即，则， 所以直线的方程为，即， 联立，则，故直线与双曲线有两个交点， 从而可得直线方程为，即. （3）由题可设直线的方程为，即， 由原点到直线的距离为得，即， 两边同时除以得，整理得，解得或， 故双曲线的离心率为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$